多元函数习题
1. 指出下列方程在平面直角坐标系下与空间直角坐标系下分别表示什么几何图形。
（1）2x =；（2）1y x -=；（3）221x y -=. 2. 写出球心为(1,2,2)-，半径为3的上半球面方程. 3. 写出过(1,0,0)，(0,2,0)-，(0,0,2)的平面方程.
4. 设()2
ln ln ln ,ln x x y x y f x x y x x +-?
?= ?+??
，求(),f x y
5. 设(
)(
,ln f x y x =-
（其中0x y >>）
，求(),f x y x y +-. 6. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图.
（1）2
22x y z x y
+=
-；（2
）()2
2
arcsin
ln ln 104z x
y
=+--
7. 证明：当()(),0,0x y →时，()()
4
43
2
4
,x y
f x y x
y
=+的极限不存在.
8. 求下列二元函数的极限 （1）13cos lim
220
1
++→→y x y
e x
y x ；（2）0011lim sin sin x y x y y x →→??
+ ???； （3）
()()
()2
1
21
,2,lim
2y xy
x y xy -+→+；（4）
()()
()()
2
2
2
,0,1sin 1lim
1x y x y x y →??-??
+-.
9. 求下列函数的偏导数和全微分 （1
）ln x
z e =，求x
z '，y z '； （2）arctan
y z x
=，求()0,1x z '，(
)0,1y z '； （3）()ln z x xy =，求
2
2
z x
??，
2
z x y
???；
（4）2
y
z x =，求d z . （5）2
d yz t
xz
u e t =
?
，求
,,
u u u
x y z
?????? 10. 当（）时，极限
()()
(),0,0lim
,x y f
x y →存在.
（A ）对任意实数k ，点(),x y 沿直线y kx =趋于()0,0时，函数极限存在且相等. (B) 当点(),x y 沿无穷多条路径趋于()0,0时，函数极限存在且相等
(C) (),f x y 在点()0,0处可偏导. (D) (),f x y 在点()0,0处可微.
11. 如果函数(),f x y 在()00,x y 处存在偏导数()()0000,,0x y f x y f x y ''==，则(),f x y 在
()00,x y 处（ ）.
（A ）连续 （B ）可微 （C ）有极值 （D ）可能有极值
12. 设()()222
22
22
2
2
1sin 0,00
x y x y x y f x y x y ?++≠?+=?
?+=?
（A ）偏导数不存在（B ）不可微（C ）偏导数存在且连续（D ）可微 注：用全微分定义验证一个可偏导函数的可微性只需要验证
()()00000
,,lim
0x y z f x y x f x y y
ρρ
→''?-?-?=是否成立.
13. 设(),z f x y =在平面有界闭区域D 上具有连续的二阶偏导数，且满足
2
0z x y
?≠??及
2
2
2
2
0z z x
y
??+
=??，则(),z f x y =的（ ）.
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部 （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上
（C ）最大值点在D 的边界上，最小值点在D 的内部 （D ）最小值点在D 的边界上，最大值点在D 的内部 14. 求下列函数的全导数或偏导数 （1）3
arcsin(),3,4z x y x t y t =-==，求d d z t
（2）2ln ,,32x z u v u v x y y
==
=-，求
z x
??，z y
??
15. 设f 为可微函数，求下列函数的偏导数
（1）,x z f x y ??= ?
?
?，求z x ??，z y
??
（2）()222,u f x y z x y z =-++-，求
,,
u u u
x y z
?????? 16. 设()2,sin z f x y y x =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2
z x y
???
17. 证明下列等式
（1）若ln(tan tan tan )u x y z =++，则
sin 2sin 2sin 22u u u x y z x y
z
???+
+
=???
（2）若()()()u y z z x x y =---，则0u u u x
y
z
???+
+
=???
18. 计算下列近似值 （1） 4.051.02
（2）()1tan 0.01ln 1sin 0.02
+--
19. 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数 （1）330z xyz -=，求
z x
??，
z y
??
（2）ln arctan
y x
=，求
2
2
d d y x
（3）
z =，求2
2z x
??
20. 设方程(),,0F x y y z z x ---=确定z 是,x y 的函数，F 是可微函数，求
z x
??
21. 设(),,u f x y z =，()2,,0y x e z ?=，sin y x =，其中f ，?都具有一阶连续偏导数，且
0z
??≠?，求
d d u x
22. 求下列函数的极值
（1）()22
,(2)x
f x y e x y y =++ （2）()3
2
3
2
,f x y x x y y =+-+
23. 求z x y =+，在
111x
y
+
=，0,0x y >>条件下的极值.
24. 求函数()2
,22f x y x xy y =-+在矩形区域(){},03,02D x y x y =≤≤≤≤上的最大
值和最小值.
25. 设某厂生产甲乙两种产品，产量分别为,x y （千只），其利润函数为()2
2
,482415L x y x y x y =--++-，求（1）使利润最大时的产量,x y 和最大利润；
（2）当两种商品产量共6千只时，使利润最大时的产量,x y 和最大利润. 26. 利用二重积分的性质比较下列积分的大小.
（1）()2
d D
x y σ+??与()3
d D
x y σ+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成的
闭区域.
（2）()ln d D
x y σ+??与()2
ln d D
x y σ+??????，其中(){},35,01D x y x y =≤≤≤≤
27. 设(),f x y 连续，且()(),,d d D
f x y xy f x y x y =+
??，其中，D 是由0y =，2
y x =
，
1x =所围成，则(),f x y
28. 设积分区域D ：22116x y ≤+≤，则3d d D
x y ??
29. 设积分区域D ：()2
2
2
x a y a -+≤，d D
x y π=??
，求a
30 求下列二次积分或二重积分的值
（1）()2d d D
x y x y +??，其中D 是由22y x =，21y x =+所围成
（2）()2d d D
x y x y -??，其中D 是由1y =，230x y -+=，30x y +-=所围成
（3）22
d d x y
D
ye
x y ??，其中D 是由0y =，1x =，2x =，1xy =所围成
（4）660
cos d d y
x y x x
π
π
??
（5）()2
2
ln 1d d D
x y
x y ++??，
其中{}2
2
1,0,0D x y x y =+≤≥≥
（6）d ,D
x y ??
其中D 为22
x y Rx +=所包围的闭区域在第一象限中的部分.
（7）2
2
|1|,
D
x y dxdy --?? 其中
D 为圆域22
4x y +≤；
31. 交换下列二次积分的次序 （1）()ln 10d ,d e
x
x f x y y ??
（2）()()14
1
2
d ,d d ,d x x f
x y y x f
x y y -+
?
?
32. 将()22
2
0d d a
y f x y x +?
化为极坐标下的二次积分.
33. 将()cos 20
d cos ,sin d f r r r r π
θ
θθθ??
转换成直角坐标系的二次积分.
34. 计算{}(
)
22
min ,d d x y
D
x y e
x y -+??，D 为全平面
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
多元函数积分-12页精选文档
多元函数积分 1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分 1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分 题型一 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分 类型（一） 计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分 常用下述命题简化计算二重积分. 命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则 （1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有??=D dxdy y x f 0),(； （2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有????=D D dxdy y x f dxdy y x f 1 ),(2),(；其 中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域. 命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则 ?????? ???-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或 命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2. （1）;),(2),(),,(),(1 ????==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若 （2）.0),(),,(),(??=-=--D d y x f y x f y x f σ则若 命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则 ??????+==D D D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则 ?????????-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),( ,0),,(),( ,),(2),(1 类型（二） 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分. 常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算. 命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则
(整理)多元函数微分习题
第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
用MATLAB算多元函数积分
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
多元函数微分学习题
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π， 则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -
答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的 一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可 导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。 答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件
《多元函数微分学》练习题参考答案
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
2多元函数积分学.docx
2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一） 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四） 同数学三
2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区 域；&型简单区域）一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法 儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 儿何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法 曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）； 全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克 斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
多元函数积分的计算方法技巧
第10章 多元函数积分的计算方法与技巧 一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2) D a x b x y x ≤≤≤≤??12()()?1()x ?2()x [,]a b y x f x y d dx f x y dy D a b x x (,)(,)() ()σ??????=12D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ??????=????? ? ??=1212
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 积分限的确定 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与, 这里的、 就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为. 例1计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域. x y D ],[b a x x y D D ))(,(1x x ?))(,(2x x ?)(1x ?)(2x ?x y x [,]a b x x a b xyd D ??σD y x 2=y x =- 2
2.利用极坐标计算二重积分 1、就是极坐标中的面积元素. 2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算. 其中函数, 在上连续. 则 注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值. D y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ?????==???? ??-+-+12 2 212 2 2 212[] =+-=-?12 245 8 2512y y y dy ()rdrd θr →cos θ r →sin θrdrd →θ f x y dxdy D (,)??f r r rdrd D (cos ,sin )θθθ??αθβ?θ?θ≤≤≤≤12()()r ?θ1()?θ2()[,]αβf r r rdrd d f r r rdr D (cos ,sin )(cos ,sin )() () θθθθθθα β ?θ?θ????=12
第八章多元函数微分学自测题答案
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???
=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.
多元函数微分学习题
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式
多元函数微分学练习题
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
(整理)多元函数积分学39918.
第十章 重 积 分 第一节 二重积分的概念与性质 习题A 一．填空与选择 1．比较()2 1D I x y d σ=+??，()3 2D I x y d σ=+??大小 (1)若D 由x 轴，y 轴与直线1=+y x 围成，则在D 上 (2) 若D 由22 (2)(1)2x y -+-=围成，则在D 上 2．设??=I D d y x f ,),(σ若(),1f x y x y =++，区域D 为01x ≤≤，02y ≤≤,则在D 上该积分的估计值为 ． 3．设平面区域D 由直线0=x ，0=y ，2 1 = +y x ，1=+y x 围成，若 ()7 1ln D I x y dxdy =+??????，()7 2D I x y dxdy =+??，()7 3sin D I x y dxdy =+? ????? 则1I ，2I ，3I 之间的关系是___________ ． （A ）321I I I <<； （B ）123I I I <<； （C ）231I I I <<； （D ）213I I I <<． 二． 设),(y x f 在闭区域2 2 22:1x y D a b +≤上连续，求证：00 (,)lim (0,0)D a b f x y d f ab σ π++ →→=?? 习题B 判断 ??≤+≤+1 22 )ln(y x r dxdy y x 的符号. 第二节 二重积分的计算法 （一）利用直角坐标计算二重积分 习题A 一．填空与选择 1．交换积分次序._____________________),(10 =?? y y dx y x f dy 2 ．交换积分次序222220 2 (,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy =+=?? ? ? 若(),f x y xy =，则I = ． 3．_______________2 2 2 =??-x y dy e dx ，1 0sin y x dy dx x ?___________=． 4．交换二次积分??10 x x 2dx f(x,y)dy 的积分次序，它等于( )． (A) ?? 10 y y 2 dy f(x,y)dx (B) ?? 1 y y 2dy f(x,y)dx (C) ??10 x x 2dy f(x,y)dx (D) ??1 y y 2 dx f(x,y)dy
多元函数微分学测试题及答案
第8章 测试题 1、),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值就是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的( )条件. A .充分 B .充分必要 C .必要 D .非充分非必要 2、函数(,)z f x y =的偏导数z x ??及z y ??在点(,)x y 存在且连续就是 (,)f x y 在该点可微分的( )条件. A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 3、 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+,则点(0,0) 就是( ) A 不就是(,)f x y 连续点 B 不就是(,)f x y 的极值点 C 就是(,)f x y 的极大值点 D 就是(,)f x y 的极小值点 4、 函数2 2 2 24422,0 (,)0,0 x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0,0)处( C ) A 连续但不可微 B 连续且偏导数存在 C 偏导数存在但不可微 D 既不连续,偏导数又不存在 5 、二元函数22((,) (0,0),(,)0,(,)(0,0) ? +≠?=??=?x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A )、 A.可微,偏导数存在 B.可微,偏导数不存在 C.不可微,偏导数存在 D.不可微,偏导数不存在 6、设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数、 则=??2 2y z ( )、 (A)222y v v f y v y v f ?????+??????; (B)22 y v v f ?????; (C)22222)(y v v f y v v f ?????+????; (D)22 22y v v f y v v f ?????+?????、
第八讲 多元函数积分学知识点
第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
多元函数积分学
多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义：曲顶柱体的体积 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式：x 型、y 型、极坐标（2 2 y x +） 常见计算类型： ① 选择积分顺序：能积分、少分块 ② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内 ⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”：dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证：令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- （奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 （了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）
③ 令其中一个x 变成y ，构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 （极坐标系?直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分?二次积分，了解广义定积分） （此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = ）
多元函数积分的计算方法与技巧
.多元函数积分 二重积分的计算方法与应用。 （一）在作二次积分时，首先是把一个自变量看成是一个参数，而不是看成变量，这样第一步是作单变量函数的定积分，然后得到一个包含第二个变量的表达式，再对第二个变量求定积分，这样就得到了二重积分的值。这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的，也就是说，假设函数的积分区间，是由曲线 和，x=a ，x=b 所围成的区域，那么f 在这个区域上的二重积分为 （二）另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法，是在极坐标下，通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。 一般公式就是 三重积分及其应用与计算。 在这两种坐标里计算多重积分，首先是给出分别在这些坐标系里的体积微元的表达式： 在圆柱坐标系里是； 在球面坐标系里是。 因此可以分别得到在这两个坐标系里的三重积分的计算公式： 在圆柱坐标系里是； 在 球 面坐标系 里是 )(1x y y =) (2x y y ==??=??)()(21),(),(x x b a D y y dy y x f dx dxdy y x f ??)()(21),(x x b a y y dx y x f dy ??=??) ()(21 )sin ,cos (),(θθβ αθθθσr r rdr r r f d d y x f D dz rdrd dv θ=αθαd drd r dv sin 2 =???=???Ω Ω dz rdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(???=???Ω Ω α θααθαθαd drd r rcoa r r f dv z y x f sin ),sin sin ,cos sin (),,(2
多元函数微分学自测题
第九章多元函数微分学自测题 一、 填空题 1．已知22),(y x x y y x f -=+ ，则f(x ,y)= （ ）。 2．) sin(11lim 00xy xy y x -+→→=（ ）. 3．设xy y x z -+=1arctan ，则y x z ???2＝（ ）. 4． 设函数x y z arctan =,则dz ＝（ ）． 5.由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z =z （x ,y ）,在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ ）． 6.y xe z 2=在点)0,1(1M 处沿从点)0,1(1M 到点)1,2(2-M 的方向的方向导数（ ）． 7.设z =),(y x f 具有一阶连续偏导数，则梯度grad ),(y x f =（ ）．； z =),(y x f 沿梯度方向的方向导数为（ ）． 。 8． 设函数),(y x z z =由函数y z z x ln =确定，则x z ??＝（ ）． 9. 求球面62 22=++z y x 在点（1，2，1）处的切平面方程（ ）． 10 函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值点有（ ）． 二、 单项选择题 1. 设2y z x e u -=，则z u ??＝（ ） A. 2y z x e --； B.2y z x xe --； C. 22y z x e y x --； D. 22y z x e y x - ２．二元函数),(),(00y x y x f z 在点=可导（偏导数存在）与可微的关系是（ ）． A. 可导必可微； B. 可导一定不可微 ； C.可微不一定可导； D.可微必可导． 3．函数其它)0,0(),(0),(22≠???=+y x y x f y x xy 在（0，0）处 （ ）