[考研类试卷]考研数学一(向量代数和空间解析几何)模拟试卷1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1 函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在点(1,一1,1)处沿曲线x=t,y=一t2,z=t3在该点指向x轴负向一侧的切线方向的方向导数等于( )
(A)一12.
(B)12.
(C).
(D).
2 在曲线y=x2+x+1上横坐标为x1=0,x2=一1,x3=一三点处的法线的交点个数为( )
(A)1.
(B)2.
(C)3.
(D)0.
3 已知a,b为非零向量,且a⊥b,则必有( )
(A)|a+b|=|a|+|b|.
(B)|a一b|=|a|—|b|.
(C)|a+b|=|a一b|.
(D)a+b=a一b.
4 已知
( )
(A)重合.
(B)相交于一点.
(C)平行但不重合.
(D)异面直线.
5 已知a×b+b×c+c×a=0,则必有( )
(A)a,b,c两两相互平行.
(B)a,b,C两两相互垂直.
(C)a,b,c中至少有一个为零向量.
(D)a,b,C共面.
6 函数u=x2y3z4在点A(1,1,1)处沿从点A到点B(2,3,4)的方向的方向导数等于( )
(A)20.
(B)一20.
(C).
(D)一.
7 已知向量a,b相互平行但方向相反,且|a|>|b|>0,则必有( ) (A)|a+b|>|a|—|b|.
(B)|a+b|=|a|—|b|.
(C)|a+b|=|a|+|b|.
(D)|a+b|<|a|—|b|.
8 函数f(x,y)=arctan在点(1,0)处的梯度向量为( )
(A)一i.
(B)i.
(C)一j.
(D)j.
9 设a,b,c均为单位向量,且a+b+c=0,则a.b+b.c+c.a等于( )
(A)1.
(B)一.
(C).
(D)一1.
10 设有直线L:及平面∏:4x一2y+z一2=0,则直线L( ) (A)平行于∏
(B)在∏上.
(C)垂直于∏.
(D)与∏斜交.
二、填空题
11 点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d=_________.
12 直线L:的夹角为_________。
13 直线,与平面x一y—z+1=0的夹角为_________.
14 过点P(一1,0,4)且与平面3x一4y+z+10=0平行,又与直线L:
相交的直线方程是_________.
15 点M1(1,2,3)到直线L:的距离为_________.
16 两个平行平面∏1:2x—y一3z+2=0,∏2:2x—y一3z一5=0之间的距离是
_________.
17 点A(4,一3,1)在平面II:x+2y—z一3=0的投影是_________.
18 直线L:一在平面∏:x一y+3z+8=0上的投影方程为
_________.
19 曲线,在yOz平面上的投影方程为_________.
20 设一平面经过原点及点(6,一3,2),且与平面4x—y+2z=8垂直,则此平面方程为_________.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21 设直线l:在平面∏上,而平面∏与曲面z=x2+y2相切于点(1,一2,5),求a,b之值.
22 求直线l:在平面∏:x一y+2z一1=0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和,计算向量21M M 的模,方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=,求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影,及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23,求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及;及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -,求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ,问μλ与满足_________时,轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程为 __ _____________,曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程 _____________,曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周,生成的曲面方 程为_____________,曲面名称为_____________________. 4)在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5)画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
2018年考研数学模拟试题(数学三) 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) (1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ,1)0(='y 的解,则 2 0)(lim x x x y x -→ ( ) (A )等于0. (B )等于1. (C )等于2. (D )不存在. (2)设在全平面上有0),(?x y x f ,0),(>??y y x f ,则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是( ) (A )21x x >,21y y <. (B )21x x <,21y y <. (C )21x x >,21y y >. (D )21x x <,21y y >. (3)设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数,且)()(x f x f --=,当0
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积),两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影,会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A (2,-2,5),终点为B (-1,6,7),求 (1)AB 分别在x 轴、y 轴上的投影,以及在z 轴上的分向量; (2)AB 的模;(3)AB 的方向余弦;(4)AB 方向上的单位向量. 解:(1)()3,8,2AB =-,AB 分别在x 轴的投影为-3,在y 轴上的投影为8,在z 轴上的 分向量2k ;(2)AB = ;(3)AB ; (4)AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ,且||5a =,||8b =,求||a b +,||a b -. 解:()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =,{8,4,1}b =-,求 (1)平行于向量a 的单位向量; (2)向量b 的方向余弦. 解(1)2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±; (2)2849b =+=,向量b 的方向余弦为:841,,999 -. 4、一向量的终点为B (2,-1,7),该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、-4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解:AB =(4,-4,7)=(2,-1,7)-(x ,y ,z),所以(x ,y ,z)=(-2,3,0); 5、已知{2,2,1}a =-,{3,2,2}b =,求 (1)垂直于a 和b 的单位向量; (2)向量a 在b 上的投影;
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 (1)点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为()1,1,1(-),关于yoz 面对称的点为()1,1,1(-),关于xoz 面对称的点为()1,1,1(-). (2)点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为()2,1,2(-),关于y 轴对称的点为()2,1,2(---),关于z 轴对称的点为()2,1,2(-),关于坐标原点对称的点为()2,1,2(--). 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ,计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解:因为)0,1,1(21=M M ,故2||21= M M ,方向余弦为2 2 cos = α,22cos = β,0cos =γ,方向角为4πα=,4π β=, 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上,求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解:设该点为),,0(z y ,则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y , 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ,解得???==33y z ,则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解:所求的向量有两个,一个与a 同向,一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ,所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=,k j i n ++=2,求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解:因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=, 所以在x 轴上的投影为6=x a ,分向量为i i a x 6=,y 轴上的投影为 9=y a ,分向量为j j a y 9=,z 轴上的投影为7-=z a ,分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上,求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号:12307229 学时:22 学分:1.5 课程类别:限制性选修课 面向对象:小学教育专业本科学生 课程英语译名:In terspace An alytic Geometry (2) 一、课程的任务和目的 任务:本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论,正确地理解和使用向 量代数知识,并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线(面)与方程相对应的观念,熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法,训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的:通过本课程的学习,使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法,培养学生的抽象思维能力及空间想象力,培养学生用代数方法处理几何问题的能力,提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础,为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 (一)平面与空间直线(14学时) 1.教学内容与要求:本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程,能判别空间有关点、直线与平面的位置关系,能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点:根据条件求解平面和空间直线的方程,及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点:求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容: (1)平面的方程(2课时):掌握空间平面的几种求法(点位式、三点式、点法式、一般式)。 (2)平面与点及两个平面的相关位置(2课时):掌握平面与点的位置关系及判定方法;掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 (3)空间直线的方程(2课时):掌握空间直线的几种求法(点向式、两点式、参数式、一般式、射影式)。 (5)直线与平面的相关位置(2课时):掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 (6)空间两直线的相关位置(2课时):掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 (7)空间直线与点的相关位置(2课时):掌握直线与点的位置关系及判定方法。 (8)平面束(2课时):掌握平面束的定义(有轴平面束和平行平面束),并能根据题意求平面束的方程。 (二)特殊曲面(8学时)
[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷439 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 2 设f(x)在区间[0,1]上连续,且0≤f(x)≤1,又设则级数 ( ) (A)发散. (B)条件收敛. (C)绝对收敛. (D)敛散性与具体的f(x)有关. 3 设常数a>0,则( ) (A)当0<a<1时,f(x)的最大值是 (B)当0<a<1时,f(x)的最大值是f(0). (C)当a≥1时,f(x)的最小值是 (D)当a≥1时,f(x)的最小值是f(0).
4 设平面区域D(t)={(x,y)|0≤3g≤Y,0<t≤y≤1}, (A)4. (B)一4. (C) (D) 5 设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是( ) (A)Ax=0;A2x=0. (B)A2x=0;A3x=0. (C)A3x=0;A4x=0. (D)A4x=0;A5x=0. 6 设是2阶实矩阵,则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是( ) (A)ad—bc<0. (B)b,c同号. (C)b=c. (D)b,c异号. 7 设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布,则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是( )
(A)X+Y. (B)X-Y. (C)max{X,Y). (D)min{X,Y). 8 设X1,X2,…X n是来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=1,下面说法中正确的是( ) (A) (B)为μ2的无偏估计. (C)由切比雪夫不等式知(ε为任意正数). (D)若μ为未知参数,则样本均值既是μ的矩估计,又是μ的最大似然估计. 二、填空题 9 设三元函数向量l的三个方向角分别为 则u在点O(0,0,0)处方向为l的方向导数 10 设常数a>0,双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成的平面区域记为D,则二重积分 11 微分方程ydx—xdy=x2ydy的通解为________. 12
第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系(右手系)向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算(8—1,19) 方向角与方向余弦(8—1,15) 向量的数量积、向量积、混合积 (8—2,1、3、6、10; 总习题八,1(3)、(4))
应用:判断向量正交、 平行(共线)、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =, ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 (P23,例1、P24,例2,8—3,2、3)
旋转曲面(8—3,7、10) 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =; (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =;
(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =; (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =; (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =; (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程(P33,例3)
()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影(P36,例4、例5、8—4,4) 平面及其方程 建立平面方程:点法式、一般式、截距式、三点式(8—5,1、2、3、6) 平面与平面的夹角(锐角)(8—5,5) 点的平面的距离(8—5,9)
全国硕士研究生入学统一考试数学( 三) 模拟试卷 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.) (1)已知当0→x 时,1)2 31(31 2 -+x 与 1cos -x 是 ( ) (A )等价无穷小 (B )低阶 无穷小 (C )高价无穷小 (D )同阶 但非等价无穷小 (2)设()f x 满足 ()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=,且 (0)2f =,0)0(='f 则( ) (A )0x =是函数()f x 的极小值点 (B )0x =是函数()f x 的极大值点 (C )存在0δ >,使得曲线()y f x =在点 (0,)δ内是凹的 (D )存在0δ >,使得曲线()y f x =在点 (0,)δ内是凸的 (3)设有两个数列 {}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞ =,则正确的是 ( ) (A )当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 1 n n n a b ∞ =∑收敛. (B )当 1 n n b ∞ =∑发散时, 1n n n a b ∞ =∑发散. (C )当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 221 n n n a b ∞ =∑收敛. (D )当 1 n n b ∞ =∑发散时, 221 n n n a b ∞ =∑发散. (4)设22(,)xy z f x y e =-,其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数,则z z y x x y ??+=?? ( ) (A )( ) v xy f e y x '+2 2 (B) v xy u f xye f xy '+'24 (C) ( ) u xy f e y x '+2 2 (D) v xy f xye '2 (5)设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中 12,αα线性无关,若1232αααβ+-=, 1234ααααβ+++=, 1234232ααααβ+++=,则Ax β=的通 解为( ) (A ) 123112213111012k k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ??????? (B ) 12012123201112k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ?-??????
1. 过点M o (1,1-,1)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 39.02=+-z y 3. 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57 (. 5.已知:→ → -AB prj D C B A CD ,则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ) A .4 B .1 C . 2 1 D .2 7.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ) A .平行于x 轴 B .平行于y 轴 C .平行于z 轴 D .过z 轴. 8.平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ) A .平行 B .垂直 C .相交 D .重合 9.直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) A .平行 B .垂直 C .斜交 D .直线在平面内 10.设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为( ) A .5 B . 6 1 C . 51 D .8 1 5.D 7.D 8.B 9.A 10.A . 3.当m=_____________时,532+-与m 23-+互相垂直. 4 . 设 ++=2, 22+-=, 243+-=,则 )(b a p r j c += . 4. 过点),,(382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________. 10.曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线________绕_____________旋转而成的. 3.34-=m ; 4.29 19 9.332212--=+=-x y x ; 10.曲线 1422 =+z y 绕z 轴
56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ()向量的模——有向线段的长度,2||a → ()单位向量,3100|||| a a a a →→ → → == ()零向量,4000→ → =|| ()相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数,使()0λλ (7)向量的加、减法如图: OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) e e a → → → 12,是平面内的两个不共线向量,为该平面任一向量,则存在唯一
实数对、,使得,、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 i j x y →→ ,是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数,,使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=,称,为向量的坐标,记作:,,即为向量的坐标() 表示。 ()()设,,,a x y b x y → → ==1122 ()()()则,,,a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111,, ()()若,,,A x y B x y 1122 ()则,AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212,、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 ()··叫做向量与的数量积(或内积)。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角,,a b → → ∈0
模拟测试题(七) 考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分. (2)本试卷考试时间为180分钟. 一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分) (1)函数sin y x x =+及其表示的曲线 ( ). (A ) 没有极值点,有无限个拐点 ; (B ) 有无限个极值点和无限个拐点 ; (C ) 有无限个极值点,没有拐点 ; (D ) 既无极值点,也无拐点 . (2) 设222 22(0(,)0,0x y x y f x y x y ?++≠?=??+=? 则在(0,0)点处, (,)f x y ( ). (A ) 连续但二偏导数不都存在 ; (B ) 二阶偏导数存在但不连续; (C ) 连续且二偏导数存在但不可微 ; (D ) 可微 . (3)(一、三)设级数 n n a ∞ =∑收敛,则下列三个级数① 2 1 ,n n a ∞ =∑②41 ,n n a ∞ =∑③61 n n a ∞ =∑中( ) (A ) ①、②、③均收敛 ; (B ) 仅②、③收敛 ; (C ) 仅③收敛 ; (D ) ①、②、③均未必收敛 . (3)(二) 设21,0 ()||,(),,0 x x f x x g x x x -≥?==?
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1.已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0. 计算 a b b c c a . 解:因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向,且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 , b c 0 , c a 0 所以 a b b c c a 0 2.已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|. 解: |a b| a b cos 3 (1) |a b| a bsin 4 ( 2) (1)2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4.已知向量 x 与 a (,1,5, 2) 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标. 解:设 x 的坐标为 x,y,z ,又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线,则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 (2) 又 x 与 a 共线, x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6.已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程. 解:因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等,设动点坐标为 M x,y,z ,则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7. 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标. 解: abc r 且它们两两所成的角相等,设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8.已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3), (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积. (2) 求三棱锥 A BCD 的体积. x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷278 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 设f(x)和φ(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则( )。 (A)φ[f(x)]必有间断点 (B)[φ(x)]2必有间断点 (C)f[φ(x)]必有间断点 (D)φ(x)/f(x)必有间断点 2 设常数λ>0,而级数收敛,则级数( ). (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与A有关 3 在曲线z=t,y=-t2,z=t3的所有切线中,与平面x+2y+z=4平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在
4 设函数f(x,y)连续,则二次积分等于 ( ). 5 设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则( ). (A)r>r1 (B)r<r1 (C)r=r1 (D)r与r1的关系由C而定 6 设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( ). (A)λ1=0 (B)λ2=0 (C)λ1≠0 (D)λ2≠0 7 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<P<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( ). (A)3p(0<P<1)2 (B)6p(0<P<1)2
(C)3p2(0<P<1)2 (D)6p2(0<P<I)2 8 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随着σ的增大,概率P{|X-μ|<σ}( ). (A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定 二、填空题 9 设=__________. 10 设曲面∑是z=x2+y2介于z=0与z=4之间的部分,则 __________. 11 设,则a=__________. 12 幂级数的和函数为__________. 13 若f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的,则t的取值范围是 _________. 14 已知随机变量X和Y相互独立,则X~N(1,1),Y~(1,4),又 P{aX+bY≤0}=1/2,则a与b应满足关系式__________.
[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷206 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2,则( ). (A)a=1,b=2 (B)a=一1,b=一2 (C)a=0,b=一3 (D)a=0,b=3 2 设(x+y≠0)为某函数的全微分,则a为( ). (A)一1 (B)0 (C)1 (D)2 3 若正项级数( ). (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛
(D)敛散性不确定 二、填空题 4 =________. 5 =_________. 6 =_________. 7 =_________. 8 ∫0+∞x5e-x2dx=________. 9 一平面经过点M1(2,1,3)及点M2(3,4,一1),且与平面3x—y+6z一6=0垂直,则该平面方程为________. 10 设y=y(x)满足(1+x2)y'=xy且y(0)=1,则y(x)=________. 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11 求. 12 求.
13 讨论f(x)=在x=0处的可导性. 14 证明:当x>0时,. 15 求下列不定积分: 16 求. 17 求cos2xdx. 18 设f(x)在区间[a,b]上阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫a b f(x)dx=(b- a)f''(ξ). 19 设z=. 20 设μ=x yz,求dμ.
21 求max{xy,1}dxdy,其中D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}. 22 求dxdy,其中D:x2+y2≤π2. 23 计算xdydz+ydzdx+zdxdy,其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上侧. 24 判断级数的敛散性,若收敛是绝对收敛还是条件收敛. 25 求微分方程xy'+(1一x)y=e2x(x>0)的满足=1的特解. 26 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比,比例系数为k>0,设融化过程 中形状不变,设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的,求全部融化需要的时间.
一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101
* 4.微分方程 y 2 y x e 2x 的特解 y 形式为() . * 2x * 2 x (A) y (ax b)e (B) y ax e (C) y * ax 2 e 2x (D) y * ( ax 2 bx)e 2 x 2016 年考研数学模拟试题(数学二) 参考答案 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项的字母填在题后的括号内) 1.设 x 是多项式 0 P( x) x 4 ax 3 bx 2 cx d 的最小实根,则() . (A ) P ( x 0 ) 0 ( B ) P ( x 0 ) 0 (C ) P ( x 0 ) 0 ( D ) P (x 0 ) 0 解 选择 A. 由于 lim P( x) x x 0 ,又 x 0 是多项式 P(x) 的最小实根,故 P (x 0 ) 0 . 2. 设 lim x a f ( x) 3 x f (a) a 1 则函数 f ( x) 在点 x a () . (A )取极大值( B )取极小值( C )可导( D )不可导 o o 解 选择 D. 由极限的保号性知,存在 U (a) ,当 x U (a) 时, f ( x) 3 x f (a) a 0 ,当 x a 时, f ( x) f (a) ,当 x a 时, f ( x) f (a) ,故 f ( x) 在点 x a 不取极值 . lim f ( x) f (a) a lim f ( x) f (a) a 1 x a x x a 3 x 3 ( x a) 2 ,所以 f ( x) 在点 x a 不可导 . 3.设 f ( x, y) 连续,且满足 f ( x, y) f ( x, y) ,则 f (x, y) dxdy () . x 2 y 2 1 (A ) 2 1 1 x 2 1 1 y 2 0 dx f ( x, y)dy ( B ) 2 0 dy 1 y 2 f ( x, y)dx 1 1 x 2 1 1 y 2 (C ) 2 dx 1 x 2 f ( x, y)dy ( D ) 2 dy f ( x, y)dx 解 选择 B. 由题设知 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy 2 1 0 dy 1 y 2 1 y 2 f ( x, y)dx . x 2 y 2 1 x 2 y 2 1, y 0
线性代数与空间解析几何总结 线性代数和空间解析几何是非数学专业的一门基础课程,可以看做是高等代数和解析几何的简化版。其内容大概分为八章,以线性代数内容为主,穿插少量解析几何知识。全书逻辑严谨,内容关联性强,但是缺乏直观性,对于没有基础的大一新生,不免显得生硬。 第一章主要讲述行列式相关内容,直接给出了行列式的定义。这一章的重点内容是根据行列式的定义推出一些性质,利用定义推导出行列式运算的一些性质,并且根据这些性质灵活的化简计算具体的行列式。其实行列式的计算相当繁琐,我们只需要掌握最基本的一些方法,如构造三角行列式(这种方法很重要,矩阵初等变换也要用)、加边法、递推法等等,还有一个重要的范德蒙行列式需要掌握。在章末,给出了克莱姆法则及其在解方程组时的应用,这本来是线性方程组理论内容,为了强化行列式的应用,放在了第一章介绍。 第二章讲述矩阵的基本内容,这是全书的核心,而矩阵理论也是整个线性代数体系的核心内容之一。这一章内容很多,而且联系复杂,但以矩阵的逆和秩为中心内容。首先,介绍的是矩阵的基本概念,基本分类和基本运算,对于矩阵的运算,比较重要的是矩阵与矩阵之间的乘法,这是个新运算,要多加练习,在此基础上,还引出了方阵的幂的概念。然后就开始通过单位矩阵和1的类比,引出矩阵的逆的概念,给出了矩阵逆的性质,给出了判别矩阵是否可逆的充要条件(以后还有很多补充)和求逆矩阵的伴随矩阵法。接着通过解线性方程组的一般解法,引出矩阵的初等变换,给出了行阶梯型矩阵、行最简型矩阵和标准型矩阵的概念。给出了矩阵秩的定义(显然,一个方阵是否可逆与其是否满秩是等价的),指出初等行变换不会改变矩阵的秩,并给出了求矩阵秩的方法——化矩阵为行阶梯型矩阵。接着,又给出了初等矩阵的定义,并且将矩阵初等变换和矩阵与一个初等矩阵相乘建立起一一对应的关系,用初等变换将矩阵化为标准型,显然,根据初等变换不该变矩阵的秩,则初等变换不改变矩阵可逆性,由于我们可以很容易地观察出标准型矩阵的秩和行列式,所以若一个方阵可逆,它的标准型必然是一个单位阵。于是,每个可逆矩阵都可以写成N个初等矩阵的乘积,且初等矩阵都是可逆的,并且都有其明确的变换意义,我们便利用这个结论给出了求可逆矩阵的一般方法——初等变换法(很重要)。最后一部分介绍的是关于分块矩阵的一些知识,其实这些内容是矩阵内容的推广,把矩阵中的元素由数换成了矩阵,内容可以类比于矩阵进行学习,但要注意由于矩阵并不是数,所以比如说行列式运算与一般矩阵的运算法则不同,这种问题最好还是化为一般矩阵处理,以免超范围使用性质,造成不必要的错误。值得一提的是,分块矩阵的秩的性质很重要,在书的后续内容中有着广泛的应用。 第三章是空间向量,属于向量理论范畴,这是线性代数体系的另一个核心内容,它与线性方程组理论和解析几何有着紧密的联系。本章主要介绍基本的空间几何即三维向量知识,为学习更深一层向量理论给出一个直观印象,这是本书中空间解析几何部分的内容。首先给出三维向量的直观概念,空间中既有大小又有方向的量,然后给出了一些性质;建立坐标系,向量线性运算转化为坐标运算,这些都可以类比于平面向量学习。下面介绍空间中的平面和直线的知识,这是本章的重点。给出了平面在空间直角坐标系中的方程,利用两个平面的交线是直线这一结论给出直线方程的一般形式,根据方程解的情况讨论空间平面和直线的位置关系。空间中主要解决距离和角度两个问题,通过引入的向量积和平面法向量,给出了一系列相关求解公式,当然,理解这些公式的推导是更重要的,这能大大简化问题的求解。最后,书中还给出了平面束和投影的概念,求解直线在某一平面上的投影方程的方法要掌握。
2011考研数学三模拟题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。 (1)()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()b a M xf x dx = ? , 1[()()]2 b a N b f x dx a f x dx = +??,则必有( ) (A )M N ≥;(B )M N ≤;(C )M N =;(D )2M N =; (2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞ 内可导,函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为( ) (A) (B)
(C) (D) (3)设有下列命题: ①若2121 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛,则1 n n u ∞ =∑收敛; ②若1 n n u ∞ =∑收敛,则10001 n n u ∞ +=∑收敛; ③若1lim 1n n n u u +→∞ >,则1 n n u ∞=∑发散; ④若1 ()n n n u v ∞=+∑收敛,则1 n n u ∞=∑,1 n n v ∞ =∑收敛 正确的是( ) (A )①②(B )②③(C )③④(D )①④ (4)设2 2 ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=,则( ) (A )51,2 a b ==-;(B )0,2a b ==-;(C )50,2 a b ==-;(D )1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0A x =有非零解,则非齐次线性方程组(II )T A x b =, 对任何12(,,)T n b b b b = (A )不可能有唯一解; (B )必有无穷多解; (C )无解; (D )可能有唯一解,也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 (A )1 (2)n A B --; (B )2T A B -; (C )12A B --; (D )1 2(2) n A B -- (7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X 为来自X 的样本,X 为样本均值,则( )
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 的模是(A ) A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =(1,-1,3), b =(2,-1,2),求c =3a -2b 是( B ) A (-1,1,5). B (-1,-1,5). C (1,-1,5). D (-1,-1,6). 3. 设a =(1,-1,3), b =(2, 1,-2),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12213+=-=z y x 的距离是:( A ) A 138 B 118 C 158 D 1
7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是:( D ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( A ) A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是:( D ) A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x . 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ,则必有( C ); A -+a b =a b ; B =a b ; C 0?a b =; D ?a b =0. 11、设,a b 为非零向量,且a b ⊥, 则必有( C ) A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b 12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =,则Pr j b a =( D ); A 5 3; B 5; C 3;