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19.中考四边形复习(组合)

19.四边形复习

1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别在AD，CB的延长线上，且DE=BF，连接FE分别交AB，CD于点H、G．写出图中的一对全等三角形（不再添加辅助线）是．并给予证明．（说明：写出证明过程中的重要依据）

（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，

∴CR⊥BD．

∵BC=CD，

∴∠BCR=∠DCR．

∵四边形ABCR是平行四边形，

∴∠BCR=∠BAR．

∴∠BAR=∠CDR．

又∵AB=CR，AR=BC=CD，

∴△ABR≌△CRD．

（2）解：由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，

故BC∥AD．

又由AB=CD知∠A=∠CDA，

因为SR∥PQ∥BA，

所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．

由PS∥BC

∴△DCB∽△DSP，

∵BC=CD，

∴SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60°．

因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．

（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）

2．如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．

（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？

（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，

∴CR⊥BD．

∵BC=CD，

∴∠BCR=∠DCR．

∵四边形ABCR是平行四边形，

∴∠BCR=∠BAR．

∴∠BAR=∠CDR．

又∵AB=CR，AR=BC=CD，

∴△ABR≌△CRD．

（2）解：由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，

故BC∥AD．

又由AB=CD知∠A=∠CDA，

因为SR∥PQ∥BA，

所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．

由PS∥BC

∴△DCB∽△DSP，

∵BC=CD，

∴SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60°．

因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．

（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）

3. ．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在AD，CB的延长线上，且DE=BF，连接FE分别交AB，CD于点H，G．

（1）观察图中有对全等三角形；

（2）聪明的你如果还有时间，请在上图中连接AF，CE，你将发现图中出现了更多的全等三角形．请在下面的横线上再写出两对与（1）不同的全等三角形（不用证明）．1 ，2 ．解：（1）2对．△EDG≌△FBH；△EAH≌△FCG．

选证△EDG≌△FBH．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥CF，DC∥AB，

∴∠E=∠F，

∠EGD=∠AHG．

∵∠AHG=∠FHB，

∵DE=BF．

∴△EDG≌△FBH．

（2）①△EDC≌△FBA，②△EAF≌△FCE（△EGC≌△FHA）．

4. （2005?四川）己知：如图，E、F分别是?ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定．

证明：（1）∵?ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，

又∵AE=CF，

∴△ABE≌△CDF；

（2）四边形MFNE平行四边形．

由（1）知△ABE≌△CDF，

5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）求证：；

（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为．

解：

（1）过F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，

∴OF=FG，

∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，

∴△AOF≌△AGF，

∴AO=AG，

直角三角形BGF中，∠DGA=45°，

∴FG=BG=OF，

∴AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF，

∴AB-OF=AC．

（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．

同（1）可得EF1=F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．

∴EF1=G1F1=F1H1，

即：F1是三角形A1BC1的内心，

∴EF1=（A1B+BC1-A1C1）÷2…①

∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1，而CC1=A1A，

∴A1B+BC1=2AB，

因此①式可写成：EF1=（2AB-A1C1）÷2，

即AB-EF1=A1C1．

（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．

∴A1E=（A1C1+A1B-BC1）÷2，

如果设CC1=A1A=x，

A1E=[A1C1+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，

∴x=1，

在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12，

即：（AB+1）2+（AB-1）2=100，

解得AB=7，

∴BD=7．

6．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF=30°

∴AE=2AF，且AB=2AF，

∴AF=CB，

而∠ACB=∠AFE=90°

∴△AFE≌△BCA，

∴AC=EF；

（2）由（1）知道AC=EF，

而△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°

∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，

而EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．

7. 已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG 并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°．

∵∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠BCD=∠DCE=90°．

又∵CG=CE，

∴△BCG≌△DCE．（4分）

（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：

∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′．

∵CE=CG，

∴CG=AE′．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BE′∥DG，AB=CD．

∴AB-AE′=CD-CG．

即BE′=DG．

∴四边形E′BGD是平行四边形．（8分）

8．两个全等的三角形如下图所示放置，点B、A、D在同一直线上．操作：在图中，在CB 边上截取CM=AB，连接DM，交AC于N．请探究∠AND的大小，并证明你的结论．

作图基本正确，确定M，连接DM，确定交点N

猜测∠AND=45°

证明：∵Rt△ABC≌Rt△DEA，

∴AE=AC，∠EAD=∠ACB，AB=DE．

延长ED至点F，使DE=DF，连接AF、CF，

∵EF⊥AD，

∴AF=AE，∴∠FAD=∠EAD．

∴AF=AC，∠FAD=∠ACB．

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，

∴∠BAC+∠ACB=90°．

∴∠BAC+∠FAD=90°．

∴∠FAC=90°．

∴△FAC是等腰直角三角形，

∴∠ACF=45°．

∵BC⊥AD，EF⊥AD，

∴BC∥EF．

∵CM=AB=DE=DF=DF，

∴四边形FDMC为平行四边形．

∴CF∥DM．

∴∠AND=∠ACF=45°．

9．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE 是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

①求证：△AEB≌△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

⑴

∵△ABC和△ADE是等边三角形

∴AB＝AC，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°

∴∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD

即∠BAE＝∠CAD

∴△AEB≌△ADC(SAS)

四边形BCEF是平行四边形，理由如下：

由上得：△AEB≌△ADC

∴∠ABE＝∠C＝60°

又∠BAC＝∠C＝60°

∴∠ABE＝∠BAC

∴BE∥CF

又EF∥BC

∴四边形BCEF是平行四边形

⑵

⑴中的结论仍成立，理由如下：

∵△ABC和△ADE是等边三角形

∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°

∴∠BAC－∠EAF＝∠DAE－∠EAF

即∠BAE＝∠DAC

∴△AEB≌△ADC(SAS)

四边形BCEF是平行四边形

由△AEB≌△ADC得：

∠ABE＝∠ACD

而∠ACD＝180°－∠ACB＝120°

∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝60°＋∠CBE＝120°∴∠CBE＝60°

∵∠DC F＝∠ACB＝60°(对顶角相等)

∴∠DCF＝∠CBE

∴CF∥BE

又BC∥EF

∴四边形BCEF是平行四边形

⑶

当CD＝CB时，四边形BCEF是菱形，理由如下：由△AEB≌△ADC得：

BE＝CD

又CD＝CB

∴BE＝CB

由上知：四边形BCEF是平行四边形

∴四边形BCEF是菱形

10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，

∴EB=EC．

∴∠3=∠4．

∵∠ACB=90°，

∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，

∴∠1=∠2．

∴AE=CE．

又∵AF=CE，

∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．

∴AF=AE，

∴∠F=∠5，

∵FD⊥BC，AC⊥BC，

∴AC∥FE．

∴∠1=∠5．

∴∠1=∠2=∠F=∠5，

∴∠AEC=∠EAF．

∴AF∥CE．

∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：

∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴∠1=∠2=60°．

∴∠AEC=60°．

∴AC=EC．

∴平行四边形ACEF是菱形．

（3）解：四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：

由（1）可知，∠2与∠3互余，

∠3≠0°，∴∠2≠90°．

∴四边形ACEF不可能是矩形．

11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．

（1）求证：AD=CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是

（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，（1分）

∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°．（3分）

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO．（4分）

∴△ADO≌△CEO．（5分）

∴AD=CE．（6分）

（2）解：四边形ADCE是菱形．（8分）

（填写平行四边形给1分）

12. 正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF ⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．

（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．

①求证：DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

13. 如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论．

你同意小明的观点吗？同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．

解：同意小明的观点．

证明：延长AE交BC的延长线于点M，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠M，

又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，

∴△AED≌△MEC，则AE=EM，

∠EAD=∠FAE=∠M，∴AF=FM，∴FE⊥AE．

14. 正方形ABCD的边长为4，BE∥AC交DC的延长线于E．

（1）如图1，连接AE，求△AED的面积．

（2）如图2，设P为BE上（异于B、E两点）的一动点，连接AP、CP，请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积有怎样的大小关系？并说明理由．

（3）如图3，在点P的运动过程中，过P作PF⊥BC交AC于F，将正方形ABCD折叠，使点D与点F重合，其折线MN与PF的延长线交于点Q，以正方形的BC、BA为x轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点Q的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式．

解：（1）因为BE∥AC，AB∥CD，

所以四边形ABEC是平行四边形，

所以CE=AB=4，

所以△AED的面积为×4×（4×2）=16；

（2）四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积相等，

因为BE∥AC，所以△APC的面积与△ABC的面积相等，

所以△APC的面积+△ACD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=正方形ABCD的面积；

（3）点F在AC上，且PF⊥X轴，故可设点F的坐标为（m，-m+4），

已知D的坐标为（4，4），故FD所在直线的斜率KFD=-，

折痕MN⊥FD，故MN所在直线的斜率KMN=，

FD的中点G的坐标为（，）．

故折痕MN所在直线的方程为：

y=[（m-4）÷m][x-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2

令x=m，代入上式，即得Q点的纵坐标：

y=[（m-4）÷m][m-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2

=（m-4）2÷（2m）-（m-8）÷2=[（m-4）2-m（m-8）]÷（2m）=

将m改为x，即得点Q的坐标（x，y）之间的关系为：y=．

15. 小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上．

（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形；

（3）在图3的基础上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB 与MD的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形．

解：（1）MB=MD，

证明：∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中，MB=AG

在Rt△ADG中，MD=AG

∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，

同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，

∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，

而∠BAC=90°-α，

∴∠BMD=180°-2α，

∴当α=45°时，∠BMD=90°，此时△BMD为等腰直角三角形．

（3）当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=MD，

∠BMD=180°-2α，

故当α=60°时，△BMD为等边三角形．

解法：延长DM至N，使MN=DM，连AN、BN、BD，则有AN=DH，∠NAM=∠DHM ∵∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB，

∴∠NAB=∠DCB，

∵∠CDH=∠ABC=90°，∠DCH=∠BCA，

∴△CDH∽△CBA，

∴DH：AB=CD：BC，

∴AN：AB=CD：BC，

∴△NAB∽△DCB，

∴∠NBA=∠DBC

∴∠NBD=90°，

∴BM=MD，

由△NAB∽△DCB得NB：AB=BD：BC

∴△NBD∽△ABC，

∴∠BNM=∠BAC，

∵∠BMD=2∠BNM

∴∠BMD=2（90°-α）=180°-2α．

16.如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．

（1）求S△DBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵点F在AD上，

∴AF2=a2+a2，即AF=$\sqrt{2}$a，

∴DF=b-$\sqrt{2}$a，

∴S△DBF=$\frac{1}{2}$DF×AB=$\frac{1}{2}$×（b-$\sqrt{2}$a）×b=$\frac{1}{2}$b2-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ab；

（2）连接AF，由题意易知AF∥BD，

∴四边形AFDB是梯形，

∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底，

由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，

∴S△DBF=S△ABD=$\frac{1}{2}$b2；

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，

第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，

因为△BFD的边BD=$\sqrt{2}$b，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值．如图②所示CF2⊥BD时，S△BFD的最大值=${S_{△B{F_2}D}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}b?（{\frac{{\sqrt{2}b}}{2}+\sqrt{2}a}）=\frac{{{b^2}+2ab}}{2}$，

S△BFD的最小值=${S_{△B{F_2}D}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}b?（{\frac{{\sqrt{2}b}}{2}-\sqrt{2}a}）=\frac{{{b^2}-2ab}}{2}$，

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值．

∴S△BFD的最大值=$\frac{{{b^2}+2ab}}{2}$．（如果答案为4a2或b2也可）．

17. 如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F．请你猜想DE与DF的大小有什么关系，并证明你的猜想．

18. 如图所示，正△CEF的边长与菱形ABCD的边长相等．

（1）求证：∠AEF=∠AFE；

（2）求∠B的度数．

（1）证明：∵BC=CE，∴∠B=∠BEC．

同理∠D=∠CFD，又∵∠B=∠D，∴∠BEC=∠CFD．

∵EC=FC，∴∠CEF=∠CFE．

∵∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，

∴∠AEF=∠AFE．

（2）解：连接AC，

设∠BCE=y，∠B=x，△CEF是等边三角形，因而∠ACE=30°，

∴在△ABC和△BCE中，根据三角形内角和定理分别得到2（30+y）+x=180，2x+y=180，解方程组

解得

则∠B的度数是80°

19.如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

1.⑴不变.理由：在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，

2.由性质有斜边中线OP长不变

⑵当△AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，

△AOB的面积最大.

如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，

故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOP的面积最大.

此时，S△AOB＝AB·h＝·2a·a＝a2.

所以△AOB的面积最大值为a2

20如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是.

证明：过P作PG⊥AB于点G，

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理，得

PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

∴△AGP≌△FPE，

∴①AP=EF，

∴④∠PFE=∠BAP，

∵GF‖BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴DP= 2EC．

∴其中正确结论的序号是①②④⑤

21.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：△CAF为等腰三角形．

（1）解：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB．

∵AD=DC，

∴∠DCA=∠DAC．

∴∠DCA=∠ACB=∠DCB．

∵DC=AB，

∴∠DCB=∠ABC．

∴∠ACB=∠ABC．

在△ACB中，∵AC⊥AB，

∴∠CAB=90°．

∴∠ACB+∠ABC=90°．

∴∠ABC+∠ABC=90°．

∴∠ABC=60°．（3分）

（2）证明：连接DB，

∵在梯形ABCD中，AB=DC，

∴AC=DB．

在四边形DBFA中，DA∥BF，DA=DC=BF，

∴四边形DBFA是平行四边形．

∴DB=AF，

∴AC=AF．

即△ACF为等腰三角形．（6分）

22. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°．

（1）求证：AB⊥AC；

（2）若DC=6，求梯形ABCD的面积．

（1）证明：∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，

∴∠DCB=∠B=60°，∠DAC=∠ACB．

又∵AD=DC，

∴∠DAC=∠DCA，

∴∠DCA=∠ACB=60°÷2=30°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∴AB ⊥AC ．

（2）解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，

∵∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

又∵AB=DC=6，

∴BE=3， ∴AE=$\sqrt{{AB}^{2}-{BE}^{2}}$=$\sqrt{36-9}$=3$\sqrt{3}$，

∵∠ACB=30°，AB ⊥AC ，

∴BC=2AB=12，

∴S 梯=$\frac{1}{2}$（AD+BC ）?AE=$\frac{1}{2}$（6+12）?3$\sqrt{3}$=27$\sqrt{3}$．

23. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=6，BC=8，，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．

（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）；

（2）当BP=1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积；

（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．

．解：（1）y = 2t ；（2）当BP = 1时，有两种情形：

①如图6，若点P 从点M 向点B 运动，有 MB = BC 2

1= 4，MP = MQ = 3， ∴PQ = 6．连接EM ，

∵△EPQ 是等边三角形，∴EM ⊥PQ ．∴33 EM ．

∵AB = 33，∴点E 在AD 上．

∴△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分就是△EPQ ，其面积为39．

②若点P 从点B 向点M 运动，由题意得 5=t ．

PQ = BM + M Q -BP = 8，PC = 7．设PE 与AD 交于点F ，Q E 与AD 或AD 的

延长线交于点G ，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，则 HP = 33，AH = 1．在Rt △HPF 中，∠HPF = 30°，

∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，

∴点G 与点D 重合，如图7．此时△EPQ 与梯形ABCD

的重叠部分就是梯形FPCG ，其面积为3227

．

（3）能．4≤t ≤5．

24.如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H ”型甬道，甬道宽度相等．甬道面积是整个梯形面积的．设甬道的宽为x 米．

（1）求梯形ABCD 的周长；

（2）用含x 的式子表示甬道的总长；

（3）求甬道的宽是多少米？

解：（1）在等腰梯形ABCD 中，

48AD EF ==，

(

)12

1(10848)2

3050AE BC DF BC BE CF BC EF AB CD ⊥⊥==-=-=∴==，，

，，

∴梯形ABCD 的周长=501085048256AB BC CD DA +++=+++=(米)

（2）甬道的总长：402482(1282)x x ?+-=-米.

（3）根据题意，得

21(1282)40(48108)132

x x -=

??+. 整理，得 2642400x x -+=，

解之得

图7

12460x x ==，.因6048>，不符合题意，舍去.

答：甬道的宽为4米.

25.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BD ，∠B=90°，AB=3 cm ，AD=8 cm ，BC=12 cm ，点P 从点B 开始沿折线B ?C ?D ?A 以4 cm/s 的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向A 点以1 cm/s 的速度移动．若点P 、Q 分别从B 、D 同时出发，当其中一个点到达点A 时，另一点也随之停止移动．设移动时间为t （s ）．求当t 为何值时：

（1）四边形PCDQ 为平行四边形；

（2）四边形PCDQ 为等腰梯形；

（3）BQ=3cm ．

解：（1）当PCDQ 为平行四边形时，PC=QD ，

即12-4t=t ，t=．

t 为秒时PCDQ 为平行四边形．

（2）当PCDQ 为等腰梯形时．

即12-4t-t=8，t=．

∴当t 为秒时，PCDQ 为等腰梯形．

（3）要使PQ=3cm ，分三种情况讨论：

①当P 在BC 上时．ABPQ 为矩形

BP=AQ

4t=8-t ，t=（秒）．

②当P 在CD 边时，此时3＜t≤，

而PC≥QD=t ＞3，无解．

③当P 在DA 边时，此时≤t≤，

|3t-17|=3，

t=＞（舍去），

3t-17=-3，t=（秒）．

综上所述当t 为秒，秒时PQ=3cm ．

中考数学练习题：四边形专题

中考：四边形精华试题附参考答案一、选择题 1.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）下列命题，真命题是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 对角线相等的四边形是矩形答案：B 2.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 答案：A 3.（嘉兴市秀洲区模拟）把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若115AEF ∠=?，则∠1= （） A.50° B.55° C.60° D.65° 答案 A 4.（2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷16）如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ??=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（） A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 答：D 5.（2010年武汉市中考模拟数学试题（26））已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ G F E D C B A 答：D 6.（2010年武汉市中考模拟数学试题（27））如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直ＡＢＥＯＤＣ第4题图（第3题图） 1 A B D C E F 14 ABCD S

人教中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析附详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析. 【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD= 12AC ，AB=1 2 AC 即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，

∴AB＝1 2 AC，同理AD＝ 1 2 AC． ∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

第十九章四边形测试题及答案(新人教版八年级下)

八年级下期第十九章《四边形》测试题班级_____ 姓名___ 成绩________ 一．填空题（每小题3分，共30分） 1．平行四边形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，则∠B=____，DC=____ cm。 2．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝ cm。 3．若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为 cm2。 4．如图2，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm； 5．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 cm2。 6．如右图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm 和12cm，则该梯形的面积为 cm2。 7．在□ABCD 中，若添加一个条件________，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件_______，则四边形ABCD是菱形． 8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____ cm，面积为______ cm2．9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，?AD=?6cm，?BC=?8cm，?∠B=?60?°，?则AB=_______cm．10．梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是。二．单选题（每小题3分，共30分） 11．菱形具有而矩形不具有的性质是（） A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 12．关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）。 A、 1个 B、2个 C、3个 D、4个 13．能够判定一个四边形是菱形的条件是（）。（A）对角线相等且互相平分（B）对角线互相垂直且互相平分（C）对角线相等且互相垂直（D）对角线互相垂直 14．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

平行四边形中考专题

平行四边形中考专题 A. 53 B. 35 C. 37 D. 45 【答案】B ．【解析】试题解析：∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置， ∴AE =AB ，∠E =∠B =90°，又∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB =CD ， ∴AE =DC ，而∠AFE =∠DFC ， ∵在△AEF 与△CDF 中，， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ）， ∴EF =DF ；

∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt△AEF≌Rt△CDF， ∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=13 3，则FD=6﹣x=5 3．故选B．考点：1.矩形的性质；2.折叠问题. 14.（2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（） A．3 B．24 5 C．5 D． 89 16 【答案】C. 【解析】

试题解析：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°，由折叠可得△BEF≌△BAE， ∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3（负值舍去），则DE=8﹣3=5，故选C. 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质． 38.（2017湖南株洲第9题）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（） A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形

第十九章四边形

第十九章四边形测试1 平行四边形的性质(一) 学习要求 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题 1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。 2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______． 3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______． 4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______． 6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______． 6题图 7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______． 7题图 8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．

二、选择题 9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立．．．．．的是( )． (A)AF＝EF (B)AB＝EF (C)AE＝AF (D)AF＝BE 10．如图，下列推理不正确的是( )． (A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180° (B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC (C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4 (D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD 11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )． (A)5(B)6 (C)8(D)12 综合、运用、诊断一、解答题 12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．

四边形中考真题精选试题及答案

四边形中考真题精选试题及答案一、选择题 1、（2007福建福州）下列命题中，错误的是（） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 2、（2007山东日照）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 3、（2007山东东营）如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８ 4、（2007浙江义鸟）在下列命题中，正确的是（） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5、（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 6、（2007浙江绍兴）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的 A B C D O E A B C D E F 图 2

中点，则下列式子中一定成立的是（） A ．AC=2OE B ．BC=2OE C ．AD=OE D ．OB=O E 7、（2007四川眉山）下列命题中的假命题是( )． A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形 C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 8、（2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（）（A ）四边形ABCD 是平行四边形（B ）AC ⊥BD （C ）△ABD 是等边三角形（D ）∠CAB ＝∠CAD 9、（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 10、（2007四川乐山）如图（1），在平面四边形ABCD 中， CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =∠，则BCE =∠（） A B C D 黄蓝紫橙红绿 A G E D H C F B 第10题 A E B C D 图（1）

中考数学专题四边形复习

中考数学专题复习四边形【复习内容】 1．多边形的内角和与外角和 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 3．梯形的定义，等腰梯形的性质和判定，梯形中常用的辅助线 4．平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线定理【考点指要】四边形所涉及的知识点均是考点，也是中考内容必涉及的热点，思维层次居中，是重点但不是难点。【典型例题】例1．如图1，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD的面积是（） A．42B．43C．4 D．6 例2．如图2，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD=∠BAF。（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）△CEF的哪两边之和恰好等于的周长？证明你的结论。

例3．如图4，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。（1）求AM、DM的长；（2）求证；AM2=AD·DM 分析：（1）在Rt△PAD中，利用勾股定理可以计算出PD=5=PF，AM=AF=PF－AP=5－1，DM=AD －AM=2－（5－1）=3－5 （2）利用代数方法证明等积式，分别计算等式左、右两边。例5 如图5，四边形ABCD是正方形，四边形ACEF为菱形，E在FB上，求∠ECB的度数。分析：欲求∠ECB，须求∠ECA，而求角的度数应对图中线段作数量上的分析，连结BD交AC于O，过E 作EG AC于G，则易探寻出EG与BD（即CE）之间的特殊关系。

例6．如图6是梯形，AB ∥CD ，AC=BC ，且AC ⊥BC ，BD=BA ，求∠DAC 的度数。分析：欲求∠DAC ，应先求出∠DAB ，但题设条件只有BD=DA ，于是想到梯形中常用的辅助线——高，可转化为先求∠ABD ，从而问题迎刃而解。例7．如图7，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠DCA 的平分线点F 。（1）求证：OE=OF ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，且 2 6=BC AE ，求∠B 的大小。

第十九章四边形单元测试题Ⅱ下马关中学

第十九章四边形单元测试题Ⅱ下马关中学集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

下马关中学第十九章四边形单元测试题Ⅱ 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（） A、一组对角相等 B、两条对角线互相平分 C、两条对角线互相垂直 D、一对邻角的和为180° 2、中，的值可以是（?? ） A．1：2：3：4? B．1：2：2：1? C．2：2：1：1? D．2：1：2：1 3、对角线互相垂直平分的四边形是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、梯形 4、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( ) A．8 B．6 C．4 D．3 5、如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( ) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 6、如图,□ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,则∠ABE等于 ( ) ° ° ° ° 7、下列四个命题中，假命题是（）． A 等腰梯形的两条对角线相等 B 顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 C 菱形的对角线平分一组对角 D 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8、等腰梯形的腰长为13cm，两底差为10cm，则高为（） A、69cm B、12cm C、69cm D、144cm 9、已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列 5个条件①AB∥CD ②AD∥BC ③AB=CD ④∠BAD=∠DCB，从以上4个条件中任选 2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有（） A 6组组组组 10、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，?从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）． A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形 D．菱形二.填空题: (每小题3分,共24分) E D C B A

第十九章四边形单元测试题

A B C D 第4题图第十九章四边形单元测试题一、选择题(每小题3分,共30分) 1．下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 2、中，的值可以是（） A ．1：2：3：4 B ．1：2：2：1 C ．2：2：1：1 D ．2：1：2：1 3、等腰梯形的腰长为13cm ，两底差为10cm ，则高为（） A 、69cm B 、12cm C 、69cm D 、144cm 4、如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC ＝4，则BD 的长为( ) A ．8 3 B ．4 3 C ．2 3 D ．8 5、已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 6、已知平行四边形的一条边长为12，则下列各组数据中能分别作为它的两条对角线的长的是（） A 、6和10 B 、8和14 C 、10和16 D 、10和40 7、已知点、A(2,0) 、点B （—1，0）、点C （0，1），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 8、如图，正方形ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线BD 于点E ，那么∠BEC 等于（） A 、45° B 、60° C 、70° D 、75° 9、已知四边形ABCD 的对角线相交于O ，给出下列 4个条件①AB ∥CD ②AD ∥BC ③AB=CD ④∠BAD=∠DCB ，从以上4个条件中任选 2个条件为一组，能推出四边形ABCD 为平行四边形的有（） A 6组组组组 10．在矩形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是DC 边的中点，AN 与MC 交于点P ，若∠MCB=∠NBC ＋33°，那么∠MPA 的度数是（） A ．33° B ．66° C ．45° D ．78° 二.填空题: (每小题3分,共24分) 11、已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是（填一个你认为正确的条件即可）； 12、依次连接菱形各边中点，所得的四边形是 13．□ABCD 的周长为24， AC 、BD 相交于点O ，若△AOB 的周长比△BOC 的周长大4，则CD=________ 14、菱形的面积为24，一条对角线长为8，则它的高为 ___ 15、如图5，矩形ABCD 的长为8㎝，宽为6㎝， O 是对称中心，则途中阴影部分的面积是； 16.已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD 折叠，使C 、A 则折痕EF 的长为。 17、如图6，在□ABCD 中，DB=DC ，∠C=70°， AE ⊥BD 于点E ，则∠DAE= ； 18、如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝, MN=8㎝，则AB 的长为；三.解答题: (共66分) 19.已知：在□ABCD 中，∠A 的角平分线交CD 于E ，若1:3: EC DE ，AB 的长为8，求BC 的长。（7分） 20、已知菱形的边长为12，一边与两条对角线的夹角的差为30°，求菱形的面积及各角的度数。（7分） A B F E C D E 图6 E D C B A 图5 B C A D F E O · 图7 N M F E D C B A A B C D E

[初二数学]第十九章四边形

第十九章四边形 19.1平行四边形第一课时一、教学目标知识与技能理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．过程与方法会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．情感、态度与价值观培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点难点重点: 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．难点: 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、教学过程 (一)复习导入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形

ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时结合图形，让学生认识清楚）2．探究：平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC， ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又 AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． (二)新课教授

《四边形》中考专题

《四边形》中考专题 1、（2003 山东）在平面内确定四个点，连结每两点，使任意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线段长只有两个数，举例如下（见图）：相等的线段有：AB＝BC ＝CD＝DA，AC＝BD，请你画出满足题目条件的三个图形，并指出每个图形中相等的线段。 2、（2003 浙江丽水）如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点分别在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上。设正方形MNPQ网格中每个小方格的边长为1，求： (1) △ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积. (2) 正方形ABCD的面积. 3、（2003 青海）如图，观察下列用纸叠成的图案：其中，轴对称图形和中心对称图形的个数分别为（） A、4, 1 B、3, 1 C、2, 2 D、1, 3 4、（2004 深圳）下列图中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5、（2004 无锡）下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这

些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） 6、（2004 山西太原）已知如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则A的度数等于. 7、（2004 河南）如图1，把一个正方形三次双折后沿虚线剪下，则得到的图 2，展开后图形是（）图1 A B C D 8、（2004 四川）下列说法，错误的是（） A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的四边形是正方形 9、（2004 南京）用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 10、（2003 河南）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB ＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E＝40°，则∠ACD ＝。 11、（2003 吉林）把边长为4cm、5cm、6cm两个完全重合的三角形拼成四边形，一共能拼成种不同的四边形，其中个平行四边形。 12、（2003 黑龙江）矩形的一个角的平分线分矩形的一边长为1cm和3cm 两部分，则这个矩形的面积为cm2.

中考数学专题训练三角形与四边形

E C B F A D 1) 若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是___________． 2) 等腰三角形的底角为75°，顶角是 °，顶角的余弦值是。 3) 如图，EF 是△ABC 的中位线，若BC ＝2 cm ，则EF______cm 。 4) 对角线长分别为6cm 和8cm 的菱形的边长为_____________cm . 5) 已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，那么下底长为______________cm . 6) 已知∠α与∠β互余，且∠α=15°，则∠β的补角为度. 7) 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=Rt ∠，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE ，BC 的延长线相交于点F ，若AE=10，则S △ADE +S △CEF 的值是 . 8) △ABC 中，∠A ＝∠B ＋∠C ，则∠A ＝＿＿＿＿. 9) 在Rt ⊿ABC 中，?=∠90C ，如果AB = 6，21 sin =A ，那么BC = ________. 10) 在Rt ΔABC 中，∠C=900 ，AB=3，BC=1，以AC 所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是； 11) 圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体，那么圆台可以看成是所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体；如果将一个半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体应是 . 12) 当图中的∠1和∠2满足时，能使OA ⊥OB.（只需填上一个条件即可） 13) 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长________ 14) 圆锥的底面圆的直径是6cm ，高为4cm ，那么这个圆锥侧面展开图的面积为 cm 2。（按四舍五入法，结果保留两个有效数字，π取 3.14） 15) 如图，在坡度1：2的山坡一种树。要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米； 16) 如图2，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要＿元。 17) 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形图形分割成两个全等图形。 18) 在四边形ABCD 中，若分别给出四个条件：①AB ∥CD ，②AD =BC ，③∠A =∠C ，④AB =CD ．现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是________（只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 19) 不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（） 1. AB=CD AD=BC B 、AB=CD AB ∥CD C 、AB=CD AD ∥BC D 、AB ∥CD AD ∥BC 20) 如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（）（A ）100°（B ）80°（C ）60°（D ）40° 21) 边长为a 的正六边形的边心距为（） 2 1A B O E B A C D

四边形专题复习中点四边形

中考专题复习：中点四边形教学设计教学目标： 1．激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 2．培养学生独立分析问题、解决问题的能力以及研究能力和创新意识。 3．理解中点四边形的概念，掌握中点四边形判定、证明及应用。教学重点：中点四边形形状判定和证明教学难点：对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括如果我们依次连接任意一个四边形各边中点，得到的图形又是什么呢？今天我们就来研究这个问题。问题：连结三角形的各边中点的线段叫做，他们组成的图形与原三角形。 B C 例题：(2012?孝感)我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边A B 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH 的形状是________；(2)请证明你的结论．问题1：在中,四边的中点分别为 E,F,G,H,请猜想四边形EFGH 是什么四边形?并证明你的结论? B D 问题2：如果这个四边形是菱形呢,请猜想四边形EFGH 是什么四边形?并证明你的结论?矩形呢？正方形呢？ B A D 归纳：

原四边形的对角线中点四边形形状正方形菱形矩形平行四边形任意四边形原四边形探究：1、对于任意的四边形，只要满足什么条件，它所构成的中点四边形图形可能是矩形？或者菱形？2、如何证明?请说明理由。 ?????? ?? ? 1、如图，依次连结第一个矩形的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积是1，则第n 个图形的面积是。应用与实践： 2、如图，四边形ABCD 中，AC=a ，CD=b ，且AC ⊥BD ，顺次连结四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连结A 1B 1C 1D 1各边中点，得到A 2B 2C 2D 2，???，如此进行下去，得到四边形A n B n C n （1）证明：证明A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1面积和A 2B 2C 2D 2面积；（3）写出四边形A n B n C n D n 面积和四边形A 5B 5C 5D 5. B D

初三中考数学四边形专题训练

中考数学：四边形试题一、选择题 1.下列命题，真命题是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 2.如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 3.把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若 115AEF ∠=?，则∠1= （） A.50° B.55° C.60° D.65° 4.如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ??=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（） A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 5.已知如图，在Y ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ； ④S △BFG= 其中正确的是（） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ G F E D C B A 6.如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE ·HB ＝4-BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE ⊥GD ；② AF 、GD 所夹的锐角为45°；③ ；④ 若BE 平分∠DBC ，则正方形ABCD 的面积为4.其中正确的结论个数有（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个ＡＢＥＯＤＣ第4题图（第3题图） 14ABCD S Y

中考数学专题复习(3) 特殊四边形

中考数学专题复习(3) 特殊四边形一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE//CA ，DF//BA ．下列四个判断中，不正．．确．的是（） A. 四边形AEDF 是平行四边形 B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF 是矩形 C. 如果AD 平分∠BAC，那么四边形AEDF 是菱形 D. 如果AD⊥BC 是AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形第1题图第3题图第4题图 2．下列命题正确的是（） A ．对角线互相平分的四边形是菱形； B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 3．如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 4．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连DF ，∠CDF 等于（） A ．80° B．70° C．65° D．60° 5．如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E 则AE 的长是（） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.4 第 5题图第6题图第7题图 6.如图，将矩形ABCD 沿对角线 BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（） A ．AD BC '= B ．EBD EDB ∠=∠ C D C ' A B E C D E

C ．ABE CB D △∽△ D ．sin AE ABE ED ∠= 7、如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5 4 A cos =，则下列结论①DE =3cm ；②E B =1cm ；③2ABCD 15S cm =菱形中正确的个数为（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 8、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（） A ．矩形 B ．直角梯形 C ．菱形 D ．正方形 9、如图,正方形ABCD 中,点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.5° (2) ∠AFC=112.5°(3) ∠AC E=135° （4）AC=CE ．(5) AD∶CE=1∶2. 其中正确的有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个、 9题图 10题图 11题图 10 如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，连接BE 、BF 、DE 、DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（） A 、∠1=∠2 B 、BE =DF C 、∠EDF =60° D 、AB =AF 11、如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（） A ．4 B ．6 C ．16 D ．55 12如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（） A ．3 10 B ． 13 C ．25 D ． 49 a b c A B D C E F 1 2 12题图 D A C B M 红紫白黄 D M A F E C N B （13题图）

第十九章四边形测试题及答案(新人教版八年级下)

一．填空题（每小题3分，共30分） 1．平行四边形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，则∠B=____，DC=____ cm。 2．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝cm。 3．若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为cm2。 4．如图2，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm； 5．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 cm2。 6．如右图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则该梯形的面积为cm2。 7．在□ABCD 中，若添加一个条件________，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件_______，则四边形ABCD是菱形． 8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____ cm，面积为______ cm2．9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，?AD=?6cm，?BC=?8cm，?∠B=?60?°，?则AB=_______cm．10．梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是。二．单选题（每小题3分，共30分） 11．菱形具有而矩形不具有的性质是（） A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 12．关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 13．能够判定一个四边形是菱形的条件是（）。（A）对角线相等且互相平分（B）对角线互相垂直且互相平分（C）对角线相等且互相垂直（D）对角线互相垂直 14．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线平分对角15．三角形的重心是三角形三条（）的交点 A．中线B．高C．角平分线Ｄ．垂直平分线 16．若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必定是（）

19.中考四边形复习(组合)

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第十九章四边形测试题及答案(新人教版八年级下)

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第十九章四边形

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第十九章四边形单元测试题Ⅱ下马关中学

第十九章四边形单元测试题

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