河北师大点集拓扑第六章教案

第六章 分离性公理

一、教学目的与要求

本章要求学生掌握的概念有：, ，，, , , 正则, 正规, 完全正则空间。在本章还要求学生掌握：, ，正则, 正规空间的充要条件、空间的性质、完全正则空间判定定理和Tychonoff 定理、所有分离性公理都是拓扑不变性质，且都不是可商性质、分离性公理中除了正规和都是可遗传性质和（有限）可积性质，Urysohn 嵌入定理、Tychonoff 定理、可分可度量化空间的充要条件、完全正则也是有限可积性质、各种空间的典型例子。

0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 0T 1T 2T 4T 二、教学重点与难点

本章教学重点：, ，，, , , 正则, 正规,完全正则空间的概念和, ，正则, 正规空间的充要条件, 完全正则空间判定定理和Tychonoff 定理。

0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 0T 1T 教学难点：Urysohn 嵌入定理。

三、课时安排与教学方法 教学内容 （计划／实际） 课时数 课程类型／

教学方法

6.1 , 、Hausdorff 空间 0T 1T 2／2

理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3选讲) 3T 4T 2／2

理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间 1／2

理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间2／2

理论／讲授6.6 可度量化空间

1／2 理论／讲授

四、教学过程

§6.1 ，T ，Hausdorff空间

01T 在第二章中曾提出来什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．读者将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的但不完全的回答． 定义6.1.1 设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果,,x y X x y ∈≠, 则或者x 有一个开邻域U 使得y U ?,或者有一个开邻域V 使得y x V ?)，则称拓扑空间X 是一个0T 空间．

注：拓扑空间未必都是0T 空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是0T 空间． 定理 6.1.1 拓扑空间X是一个0T 空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包．(即如果,,x y X x y ∈≠,则{}{}x y ≠.)

证明: 充分性:设定理中的条件成立．则对于任何,,x y X x y ∈≠，由于{}{}x y ≠，因此或者{}{}0x y ?≠成立，或者{}{}0y x ?≠成立．当前者成立时，必定有{}x y ?．（否则{}{}x y ?,从而{}{}x y ?,于是{}{}0x y ?=）这推出x 有一个不包含的开邻域y '{}y ?．同理，当后者成立时，y 有一个不包含x 的开邻域'{}x ?．这证明X 是一个0T 空间． 必要性:设X 是一个0T 空间．若,,x y X x y ∈≠，则或者x 有一个开邻域U 使得x U ?或者有一个开邻域V 使得．若属前一种情形，由于y y V ?{}U y ∩=?,得{}x y ?,即{}{}x y ≠,若属后一种情形，同样也有{}{}x y ≠．

定义6.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X 是一个1T 空间．

1T 空间当然是0T 空间．但反之不然．例如设{0,1}X =，T {,{0},}X =?,则T 是X 的一个拓扑，并且拓扑空间(X ,T )是0T 的但不是1T 的．

定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：

（1）X 是一个1T 空间；

（2）X 中每一个单点集都是闭集；

（3）X 中每一个有限子集都是闭集．

证明: (1)蕴涵(2)．设x X ∈．当X 是一个1T 空间时，对于任何,y X y x ∈≠,点x 有一个邻域U 使得x U ?,即{}U x ∩=?, 因此, {}y x ?,从而, {}{}x x =.这证明单点集{}x 是一个闭集．

(2)蕴涵(3)．因为有限个闭集的并仍然是闭集.

(3)蕴涵(1)．设,,x y X x y ∈≠, 当(3)成立时单点集{}x 和都是闭集．从而{}y '{}x ,'{}y 分别是和y x 的开邻域，前者不包含x ，后者不包含．这就证明了y X 是一个1T 空间.

下面的两个定理表明，1T 空间中关于凝聚点和序列收敛的性质和我们在数学分析中熟知的多了一些类似之处．

定理6.1.3 设X 是一个1T 空间．则点x X ∈是X 的子集A 的一个凝聚点当且仅当x 的每一个邻域U 中都含有A 中的无限多个点,即U A ∩是一个无限集．

证明: 定理充分性部分是明显的．以下证明必要性部分．假设x X ∈, ()x d A ∈．如果x 有一个开邻域U 使得U 是一个有限集，则集合A ∩{}B U A x =∩?也是一个有限集，因此是一个闭集．因此U 是一个开集，并且是B ?x 的一个邻域．此外易见.这蕴含着()({x })U B A ?∩?=?x 不是A 的凝聚点,与假设矛盾．

定理 6.1.4 设X 是一个1T 空间．则X 中的一个由有限个点构成的序列{}i x (即集合{i }x i Z +∈是一个有限集)收敛于点x X ∈当且仅当存在使得0N >i x x =对于任何i N 成立．

≥

证明: 由于X 是一个1T 空间，集合{,1,2,3,i i A x x x i =≠="}是一个有限集，所以是一个闭集．从而是'

A x 的一个开邻域．于是存在0N >使得当i N ≥有'i x A ∈, 因而i x x =.

定义6.1.3 设X 是一个拓扑空间．如果X 中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交(即如果,,x y X x y ∈≠,则点x 有一个开邻域U ，点有一个开邻域V ，使得U V y ∩=?)，则称拓扑空间X 是一个Hausdorff空间，或空间． 2T Hausdorff空间一定是1T 空间，但反之不然．

例6.1.1 非Hausdorff的1T 空间的例子．

设X 是一个包含着无限多个点的有限补空间．由于X 中的每一个有限子集都是闭集，因此它是一个1T 空间．然而在拓扑空间X 中任何两个非空的开集一定会有非空的交．这是因为X 中每一个非空开集都是X 中的有限子集的补集，而X 又是一个无限集的缘故．由此易见X 必然不是一个空间．

2T 定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．

证明: 设{}i x 是Hausdorff 空间X 中的一个序列，并且有1lim i i x y →∞

=, 2lim i i x y →∞=,12y y ≠.于是对于点1,2,j =j y 有一个开邻域j V , 使得12V V ∩=?．故存在0j N >,使得当j i N ≥j 时有i x V ∈．任意选取12max{,}M N N >．可见1M 2x V V ∈∩，故, 这是一个矛盾．

12V V ∩≠? 但在1T 空间中定理6.1.5却可以不成立．例如设拓扑空间X 如例6.1.1中所述，{}i x 是X 中的任何一个由两两不同的点构成的序列，即当i j ≠时有i j x x ≠.此时对于任何和的任一邻域U ,由于U 的补集是一个有限集，所以存在使得当y X ∈y 'U 0N >i N ≥时有i x U ∈．于是lim i i x y =→∞

．也就是说，序列{}i x 收敛于X 中的任何一个点． 作业: P162: 2；5；10；11；12.

§6.2 正则，正规，T , T 空间

34 我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．

定义6.2.1 设X 是一个拓扑空间，,A U X ?．如果A 包含于U 的内部，即，则称集合U 是集合D

U A ?A 的一个邻域．如果U 是A 的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U 是A 的一个开（闭）邻域．

定义6.2.2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域,它们互不相交(即如果x X ∈和A X ?是一个闭集, 使得x A ?, 则存在x 的一个开邻域U 和A 的一个开邻域V 使得U V ∩=?), 则称拓扑空间X 是一个正则空间．

定理6.2.1 设X 是一个拓扑空间．则X 是一个正则空间当且仅当对于任何点x X ∈和x 的任何一个开邻域U ，存在x 的一个开邻域V 使得V U ?．

证明: 必要性 设X 是一个正则空间．如果x X ∈，集合U 是x 的一个开邻域，则U 的补集便是一个不包含点'U x 的闭集．于是x 和分别有开邻域,使得

．从而，所以 .

'U 1U 1V 11U V ∩=?'1U V ?''1U V V U ???=? 充分性 设x X ∈和A 是一个不包含x 的闭集．这时A 的补集是'A x 的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x 的开邻域U 使得'U A ?．令'V U ?=, 则有V , 所以V 是A ?A 的一个开邻域，并且易见U V ∩=?．这证明X 是一个正则空间． 定义6.2.3 设X 是一个拓扑空间．如果X 中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果,A B X ?都是闭集，则存在A 的一个开邻域U 和B 的一个开邻域V 使得U V )，则称拓扑空间∩=?X 是一个正规空间．

定理6.2.2 设X 是一个拓扑空间．则X 是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X ?和A 的任何一个开邻域U , 存在A 的一个开邻域V 使得V U ?．

证明: 证明类似于定理6.2.l，请读者自己写出．

正则、正规性质与§6.l 中定义的,以及Hausdorff 诸性质之间并无必然的蕴涵关系．

0T 1T 例6.2.1 正则且正规的空间但非空间（因而也是非，非Hausdorff 空间）的例子． 0T 1T 令和T ．容易验证({1,2,3}X ={{1},{2,3},,}X =?X ，T )是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间．留意点2和点3立即可见它不是一个空间．

0T 例6.2.2 Hausdorff 空间（因而也是,空间）但非正则空间、也非正规空间的例子．(略)

0T 1T 拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系．

例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X ，T )，其中{1,2,3}X =和T .

{{1},{2},{1,2},,}X =? 定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．

1T 3T 1T 4T 由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空间一定是Hausdorff 空间．而非空间的一个例子（它自然也是正则而非正规空间的例子）可见于习题第6题．

1T 4T 3T 3T 3T 4T 最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义（指至，以及正则正规等）．为此，我们只要证明：

0T 4T 定理6.2.3 每一个度量空间都是4T 空间．

证明: 设(,)X d 是一个度量空间．如果,,x y X x y ∈≠，则.令(,)0d x y >(,)d x y ε=，则球形邻域(,)2B x ε和(,)2B y ε分别是x 和y 的开邻域，并且易见它们无

交．因此X 是一个Hausdorff 空间，自然它也是空间． 1T 现在设A 和B 是X 中的两个无交的闭集．假如A 和B 中有一个是空集，例如．这时我们可以取B =?X 为A 的开邻域，?为B 的开邻域，它们的交当然是空集．以下假定A 和B 都不是空集．根据定理2.4.9，对于,x y X ∈，如果x B ?，则；如果，则．记(,)0d x B >y A ?(,)0d y A >(,)B ()2d x x ε=,(,)()2

d x A x δ=

并且令

显然U 和V 分别是A 和B 的开邻域．以下证明U V ∩=?． 若不然U V , 设∩≠?z U V ∈∩, 因为z U ∈, 所以存在1x A ∈,使得1(,)()d z x x 1ε<, 因为z V ∈, 所以存在1y B ∈,使得d z 11(,)()y y δ<1. 不失一般性，设1()()x y εδ≥, 于是我们有

这与的定义1(,)d x B 11(,)inf{(,)}d x B d x y y B =∈矛盾．这就证明了X 是一个正规空间．

作业: P167 1；2；6.

§6.3 Urysohn 引理和Tietze 扩张定理

定理6.3.1 [Urysohn引理]设X 是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X 是一个正规空间当且仅当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射:[,]f X a b →使得当x A ∈时()f x a =和当x B ∈时()f x B ∈．

定理6.3.2 4T 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．

证明: 设C 是空间4T X 中的一个连通子集．如果C 不只包含着一个点，任意选取，,,x y X x y ≠∈, 对于空间4T X 中的两个无交的闭集{}x 和{，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射使得}y :[0,f X →1]f x f y ()0,()1==． 由于C 是X 中一个连通子集，因此()f X 也连通．由于0,1()f X ∈，因此()[0,1]f X =．由于[0,1]是一个不可数集，因此C 也是一个不可数集．

定理6.3.4(Tietze 扩张定理) 设X 是一个拓扑空间,[a,b]是一个闭区间,则X 是一具正规空间当且仅当对于X 的任何一个闭集A 和任何一个连续映射:[,]f A a b →有一个连续映射:[,]f X a b →是f 的扩张.

作业: P175 1；2.

§6.4 完全正则空间，Tychonoff 空间

定义6.4.1 设X 是一个拓扑空间．如果对于任意x X ∈和X 中任何一个不含点x 的闭集B ,存在一个连续映射使得:[0,f X →1]()0f x =以及对于任何有,则称拓扑空间y B ∈()1f y =X 是一个完全正则空间．

完全正则的空间称为Tychonoff空间，或1T 3.5T 空间．

定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间．

证明：设X 是一个完全正则空间．设x X ∈，B 是X 中的一个不含点x 的闭集．则存在连续映射，使得:[0,f X →1]()0f x =和对任何y B ∈有()1f y =.于是1

1([0,])2

f ?和11([,1])2f ?分别是点x 的闭集B 的开邻域，并且它们无交．这表明X 是一个正则空间．

注：根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff 空间都是空间．根据Urysohn 引理也容易看出，每一个空间都是Tychonoff 空间，但反之不真，有关的例子可以参见§

6.2习题第5题．

3T 4T 定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间．

证明：设X 是一个既正则又正规的空间．设x X ∈，B 是X 中的一个不包含点x 的闭

集.由于X 是一个正则空间，

根据定理6.2.l，点x 有一个开邻域U 使得'U B ?．令A U =则A 和B 是X 中无交的两个闭集．由于X 是一个正规空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射使得对于任何:[0,f X →1]y A ∈有()0f y =和对于任何有. 由于y B ∈()1f y =x A ∈，故，这就证明了()0f x =X 是一个完全正则空间．

定理6.4.3[Tychonoff定理] 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间．

证明: 设X 是一个正则的Lindeloff 空间．设A 和B 是X 中的两个无交的闭集．对于每一个x A ∈，由于x B ?，根据定理6.2.1可见，存在x 的一个开邻域x U 使得'x U B ?即x U B ∩=?．集族{}x U x A ∈是闭集A 的一个开覆盖．由于Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间（参见定理5.3.4），易见A 的开覆盖{x U x A ∈}中有一个可数子族，设为{}，仍然覆盖i i Z U +∈A ．对于每一个i Z +∈,有i U B ∩=?．同理，集合B 也有一个可数开覆盖{}, 对于每一个i i i Z V +∈Z +∈,有i V A ∩=?．

现在，对于每一个，令

n Z +∈

显然, 都是开集．对于任何n U ?n V ?,m n Z +∈，

因为若设m ，则有

n

≤

令

它们都是开集，并且

现在只剩下证明A U ??和B V ??了．失一般性,我们验证前者：如果x A ∈，则存在使得n Z +∈n x U ∈．另一方面，由于诸i V 与A 无交，所以对于任意i Z +∈,有i x V ??,因此

n

x U ?∈, 于是x U ?∈. 注: §6.1，§6.2和本节中定义的,,2T （即Hausdorff），,（即Tychonoff），以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理．现将满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴涵关系列为以下图表．

0T 1T 3T 3.5T 4T

作业: P178 1；2

§6.5 分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间

本章中提到的所有的分离性公理有,,2T （即Hausdorff），,5T （即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去做．

0T 1T 3T 3.4T 定理6.5.1 设X 和Y 是两个同胚的拓扑空间．如果X 是一个完全正则的空间，则Y 也是一个完全正则的空间．

证明: 设是一个同胚．对于:h X Y →Y 中的任意一个点和任何一个不包含点x 的闭集B ，和分别是1()h x ?1()h B ?X 中的一个点和一个不包含点的闭集．由于1

()h x ?X 是一个完全正则空间,故存在一个连续映射使得和对于任何:[0,1]→f X 1(())0f h x ?=1()y h B ?∈有()1f y =．于是连续映射1g f h ?=D : ，满足条件：和对于任何有．

[0,1]Y →()0g x =z B ∈()1g z = ,,(即Hausdorff)，,(即Tychonoff)以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．

0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．

证明: 设X 是一个正则空间，Y 是X 的一个子空间，设y Y ∈和B 是Y 的一个闭集

使得．首先，在y B ?X 中有一个闭集i B

使得i B Y B ∩=．因此i y B ?．由于X 是一个正则空间，所以y 和i B 分别在X 中有开邻域（对于拓扑空间X 而言）i i ,U V 使得i i U V ∩=?．令

, i U U Y =∩i V V Y =∩，它们分别是和y B 在子空间Y 中开邻域，此外易见U V . ∩=? ,,(即Hausdorff)，,(即Tychonoff)以及正则都是有限可积性质，证明(略). 正规和不是有限可积性质．

0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．

例6.5.1 由于实数空间R 是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R 中给出一个等价关系～使得对于任意,x y R ∈, ~x y 的充分必要条件

是或者；或者；或者,(,0x y ∈?∞])),(0,1x y ∈,[1,x y ∈+∞．

将所得到的商空间记为Y ．换言之，Y 便是在实数空间中分别将集合(,0A ]=?∞，(0,1)B =和[1,)C =+∞各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上{,,}Y A B C =．容易验证的拓扑便是Y {,{,A },{},{,},}B B B C Y ?．考察点A 和点B 可见，Y 不是空间，因此也不是(即Hausdorff)，,(即Tychonoff)，以及空间．此外，考察两个单点闭集{1T 2T 3T 3.5T 4T }A 和{可见，}C Y 既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y 是一个空间．

0T 上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R 的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例

6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．

0T 0T 作业: P182 1；4；5.

§6.6 可度量化空间

先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．

定理6.6.1[Urysohn嵌入定理] 每一个满足第二可数性公理的3T 空间都同胚于Hilbert空间H 的某一个子空间．

证明(略)

定理6.6.2 Hilbert空间H 是一个可分空间．

证明(略)

定理6.6.3 设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：

(1) X 是一个满足第二可数性公理的空间；

3T (2) X 同胚于Hilbert空间H 的某一个子空间；

(3) X 是一个可分的可度量化空间．

证明: (1)蕴涵(2)．此即定理6.6.1.

(2)蕴涵(3)．由于Hilbert空间H 是一个可分的度量空间，而可分的度量空间的每一个子空间都是可分的度量空间(参见推论5.2.5)，与一个可分的度量空间同胚的拓扑空间是可分的(参见§5.2习题第4题)，也是可以度量化的(参见§2.2习题12)．

(3)蕴涵(1)．可分的度量空间满足第二可数性公理参见定理5.2.4)，可度量化空间是一个空间(参见定理6.2.3)．因此更是一个空间．

4T 3T 作业:

P180 1；3.

§6.7 练习题及答案

一 选择

1、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ?∈≠,均有{}{}x y ≠,

则X 是( )

① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对

0T 1T 2T 答案：①

2、设，{1,2}X ={,,{1}}X φ=T ，则是( )

(,)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对

0T 1T 2T 答案：①

3、设，{1,2}X ={,,{2}}X φ=T ，则(,是( )

)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 道路连通空间

0T 1T 2T 答案：①

4、设，{1,2,3}X ={,,{1}}X φ=T ，则是( )

(,)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对

0T 1T 2T 答案：④

5、设，{1,2,3}X ={,,{23}}X φ=，T ，则(,是( )

)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对

0T 1T 2T 答案：④

6、设，{1,2,3}X ={,,{13}}X φ=，T ，则(,是( )

)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对

0T 1T 2T 答案：④

7、设，{1,2,3}X ={,,{12}}X φ=，T ，则是( )

(,)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对

0T 1T 2T 答案：④

8、设，{1,2,3}X ={,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则是( )

(,)X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对

0T 1T 2T 答案：①

9、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，

则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间

1T 4T 答案：③

10、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，

则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间

1T 4T 答案：③

11、设X 是一个拓扑空间，

若对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间

1T 4T 答案：①

12、设X 是一个拓扑空间，

若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（ ）

①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间

1T 4T 答案：②

13、设，{1,23}X =，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,是( )

)X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间

0T 1T 2T 答案：④

14、设，{1,23}X =，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,是( )

)X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间

0T 1T 2T 答案：④

15、设，{1,23}X =，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,是( )

)X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正则空间

0T 1T 2T 答案：④

16、设，{1,23}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,是( )

)X T ①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间

2T 4T 答案：④

17、设，{1,23}X =，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,是( )

)X T ①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间

2T 4T 答案：④

18、设，{1,23}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,是( )

)X T ①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间

2T 4T 答案：④

二 填空

1、设X 是一个拓扑空间，如果

则称X 是一个空间;

0T 答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点

2、设X 是一个拓扑空间，如果

则称X 是一个空间;

1T 答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另

一点

3、设X 是一个拓扑空间，如果

则称X 是一个空间;

2T 答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交

4、正则的空间称为 1T ；

答案：空间

3T 5、正规的空间称为 1T ；

答案：空间

4T 6、完全正则的空间称为 1T ；

答案：空间或Tychonoff 空间

3.5T 三 判断

1、设，{1,2,3}X ={,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则是空间.( )

(,)X T 3T 答案：×

理由：因为{1是,3}X 的一个闭集，对于点２和{1没有各自的开邻域互不相交，所以,3}X 不是正则空间，从而不是空间.

3T 注：也可以说明X 不是空间．

1T 2、 设，{1,2,3}X ={,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,是空间.( )

)X T 3T 答案：×

理由：因为{2是,3}X 的一个闭集，对于点１和{2没有各自的开邻域互不相交，所以,3}X 不是正则空间，从而不是空间.

3T 注：也可以说明X 不是空间．

1T 3、设，{1,23}X =，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则是空间.( )

(,)X T 1T 答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是 空间．

1T 注：也可以考虑点２和点３.

4、设，{1,23}X =，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则是空间.( )

(,)X T 4T 答案：×

理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是 空间．

故是空间.

1T (,)X T 4T 注：也可以考虑点２和点３.

5、空间一定是空间.（ ）

3T 2T 答案：√

理由：因为空间是正则的空间，所以对于空间3T 1T 3T X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{是}y X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域使得U V ,U V φ∩=，所以X 是空间.

2T 6、空间一定是空间.（ ）

4T 3T 答案：√

理由：因为空间是正规的空间，所以对于空间4T 1T 4T X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域使得,U V U V φ∩=，这说明X 是正则空间，因此X 是空间.

3T 7、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ∪是一个紧致子集.( )

答案：√

理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ∪的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致子

集，从而存在A 的有限子族 A 1

A 2 分别是A 和

B 的覆盖，故1∪2A A 是A 的有限子族且覆盖A B ∪，所以A B ∪是紧致子集.

8、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )

答案：√

理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ?，则

易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.

四 简答

1、 设X 是一个空间，试说明1T X 的每一个单点集是闭集.

证明：对x X ?∈，

由于X 是空间，从而对每一个1T ,y X y x ∈≠，点有一个邻域U 使得y x U ?，即{}U x φ∩=，故{}y x ?，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.

2、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个空间.

1T 证明：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x ′和{分别是}y ′y 和x 的开邻域，并且有{}x x ′?,{}y y ′?.从而是一个空间.

X 1T 3、设(,是一个空间，)X T 1T ∞是任何一个不属于X 的元素.令和，试说明拓扑空间是一个空间.

*

{}X X =∪∞*X =∪*T T {}*(,)X *T 0T 证明：对任意*

,,x y X x y ∈≠,若x ,都不是y ∞，则,x y X ?.由于 是一个空间，从而X 1T ,x y 各有一个开邻域,使得,U V ,x V y U ??;若x ,中有一个是∞，不妨设y x =∞,则y 有开邻域X 不包含∞.由以上的讨论知，对*

X 中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X 是空间.

0T 4、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个

开邻域V ,使得V U ?.

证明： 对x X ?∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U ′是一个不包含点x 的

一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U ′分别有开邻域V 和,使得W V W φ∩=，因此V ，所以W ′?V W W U ?′′?=?.

5、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都

存在A 的一个开邻域V ,使得V U ?.

证明：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U ′是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U ′分别有开邻域V 和,使得V W W φ∩=，因此，所以V W ′?V W W U ′??′?=.

6、设X 是一个空间,1T A X ?,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都含有A 中的无限

多个点.

证明：设()x d A ∈，

若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =∩?,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B ?是一个开集且是x 的一个开邻域.又易知()({})U B A x φ?∩?=,从而()x d A ?，矛盾.故U 含有A 中的无限多个点.

7、设X 是一个空间,1T A X ?,()x d A ∈,证明：

对x 的每一个邻域U 有U 是无限集. A ∩证明：设()x d A ∈，

若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =∩?,则B 是一个有限集，

从而B 是一个闭集，故U B ?是一个开集且是x 的一个开邻域. 又易知()({})U B A x φ?∩?=,从而()x d A ?，矛盾.故U A ∩是无限集.

8、设{}i x 是空间2T X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一.

证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞

=,其中12y y ≠，由于X 是空间，故2T 1y 和2y 各自的开邻域，使得U V ,U V φ∩=.因1lim i i x y →∞

=，故存在，使得当时，10N >1i N >i x U ∈；同理存在，使得当时，20N >2i N >i x V ∈. 令,则当i 时，12max{,}N N =N N >i x U V ∈∩，从而U V φ∩≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯一.

9、设X 是一个拓扑空间，证明X 是hausdorff 空间当且仅当积空间X X ×的对角线

{(,)|}x x X X x X Δ=∈×∈是一个闭集.

证明：充分性：对任意,,x y X x y ∈≠，于是(,)x y ′∈Δ,由于Δ是闭集，所以是开集，从而有′ΔX 的开邻域使得,U V (,)x y U V ′∈×?Δ，于是分别是,U V ,x y 的开邻域,且U V φ∩=，从而X 是Hausdorff 空间.

必要性：若X 是hausdorff 空间，对(,)x y ′?∈Δ，则x 和y 分别有开邻域，使得U V ,U V φ∩=，从而(,)x y U V ′∈×?Δ，由于U V ×是X X ×中的开集，所以是其每一点的邻域，故是开集，从而′Δ′ΔΔ是闭集.

10、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的

闭子集.

证明：对于x A ′?∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设，则是1()W f U V ?=∩W x 的开邻域，并且x W A ′∈?,故A ′是开集，从而A 是闭集.

11、设X 是一个正则空间，

A 是X 的闭子集,A x ?，证明：x 和A 分别有开邻域U 和V 使得φ=∩V U .

证明：由于X 是一个正则空间，从而x 和A 分别有开邻域W 和V 使得φ=∩V W

，

故W V ′?，因此W V ′?.又由正则空间的性质知：存在x 的开邻域U 使得W U ?,从而φ=∩V U . 12、设X 是一个正规空间，A ，B 是X 的两个无交的闭子集.证明：A 和B 分别有开邻域U

和V 使得φ=∩V U .

证明：由于X 是一个正规空间，从而A 和B 分别有开邻域W 和V 使得φ=∩V W ，

故W V ′?，因此W V ′?.由正规空间的性质知：存在A 的开邻域U 使得W U ?,从而φ=∩V U .

13、设X 是一个拓扑空间，[0是闭区间，若对,1]X 的任何两个无交的闭集,A B 都存在一

个连续映射,使得当:[0,f X →1]x A ∈时，()0f x =,当x B ∈时，.证明：X 是一个正规空间.

()1f x =证明：设,A B 是X 的任意两个无交的闭集，

由题意知存在一个连续映射,使得当:[0,f X →1]x A ∈时，()0f x =,当x B ∈时，.设,,易知分别是()1f x =1([0,0.5))U f ?=1((0.5,1])V f ?=,U V A 和B 的开邻域且U V φ∩=.从而X 是一个正规空间.

14证明空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.

4T 证明：设是空间C 4T X 中的一个连通子集，如果不只包含一个点，任意选取C ,,x y C x y ∈≠.对于空间4T X 中的两个无交的闭集{},{}x y ，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射，使得:[0,f X →1]()0f x =和()1f y =.由于C 是X 的一个连通子集，从而()f C 连通，由于0,1()f C ∈，所以()[0,1]f C =，由于[0是一个不可数集，所以C 也是一个不可数集.

,1]15、X 是空间，B 为X 的一个拓扑基，则对于每一个B 4T ∈B 及x ∈B ,都有一个B 使得

x ∈1B ∈1B ?B .

证明：X 是空间，必为的正规空间，对任意x 4T 1T ∈X ,{x }为闭集.

对于B ∈B 且x ∈B ,B 就是{x }的一个开邻域.由于X 为正规空间，必存在{x }的一个开邻域U ,使得B U ?. U 也是x 的开邻域，一定存在一个1B ∈B ，使得 x ∈U ,且有1B ?U B ?1，当然就有x B B ?∈1.

16、设X 为Hausdorff 空间 ,是一个连续映射, 且X X f →:f f f =D ．证明:f )

(X

是X 的闭集．

证明：对，则)(X f X x ?∈?x x f ≠)(，

由于X 是Hausdorff 空间，存在和的邻域，使得x )(x f V U ,1Φ=∩V U 1.又因为连续,故存在的邻域,使得,令,则U 是的邻域,且f x 2U V U f ?)(221U U U ∩=x )(X f X U ??.事实上,若存在使得U z ∈)(X f z ∈,即使得 y X ?∈)(y f z =.于是()()()f z f f y f y z ===D ,而,这样, V U f z f ?∈)()(Φ=∩?∩∈V U V U z 1,矛盾.所以,即 是闭集.

)(X f X U ??)(X f 17、设X 是空间，A 是X 的至少含有两点的连通子集，则A 一定是无 限集．

1T 证明：若A 为有限集，设a,b ∈A 且a ≠b ,由于X 为空间，于是{a }与A-{a }就是X 的闭集.且{a }∩（A -{a }）=ф及A -{a }1T ≠ф,从而，A ={a }(A -{a }) ,故A 不是X 的连通子集.这与题设相矛盾，所以A 必为无限集. ∪

2021幼儿乐高教学设计教案

幼儿乐高教学设计教案 乐高教育以为：儿童是主动的学习者，他们的身上有着自然的爱好和本能，而发挥其本能的学习就是让学生置身于布满趣味性、刺激性、挑战性的活动中，主动往探究知识的奥秘。以下是 ___精心的幼儿乐高教学设计教案的相关资料，希望对你有帮助! 大班乐高活动：灵活的小车 执教者朱翔 活动目标： 1、掌握方向盘、操纵杆的概念，拼搭能灵活转弯的小车，激发探索科学的兴趣。 2、通过设计、改造小车，发展动手操作能力、想象力及创造力。 活动准备： 乐高一盒，搭建好的小车，马路路线图一张，视频 活动过程：

一、听音乐入场 (放音乐《小汽车》)(幼儿在教师带领下，开小汽车形式入场，开到指定位置)“到站啦!我们找个位置站站好” “刚刚我们玩了开小车的游戏，正好前两天，我们也用乐高玩具也搭建了一辆小汽车呢，看，我们面前有一条宽宽的马路。让我们拿起小车，来玩一玩吧” (放音乐《小汽车》)(事先交代不同方向的小朋友往哪个方向开)(玩的过程中会发生碰撞) “把小车放在这里，请回到你们的位置上去吧”(幼儿在垫子上做好) 刚在我们玩得真开心，不过我发现了一些问题，也遇到了一些问题，你们有没有遇到问题啊?---撞车了，太挤了 很多小朋友的车挤在了一起，你们有办法解决这个问题吗?---@#￥% “当我们发现两车要相撞的时候，我们该怎么办”---@#￥%

“某某小朋友你来试一试”(请小朋友来试一试，能不能避让开，提出要求，车轮不能离开地面。) “小车只能往前走，不能拐弯”“你们能想办法让我们的小车拐弯吗?” 二、出示小车，引入方向盘和操纵杆的概念 “我这有一辆车，你们觉得有什么不一样?”---可以转动 “在这个小车里面藏着一个小小的秘密哦，想不想知道?”---想 “我们来看一看”(视频) “看明白没有?你们说说看”----方向盘转动，带动操纵杆车轮转动 “方向盘和车轮之间是什么连接的”---轴“这根轴就是操纵杆。” “这就是小车能够拐弯的秘密，老师的小车就是有了方向盘、操纵杆。当我转动方向盘的时候，车轮就跟着。。。” 三、展示PPT分解图

点集拓扑学

点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：

2018年河北师范大学河北省艺术类各专业录取分数线

河北师范大学2018年招生录取快讯（本科提前批A）截止7月9日上午，我校在河北省本科提前批A各专业（一志愿）录取工作结束，至此共录取河北生源考生1068人。各专业（类）录取最低分如下： 1．艺术类统考专业（学校代号0514） 音乐与舞蹈学类[声乐] 154.7分；音乐与舞蹈学类[器乐钢琴] 164.1分；音乐与舞蹈学类[手风琴] 139.1分；舞蹈表演152.7分；设计学类259.7分；美术学类258分。 2．体育类统考专业（学校代号0514） 体育学类（体育文）357分；体育学类（体育理）349分；运动康复396分（文化成绩）。 3．统考未涉及的校考各专业（学校代号0514） 播音与主持艺术678.3分；广播电视编导652分。 舞蹈表演[招体育舞蹈考生]73.5分，舞蹈表演[招健美操考生] 80.2分。 4．旅游管理[校企合作培养]（学校代号0514） 文史类559分；理工511分。 5．省属公费教育师范生各专业（学校代号0515） 文史类各专业580分；理工类各专业558分。 6．中外合作办学各专业（学校代号0518） 外国语言文学类（中外合作办学）[翻译]专业 文史类572分；理工类550分。

生物科学类（中外合作办学）[生物技术]专业 理工类525分。 7月10日以后，考生可以登录河北省教育考试院网站和河北师范大学招生信息网、河北师大招生官方微信查询相关录取信息。最终以河北省教育考试院公布的录取结果为准。 首批2018级新生《录取通知书》将于7月27日左右通过EMS方式寄出，费用由我校统一支付，新生不需要支付任何费用，学校不会随录取通知书寄送任何收费书籍等物品。录取期间,考生还可以登录我校招生信息网“录取查询”栏目查询录取结果和通知书寄送进度。 特别提示：我校按照国家和河北省的有关规定，依法收取学费、住宿费等，收费标准和缴费方式以录取通知书和报到须知为准，我校在招生录取过程中不向考生收取任何其他费用。我校财务处是学校唯一的收费管理部门，中国建设银行是我校指定的代收费机构（建行河北师大收费代码为7100401），请不要向其他银行帐号和个人账户汇款。附件：相关专业（类）录取规则： 1.对进档考生的专业安排，实行“分数优先，遵循志愿”的录取规则，普通文史类、理工类考生分数相同时，按语文、数学、外语单科成绩依次排序。 2.学校认可各省（市、自治区）招生部门有关加分、优先录取和降分投档的政策规定。 3.美术学类、设计学类、音乐与舞蹈学类、舞蹈表演（招健美操考生）、舞蹈表演（招体育舞蹈考生）、体育学类专业，执行生源所在省该类

《点集拓扑讲义》第四章 连通性 学习笔记

第4章连通性 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4.1连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义； 掌握如何证明一个集合的连通与否； 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性． 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的． 定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求． 条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划

乐高教学设计

教会小朋友认识建筑房子 广西玉林市玉州区城南实验小学林水祺 活动目标： 1、发挥想象力进行搭建，提高幼儿动手操作能力 2、锻炼幼儿的手眼协调能力以及与同伴合作的能力。 使用材料：常规积木、造型积木、ppt。 活动准备：幼儿积累建构经验。 活动过程： 一、联系 1、出示小朋友，以参观他家的位置为由，导入教学活动。 师：我叫小明，今天我带你们去我家那附近看一看，有很多漂亮的建筑在哪，准备好了吗？ 2、音乐游戏《钻山洞》，让幼儿一个个通过钻过拱门，出示小明家附近的建筑ppt。 师：我家到了，请大家跟我一起走一走，去看一看吧，看小朋友们认不认识这些新奇有趣的建筑。 1）请幼儿观察图片，你们发现有哪些建筑呢？ 提问：大家看看，我家附近有哪些有趣的建筑呢？ 2）和幼儿一起分享不同建筑物的外形特征。 提问：谁能说说这些建筑像什么呢？由哪些图形组合在一起构成的？ 二、建构 1、让幼儿搭建自己喜欢的建筑。 师：现在请小朋友用乐高积木来搭建一个自己最喜欢的起建筑。

2、出示操作材料。 3、老师提出操作要求，让幼儿按操作要求进行活动，孩子自由选择积木搭建，老师观察指导。 三、反思 1、请幼儿介绍自己搭建的是什么起建筑。 师：现在请小朋友跟同伴交流一下，你搭建的是什么起建筑？ 师：有谁愿意来介绍一下自己搭建的建筑？请个别搭建比较特别的幼儿出来示范讲解） 2、你搭的建筑物有什么特别之处，用来干什么的？ 四、延续 1、分组合作，给小动物建一个动物园。 提问：我们搭建了这么多的建筑，把他们放在哪里好呢？幼儿回答。现在你们分成两组每组6人，每组搭建一个小区，把你们的建筑物放进小区里。 2、展示作品。 师：好了，现在你们的小区都搭建好了，可以把你们搭好的建筑物搬进去啦。

河北师大旧校区利用策划分析报告

关于河北师范大学旧校区利用 策 划 分 析 报 告 河北国大房地产经纪有限公司 2010 .5 .11 目录 项目概况 (1) 地块分析 (2) 产品定位 (3) 本项目招商策划方案 (4) 一．招商原则 (5) 二．招商策略 (6)

三．项目形象定位 (7) 四．实施方案 (8) 五．物业功能区域布局 (9) 六．物业项目租金预测 (10) 七．本物业项目预期租金收益 (11) 商业招商策略 (12) 一、项目地概括： 河北师范大学是一所具有百年历史和光荣传统的省属重点大学。学校起源于1902年创建于北京的顺天府学堂和1906年创建于天津的北洋女师范学堂。1996年6月，原河北师范大学、河北师范学院与创建于1952年的河北教育学院、创建于1984年的河北职业技术师范学院合并，组建成新的河北师范大学，是我国较早建立、目前规模较大的高等师范院校之一。 河北师范大学整体搬迁后保留了部分旧校区，该地块位于裕华路以北，方北路以南，体育大街以西，育才街以东，东西宽375米，南北长340米，占地面积万多平米。现存各类地上建筑32栋，包括办公楼，学生公寓，招待所，图书馆，体育馆，超级市场，餐饮中心，校医院等设施，总建筑面积万平米。 本项目地距先天下购物商圈1公里，北国商圈公里，怀特商圈2公里。 二、地块分析 1、优势： 园林式校区，面积大、规划布局合理，适合做成酒店、商业、住宅、餐饮、娱乐、写字楼、广场为一体的城市综合体。 校区位于裕华路景观大道与体育大街交叉口，交通便捷，有6路、34路、32路等十余条公交干线直达。 商圈优势：周围有文化广场商圈、先天下广场商圈、海鲜城及多种大型休闲娱乐餐饮场所，商业文化氛围十分浓厚。发展前景十分可观。 物业管理优势：聘用金牌物业管理集团，担纲物业管理工作，享受先进的物业理念。 发展优势：本区域是中心城区，集聚了大量的商业、文化资源优势，人文环境非常优越。发展前景良好。 2、劣势： 原有产品结构较为老式，形式比较单一，对改造有一定的难度。 利用现有建筑进行规划招商具有一定的局限性。 3 、机会： 对现有建筑进行装修改建，总体施工成本较低。 足够的广告预算支持广告及公关活动。 市政府政策的有利倾斜。 周围高档的固定消费群体。 周围已经形成大型饮食、娱乐的消费商圈。 周围有写字楼固定的消费群体。 4、威胁：

乐高教学设计

乐高教学设计 ----《程序与程序设计》之旋转木马

马，调试程序，不断优 化。 学生分组活动和电机结构；常用测量工具准备。 Contemplate (引导学生评价和反思实践活动的成果) 思考与分析 通过让学生上台来讲解和演示所设计的机器人旋转木马，让学生自己反思设计过程中所遇到的一些问题，以及针对这些问题如何去寻求解决的方案，使学生在“做中学”的过程中，进一步加深对程序控制结构的理解；通过采取老师和同学提问，小组成员答辩的方式，培养学生善于反思和总结的科学精神，以及逻辑思维能力。 活动过程设计 教师活动学生活动设计意图 资源及 环境师：同学们，布置给大家的任务都完成 了没有？ 老师展示ppt 师：同学们，接下来请各个小组按照ppt 上面所列的问题，准备5分钟的发言， 待会儿依次上台来，讲解你们所设计的 系统，并演示旋转木马。 在学生讲解完后，老师给予掌声鼓励。 在学生演示完后，针对演示过程中，出 现的一些问题，老师进行提问。 在所有的小组完成了讲解和演示之后， 老师要进行总结。 师：同学们，今天的任务，大家都完成 得非常出色！ 生：都完成了！ 学生分小组，依次上台 讲解，并演示旋转木马。 在学生讲解完后，其他 小组同学给予掌声鼓 励。 演示小组的同学共同回 答老师的疑问。 其他小组同学提问 演示小组的同学共同答 疑 学生鼓掌 通过设置小组 成员上台讲解 和演示的活动， 让学生进行充 分的反思和总 结。 通过设置老师 提问和学生提 问的环节，让师 生之间、生生之 间进行思维的 碰撞，进一步促 进学生的反思。 老师通过在课 堂上肯定学生 的表现，进一步 激发学生课后 自主开展学习 的热情。 学生通过填写 课堂评价表，完 成对自己，以及 组员的评价，对 整堂课的表现 进行量化评价。 制作好 ppt课 件 演示的 同学和 其他小 组同学 都围在 旋转木 马两 旁，营 造一个 良好的 互动氛 围。 提前设 计好学 生的量 化评价 表。

点集拓扑学练习题

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②

河北师范大学网络实验室手册(新)

目录 一、网络实验室概述 (1) 二、实验室设备清单 (1) 三、实验室网络拓扑结构图 (2) 3.1实验室各组网络拓扑图 (2) 四、管理设备的连接说明 (3) 五、实验室各个设备Control登陆说明 (3) 六、网络实验室实验时要求 (4) 七、网络实验室实验内容 (4) 实验一认识设备 (4) 实验二登录设备 (5) 实验三路由器基本设置 (6) 实验四查看路由器状态 (7) 实验五路由器交换机基本命令练习(一) (8) 实验六路由器交换机基本命令练习(二) (13) 实验七路由器恢复性设置 (15) 实验八静态路由基本配置 (18) 实验九默认路由基本配置 (21) 实验十距离矢量路由协议基本配置 (23) 实验十一距离矢量路由协议配置（RIPv2） (24) 实验十二混合型路由协议基本配置 (26) 实验十三链路状态路由协议基本配置 (30) 实验十四访问控制列表基本配置 (34) 实验十五VLAN 基本配置 (39) 实验十六VLAN间TRUNK设置 (40) 实验十七三层交换配置 (42) 实验十八单臂路由 (45) 实验十九NAT实现 (46) 实验二十系统镜象软件备份 (48) 实验二十一采用RIP的等价负载均衡 (49) 实验二十二采用EIGRP非等价负载均衡 (50) 实验二十三采用DHCP和IP广播地址转发 (52) 实验二十四配置浮动静态路由 (55) 实验二十五配置OSPF (57) 实验二十六配置帧中继 (58) 实验二十七无线实验 (59) 实验二十八无线网卡配置实验 (66)

一、网络实验室概述 河北师大网络实验室设备除无线网络设备以外，其他的设备全部采用CISCO 产品。实验室分东、西两个网络实验室，两个实验室设备数量及网络拓扑结构图基本相同，每个网络实验室都能够满足用户提出的四大主要实验内容，包括基础网络路由和交换机实验、IPV6实验、无线网络实验和网络安全实验，根据用户的实际需求，每个实验室可以满足四个小组实验，每个小组可以满足6人同时做实验，这样我们的网络实验室同时可以满足50人左右同时实验。 二、实验室设备清单

《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记

！！！！！！！！！！！！ 第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

《点集拓扑讲义》第一章 集合论初步 学习笔记

《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。 这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著． 即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较(＜和?)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理． §1.1集合的基本概念 集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等．集合也常称为集，族，类．

集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点，或成员． 集合也可以没有元素．例如平方等于2的有理数的集合，既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素．这种没有元素的集合我们称 之为空集，记作．此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集． 集合的表示法： （1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式． （2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号 {x|关于x的一个命题P} 表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合．例如，集合{x|x为实数，并且0

完整word版点集拓扑讲义学习笔记

度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R

河北师大点集拓扑第四章教案

第四章 连通性 一、教学目的与要求 本章要求学生掌握的概念有： 连通空间、连通子集、连通分支、道路、道路连通空间、局部连通空间、连续映射保持不变的性质、（有限）可积性质。在本章学生还应该掌握：连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质和判定方法及相关的证明方法、不连通空间的性质、连通性的简单应用。 二、教学重点与难点 教学重点：连通空间、连通分支、道路连通空间、局部连通空间。 教学难点：连通性和局部连通性。 三、课时安排与教学方法 教学内容 （计划／实际） 课时数 课程类型／ 教学方法 6.1 , 、Hausdorff 空间 0T 1T 2／2 理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3选讲) 3T 4T 2／2 理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间 1／2 理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间2／2 理论／讲授6.6 可度量化空间 1／2 理论／讲授 四、教学过程 §4．1 连通空间 通过考察实数空间中两个不交子集的关系：它们的并集在什么条件下是一个“整体”，什么条件下是两个“部分”，从而引出 定义4.1.1 设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ()()A B B A φ∩∪∩= 则称子集A 和B 是隔离的． 注：此处应说明子集A 和B 是隔离的的各种等价说法．并推导出以下性质备用． 性质1. X 中两个无交的闭集是隔离的. 性质2. X 中两个无交的开集是隔离的． 性质3. 若C 、D 分别是隔离子集A 、B 的子集，则C 和D 也是隔离的. 例：考察平庸空间和离散空间中的两个子集在什么条件下是隔离的？ 定义 4.1.２ 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X A B =∪，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．

点集拓扑学拓扑知识点

(点集拓扑学拓扑)知识点

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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要

《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．

定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.

河北师大教育硕士考研难度大不大

河北师大全日制教育硕士考研难度大不大，跨专业的 人考上的多不多? 2015年河北师大全日制教育硕士专业招生人数226人，总体来说，河北师大的教育硕士专业招生量较大，考试题目难度不高，考研难度不大。据统计，录取的人基本都是跨专业的学生，其专业课认真复习后，及格很容易。 据凯程从河北师大内部统计数据得知，每年教育硕士考研的考生中95%是跨专业考生，在录取的学生中，基本都是跨专业考的。在考研复试的时候，老师更看重跨专业学生自身的能力，而不是本科背景。其次，教育硕士考研考试科目里，333教育综合本身知识点难度并不大，跨专业的学生完全能够学得懂。即使本科师范类的同学，专业课也不见得比你强多少（大学学的内容本身就非常浅）。在凯程辅导班里很多这样三跨考生，都考的不错，而且每年还有很多二本院校的成功录取的学员，主要是看你努力与否。所以记住重要的不是你之前学得如何，而是从决定考研起就要抓紧时间完成自己的计划，下定决心，就全身心投入，要相信付出总会有回报。 河北师范大学全日制教育硕士考研难度分析 本文系统介绍河北师大全日制教育硕士考研难度，河北师大全日制教育硕士就业方向，河北师大全日制教育硕士学费介绍，河北师大全日制教育硕士考研参考书，河北师大全日制教育硕士考研初试经验五大方面的问题，凯程河北师大全日制教育硕士老师给大家详细讲解。特别申明，以下信息绝对准确，凯程就是王牌的教育硕士考研机构！ 一、河北师大全日制教育硕士考研难度大不大，跨专业的人考上的多不多? 2015年河北师大全日制教育硕士专业招生人数226人，总体来说，河北师大的教育硕士专业招生量较大，考试题目难度不高，考研难度不大。据统计，录取的人基本都是跨专业的学生，其专业课认真复习后，及格很容易。 据凯程从河北师大内部统计数据得知，每年教育硕士考研的考生中95%是跨专业考生，在录取的学生中，基本都是跨专业考的。在考研复试的时候，老师更看重跨专业学生自身的能力，而不是本科背景。其次，教育硕士考研考试科目里，333教育综合本身知识点难度并不大，跨专业的学生完全能够学得懂。即使本科师范类的同学，专业课也不见得比你强多少（大学学的内容本身就非常浅）。在凯程辅导班里很多这样三跨考生，都考的不错，而且每年还有很多二本院校的成功录取的学员，主要是看你努力与否。所以记住重要的不是你之前学得如何，而是从决定考研起就要抓紧时间完成自己的计划，下定决心，就全身心投入，要相信付出总会有回报。

2018年博士研究生招生考试参考书目

2018年博士研究生招生考试参考书目 考试科目参考书目编著者出版社1001英语无 1002俄语无 1003日语无 1004德语无 2001马克思主义原理（含原著）原著部分参考书目：《共产党宣言》、《德意志意识形态》、《资本论》第1卷 2002运动生理学《运动生理学高级教程》田野高等教育出版社2003年 2003中外文论《中国美学史大纲》叶朗 北京大学出版社1985年 版 《当代文学理论导读》 【英】拉曼·塞 尔登等著；刘象 愚译 北京大学出版社2006年 版 《理论是什么——文学理论反思 研究》 邢建昌人民出版社2011年 2004汉语言文字学（综合卷）《中国语言学史》王力 复旦大学出版社2014年 版 《汉语音韵学》王力中华书局2014年版 《汉语语法分析问题》吕叔湘商务印书馆1979年版《汉语词汇学史》符淮青 外语教育与研究出版社， 2012年版 2005文史综合《中国文学史》袁行霈 高等教育出版社2005年 版 《中国通史》吕思勉 上海古籍出版社2009年 版 《中国文献学》张舜徽 上海古籍出版社2006年 版

2006中国现当代文学与文论无 2007中国考古学《中国大百科全书·考古卷》夏鼐等 大百科全书出版社 1986 年版 《新中国的考古发现和研究》社科院考古所文物出版社 1984年版《新中国考古五十年》 文物编辑委员 会 文物出版社 1999年版 2008中国古代史无2009中国近现代史无 2010专业综合一（点集拓扑、近世代数、泛函分析）《点集拓扑讲义》（第四版）熊金城高等教育出版社，2011 《近世代数基础》（修订本）张禾瑞高等教育出版社，2010 《泛函分析讲义》（上册） 张恭庆 林源渠 北京大学出版社，1987 2011专业综合二（概率论、模式识别、泛函分析）《概率论与数理统计教程》 （第二版） 魏宗舒高等教育出版社，2008 《模式识别》（第三版）张学工清华大学出版社，2010 《泛函分析讲义》（上册） 张恭庆 林源渠 北京大学出版社,1987 2012量子力学《量子力学》周世勋高等教育出版社，2005年 2013地理科学导论《地理学：科学地位与社会功能》蔡运龙陈彦光 阙维民等 科学出版社 （2012年第一版） 2014植物学《植物学》马炜梁主编高等教育出版社 2015分子生物学《分子生物学》（第四版）朱玉贤编高等教育出版社 2016高级生态学《现代生态学》戈峰科学出版社（第二版） 2017医学分子生物学《医学分子生物学》药立波主编人民卫生出版社（第三版） 3001国际政治理论《国际政治学概论》李少军上海人民大学出版社，2005年版，2009年10月