考点回顾平面向量是高中数学的三大数学工具之一

/ 5 考点回顾平面向量是高中数学的三大数学工具之一，同时具有代数的运算性和几何的直观性．向量是数形结合的典范，是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点．准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，这样才能较好地解决这类问题． 向量中的最值问题是向量的一大亮点，学生在解决这类问题时，总存在着一定的心里和思维方面的障碍.因此，解决好向量中的最值问题，不仅可以提高学生分析问题和解决问题的能力，而且可以提高学生的数学应用能力和数学综合能力.本文想就向量中的最值问题的几个类型和解题策略，通过几个具体实例加以归纳，以供参考. 向量知识已经进入中学数学教材，由于向量融数、形于一体，因而成为中学数学知识的一个交汇点．向量作为一种工具，为解决中学数学问题提供了新的思路，进一步拓宽了思维渠道，下面归纳分析平面向量在中学数学中的一些妙用． 向量是数学中的重要概念，并和数一样也能运算（与实数运算有着完全不同的运算法则）．向量的广泛应用（几何性质和代数运算功能）决定了它是现代数学的基本工具，用它能有效地解决数学、物理中的许多问题．处理向量问题要重视数形结合，要重视向量运算的几何意义，不可忽视向量加减法运算法则的逆向思维, 向量》这一章内容包括向量及其运算、解斜三角形两大块内容。而事实上，解斜三角形这一块内容只是以 向量，想说爱你不容易！ 顾志峰 江苏省南通高等师范学校 摘要：本文用四种不同的方法对一道向量题给出证明，其中前两种是运用平面几何的有关知识来解决，后两种是用待定系数法借助同一向量的不同表示得到解决。从某种角度说明学生对运用向量解题比较陌生，有点想说爱你不容易的感觉。 关键词：向量 平面向量基本定理 待定系数 笔者在介绍完平面向量的基本定理后，让学生完成书本【全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）】P109例5：如图一， OAOB、不共线，()APtABtR=，用 OAOB、表示OP。大都数同学能很容易地求得结果(1-)OPtOAtOB。而后，笔者提供这样一道向量题：如图二，在△ABC中，,ABa,ACb,APc,ADma,AEnb其中0,1mn，试用a与b表示c。

/ 5 图一 图二 多数学生在解答时遇到麻烦，感觉条件虽然比较多，却无从下手，随意拼凑一些条件，经常出现代入某些量后表达式两边相互抵消的情况。于是笔者启发学生，能否把问题化规为熟悉的模型。（几分钟过后） 生1：如图三，在△ADC中，若能求出比值D

PDC（记为t），则(1)APtADtAC 生2：如图四，在△ABE中，若能求出比值BPBE（记为t），则(1)APtABtAE 图三 图四 问题的关键是求出比值DPDC（或BPBE），有的学生借助平面几何的相关知识得到下面两种解法： 方法一：如图五，在△ADC中，直线BP交三条边分别为BPE、、，由梅涅劳斯定理得 1ABDPCEBDPCEA ∴1111DPnmPCn ∴(1)1DPnmPCn ∴(1)1DPnmmnDC，把比值记为t，则 (1)(1)(1)11mnnmAPtABtACabmnmn 图五 图六

/ 5 方法二：如图六，过点D作//DGACBEG交于点，则在△ABE中， 1,1DGBDmAEnbAEBA， ∴(1)DGmnb， (1)1DPDGmnPCECn ∴(1)1DPmnmnDC，把比值记为t，则 (1)(1)(1)11mnnmAPtADtbabmnmn 说明：方法一利用平面几何中的梅涅劳斯定理，得到比值DPPC，从而得到比值DPDC，方法二是利用平面几何中平行线的有关理论，通过构造辅助线DG，把所求有向线段的比值DPDC与已知的（有向）线段长度相联系，得到比值DPDC，进而得解。 有的学生看了上面的证明方法，认为依赖平面几何知识较多，问能否只运用平面向量知识来求解？经过师生的共同努力，有找到了如下两种解法： 方法三：设,,BPDPBEDC则 ()(),()(),()()BPBEAEABnbaPCDCACADbmaBCBPPCnbmaBCACABba又 ∴11nm ∴11mmn ∴1(1)(1)()111mmnnmAPABBPanbaabmnmnmn 事实上，如果BPBE的值求出的话，则P分有向线段BE的比也可求得，所以可用平面向量的定比分点公式求解。于是得 方法四：设点P分有向线段BE的比为，点P分有向线段DC的比为，则由平面向量的定比分点公式得 1111ABAEanbAPADACmabAP ∴ 11111mn ∴1(1)mmn ∴ (1)(1)11mnnmAPabmnmn

/ 5 说明：方法三、方法四运用得都是待定系数法，借助平面向量得有关知识尤其是同一个向量放在不同的两个三角形中考虑，利用向量相等的充要条件，得到相应参数，的值，进而得解。 总结：学生在经历了上述四种证法的证明过程后，认识到平面几何知识对平面解析几何知识的重要性，更加深了对平面向量的基本定理的理解，同时也深刻地认识到数学思想方法如转化思想，划归思想在解题中的重要地位。 巩固：在△OAB中，G为重心，直线PQ经过点G，交边,OAPOBQ于于，设11,,OPmOAOQnOBmn求的值。 （3） 平面向量与几何的交汇综合 二、 平面向量与平面几何的交汇 例3在△的边，上分别取点M，N，使|OM|∶|1∶3，||∶|1∶4，设线段与交于点P，记，，试用a，b表示向量. 解因为共线,所以可记, 则=111=113(1)=113(1)a,① 同理，记,则=114(1)b.② 因为不共线，所以由①②得113(1), 114(1), 解得92,83, 所以=311211b. 点评结合图形将点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技

巧之一.平面向量基本定理是向量中的重要定理之一，利用该定理可得到关于参数的方程. 例4已知|1，|3，?=0，点C在∠内，且∠30°，设OC+n(∈R)，则. 解方法一（向量法）因为?=0,所以∠90°,所以∠60°. 于是OC?=|OC|||30°.又因为OC?|2?, 所以32|OC|. 同理可得，332|OC|, 两式相除得m31,所以3. 点评向量变形时要注意将向量的几何意义与平面几何性质相结合. 方法二（几何法）依题意知，点C在△的高上，所以60°，即3. 点评深刻理解向量的平行四边形法则，并注意图形的特殊性，通过解直角三角形来解决问题.另外，本题也可以用坐标法（给，赋以坐标），这里不再赘述，有兴趣的同学可以自己研究一下. 点拨归纳平面向量与平面几何的交汇试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查了平面几何知识，同时考查了向量知识在平面几何问题中的运用. 巩 固 练 习 1. 设i，j分别是x轴轴正方向上的单位向量，且=42j，=74j，=36j，则四边形的面积是. 2. 如右图，在△中，OC=14，=12，与交于点M，设，. （1） 用表示; （2） 在线段上取一点E，在线段上取一点F，使过点M，设，，求证：17371. 3. 在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线34相切．

/ 5 （1） 求圆O的方程； （2） 圆O与x轴相交于两点，圆内有一动点P，满足线段, , 成等比数列，求?的取值范围.