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2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.7立体几何中的向量方法(一)__证明平行与垂直理

第八章立体几何 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与

垂直理

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法

向量，则求法向量的方程组为?

n ·a ＝0，

n ·b ＝0.

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( × )

(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × )

1．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )

A ．(－1,1,1)

B ．(1，－1,1)

C ．(－

33，－33，－33

) D ．(

33，33，－3

) 答案 C

解析设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，则???

n ·AB →＝0，

n ·AC →＝0，

化简得???

－x ＋y ＝0，

－x ＋z ＝0，

∴x ＝y ＝z .故选C.

2．直线l 的方向向量a ＝(1，－3,5)，平面α的法向量n ＝(－1,3，－5)，则有( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l 与α斜交 D ．l ?α或l ∥α

答案 B

解析由a ＝－n 知，n ∥a ，则有l ⊥α，故选B.

3．平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )

A ．2

B ．－4

C ．4

D ．－2 答案 C

解析 ∵α∥β，∴两平面法向量平行， ∴

－21＝－42＝k

－2

，∴k ＝4. 4．(教材改编)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．答案 α⊥β α∥β

解析当v ＝(3，－2,2)时，u ·v ＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ?α∥β.

5．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．

答案垂直

解析以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→

所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正

方体棱长为1，则A (0,0,0)，M (0,1，12)，O (12，1

，0)，

N (1

，0,1)，AM →·ON →

＝(0,1，12)·(0，－12

，1)＝0，

∴ON 与AM 垂直.

题型一利用空间向量证明平行问题

例1 (2016·重庆模拟)如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .

证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ，

∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，

B (2，0,0)，

C (2,2,0)，

D (0,2,0)，P (0，0,2)，

E (0,0,1)，

F (0,1,1)，

G (1，2,0)．

∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →

＝(1,1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，

即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，

∴????

t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，

解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →

，

又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →

共面． ∵PB ?平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .

引申探究

本例中条件不变，证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →＝(0,1,0)，BC →

＝(0,2,0)， ∴BC →＝2EF →

，∴BC ∥EF .

又∵EF ?平面PBC ，BC ?平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ，

同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ?平面EFG ，GF ?平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .

思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

(2016·北京海淀区模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中

点．求证：MN ∥平面A 1BD .

证明如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，则M (0,1，12)，N (1

2，1,1)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，

于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →

＝(1,1,0)．

设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则n ·DA 1→

＝0，且n ·DB →

＝0，得???

x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.

取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1. 所以n ＝(1，－1，－1)．

又MN →

·n ＝(12，0，12

)·(1，－1，－1)＝0，

所以MN →

⊥n .

又MN ?平面A 1BD ，所以MN ∥平面A 1BD . 题型二利用空间向量证明垂直问题命题点1 证线面垂直

例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为

CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .

证明方法一设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →

令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →

＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→

＝a －c ，

m ＝λBA 1→＋μBD →＝?

???

λ＋12μ

a ＋μ

b ＋λ

c ， AB 1→·m ＝(a －c )·????

???

??λ＋12

μa ＋μb ＋λc ＝4? ????λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证．方法二取BC 的中点O ，连接AO .

因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .

因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.

取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →

所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，

A (0,0，3)，

B 1(1,2,0)．

设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →

＝(－2,1,0)．因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →

，故???

n ·BA 1→＝0，

n ·BD →＝0

???

－x ＋2y ＋3z ＝0，

－2x ＋y ＝0，

令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，

故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→

∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证面面垂直

例3 (2017·武汉月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面

PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝

AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．

(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PDC .

证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .

因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .

因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .

又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB . 又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为PA ＝PD ＝

22AD ，所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2

. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (a 2，0,0)，F (0，a 2，0)，D (－a 2，0,0)，P (0,0，a 2)，B (a 2，a,0)，C (－a

，a,0)．

因为E 为PC 的中点，所以E (－a 4，a 2，a

)．

易知平面PAD 的一个法向量为OF →

＝(0，a 2，0)，

因为EF →

＝(a 4，0，－a 4

)，

且OF →·EF →

＝(0，a 2，0)·(a 4，0，－a 4

)＝0，

所以EF ∥平面PAD .

(2)因为PA →

＝(a 2，0，－a 2)，CD →＝(0，－a,0)，

所以PA →·CD →

＝(a 2，0，－a 2

)·(0，－a,0)＝0，

所以PA →⊥CD →

，所以PA ⊥CD .

又PA ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC . 又PA ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC . 思维升华证明垂直问题的方法

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

(2016·青岛模拟)如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB

＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊1

BC ，二面角A 1－AB －C 是直二面角．求证：

(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .

证明 (1)∵二面角A 1－AB －C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， ∴AA 1⊥平面BAC . 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，

∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ， ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．

建立如图所示的空间直角坐标系，点A 为坐标原点，

设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．

A 1

B 1→＝(0,2,0)，A 1A →＝(0,0，－2)，A

C →

＝(2,0,0)，

设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则???

n ·A 1A →＝0，

n ·AC →＝0，即?

－2z ＝0，

2x ＝0，

即???

x ＝0，

z ＝0，

取y ＝1，则n ＝(0,1,0)．

∴A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→

∥n . ∴A 1B 1⊥平面AA 1C .

(2)易知AB 1→＝(0,2,2)，A 1C 1→＝(1,1,0)，A 1C →

＝(2,0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则???

m ·A 1C 1→＝0，

m ·A 1C →＝0，

即?

x 1＋y 1＝0，

2x 1－2z 1＝0，

令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB 1→

·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ∴AB 1→

⊥m .

又AB 1?平面A 1C 1C ，∴AB 1∥平面A 1C 1C . 题型三利用空间向量解决探索性问题

例4 (2016·北京)如图，在四棱锥PABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，

AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.

(1)求证：PD ⊥平面PAB ；

(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；

(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM

的值；若不存在，说明理由． (1)证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB ?平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PAD .

∵PD ?平面PAD ，∴AB ⊥PD .

又PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，且PA ，PB ?平面PAB ， ∴PD ⊥平面PAB .

(2)解取AD 中点O ，连接CO ，PO ，

∵PA ＝PD ， ∴PO ⊥AD .

又∵PO ?平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∵CO ?平面ABCD ， ∴PO ⊥CO ，

∵AC ＝CD ，∴CO ⊥AD .

以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系．易知P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0，－1,0)，C (2,0,0)．则PB →＝(1,1，－1)，PD →＝(0，－1，－1)，PC →

＝(2,0，－1)． CD →

＝(－2，－1,0)．

设n ＝(x 0，y 0,1)为平面PCD 的一个法向量．

由???

n ·PD →＝0，

n ·PC →＝0

得?

－y 0－1＝0，

2x 0－1＝0，解得?

???

y 0＝－1，x 0＝1

即n ＝? ??

??12，－1，1.

设PB 与平面PCD 的夹角为θ. 则sin θ＝|cos 〈n ，PB →

〉|＝|n ·PB →

||n ||PB →|＝

－1－1|1

＋1＋1×3

＝33

. (3)解设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →，因此点M (0,1－λ，λ)，BM →

＝(－1，－λ，λ)，

∵BM ?平面PCD ，∴BM ∥平面PCD ，

∴BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·? ??

??12，－1，1＝0，解得λ＝14，∴在棱PA 上存在点M 使

得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝1

思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．

(2016·深圳模拟)如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，

NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．

(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；

(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．

解 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz ，

依题意得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)，E (1

2，1,0)，

所以NE →＝(－12，0，－1)，AM →

＝(－1,0,1)，

因为|cos 〈NE →，AM →

〉|＝|NE →·AM →||NE →||AM →|＝1

252×2

＝1010.

所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为

1010

. (2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN . 连接AE ，如图所示．

因为AN →＝(0,1,1)，可设AS →＝λAN →

＝(0，λ，λ)，又EA →＝(1

，－1,0)，

所以ES →＝EA →＋AS →

＝(12，λ－1，λ)．

由ES ⊥平面AMN ，得???

ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，

即?????

－12＋λ＝0，

λ－1 ＋λ＝0，

解得λ＝1

，

此时AS →＝(0，12，12)，|AS →

|＝22.

经检验，当AS ＝

时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS ＝22

19．利用向量法解决立体几何问题

典例 (12分)(2016·吉林实验中学月考)如图1所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图2所示．

(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E －DF －C 的余弦值；

(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．思想方法指导对于较复杂的立体几何问题可采用向量法

(1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．

(2)两种思路：①选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．②建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．规范解答

解 (1)AB ∥平面DEF ，理由如下：

在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB . 又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ， ∴AB ∥平面DEF .[1分]

(2)以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，[3分] 易知平面CDF 的法向量为DA →

＝(0,0,2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则?????

DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，

即??

x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，

取n ＝(3，－3，3)，

cos 〈DA →

，n 〉＝DA →·n |DA →||n |＝217，

∴二面角E －DF －C 的余弦值为

.[6分] (3)设P (x ，y,0)，则AP →·DE →

＝3y －2＝0， ∴y ＝233

又BP →＝(x －2，y,0)，PC →

＝(－x,23－y,0)， ∵BP →∥PC →

，∴(x －2)(23－y )＝－xy ， ∴3x ＋y ＝2 3.[9分]

把y ＝233代入上式得x ＝43，∴P (43，233，0)，

∴BP →＝13

BC →

，

∴在线段BC 上存在点P (43，23

，0)，使

AP ⊥DE .[12分]

1．(2016·茂名调研)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.65

7 答案 D

解析由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，

∴????

7＝2t －μ，

5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，

∴?????

t ＝337

，

μ＝17

7，

λ＝657.

2．(2017·西安质检)若平面α，β的法向量分别是n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β

B ．α⊥β

C ．α，β相交但不垂直

D ．以上答案均不正确

答案 C

解析 ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0， ∴n 1与n 2不垂直，且不共线． ∴α与β相交但不垂直．

3．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点

P 中，在平面α内的是( )

A ．P (2,3,3)

B ．P (－2,0,1)

C ．P (－4,4,0)

D ．P (3，－3,4)

答案 A

解析逐一验证法，对于选项A ，MP →

＝(1,4,1)，

∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →

⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．

4．若AB →＝λCD →＋μCE →

，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行

C ．在平面内

D ．平行或在平面内答案 D

解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →、CD →、CE →

共面， ∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内．

5．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C

解析 ∵α⊥β，则u ·v ＝－2×6＋2×(－4)＋4t ＝0，∴t ＝5.

6．(2016·泰安模拟)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和

AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A ．斜交

B ．平行

C ．垂直

D ．MN 在平面BB 1C 1C 内

答案 B

解析建立如图所示的空间直角坐标系，

由于A 1M ＝AN ＝

2a 3

，则M (a ，2a 3，a 3)，N (2a 3，2a 3，a )，MN →

＝(－a 3，0，2a 3)．

又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，

所以C 1D 1→

＝(0，a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量．因为MN →·C 1D 1→

＝0，

所以MN →⊥C 1D 1→

，又MN ?平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .

7．(2017·广州质检)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β

的位置关系是

__________________________．答案 α∥β

解析设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB →

＝0，得x ·0＋y －z ＝0?y ＝z ，由m ·AC →

＝0，得x －z ＝0?x ＝z ，取x ＝1， ∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ， ∴m ∥n ，∴α∥β.

8．(2016·潍坊模拟)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →

＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →

是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →

.其中正确的是________．答案 ①②③

解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →

＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB →与AD →

不平行，

∴AP →

是平面ABCD 的法向量，则③正确．

∵BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →

＝(－1,2，－1)， ∴BD →与AP →

不平行，故④错误．

*9.如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)．若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为________．

答案

解析由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．

则A (0，－1,0)，B (0,1,0)，S (0,0，3)，M (0,0，3

)，设P (x ，y,0)， ∴AM →

＝(0,1，32)，MP →＝(x ，y ，－32)，即y ＝34，

∴点P 的轨迹方程为y ＝3

根据圆的弦长公式，可得点P 形成的轨迹长度为2

1－ 34 2＝72.

10.如图，在三棱锥PABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.

(1)证明：AP ⊥BC ；

(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .

证明 (1)如图所示，以O 为坐标原点，OD ，OP 所在直线为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .

则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，

B (4,2,0)，

C (－4,2,0)，P (0,0,4)．

于是AP →

＝(0,3,4)， BC →

＝(－8,0,0)，

∴AP →·BC →

＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， ∴AP →⊥BC →

，即AP ⊥BC . (2)由(1)知AP ＝5，

又AM ＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝? ??

??0，95，125，

又BC →＝(－8,0,0)，AC →

＝(－4,5,0)，

BA →

＝(－4，－5,0)，

∴BM →＝BA →＋AM →＝? ?

???－4，－165，125，

则AP →·BM →＝(0,3,4)·? ????－4，－165，125＝0，

∴AP →⊥BM →

，即AP ⊥BM ，

又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ?平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .

11．(2016·长沙模拟)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，

PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．

(1)求证：EF ⊥CD ；

(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．

(1)证明如图，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

设AD ＝a ，则D (0,0,0)，

A (a,0,0)，

B (a ，a,0)，

C (0，a,0)，E ?

??a ，a 2

，0，

P (0,0，a )，F ? ??

??a 2，a 2，a 2.

EF →

＝? ??

??－a

，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．

∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →

，即EF ⊥CD .

(2)解设G (x,0，z )，则FG →＝? ????x －a

，－a 2，z －a 2，

若使GF ⊥平面PCB ，则

由FG →·CB →＝? ????x －a

，－a 2，z －a 2·(a,0,0)

＝a ? ?

x －a 2＝0，得x ＝a

2；由FG →·CP →＝? ????x －a

，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )

＝a 2

2＋a ? ?

z －a 2＝0，得z ＝0.

∴G 点坐标为? ??

??a

2，0，0，即G 为AD 的中点．

*12.如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 是BC 的中点．

(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB .

证明 (1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC .

又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .

又EF ⊥FB ，FB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面BFC . ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .

又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC . 又AB ∩BC ＝B ，∴FH ⊥平面ABC .

以H 为坐标原点，HB →为x 轴正方向，HF →

为z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．

设BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)．设AC 与BD 的交点为G ，连接GE ，GH ，则G (0，－1,0)，∴GE →

＝(0,0,1)，又HF →＝(0,0,1)，∴HF →∥GE →. 又GE ?平面EDB ，HF ?平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .

(2)∵AC →＝(－2,2,0)，GE →

＝(0,0,1)， AC →·GE →

＝0， ∴AC ⊥GE .

又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ， ∴AC ⊥平面EDB .

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥；（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。（4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分）（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ，上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉． 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2．点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB → ·n | |n | . 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二面角的范围是[0，π]． ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－ a －β的大小是π－θ. ( × ) 2．已知二面角α－l －β的大小是π 3 ，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α，n ⊥β， ∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补．又∵异面直线所成角的范围为(0，π 2]， ∴m ，n 所成的角为π 3 . 3．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，

6.2 立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】

专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)- C ．? ? ? ??? D ．?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ??=??=? ，化简得00x y x z -+=??-+=?， ∴x y z ==，故选C. 2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中， A （1，2，3）， B （﹣1，0，5）， C （3，0，4）， D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行．故选A ．

3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-，而103n d n PA ?= =， 103=，解得1x =-或－11. 故选：C 4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 1cos ,2 m n =-，则l 与α所成的角为（） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 【答案】A 【解析】设线面角为θ，则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3a n π= ，则l 与α所成的角为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56 π 【答案】C 【解析】结合题意，作出图形如下：

-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCD

B C? （2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，故平面A1FD⊥平面BB1C1C

P A B C D D P A B C F E （2010年第16题）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°．（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ，又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ．解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ．易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2．（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°．从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ．因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ．由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2，故点A 到平面PBC 的距离等于2．

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

立体几何中的向量方法总结

立体几何中的向量方法基础篇一（几何证明）一．求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量，求y x ,。二．平面的法向量 2.在空间中，已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ，求平面ABC 的一个法向量。 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形， 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面，E 为PC 中点（1）分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量；（2）求平面EDB 的一个法向量；（3）求平面ADE 的一个法向量。三．向量法证明空间平行与垂直 1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，M AF AB ,1,2== 为EF 的中点，求证：BDE AM 平面//

2. 如图，正方体''''D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD BB ,'的中点，求证：ADE F D 平面⊥'。 3. 如图，在四棱锥ABCD E -中，BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ，求证：平面ABE ADE 平面⊥。巩固练习： 1. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，P 是'DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心，（1）求证：O B '为平面PAC 的一个法向量；（2）求平面CD B A ''的一个法向量。

2. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，4',5,4,3====AA AB BC AC （1）求证：'BC AC ⊥ （2）在AB 上是否存在点D ，使得'//'CDB AC 平面，若存在，确定D 点位置，若不存在，说明理由。 3. 如图，已知长方体''''D C B A ABCD -中，2==BC AB ，E AA ,4'=为'CC 的上的点，C B BE '⊥，求证：BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中，1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面，E 为'BB 的中点，求证：C C AA AEC '''平面平面⊥

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招中高考数学名师张芙华2018-01-29 06:14:27 2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。二．解题策略类型一立体几何中动态问题中的角度问题

【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M在P处时，EM与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。类型二立体几何中动态问题中的距离问题

2021高考数学立体几何专题

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

空间几何中的向量方法

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量一、空间向量的坐标运算 1．若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则（1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++；（2）112233(,,)a b a b a b a b -=---；（3）123(,,),a a a a R λλλλλ=∈；（4）112233a b a b a b a b ?=++；（5）112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ?===≠∈；（6）1122330a b a b a b a b ⊥?++=；（7 ）a == （8 ）cos ,a b a b a b ?<>= = ?. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=-- 求,,8,,a b a b a a b +-? 的坐标. 2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =--- 练习1: 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB,PC 的中点，且PA=AD=1，求向量MN 的坐标. 二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC == 求平面ABC 的法向量。解：设(,,)n x y z = ，则由,,n AB n AC ⊥⊥ 得=0=0n AB n AC ??????? 即220453=0x y z x y z ++=?? ++? 不妨设1z =，得12 =-1 x y ?=? ???，取1(,1,1)2n =-

用向量方法解立体几何题(老师用)

用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b

法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ．（２）求异面直线的距离法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植于点面距离的求法）．

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积．全国1卷理科理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：

利用法向量解立体几何题

利用法向量解立体几何题一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos| = AB AB n n ?? 2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离 d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? 略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇为过F 与a 平行的直线，在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA ＇// EF ，交a ＇于A ＇， A

则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥

高职高考数学课程初步立体几何

第四编立体几何初步第九章立体几何初步第一节简单几何体的表面积和体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下： 2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式：名称表面积S 体积V 棱柱底侧S S 2+ h S 底棱锥底侧S S + h S 底3 1 棱台下底上底侧S S S ++ h S S S S )(3 1 下底上底下底上底?++ 球 24R π 33 4 R π 圆柱 )(2r l r +π h r 2π 圆锥 )(r l r +π h r 23 1π 圆台 )()(222121r r l r r +++ππ )(3 1 222121r r r r h ++π 第二节三视图 1. 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体. （2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体. （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分. （4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r r π2r l r π2l ' r r ' 2r πr π2rl s π2=侧rl S π=侧()l r r S '+=π侧

（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体. （6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. （7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 2. 空间几何体的三视图和直观图：（1）三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）（2）画三视图的原则：长对正，高齐平，宽相等. （3）直观图：斜二侧画法. ①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 轴和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使)135(45??='''∠或y O x ，它们确定的平面表示水平面. ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半. 第三节空间几何体的平行问题 1. 线线平行的判断： ①平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ③如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 l b a l b l a // //?b a // α b a α α ?b b a //?α //a ? b a a =?βαβα // b a //

用向量方法解立体几何的的题目

用向量方法求空间角和距离前言：在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角．（１）求异面直线所成的角设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二方法一：在α内

面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．（２）求异面直线的距离方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离

高考数学各题型解法：立体几何篇

2019年高考数学各题型解法：立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道（选择、填空题3道，解答题1道），共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。知识整合 1.有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法：（1）根据定义--证明两平面没有公共点；（2）判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另

一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的

(精心整理)高中数学：向量法解立体几何总结

向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. ⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明 a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=. ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明

a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0 ,.0 a m l a n α??=?⊥? ?=??则 ⑶面面垂直。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ?=. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= ⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为?，则θ为?的余角或?的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ?θ?== ⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角. 如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为?，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角?或其补角.π?- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：如果θ是锐角，则cos cos m n m n θ??== ，即arccos m n m n θ?=； O A B O A B l

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法在四棱锥设直线，则 v

的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】本节课我学会了掌握了那些？还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批

1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角．【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．【课堂合作探究】利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线

2018高考数学立体几何含答案(最新整理)

5 ??n ? ? 2018 高考数学立体几何答案 1.（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中， CC 1 ⊥ 平面 ABC ，D ，E ，F ，G 分别为 AA 1 ，AC ， A 1C 1 ， BB 1 的中点，AB=BC = ，AC = AA 1 =2．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面 BEF ；（Ⅱ）求二面角 B?CD ?C 1 的余弦值；（Ⅲ）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．【解析】（1）在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， Q CC 1 ⊥ 平面 ABC ， ∴ 四边形 A 1 ACC 1 为矩形．又 E ， F 分别为 AC ， A 1C 1 的中点， ∴ AC ⊥ EF ， Q AB = BC ，∴ AC ⊥ BE ， ∴ AC ⊥ 平面 BEF ．（2）由（1）知 AC ⊥ EF ， AC ⊥ BE ， EF ∥CC 1 ．又CC 1 ⊥ 平面 ABC ，∴ EF ⊥ 平面 ABC ． Q BE ? 平面 ABC ，∴ EF ⊥ BE ．如图建立空间直角坐称系 E - xyz ．由题意得 B (0, 2, 0) ， C (-1, 0, 0) ， D (1, 0,1) ， F (0, 0, 2) ， G (0, 2,1) ， ∴CD =(2, 0,1) ， CB =(1, 2, 0) ，设平面 BCD 的法向量为 n = (a , b , c ) ， u u u r CD = 0 ∴? uur n ? ，∴?2a + c = 0 ， a + 2b = 0 ? ? CB = 0 ? 令 a = 2 ，则b = -1 ， c = -4 ，∴ 平面 BCD 的法向量 n = (2, - 1，, - 4) ，