2018河南省中原名校高三第五次联考文科数学试题及答案

中原名校2017-2018学年第五次质量考评

高三数学（文）试题

（考试时间：120分钟

试卷满分：150分）

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合{}14224|()93

x A B x ?

?=--=>???

?

，，，，，则A B =

A. {}4

B. {}4-

C. {}24，

D. {}42--，

2. 已知复数z 满足z(3-i)=1-2i ，则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.

sin 37522?+?的值为

A.

2

B.

12

C. 2

-

D. 12

-

4. 已知向量(21)(13)a b =-=，，，，且()a a mb ⊥+，则m = A. 1 B. 5

C. -1

D. -5

5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形网格中粗线画出的是某“堑

堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为 A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

6. 下图为2017年3?11月某市接待游客人数及与上年同期相比增速图，根据该图给出下列结论：①2017年11月该市共接待旅客35万人次，同比下降了3.1%；②整体看来，该市2017年3?11月接待游客数量与上年同期相比都处于下降状态；③2017年10月该市接待游客人数与9月相比的增幅小于2017年5月接待游客人数与4月相比的增幅. 其中正确结论的个数为 A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

7. 已知双曲线22

:1(0)1x y C m m m

-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为 A.

95

B.

94

D.

32

8. 若x ，y 满足约束条件120(21)(1)0x y x y x x -≤??

-≥??+-≤?

，则242x y x --+的最

大值为 A. 3 B. 7 C. 9

D. 10

9. 执行如图所示的程序框图，若输出的n 的值为5，则判断框内填入的条件可以是 A. sin 0n >？

B. cos 0n >？

C. 12n n -≤？

D. 234n n ≤+？

10. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过点E(4, 0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则2AF BF +的最小值为

A. 3+

B. 7

C. 3+

D. 9

11. 已知函数2

()2sin ()()1cos()424x f x x g x π

π=+

=++，的图象在区间()22

m m ππ

-+， 上有且只有9个交点，记为()(129)i i x y i =，，，，，则9

1

()i

i

i x y =+=∑

A.

92

π

B. 8

C.

982

π

+ D.

992

π

+ 12. 已知4()(2)(0)1

x

f x a x x x =-+

>+，若曲线()f x 上存在不同两点A ，B ，使得曲线()f x 在点A ，B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是

A. (

B. (-2, 2)

C. (2)

D. (2-

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字分别作为()a b c a b c <<，，，则a b c +>的概率是________. 14. 设函数2

1020ax x x x a x -≤??

++>?，，

，若((1))1f f =，则a =_________.

15. 已知三棱锥P-ABC 中，PA=PB=2PC=2，ABC ?

则三棱锥P-ABC 的外接球半径为_________. 16. 已知ABC ?中，2

A π

=

，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，点D 在边BC 上，AD=l ，

且BD=2DC ，∠BAD=2∠DAC ，则

sin sin B

C

=__________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1111

22

n n n n a S a a S +++=-

=，.

(1)求n S 及n a ；

(2)若111

n n n n n S b S S n -+??=???为奇数为偶数

，

，

，求{}n b 的前2n 项的和2n T .

18.（本小题满分12分）

2017年10月18日上午9:00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕. 习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调査网站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC 端口观看的人数之比为4：1. 将这200人按年龄分组：第1组[15, 25)，第2组

[25, 35)，第3组[35, 45)，第4组[45, 55)，第5组[55, 65)，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求a 的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；

(2)把年龄在第1，2，3组的观众称为青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒方式PC 端口观看的中老年人有12人，请完成下面2×2列联表，则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =

+++样本容量）.

19.（本小题满分12分）

如图甲，在四边形ABCD 中，2AD CD ==，△ABC 是边长为4的正三角形，把△ABC 沿AC 折起到△PAC 的位置，使得平面PAC 丄平面ACD ，如图乙所示，点O ，M ，N 分别为棱AC ，PA ，AD 的中点.

(1)求证：AD 丄平面PON ； (2)

求

三

棱

锥

M-ANO

的

体

积

.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ，上顶点为G ，直线FG 与直线

0x =垂直，椭圆E 经过点3

(1)2

P ，.

(1)求椭圆E 的标准方程；

(2)过点F 作椭圆E 的两条互相垂直的弦AB ，CD. 若弦AB ，CD 的中点分别为M ，NM ， 证明：直线MN 恒过定点.

21.（本小题满分12分）

已知32

3()(1)ln ()2

x

f x x e e x

g x x x a =--=-++，

. (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若存在1(0)x ∈∞，及唯一正整数2x ，使得12()()f x g x =，求a 的取值范围.

【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4: 坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ?

?

=+??

=? （?为参数），在以坐

标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为

sin()4

π

ρθ+=(1)求曲线C 的极坐标方程；

(2)若射线(00)4

π

θαρα=><<，

与曲线C 交于点0，A ，与直线l 交于点B ，求

OA OB

的

取值范围.

23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】

已知函数()212f x x ax =-+-.

(1)若1a =-，解不等式()x

f x x

>

； (2)若对任意x ∈R ，恒有()f x a ≥-，求实数a 的取值范围.

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高三数学（文）参考答案

1. B 【解析】因为{}{}14224|()9|23

x A B x x x ?

?=--=>=<-???

?

，，，，，所以

{}4A B =-，故选B.

2. D 【解析】因为z(3-i)=1-2i ，所以12(12)(3)11

3(3)(3)22

i i i z i i i i --+=

==---+，所以复数z 在复平面内对应的点为1

1()22

-，

，位于第四象限，故选D.

3. A 【解析】

375cos 45cos375sin 45sin 37522

?+?=??+??

cos(37545)cos330cos30=?-?=?=?=

A. 4. B 【解析】由(21)(13)a b =-=，，，可得251a a b =?=-，， 所以2()050a a mb a a b m ⊥+?+?=?-=所以5m =，故选

B.

5. C 【解析】由题意知，该“堑堵”的正视图是三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长为4，则其面积为4，故选C.

6. C 【解析】①正确，②正确，2017年10月该市接待游客人数与9月相比的增幅为

37.632.3 5.3

0.16432.332.3-=≈，2017年5月该市接待游客人数与4月相比的增幅为

39.035.04

0.11435.035.0

-=≈，③错，故选C.

7. C 【解析】设(0)(0)F c c ->，，将(0)F c -，代入2226150x y x y +---=中得，

22150c c +-=，解得c=3，所以2194m m c m ++===，，所以双曲线C 的离心率

e =

= C. 8. C 【解析】根据题意画出可行域如图所示（图中阴影部分），由可行域可知1

12

x -

≤≤，3

22

y -

≤≤，所以240x y --<， 所以|24|224224x y x x y x x y --+=-+++=++，设24z x y =++， 当直线11

222

y x z =-

+-过点A(1, 2)时，z 取得最大值，为9，故选C.

9. D 【解析】对于选项A ，由sin1>0，sin2>0，sin3>0，sin4<0，可知输出的n 的值为4；

对于选项B ，由cos1>0，cos2<0可知，输出的n 的值为2；对于选项C ，由11

2

1-=，

21312223--=>，，可知输出的n 的值为3；对于选项D ，由23414n n n ≤+?-≤≤，可

知输出的n 的值为5，故选D.

10. C 【解析】由抛物线C 的焦点F 到其准线的距离为2，得p=2，设直线l 的方程为

4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，

设221212()()44y y A y B y ，，，，则1216y y =-，所以22

12212(1)44

y y AF BF +=+++

221233342y y =++≥=+221242y y =，即22122y y =时，取等号），故选C.

11. D 【解析】由()1012

g π=+=，可知()g x 的图象关于点(

1)2

π

，对称，

由2

()2sin ()1cos(2)1sin 242f x x x x π

π=+

=-+=+，可得()1012

f π

=+=， 所以()f x 的图象关于点(

1)2

π

，对称，

所以

9

9

9

1

1

1

()i i i i i i i x y x y ===+=+∑∑∑942421192

2

2

π

π

π

=??

+

+??+=

+，故选D. 12. A 【解析】由4()(2)(0)1x f x a x x x =-+

>+，得2

4

'()2(1)

f x a x =-++，由0x >可得2'()2a f x a -<<+，设1122()()A x y B x y ，，，，则两切线斜率分别为11'()k f x =，

22'()k f x =，由122222a k a a k a -<<+-<<+，且121k k =-，可得

20

20

(2)(2)1a a a a -

+>??-+<-?

，解得a < A. 13.

3

10

【解析】从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字分别作为()a b c a b c <<，，，所 有可能的结果有(1, 3, 5)，(1, 3, 7)，(1, 3, 9)，(1, 5, 7)，(1, 5, 9)，(1, 7, 9)，(3, 5, 7)，(3, 5, 9)，(3, 7, 9)，(5, 7，9)，共 10种，满足a b c +>的结果有 (3, 5, 7)，(3, 7, 9)，(5, 7, 9)，共3种，所以所求概率310

P =

.

14. -3或-2【解析】因为(1)3f a =+，

所以30

((1))1(3)11(3)1a f f f a a a +≤?=?+=??

-+=?或2

30(3)2(3)1

a a a a +>??++++=? 330a a a ≤-???

=-=?或或3

72a a a >-??=-=-?

或，所以3a =-或2a =-.

PC ⊥平面ABC ，以PC 为一条侧棱，△ABC 为底面把三棱锥 P-ABC 补成一个直三棱柱，则该直三棱柱的外接球就是三棱锥P-ABC 的外接球，且该直三棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点就是球心，因为底面外接圆的半r=1，所以三棱锥 P-ABC

的外接球半径2

R ==

.

2A π=及∠BAD=2∠DAC ，可得36BAD DAC ππ∠=∠=，

， 由BD=2DC ，令DC=x ，则BD=2x ，因为AD=1，在△ADC 中，由正弦定理得

1sin sin 6

x

C π

=

， 所以1sin 2C x =，在△ABD

中sin

3sin 24B x x π

=

=

，所以sin 41sin 22B x C x

==17.（本小题满分12分） 【解析】（1）由1

12n n n n

a S a S +++=-

得，1120n n n a S S +++=，即1120n n n n S S S S ++-+=， 所以

111

2n n

S S +-=. （2分） 又111

2S a ==

，所以1n S ??????

以2为首项，2为公差的等差数列. 所以

1

2(1)22n

n n S =+-?=，故12n S n =. （4分） 所以当2n ≥时，11112222(1)

n n n a S S n n n x -=-=

-=---，

所以112

122(1)

n n a n n x ?=??=??-≥-??，，. （5分）

（2）由（1）知2111

()811

n n n b n n n ??

=?-?-+?为奇数为偶数，

，， 所以2132126422n b b b n n -++

+=++

+-=， （9分）

242111111

(1)83352121

n b b b n n ++

+=-+-++--+

11(1)82184

n n n =-=++， 所以2

2284n n T n n =++. （12分）

18.（本小题满分12分）

【解析】（1）由频率分布直方图可得：10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=l ， 解得 a=0.035， （3分）

所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：

20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5 （6分） （2）由题意得2×2列联表:

（8分）

计算得2

K 的观测值为2

200(28641296) 1.3582 2.7064016012476

k ??-?=

≈

【解析】（1）因为△APC 为正三角形，O 为AC 的中点，所以P0丄AC ， 因为平面PAC 丄平面ACD ，平面PAC ∩平面ACD=AC ，所以PO 丄平面ACD ， 因为AD ?平面ACD ，所以PO 丄AD ， （3分）

因为2AD CD ==，AC=4，所以222AC AD CD =+，所以AD 丄CD ， 因为O ，N 分别为棱AC ，AD 的中点，所以ON//CD ，所以ON 丄AD ， 因为PO ∩ON=O ，所以AD 丄平面PON. （6分） （2）由AD 丄CD

，2AD CD ==，，

可得1

22

ACD S ?=

??= 而点O ，N 分别是棱AC ，AD

的中点，所以14NAO ACD S S ??=

=

， （9分） 由△ACP 是边长为4

的等边三角形，可得OP =即点P 到平面ACD

的距离为

又M 为PA 的中点，所以点M 到平面ANO

故11

32

M ANO V -=

=. （12分） 20.（本小题满分12分）

【解析】（1）因为直线FG

与直线0x =垂直，所以3OG OF =（O 为坐标原点），

即b =，所以222

2

43

a b c b =+=

， （2分） 因为点3(1)2P ，在椭圆E 上，所以

221914a b

+=， 由22

2243191

4a b a

b ?=????+=??，解得2243a b ==，， 所以椭圆E 的标准方程为22

143

x y +=. （4分） （2）当直线AB ，CD 的斜率都存在时，

设直线AB 的方程为1(0)x my m =+≠，则直线CD 的方程为1

1x y m

=-

+， 由22

1431x y x my ?+=???=+?

可得22

(34)690m y my ++-=，

设1122()()A x y B x y ，，，，则121222

69

3434

m y y y y m m +=-

?=-++，. （6 分） 由中点坐标公式得2243(

)3434

m

M m m -++，，

同理可得22243()4343

m m

N m m ++，， （8分）

所以直线MN 的方程为24(1)4

77

m x y m --

=. 令y=0，得47x =

，所以直线MN 经过定点4

(0)7

，

. （11分） 当直线AB 或CD 的斜率不存在时，易知直线MN 为x 轴，也经过定点4

(0)7

，. 综上所述，直线MN 经过定点4

(0)7

，

. （12分） 21.（本小题满分12分）

【解析】（1）因为()(1)ln x f x x e e x =--，所以'()x

e f x xe x

=-

， 由0x >，可知'()x

e

f x xe x

=-

是增函数，又'(1)0f e e =-=，（2分） 所以x ∈(0, 1)时，'()0f x <，()f x 是减函数， 当(1)x ∈+∞，时，'()0f x >，()f x 是增函数，

所以()f x 的单调递减区间是(0, 1)，单调递增区间是(1)+∞，. （5分） （2）因为(1)0f =，所以由（1）知，()f x 在(0)+∞，上的值域为[0)+∞，， 存在1(0)x ∈∞，及唯一正整数2x ，使得12()()f x g x =， 即满足()0g x ≥的正整数解只有1个，（8分）

因为32

3()2

g x x x a =-+

+，所以2'()333(1)g x x x x x =-+=--， 所以()g x 在(0, 1)上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，

所以(1)0(2)0g g ≥??

0220a a ?+≥???-+

，解得122a -≤<.

所以a 的取值范围是1[2)2

-

，. （12分） 22.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程 【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos sin x y ?

?=+??

=?

（?为参数），消去参数?得曲线C 的普

通方程为22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，

由222cos sin x y x y ρρθρθ=+==，，得曲线C 的极坐标方程为22cos ρρθ=， 即2cos ρθ=. （5分）

（2）设12()()A B ραρα，，，

，则122cos sin()

4

ραρπ

α==+，

，

所以22cos sin()sin cos cos 111

sin 2cos 22444OA OB π

ααααααα++===++

1

)44

πα=

++， （8分） 由04

π

α<<

，得

324

4

4π

π

πα<+

<

，所以sin(2)124

π

α<+≤， 所以

OA OB

的取值范围是11(24

+，

. （10分）

23.（本小题满分10分）选修4-5: 不等式选讲 【解析】（1）因为1a =-，所以当0x >时，()2130x

f x x x x

>

?---> 102320x x ?<≤????-->?或14240

x x x ?

>??>??->?， （2分） 0x <时，0()01221x x

f x x x x x ??-?

，

所以()x

f x x

>

的解集为(0)(4)-∞+∞，，. （5分）

（2）对任意x R ∈，恒有()f x a ≥-，则()f x 有最小值，

因为1(2)32

()1(2)12

a x x f x a x x ?

+-≥??=??--<

??，，，

所以2020

a a +≥??-≤?，即22a -≤≤时，()f x 有最小值11

()222f a =-， （8分)

由

122a a -≥-，22a -≤≤得4

23

a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是4

[2]3

，. （10分）