直线与圆的位置关系
掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系。
教学过程（上次作业答疑—本次考点分析、方法点拨—典例—精练—小结） 授课内容： 知识网络
一、直线
1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，直线方程
2.两条直线平行与垂直的判定（注意斜率是否存在）
3.三种距离公式和三种对称 二、圆
1、圆的标准方程和一般方程（确定圆的要素）
2、直线和圆、圆和圆的位置关系
3、直线和圆的综合应用。
例1、1.直线2x cos α－y －3＝0，α∈[π6，π3
]的倾斜角的变化范围是( )
当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为x a ＋
y
－a
＝1， 因为直线过点P (3，－4)，所以a ＝3＋4＝7.此时方程为x －y －7＝0. 综上，所求直线方程为4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0.
4.过点P (2,1)作直线l 分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，点O 为坐标原点，当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程.
【解析】方法一：设直线方程为x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)， 由于点P 在直线上，所以2a ＋1
b
＝1.
2a ·1b ≤(2a ＋
1b 2)2＝14， 当2a ＝1b ＝12时，即a ＝4，b ＝2时，1a ·1b 取最大值18
， 即S △AOB ＝1
2
ab 取最小值4，
所求的直线方程为x 4＋y
2
＝1，即x ＋2y －4＝0.
方法二：设直线方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，
直线与x 轴的交点为A (2k －1
k
，0)，直线与y 轴的交点为B (0，－2k ＋1)，
由题意知2k －1＜0，k ＜0,1－2k ＞0.
S △AOB ＝12(1－2k ) ·2k －1k ＝12[(－1k )＋(－4k )＋4]≥12[2
(－1k
)·(－4k )＋4]＝4.
当－1k ＝－4k ，即k ＝－1
2
时，S △AOB 有最小值，
所求的直线方程为y －1＝－1
2
(x －2)，即x ＋2y －4＝0.
【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.
【变式训练4】已知直线l ：mx －(m 2
＋1)y ＝4m (m ∈R ).求直线l 的斜率的取值范围.
【解析】由直线l 的方程得其斜率k ＝
m
m 2
＋1
.
若m ＝0，则k ＝0；
若m ＞0，则k ＝1m ＋1m
≤12m ·1m
＝12，所以0＜k ≤1
2；
若m ＜0，则k ＝
1
m ＋1m ＝－1
－m －1m
≥－1
2
(－m )(－1
m
)
＝－12，所以－1
2≤k ＜0.
综上，－12≤k ≤1
2.
例2、1、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.
故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝1
2时，l 1⊥l 2.
(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时， l 1与l 2重合．
变式训练1、已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值.
(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到两条直线的距离相等. 【解析】(1)由已知可得l 2的斜率存在， 所以k 2＝1－a ，若k 2＝0，则1－a ＝0，即a ＝1. 因为l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0， 又l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0， 而a ＝1，b ＝0代入上式不成立，所以k 2≠0. 因为k 2≠0，即k 1，k 2都存在，
因为k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2， 所以k 1k 2＝－1，即a b
(1－a )＝－1， 又l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0， 联立上述两个方程可解得a ＝2，b ＝2.
(2)因为l 2的斜率存在，又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即a b
＝(1－a )， 因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，
所以 l 1，l 2在y 轴的截距互为相反数，即4
b
＝b ，
联立上述方程解得a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3，b ＝2，
所以a ，b 的值分别为2和－2或2
3
和2.
2、 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．
解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足???
4x 0＋y 0＋3＝0，
3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，
即??? 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得???
x 0＝－2，y 0＝5，
因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)，即3x ＋y ＋1＝0.
法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由??? kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4.
由???
kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －15
5k －3.
则－k －5k ＋4＋－5k －15
5k －3
＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法三 两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，① 将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )， 整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.② ①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.
3、已知△ABC 中，A (1,1)，B (4,2)，C (m ，m )(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积S 最大时，求m 的值.
【解析】因为A (1,1)，B (4,2)，所以|AB |＝(4－1)2＋(2－1)2
＝10， 又因为直线AB 的方程为x －3y ＋2＝0，
则点C (m ，m )到直线AB 的距离即为△ABC 的高，
设高为h ，则h ＝|m －3m ＋2|12＋(－3)
2
，S ＝12|AB |·h ＝1
2|m －3m ＋2|， 令m ＝t ，则1＜t ＜2，所以S ＝12|m －3m ＋2|＝12|t 2－3t ＋2|＝12|(t －32)2－1
4|，
由图象可知，当t ＝32时，S 有最大值18，此时m ＝32，所以m ＝9
4
.
【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.
【变式训练2】若动点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，求P 1P 2
的中点P 到原点的距离的最小值.
【解析】方法一：因为P 1、P 2分别在直线l 1和l 2上，
所以
(①＋②)÷2，得
x 1＋x 22
－
y 1＋y 2
2
－10＝0，所以P 1P 2的中点P (
x 1＋x 22
，
y 1＋y 2
2
)在直线x －y －10＝0上，点P 到原
点的最小距离就是原点到直线x －y －10＝0的距离d ＝102
＝5 2.所以，点P 到原点的最小距离为5 2.
方法二：设l 为夹在直线l 1和l 2之间且和l 1与l 2的距离相等的直线. 令l ：x －y －c ＝0，则5＜c ＜15，且|c －5|2＝|c －15|2，
解得c ＝10.所以l 的方程为x －y －10＝0.
由题意知，P 1P 2的中点P 在直线l 上，点P 到原点的最小距离就是原点到直线l 的距离d ＝
102
＝52，所以点
P 到原点的最小距离为5 2.
【变式训练3】若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________. [审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .
解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a 4
，即4a －a 2
＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6. 检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6. 答案 －2或4或6
4、光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．
[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C . 解 作出草图，
如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为
y －6
6＋4＝x －11＋2
，即10x －3y ＋8＝0. ???=--=--②①.015
,0522
11y x y x
解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点
和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
【变式训练4】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．
A ．x －2y ＋1＝0
B ．x －2y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则?????
x ＋02－y －2
2－1＝0，
y ＋2
x ×1＝－1，
得???
x ＝－1，
y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0. 答案 B
例3、1.若实数x ，y 满足(x －2)2
＋y 2
＝3.求：
(1)y x
的最大值和最小值；
(2)y －x 的最小值；
(3)(x －4)2＋(y －3)2
的最大值和最小值.
【解析】(1)y x ＝y －0x －0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y
x 的最值为过原点的直线与圆相切时
该直线的斜率，设y
x
＝k ，y ＝kx ，kx －y ＝0.
由|2k |k 2＋1
＝3，得k ＝±3，所以y x 的最大值为3，y
x 的最小值为－ 3.
(2)令x －2＝3cos α，y ＝3sin α，α∈[0,2π).
所以y －x ＝3sin α－3cos α－2＝6sin(α－π
4)－2，
当sin(α－π
4
)＝－1时，y －x 的最小值为－6－2.
(3)(x －4)2
＋(y －3)2
是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A (2,0)，B (4,3)， 连接AB 交圆于C ，延长BA 交圆于D .
|AB |＝(4－2)2
＋(3－0)2
＝13，则|BC |＝13－3，|BD |＝13＋3， 所以(x －4)2
＋(y －3)2
的最大值为(13＋3)2
，最小值为(13－3)2
.
【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U ＝
y －b
x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x －a )2
＋(y －b )2
形式的最值问题，可转化为圆心已定的动
圆半径的最值问题.
【变式训练1】已知实数x ，y 满足x 2
＋y 2
＝3(y ≥0).试求m ＝
y ＋1
x ＋3
及b ＝2x ＋y 的取值范围. 【解析】如图，m 可看作半圆x 2
＋y 2＝3(y ≥0)上的点与定点A (－3，－1)连线的斜率，b 可以看作过半圆x 2
＋y 2
＝3(y ≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距.
由图易得3－36≤m ≤3＋21
6
，－23≤b ≤15.
2、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x )＝x 2
＋2x ＋b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C .
(1)求实数b 的取值范围；
(2)求圆C 的方程；
(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论. 【解析】(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )， 由题意b ≠0，且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0，得x 2
＋Dx ＋F ＝0，这与x 2
＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1. 所以圆C 的方程为x 2
＋y 2
＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程， 并变形为x 2
0＋y 2
0＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0，(*)
为使(*)式对所有满足b ＜1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0， 结合(*)式得x 2
0＋y 2
0＋2x 0－y 0＝0，
解得或
经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此圆C 过定点.
【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.
【变式训练2】动点A (x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，3
2
)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间
???==1,000y x ???=-=,1,20
0y x
是( )
A.[0,1]
B.[1,7]
C.[7,12]
D.[0,1]和[7,12]
【解析】选D.由题意知角速度为2π12＝π6，故可得y ＝sin(π6t ＋π
3),0≤t ≤12，
π3≤π6t ＋π3≤π2或32π≤π6t ＋π3≤5
2
π，所以0≤t ≤1或7≤t ≤12. 所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].
例4、1.若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2
＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )．
A ．[－3，3]
B ．(－3，3) C.??????－33
，33
D.? ????
－33
，33
[审题视点] 设出直线l 的点斜式方程，构造圆心到直线距离与半径的关系的不等式，从而求解． 解析 设直线l 的方程为：y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0 则：
|2k －4k |1＋k
2≤1.解得：k 2≤13，即－33≤k ≤33. 答案 C
已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r
的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
【变式训练1】 若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．
A.? ????－33，33
B.? ????－33，0∪? ????0，33
C.??????－33，33
D.? ????－∞，－33∪? ??
??3
3，＋∞
解析 整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m (1＋1)－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈? ????
－33，
33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B
2、如果圆C ：(x －a )2
＋(y －a )2
＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a 的取值范围.
【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O ：x 2＋y 2
＝1上.当圆C 与圆O 有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC |＜2＋1，
所以1＜a 2
＋a 2＜3，即
22＜|a |＜322
， 所以－322＜a ＜－22或22＜a ＜32
2
为所求a 的范围.
)
，
轴上的动点，QA，QB分别切⊙
的坐标，从而确定点
⊥MQ，AM⊥AQ
点、直线、圆与圆的位置关系
点、直线、圆与圆的位置关系 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质
直线与圆的位置关系(教案)
《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
点直线和圆的位置关系教案
教学过程 一、课堂导入 问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？
二、复习预习 1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 2、圆周角定理的推论： （1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. （2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 3、其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. ③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 三、知识讲解 考点1 点与圆的位置三种位置关系 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA ＜r B 点在圆上，OB = r 图 1
C点在圆外，OC＞r 反之，在同一平面上，已知的半径为r⊙O，和A，B，C三点： 若OA＜r，则A点在圆内 若OB= r，则B点在圆上 若OC＞r，则C点在圆外 考点2 直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.） 1、当d＞r时，直线与圆相离(如图所示） 2、当d＜r时，直线与圆相交（如图所示） 3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线. 考点3 切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 考点4切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）.
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)资料
24．2点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.1点和圆的位置关系 1．如图，⊙O的半径为r. (1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r. (2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___． 2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆． 3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___． 4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立． 知识点1：点与圆的位置关系 1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系： (1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm. 解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 知识点2：三角形的外接圆 4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___． 5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___． 6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C) A．任意三角形B．直角三角形
讲义_直线与圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l
上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A
点、直线与圆的位置关系(中考复习教案)
点、直线与圆的位置关系（中考复习教案） 一、复习目标： 1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系； 2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆； 3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题； 二、复习重点和难点： 复习重点： 1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题； 2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。 复习难点： 1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题； 2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。 三、复习过程： （一）知识梳理： 1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内. 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆外?d＞r．点在圆上?d=r．点在圆内?d＜r． 2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离． 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则 直线与圆相交?d＜r；直线与圆相切?d=r；直线与圆相离?d＞r 3.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (4)切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”
直线与圆的位置关系(解析版)
直线与圆的位置关系 班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为() A.± B.±2 C.±2 D.±4 3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为() A.1 B.2 C.4 D.4 4.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为() A.4 B.2 C. D. 5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是() A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x 6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a 等于() A. B.2- C.-1 D.+1 7.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为() A.1 B.2 C. D.3 8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.0°<α≤60° C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60° 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________.
新人教版九年级数学点直线和圆的位置关系》测试题
点、直线、圆与圆的位置关系测试题 一、选择题：(每小题3分，共30分) 1．已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的 位置关系为（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或 相离 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=∠90°，以CD为直径的半圆O 切AB于点E，这个
（第4题图）梯形的面积为21，周长为20.那么半圆O 的半径为（ ） A 、3 B 、7 C 、3或7 D 、2 ·O A D E B C 4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与 AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ） A. 33 5 B. 63 5 C. 10 D. 5 5．直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位 置关系是（ ） Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于 A C 第2题图 第6题图 第3题图
（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上 一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ） A. 到CD 的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB ⌒ D. 随C 点的移动而移动 8．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 1 35 9．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O?与点A 不重 合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ）
九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教学方案)
( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 九年级数学：《直线与圆的位置 关系》(教学方案) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.
九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教 学方案) 教材：华东师大版实验教材九年级上册 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛；学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知识作铺垫。 2、教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种
位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 3、教学重、难点 重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系； 难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。
直线与圆的位置关系教案
【课题】4.2.1直线与圆的位置关系 【教材】人民教育出版社（A版）高中数学必修2第126页至128页【课时安排】 1个课时 【教学对象】高中一年级 【授课教师】 【教学重点】掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法： （1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。 （2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。 【教学难点】由位置关系得出大小关系式从而判断解的个数 【教学目标】 知识与技能 掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法 过程与方法 1、理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系； 2、体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线与圆的位置关系； 3、领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、
解决问题的能力。 情感态度与价值观 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯。 【教学方法】教师启发讲授、学生探究学习 【教学手段】PowerPoint，动画演示 【教学过程设计】 1、回顾旧知(3分钟) 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关 系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位 置关系？ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径 教师 运用 边提 问边 回答 的形 式引 导学 生回 忆知 识点 老师 引导 学生 思考 学生 回忆 并回 答问 题 学生 观察 动画 并思 考如 何解 决 回顾知识点 的益处在于 不仅复习了 以前学习的 知识，又为 今后的学习 作铺垫 与学生进行 互动交流， 学生更积极 思考，并可 活跃课堂氛 围
点、直线和圆的位置关系测试题
（第4题图） 点、直线、圆与圆的位置关系测试题 一、选择题：(每小题3分，共30分) 1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=∠90°，以CD 为直径的半圆O 切AB 于点E ，这个梯形的面积为21，周长为20.那么半圆O 的半径为（ ） A 、3 B 、7 C 、3或7 D 、2 ·O A D E B C 4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ） A. 335 B. 6 3 5 C. 10 D. 5 5．直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是（ ） Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ） A. 到CD 的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB ⌒ D. 随C 点的移动而移动 8．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 135 9．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O?与点A 不重合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ） A ．0 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). [ 常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√) (6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√) 直线与圆的位置关系 教学目标 1、知识与能力目标 A．知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系； B．能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。 C．掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。 2、过程与方法目标 让学生通过观察，看图，分析，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系。此外，通过直线和圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。 3、情感态度与价值观目标 通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点与难点 教学重点：直线和圆位置关系的判断和应用 教学难点：通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。 教学准备 制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。 教学过程： 一、复习 1.直线方程的形式 2.圆的方程形式 3.点与圆的位置关系 4直线与圆的位置关系: (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点； 二、新课讲解 1．问题情境 问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：你怎么判断轮船受不受影响？ 生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交． 师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系． 学生解决方法一：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交?d＜r ②直线l和⊙O相切?d=r ③直线l和⊙O相离?d＞r． （2）（1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心； ②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． （3）（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂 线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． （4）（1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． （5）（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离?d＞R+r； ②两圆外切?d=R+r； ③两圆相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切?d=R-r（R＞r）； ⑤两圆内含?d＜R-r（R＞r）． 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 整体设计 教学分析 学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后,比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标 1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想. 2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点 教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系. 思路2.(复习导入) (1)直线方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零). (2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为(a,b),半径为r. (3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ,-2 E ),半径为21 F E D 422-+. 推进新课 新知探究 提出问题 ①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？ 《直线和圆的的位置关系》教学设计方案 一、概述 1．《直线和圆的位置关系》是人教版九年级上册第二十四章2.2节的内容； 2．本节课所需课时为一课时，45分钟； 3．直线和圆的之间的位置关系是属于与圆有关的位置关系的一种，它主要是研究平面上的直线与圆之间各种位置关系，它是本单元的基础，也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础． 二、教学目标分析 1．能理解直线和圆的三种位置关系； 2．了解相交、相切和相离的概念； 3．能正确理解割线、切线和切点的概念； 4．可以根据直线和圆的三种位置关系判断直线到圆心的距离和直径的大小关系； 5.通过对直线和圆的三种位置关系的认识，能将文字语言转化为图形语言和符号语言，能准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题； 6．在学习平面中直线与圆的位置关系时，逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想、想象力和思维能力． 三、教学重难点 教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质． 教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用． 四、学习者特征分析 1．直线与圆的三种位置关系在现实中也可以发现，学生对他们已有一定的感性认识，因此可以较轻松的学习本节的内容。 2．学生善于形象思维，思维活跃，能积极参与讨论； 3．学生的求知欲比较强，表现欲强． 五、教学教法与设计 1．以海上日出为实例，使学生在直观感知的基础上，认识平面上直线与圆的位置关系； 2．通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开，得到直线与圆相交、相切和相离的三种位置关系． 六、教学资源与工具设计 1．本节课多媒体课件； 2．人教版九年级上册教科书 3．一套三角尺作图工具、圆规． 七、教学过程 （一）创设情境，归纳概念，练习巩固 1．提出问题：思考“如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，那么直线与圆有什么位置关系？” 利用课件展示生活中实例，从图片中抽象出中圆移动的过程，让学生观察图形 27.2.2 直线与圆的位置关系 各位领导好，各位老师好，我是7号参赛选手。 唐朝著名诗人张若虚有两句反映游子思乡的诗句非常有名，同学们，你知道是那两句吗？好举手的那位同学，请回答，非常不错，这就是“海上生明月，天涯共此时”，这两句诗意境深远，朴实自然。它给我们描绘了这样一幅画面：苍茫大海，水天一线，一轮圆月，冉冉升起，悬挂空中，普照大地。这美好的意境，给我们勾勒出了直线（海平线）与圆（明月）的位置关系，这就是今天我们学习的内容。 （板书课题：直线与圆的位置关系）。 同学们，你们知道直线与圆有怎样的位置关系？如何判断他们的位置关系吗？请同学们带着这些问题自学教材48页—49页，在自学的时候，要求同学们边自学，边画出自己认为重点的地方，标出自己的疑难点，自学完毕的学生举起左手示意。 （板书：一、位置关系） 好，大部分同学已经举起左手，说明已经自学完毕，通过刚才的学习，相信同学们对直线和圆的位置关系已有了初步的认识，下面我们对自学的效果进行检测。 第1个问题：直线和圆有哪几种位置关系？ (请1号同学起立回答，好，1号同学回答的非常好)， （直线和圆位置关系有3种，即相离、相切、相交。板书) 第2个问题：教材上是如何定义三种位置关系的？ (6号同学回答，好，6号同学回答的非常棒，非常完整。那就是) 如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离； 如果一条直线与一个圆有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，这条直线叫圆的 切线，这个公共点叫切点； 如果一条直线与一个圆有两公共点，那么就说直线与这个圆相交，这条直线叫圆的割线； 注：板书 0个?相离； 1个?相切； 2个?相交； 直线和圆的位置关系及有关计算 一、知识点的准备：1、垂经定理：过圆心垂直弦平分弦、平分弦所对的两条弧。 2、切线的判定：过半径的外端点和半径垂直的直线是圆的切线。 3、切线的性质：切线垂直过切点的半径 二、训练题 1、已知：如图，A 是O 上一点，半径O C 的延长线与过点A 的直线交于B 点，O C B C =， 12 A C O B = ． （1）求证：A B 是⊙O 的切线； （2）若45A C D ∠=°，2O C =，求弦C D 的长．（2007年北京） 2、AB 是⊙O 直径，CB 是⊙O 切线，AC 交⊙O 于D ，E 是弧AD 上一点，∠EAD =∠DAB ，已知BC=6，AB=63。 （1）求DC 的长。（2）求DE 的长。 3.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，∠B=300，∠CAD=300， （1）求证： AD 是⊙O 的切线； （2）若O D ⊥AB,BC=5，求AD 的长。 （2006年北京） 4、如图，已知：在△ABC 中，∠C=900，BE 是∠ABC 的平分线， D E ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BED 的外接圆。 （1）求证；AC 是⊙O 的切线。 （2）若AD=6，DE 的长。 5、如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 作 QR 与OA 延长线交于点R , 且PR=QR. （1）求证：QR 是⊙O 的切线； （2）若OP ＝PA ＝1，试求RQ 的长. O A B C D C R 6、（2010年北京）已知：如图，在ABC △中，D 是AB 边上一点，O ⊙过D B C 、、三点， 290D O C A C D ∠=∠=?． （1）求证：直线A C 是O ⊙的切线； （2）如果75AC B ∠=?，O ⊙的半径为2，求BD 的长． 7、（2009年北京）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经 过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=13 时，求⊙O 的半径. 8、如图，在A B C △中，A B A C =，以A B 为直径的圆O 交B C 于点D ，交A C 于点E ，过点D 作D F AC ⊥，垂足为F ． （1）求证：D F 为⊙O 的切线； （2）若过A 点且与B C 平行的直线交B E 的延长线于G 点，连结C G ．当A B C △是等边三角形时，求A G C ∠的度数． 9、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 弧的中点，D E ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F ， （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE=3，⊙O 的半径为5，求BF 的长。 G （第23题） B F 24.2.1 点和圆的位置关系 1、教学目标（或三维目标） 1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d>r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d 下面，我们接下去研究确定圆的条件： 经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆． （1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ （3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上?你是如何做的？你能作出几个这样的圆？ 3）问题探究 小组演示： （1）无数多个圆，如图1所示． （2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个． 其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示． A l B A B C E D O G F (1) (2) (3) （3）作法：①连接AB、BC； ②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O； ③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示． 在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C?三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 即：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． 圆与直线的位置关系 一,考纲要求 1.能根据给定直线,圆的方判断直线与圆的置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法解决几何问题的思想. 二,近几年考点分布: 三,复习引入 判断以下直线与圆的位置关系: 2 ,02.31,01.21,02.1222222=+=-+=+=-+=+=-+y x y x y x y x y x y x 四,知识梳理 1.直线与圆的位置关系 把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一 元二次方程,其判别式为Δ,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关系列表如下: 相离 相切 相交 图形 代数观点 量 化 几何观点 五.考点及例题: 考点一:位置关系的判断: 设计意图:熟练应用位置关系判断的两种方法. 变式训练1: 考点二:相交,相切,相离 设计意图:熟练掌握相交相切的各种问题. 抛线3线圆4圆数透锥 。直线相交，相切，相离为何值时，圆与，当直线已知圆的方程例b b x y y x +==+,2:122题型一直线与圆的位置关系 例1已知圆x 2+y 2-6mx-2(m-1)y+10m 2-2m-24=0(m ∈R ). (1)求证:不论m 为何值,圆心在同一直线l 上; (2)与直线l 平行的直线中,哪些与圆分别相交、相切、相离? (1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求圆心坐标,消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小. 题型一直线与圆的位置关系 例1已知圆x 2+y 2 -6mx-2(m-1)y+10m 2 -2m-24=0(m ∈R ). (1)求证:不论m 为何值,圆心在同一直线l 上; (2)与直线l 平行的直线中,哪些与圆分别相交、相切、相离? (1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求圆心坐标,消 去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小. .4)1()1()2,1()3(2543)2(,324)1()4,2()1(.22 22222的切线，求切线方程：引圆从点相切的直线方程。 ）且与圆，经过（求直线方程。 为截得的弦长 点的直线被圆过例=-++-=+=+-y x C P y x y x A直线与圆的位置关系
数学必修直线与圆的位置关系教案
直线和圆的三种位置关系知识点
示范教案(4.2.1 直线与圆的位置关系)
圆与直线之间的位置关系
直线与圆的位置关系 讲解稿
直线和圆的位置关系及有关计算[1]
九年级数学上册点和圆直线和圆的位置关系点和圆的位置关系教案新版新人教版
圆与直线的位置关系(复习教案)