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用导数研究函数单调性

用导数研究函数单调性
用导数研究函数单调性

用导数研究函数单调性(第一课时)

一、教材分析

本节课是高中数学选修2—2第一章1.3《导数在研究函数中的应用》第一小节的内容。导数在高中数学领域是一个较新的内容,利用导数可以研究实际生活中的增长率、效率、膨胀率、速度等问题。如果利用导数来研究函数的单调性是非常具有优越性与可比性的,而且也会涉及到最值等问题,具有良好的承上启下的作用。

二、重难点分析

重点:函数的单调性与导数正负的关系

难点:(1)利用导数在图形中探究函数的单调性,准确判断不同函数的单调区间。

(2)判断函数的图像与导数的图解的关系。

三、目标分析

(一)、知识与技能

(1)要求学生会用导数的正负判断函数的单调性;

(2)会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

(二)、过程与方法

(1)利用图象为结论提供直观支持,把函数的解析表示与图象有机地结合

(2)学会由图形——性质——一般性的数学思维,把它应用到数学乃至其它学科。

(三)情感态度与价值观

(1)增强对数学的好奇心与求知欲

(2)培养学生勇于探索善于发现的创新思想。

四、教学过程

(一)创设情境,发现新知

1.确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数? 解:2243(2)1y x x x =-+=--,在(,2)-∞上是减函数,在(2,)+∞上是增函数。 问:1、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数,在(2,)+∞上是增函数?

2、研究函数的单调区间你有哪些方法?

(1)观察图象的变化趋势;(函数的图象必须能画出的)

(2)利用函数单调性的定义。(复习一下函数单调性的定义)

2.确定函数f (x )=2x 3-6x 2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?

能画出函数的图象吗?那如何解决?试一试。提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候,如函数f (x )=2x 3-6x 2+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解决。(研究的必要性)事实上用定义研究函数2

43=-+y x x 的单调区间也不容易。 }都是反映函数随自变量的变化情况。

(产生认知冲突,由学生的认知冲突引入新课,既为本节学习做好铺垫,又能激发学生的求知欲,让学生带着好奇心进入新知的学习。)

【合作探究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。 问:如何入手?(图象) 从函数f (x )=2x 3-6x 2+7的图象吗?

1.研究二次函数243=-+y x x 的图象;

(1)学生自己画图研究探索。

(2)提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的?

(3)(开口方向,对称轴)既然要寻求一个新的办法,显然要换个角度分析。

(4)提示:我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律?

(5)学生继续探索,得出初步规律。几何画板演示,共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。(学生总结):

①该函数在区间(,2)-∞上单调递减,切线斜率小于0,即其导数为负;

在区间(2,)+∞上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正;

注:切线斜率等于0,即其导数为0;如何理解?

②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢?

指出:我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性(幻灯放映课题)。

2.请同学们根据刚才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系?请一个学生回答。

一般地,设函数()y f x =在某个区间可导,则函数在该区间内

如果在这个区间内'()0f x >,则()y f x =为这个区间内的增函数;

如果在这个区间内'()0f x <,则()y f x =为这个区间内的减函数。

若在某个区间内恒有'()0f x =,则()f x 为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的,只是一个猜想,正确吗?答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理,大学里才能学到。这里我们可以直接用这个结论。 小结:数学中研究问题的常规思想方法是:从特殊到一般,从简单的复杂。

(二)课堂应用,巩固新知

例1.已知导函数()f x 的下列信息:

当14x <<时,'()0f x >;

当4x >,或1x <时,'()0f x <;

当4x =,或1x =时,'()0f x =

试画出函数的图像的大致形状。

例1是本节知识的直接应用,巩固所学新知;但要注意提醒学生:本题是开放性题目,答案不唯一。

例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间。

(1)2()23f x x x =--;

(2)32()267f x x x =-+。

例2回扣解决了本节课之前无法解决的问题,感受探索的价值,体会导数法的通用性和优越性。

引导学生小结:用导数求函数单调区间的步骤:

(1) 确定函数f (x )的定义域;

(2) 求函数f (x )的导数f ′(x ).

(3) 令f ′(x )>0解不等式,得x 的范围,就是递增区间.

令f ′(x )<0解不等式,得x 的范围,就是递减区间

鼓励学生及时总结,及时反思。

(三)思考讨论,深化新知

1.确定下列函数的单调区间

(1)y =x 3-9x 2+24x (2)y =3x -x 3

(1)解:y ′=(x 3-9x 2+24x )′=3x 2-18x +24=3(x -2)(x -4)

令3(x -2)(x -4)>0,解得x >4或x <2.

∴y =x 3-9x 2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2)

令3(x -2)(x -4)<0,解得2<x <4

.∴y =x 3-9x 2+24x 的单调减区间是(2,4)

(2)解:y ′=(3x -x 3)′=3-3x 2=-3(x 2-1)=-3(x +1)(x -1)

令-3(x +1)(x -1)>0,解得-1<x <1.

∴y =3x -x 3的单调增区间是(-1,1).

令-3(x +1)(x -1)<0,解得x >1或x <-1.

∴y =3x -x 3的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞)

2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的

图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )

(四)反思总结,升华新知

1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,

如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.

2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.

3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.

让学生总结本节课的收获,教师及时点评,充分肯定学生的学习成果,鼓励学生进一步提高自主学习能力。

(五)课下练习,强化新知

【课后练习】

对于函数f (x )=2x 3-6x 2+7

思考1、能不能画出该函数的草图?

思考2、3

276x x +=在区间(0,2)内有几个解? 【课堂作业】

课本p 42习题2.4 1,2

作业分层布置,使学有余力的同学的创造力得到进一步的发挥

教学反思

本节课是一节新授课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论,学生也能接受,可学生只能进行简单的模仿应用。

为了突出知识的发生过程,不把新授课上成习题课,设计思路如下,以便教会学生会思考解决问题:1、首先研究从熟悉的二次函数入手,简单复习回顾以前的方法;

1、从不熟悉的三次函数入手,使学生体会到以前的知识已不能解决,必须寻求一个新的

解决办法,产生认知冲突,认识到再次研究单调性的必要性;

2、从简单的、熟悉的函数图象入手,引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的

变化,再与新学的导数联系起来,形成结论。另外,也使学生感受到解决数学问题的一般方法:从简单到复杂,从特殊到一般。

3、应用中重点指导学生的解题步骤,避免考试中隐性失分。

在今后的教学中,应注重学生的参与,引发认知冲突,教会学生思考问题。加强教案设计的合理性,语言做到准确、简练。节奏要把握好。

导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案:C 解析:∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>2 1 . 2.已知函数f (x )=x 2+2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B .a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 答案:C 解析:∵f ′(x )=2x +2+a x ,f (x )在(0,1)上单调, ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1) 上恒成立,即2x 2+2x +a ≥0或2x 2+2x +a ≤0在(0,1)上恒成立, 所以a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x )在(0,1)上恒成立.记g (x )=-(2x 2+2x ),02 [解析] 若y ′=x 2+2bx +b +2≥0恒成立,则Δ=4b 2-4(b +

利用导数求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间 一学习目标: 1结合实例,找出函数的单调性与导数的关系; 2会利用导数研究函数的单调性,会求简单函数的单调区间。 二重点、难点: 重点:求函数的单调区间. 难点:求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习; 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的,同时又为导数的应用学习奠定了基础,所以他在教材中起着承前启后的重要作用;(可以看看这一课题的前后章节来写) 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么?函数的单调区间怎样求? 2.讨论以下问题 (1)求函数y=x的导数,判断其导数的符号; (2)求函数y=x2的导数,判断其导数的符号. 3.根据上述问题,思考导数的符号与函数的单调性之间的关系,并加以总结: 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导: 如果在(a,b)内,______________,则f(x)在此区间是增函数; 如果在(a,b)内,______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结,思考一下,函数在某个区间上是单调递增函数,是不是其导数就一定大于零呢?如果函数在某个区间上是单调递减函数,是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下?

小测验: 1.当0>x 时,()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间(讲授学案)——冯秀转 题型:求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意:求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. (小结)求函数单调区间的步骤: 练习:求()x e x x f 2=的单调区间。

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )=x ln x ,则( ) A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减 C.在? ? ???0,1e 上递增 D.在? ? ???0,1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ln x +1,令f ′(x )>0得x >1 e , 令f ′(x )<0得00. 答案 C 3.已知函数f (x )=1 2x 3+ax +4,则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f ′(x )=3 2x 2+a ,当a ≥0时,f ′(x )≥0恒成立,故“a >0”是“f (x ) 在R 上单调递增”的充分不必要条件. 答案 A 4.已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则该函数的图象是( )

解析由y=f′(x)的图象知,y=f(x)在[-1,1]上为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)=1 2 x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值 范围是( ) A.(1,2] B.(4,+∞] C.[-∞,2) D.(0,3] 解析∵f(x)=1 2 x2-9ln x,∴f′(x)=x- 9 x (x>0), 当x-9 x ≤0时,有00且a+1≤3,解得10得 x>1. 答案(1,+∞) 7.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则实数a的取值范围是________.

用导数求函数的单调性

用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师:范永德 一、第一段:点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 (1)理解)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性; (2)掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题:用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页,进行自主学习。(约10分钟) 二、第二段:合作探究、启发点拨 1、探究1:怎样从导数的几何意义,判断)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性?点拨:以直代曲 探究2:用导数求函数单调性的步骤 点拨:(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>',判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性,写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x

解:f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)>0,解得:2 1712171+->--',判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 作业:课本第98页 习题3.3A 组1、(3) (4) 2、(3) (4)

《3.3.1函数的单调性与导数》教学案

3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二.新课讲授 1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函数.相应地,'()()0v t h t =>. (2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减 函数.相应地,'()()0v t h t =<. 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图3.3-3,导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率. 在0x x =处,'0()0f x >,切线是“左下右上”式的,

高中数学选修2-2函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系: 思考以前,我们用定义来判断函数的单调性,在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)与f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易,如何利用导数来判断函数的单调性? 答案根据导数的几何意义,可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系,如果切线的斜率大于零,则其倾斜角是锐角,函数曲线呈上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小于零,则其倾斜角是钝角,函数曲线呈下降的状态,即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f′(x)<0,得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化较快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图,函数y =f (x )在(a,0)和(0,b )内的图象“陡峭”,在(-∞,a )和(b ,+∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )=3x 2-2ln x ;(2)f (x )=x 2·e - x ; (3)f (x )=x +1x . 解 (1)函数的定义域为D =(0,+∞).∵f ′(x )=6x -2x ,令f ′(x )=0,得x 1=33,x 2=- 3 3(舍去),用x 1分割定义域D ,得下表: ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0, 33,单调递增区间为??? ?3 3,+∞. (2)函数的定义域为D =(-∞,+∞).∵f ′(x )=(x 2)′e - x +x 2(e - x )′=2x e - x -x 2e - x =e - x (2x -x 2),令f ′(x )=0,由于e - x >0,∴x 1=0,x 2=2,用x 1,x 2分割定义域D ,得下表: ∴f (x )的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D =(-∞,0)∪(0,+∞). ∵f ′(x )=1-1 x 2,令f ′(x )=0,得x 1=-1,x 2=1,用x 1,x 2分割定义域D ,得下表:

利用导数研究函数的单调性和极值(答案)

小题快练 1.(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .1 2 - D .2- 2.(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=,则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是(C ) A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1) 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线,求此切线方程. (1)解:323)(2-+='bx ax x f ,依题意,0)1()1(=-'='f f ,即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ,得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ,则0)(>'x f ,故 f (x )在)1,(--∞上是增函数, f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ,则0)(<'x f ,故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以,2)1(=-f 是极大值;2)1(-=f 是极小值. (2)解:曲线方程为x x y 33 -=,点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ,则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ,故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A (0,16)在切线上,有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ,解得20-=x . 所以,切点为)2,2(--M ,切线方程为0169=+-y x .

(完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)

利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点: 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 (1)若 ,则()f x 在(),a b 上单调递增; (2)若 ,则()f x 在(),a b 上单调递减; (3)若 ,则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. (1)()ln f x x e x =+ (2)2 1()ln 2 f x x x =- (3)()()3x f x x e =- (4)()2x f x e x =- (5)()3ln f x x x =+ (6)ln ()x f x x = (7)2()(0)1 ax f x a x =>+ (8)32333()x x x x f x e +--=

2、讨论下列函数的单调性. (1)()ln (1),f x x a x a R =+-∈ (2)3(),f x x ax b a R =--∈ (3)2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ (4)32(),,f x x ax b a b R =++∈ (5)2()(22),0x f x e ax x a =-+> (6)2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ (7)2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> (8)221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈

3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. (1)确定a 的值; (2)若()()x g x f x e =,讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈,曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. (1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间. 5、(2016全国卷2节选)讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性, 并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.

利用导数研究函数的单调性问题

利用导数研究函数的单调性问题 浙江省湖州中学 李连方 一.学情分析 本人任教的两个班级均侧文,数学基础较薄弱.学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解,但是对含参数单调性问题常常一筹莫展,找不到分类的标准或者分类不合理、不完整. 二.教学目标 用导数讨论函数的单调性,是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础,所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系,会用导数讨论含参函数的单调性,让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题,而解不等式问题实质是根的问题.其次,逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题,体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要地对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,然后综合各类结果得到整个问题的解答,其实质是“化整为零,各个击破,再积零为整”.在分类讨论时,时刻注意:一要分类对象确定,标准统一;二要不重复,不遗漏;三要分层次,不越级讨论. 三.教学重点和难点 本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准,能合理、准确和完整地进行分类讨论.本节课的教学难点是分类标准难以把握,本节课试图从方程的根的角度来突破难点. 四.教学设计 【例1】(《创计新设》第42页)已知函数2()ax f x x e -=?,a R ∈. (Ⅰ)当=1a 时,求函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数()y f x =的单调性. 分析:(Ⅰ)略;(Ⅱ)由题意得() 2()2ax f x x ax e -'=-?, 其中22=0x ax -根为0x =或2x a = ()0a ≠. ①当=0a 时,若0x <,则()0f x '<;若0x >,则()0f x '>. 所以当=0a 时,函数f (x )在区间()0-∞,上为减函数,在区间()0+∞,上为增函数. ②当0a >时,当0x <或2x a >时,()f x ';当20x a <<时,()f x '. 所以函数()y f x =在区间()0-∞,与2 +a ??∞ ???,上为减函数,在20a ?? ???,上为增函数. 【设计意图】1.让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题,最终归结到判断()f x '的符号问题上,而()0f x '>或()0f x '<,最终可转化为解不等式问题.若含参数,则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题; 2.让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根. 【例2】(2008年浙江省高考试题改编)已知a 是实数,函数())f x x a = -. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间; 分析:函数的定义域为[0)+∞,,

(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题

用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质:单调性、极值、最值等,最关键的是求函数的单调区间,这是每年高考的重点,这也是学生学习和复习的一个难点。其中,学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识,但是找不到分类讨论的标准,不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题,写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解:定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立,)(x f 在),0[+∞上单调递增; (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减,在),3 [+∞a 上单调递增。 所以,当0≤a 时,)(x f 在),0[+∞上单调递增;当0>a 时,)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减,在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点:一次型,根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解:定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即,令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增,)1,1(-a 上单调递减,),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即,0)('≥x f 恒成立,所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即,令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增,)1,1(-a 上单调递减,),1(+∞上单调递增。 所以,当2>a 时,)(x f 在)1,(-∞上单调递增,)1,1(-a 上单调递减,),1(+∞-a 上单调

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1,第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后,结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法,例题的选择有梯度,由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式,再解关于含参数的问题,最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用,形成初步的知识体系,培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 (一)知识与技能目标: 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间; 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 (二)过程与方法目标: 1、通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力,数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 (三)情感、态度与价值观目标: 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结, 2、培养学生的探索精神,渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能。(四)教学重点,难点 教学重点:利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点:探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用,以及学生前期预备基础,应注重理解函数单调性与导数的关系,进行合理的推理,引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法,无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题,注意分类讨论点的确认,灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学,强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用,培养学生的探究精神,提高语言表达和概括能力,

导数讨论含参函数的单调性

导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性,求其单调区间 解:x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I )当0≤a 时,)0(0)('≠>x x f 恒成立,此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数,即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(', a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或,此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数,)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数,即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结:1、先求函数的定义域, 2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负), 3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况, 4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界), 5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性,求其单调区间 解:x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I )当0≥a 时,)0(0)('>>x x f 恒成立,此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数, 即)(x f 的增区间为),0(+∞,不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数,)(x f 在),0(a -是单调减函数, 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2.讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解:x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号)

专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)

第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一.函数的单调性 在某个区间(a ,b )内,如果f ′(x )>0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递增;如果f ′(x )<0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递减. 二.函数的极值 (1)一般地,求函数y =f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )=0,当f ′(x 0)=0时: ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0,那么f (x 0)是极大值; ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0,那么f (x 0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x ); ②求方程f ′(x )=0的根; ③考查f ′(x )在方程f ′(x )=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值. 三.函数的最值 (1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值. (2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值. 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间: (1)3 ()23f x x x =-; (2)2 ()ln f x x x =-. (3))f (x )=2x -x 2. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->,解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时,函数为增函数;当)2 x ∈+∞时,函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<,解得22x - <<.当(22 x ∈-时,函数为减函数.

第2讲第1课时利用导数研究函数的单调性 (1)

第2讲 导数的应用 一、选择题 1.函数f (x )=x ln x ,则( ) A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减 C.在? ????0,1e 上递增 D.在? ?? ??0,1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ln x +1,令f ′(x )>0得x >1e ,令f ′(x )<0 得00. 答案 C 3.已知函数f (x )=12x 3+ax +4,则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f ′(x )=32x 2+a ,当a ≥0时,f ′(x )≥0恒成立,故“a >0”是“f (x )在R 上单 调递增”的充分不必要条件. 答案 A 4.已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数y = f ′(x )的图象如图所示,则该函数的图象是( ) 解析 由y =f ′(x )的图象知,y =f (x )在[-1,1]上为增函数,且在区间(-1,0)

上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢.答案 B 5.设函数f(x)=1 2x 2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范 围是() A.(1,2] B.(4,+∞] C.[-∞,2) D.(0,3] 解析∵f(x)=1 2x 2-9ln x,∴f′(x)=x-9x(x>0), 当x-9 x≤0时,有00且a+1≤3,解得10得x>1. 答案(1,+∞) 7.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则实数a的取值范围是________. 解析f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x =[x2+(2-2a)x-2a]e x, 由题意当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0恒成立, 即x2+(2-2a)x-2a≤0在x∈[-1,1]时恒成立. 令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,

(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数(方程根的个数) 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠,求函数)(x f 的单调区间 解: ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=,因为当0,1a a >≠,所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为:(0)-∞, 变式:已知()x f x e ax =-,求()f x 的单调区间 解:' ()x f x e a =-,当0a ≤时,' ()0f x >,()f x 单调递增 当0a >时,由' ()0x f x e a =->得:ln x a >,()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得:ln x a <,()f x 在(ln )a -∞,单调递增 综上所述:当0a ≤时,()f x 的单调递增区间为:-∞+∞(,),无单调递减区间 当0a >时,()f x 的单调递增区间为:(ln ,)a +∞,递减区间为:(ln )a -∞, 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 (,)上既不是单调递增函数,也不是单调递减 函数,求正整数a 的取值集合 解:2 ()322f x x ax '=+-

利用导数研究函数的单调性之二阶求导型

利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题(题型注释) 1.已知函数ax x xe x f x --=ln )(2. (1)当0=a 时,求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值; (2)若0>?x ,不等式1)(≥x f 恒成立,求a 的取值范围; (3)若0>?x ,不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立,求a 的取值范围. 1.(1) ln 22 e +; (2)2a ≤;(3)11(1)e e a e e ≤---. 【解析】 试题分析:(1)由0=a 时,得出x xe x f x ln )(2-=,则21 ()(21)x f x x e x '=+- ,再求导()f x '',可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数,从而得到函数()f x 的单调性,即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值; (2)由(1)知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数,且00>?x ,使得0()0f x '=,得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ,即022000(2)1x ax x x e =+-,设022000()1ln 2x f x x x e =--,利用函数0()f x 的单调性, 即可求解求a 的取值范围;(3)根据题意,转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立,令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=,所以()g x ',可得出()g x 的单调性,求解出()g x 的最小值,即可a 的取值范围. 试题解析:(1)0=a 时,x xe x f x ln )(2-=,x e x x f x 1)12()(2/-+=∴, 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ,所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数,

导数与函数的单调性练习题

导数练习(三)导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) 21 >2 1 >-2 2.已知函数f (x )=x 2 +2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B.a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 3.函数f (x )=x +9 x 的单调区间为________. 4 函数3 2x x y -=的单调增区间为 ,单调减区间为___________________ 5.确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3-9x 2+24x (2)y =3x -x 3 6.函数y =ln(x 2 -x -2)的单调递减区间为__________. 7.已知y =13x 3+bx 2 +(b +2)x +3在R 上不是单调增函数,则b 的范围为________. 8.已知x ∈R ,求证:e x ≥x +1. 9.已知函数32 ()f x x bx cx d =+++的图象过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为076=+-y x .(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 11.已知函数f(x)=x 3-2 1x 2 +bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b 的取值范围; 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a 的取值范围.

13.已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,求实数a 的取值范围. 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P (0,2),且在点M (-1,)1(-f )处的切线方程076=+-y x ,(1)求函数)(x f y =的解析式;(2)求函数)(x f y =的单调区间。 15.已知函数f (x )=2x -b (x -1) 2,求导函数f ′(x ),并确定f (x )的单调区间. 强化提高题: 16.设f (x )、g (x )是R 上的可导函数,f ′(x ),g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数,且满足f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )<0,则当a f (b )g (x ) B .f (x )g (a )>f (a )g (x ) C .f (x )g (x )>f (b )g (b ) D .f (x )g (x )>f (b )g (a ) 17.若函数y =x 3-ax 2 +4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围是____________. 18.已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为________. . 19.函数y =x 2e -x 的单调递增区间是________. 20 若32 ()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数,则,,a b c 的关系式为是 _______________ 21.若函数y =- 3 4x 3 +bx 有三个单调区间,则b 的取值范围是________.

导数研究函数单调性

导数研究函数单调性 1.函数的导数与单调性的关系 函数y =f (x )在某个区间内可导,则 (1)若f ′(x )>0,则f (x )在这个区间内单调递增; (2)若f ′(x )<0,则f (x )在这个区间内单调递减; (3)若f ′(x )=0,则f (x )在这个区间内是常数函数. 例1(1)函数f (x )=x ·e x -e x +1 的递增区间是( ) A .(-∞,e) B .(1,e) C .(e ,+∞) D .(e -1,+∞) (2)已知函数f (x )=x ln x ,则f (x )的单调递减区间是________. (3)(2020·开封调研)已知定义在区间(-π,π)上的函数f (x )=x sin x +cos x ,则f (x )的单调递增区间是______________________. 例2已知f (x )=a (x -ln x )+2x -1 x 2,a ∈R.讨论f (x )的单调性. 1.函数y =12x 2 -ln x 的单调递减区间为( ) A .(-1,1) B .(0,1) C .(1,+∞) D .(0,+∞) 2. (2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )=1 x -x +a ln x ,讨论f (x )的单调性.

3.已知函数g (x )=ln x +ax 2 +bx ,其中g (x )的函数图象在点(1,g (1))处的切线平行于x 轴. (1)确定a 与b 的关系; (2)若a ≥0,试讨论函数g (x )的单调性. 题型二 已知函数单调性求参 例3 设函数f (x )=13x 3-a 2x 2 +bx +c ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =1. (1)求b ,c 的值; (2)若a >0,求函数f (x )的单调区间; (3)设函数g (x )=f (x )+2x ,且g (x )在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a 的取值范围. 1.在本例第(3)问中,若改为g (x )在(-2,-1)内为减函数,如何解? 2.在本例第(3)问中,若g (x )的单调递减区间为(-2,-1),求a 的值? 3.在本例第(3)问中,若g (x )在(-2,-1)上不单调,求a 的取值范围?

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