高阶导数与微分

导数与微分(经典课件)

导数与微分 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念； 3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。 §1 导数的概念 教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。 教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义 出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。 一、导数的定义： 1．引入（背景）： 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确 定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→.

导数和微分的概念

一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1. 导数定义 00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=??=?-?+→→?→? 0|)()(00x x dx dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， )(lim 00x f x y x --→?'=??， )(lim 00x f x y x ++→?'=?? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2. 导函数)(x f ',dx dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导 3. 可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导） 4. 导数的几何意义 切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)() (1000x x x f y y -'- =- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义

微分的几何意义 6. 微分与导数的关系 )(x f 在x 处可微?)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('= 同时 dx x f dy x x )(|00'==。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2. 导数（微分）四则运算公式 )()())()((x g x f x g x f '±'='±， )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='， 特别地 )())((x f k x kf '='， ) ()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 ) ()())(1(2x f x f x f '-='。 后面两个公式不要记错。 3. 复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。

浅谈微积分与化学的关系

浅谈微积分与化学的关系 说到微积分与化学的关系，首先要从微积分的创造与发展说起。 微积分是微分和积分两门学问的统称，研究的范畴有三，包括微分、积分，以及微分和积分两者之间的关系。微分主要讨论一个变量怎样随时间（或其他变量）改变，而积分则主要讨论计算面积的方法。它们两者的关系由「微积分基本定理」（或称「牛顿－莱布尼茨公式」）给出：简单来说，这条定理说明，在适当的条件下，求积分是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。以下简称微积分的历史。一微积分发展的蒙芽时期早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。例如公元前五世纪，希腊的德謨克利特（Democritus）提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是人类对早期的极限以及无穷等概念的原始认识。其他关於无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论1：其中一个悖论说一个人永远都追不上一隻乌龟2，因為当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆

下去，任何人都总追不上一隻最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开啟了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的歷史意味。 另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在歷史上，积分观念的形成比微分还要早－－这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。 二、十七世纪的大发展－－牛顿和莱布尼茨的贡献 中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。在积分方面，一六一五年，开普勒（Kepler）把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。而伽利略（Galileo）的学生卡瓦列里（Cavalieri）即认為一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解

最新导数和微分的概念

导数和微分的概念

一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系

?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念

(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =

论文浅谈导数的应用

浅谈导数的应用 摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程． 关键词：极限;导数;微分

Shallowly Discusses the Application of Derivative Abstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative. Key words:Limit; Derivative; Differential

浅谈导数在高中数学中的应用

浅谈导数在高中数学中的应用 浅谈导数在高中数学中的应用 【关键词】高中数学中的导数；应用 导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。本从几个方面出发，谈一谈导数的应用。 1 几何方面的应用在导数概念的基础上，结合函数图像研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。 在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程=f （x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。

下面给出求曲线的切线方程的方法步骤： （1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条下，利用点斜式求出切线方程：-f（x0）=f’（x0）（x-x0） 例1 试求曲线=xlnx上点（1，2）的切线方程 解：对函数f（x）=xlnx 求导得f’（x）=lnx+1 所以f’（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为 -2=1（x-1） 即=x+1 切线方程：=x+1 先求出函数=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。 例2 求垂直于直线2x-6+1=0并且和曲线=x3+3x2-相切的直线方程。 解因为所求的直线与已知直线2x-6+1=0垂直 所以所求直线的斜率1=-3 又因为所求直线与=x3+3x2-相切， 所以它的斜率2=‘=3x2+6x 因为1=2 即3x2+6x=-3 所以（x+1）2=0 即x=-1 代入曲线方程得=（-1）3+3（-1）2-=-3

浅谈导数与微分

学校：贵阳学院 系别: 数学与信息科学学院专业：数学与应用数学 班级：09应数班 科目：数学分析选讲 老师：姚老师 姓名：郑刚 学号：090501401007

浅谈导数与微分 一、引言 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，那我就分别从导数和微分的定义与应用来讨论它们的联系与区别。 二、导数的定义 1. 函数在一点处可导的概念 1【】 定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量?x ，函数y =f (x )相应的改变量为?y =f (x 0+?x )-f (x 0)，若这两个改变量的比 ()() x x f x x f x y ????00-+= 当?x →0时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这一极限称为函数y =f (x )在点x 0处的导数(或变化率)，记作0 |x x y ='或f '(x 0) 或0 x x dx dy =或0 ) (x x dx x df =．即 0 |x x y ='=f '(x 0)=x x f x x f x y x x ??????) ()(lim lim 000 -+=→→ 比值x y ??表示函数y =f (x )在x 0到x 0+?x 之间的平均变化率，导数 |x x y ='则表示了函数在点x 0处的变化率，它反映了函数y =f (x )在点x 0 处的变化的快慢． 如果当?x →0时x y ??的极限不存在，我们就称函数y =f (x )在点x 0 处不可导或导数不存在． 在定义中，若设x =x 0+?x ，则(2-1)可写成 f '(x 0)=()()0 lim x x x f x f x x --→

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数

浅谈导数在解决实际问题中的应用文献综述

毕业论文文献综述 数学与应用数学 浅谈导数在解决实际问题中的应用 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点） 本论文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究导数在几何、物理及其经济上的一些应用，首先我们来介绍一些概念： 定义1[] 1 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限 ()()000 lim x x f x f x x x →-- (1) 存在，则称函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x . 令0x x x =+?,()()00y f x x f x ?=+?-,则(1)式可改写为 ()()()00'000 lim lim x x f x x f x y f x x x ?→→+?-?==??V (2) 所以,导数是函数增量y ?与自变量增量x ?之比 y x ??的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数()'0f x 则为 f 在0x 处关于x 的变化率.若(1)(或(2)式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导. 定义2[] 1 设函数()y f x =在点0x 的某右邻域[)00,x x δ+上有定义，若右极限 ()()0000 lim lim x x f x x f x y x x ++?→?→+?-?=?? ()0x δ

第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；

高阶导数和高阶微分 泰勒公式

§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式 1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数 )(x y y =的n 阶导数就是 h x y h x y x y x y n n h n n ) ()(lim ])([)()1()1(0) 1() (--→--+='= (0)()()y x y x =???? 而n 阶微分就是 n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量) 因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成 n n x x y d )(d 或简记成 n n x y d d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中. 例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有 ()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ==== 例34 对于函数x y sin =，则 cos sin , sin sin 2,22 2y x x y x x '??πππ?? ???? '''==+=+=?+ ? ? ????? ?????? 一般地， ()sin 2n n y x π??=+ ???； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π??==+ ??? ),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有 ()cos 2n n y x π??=+ ???； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π?? ==+ ??? ),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则 2 23 112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''= =-=-+++ 一般地， （n 阶导数）() 1 (1)! (1)(1,2,)(1)n n n n y n x --=-=+ （n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1) n n n n n n n y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e (0),(0)0x f x x f - =≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n . 证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为

浅谈微积分

微积分 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。 什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱布尼茨公式。牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。

德国数学家莱布尼茨使微积分更加简洁和准确，他从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。 如果说牛顿从力学导致“流数术”，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的

导数与微分重点知识归纳

导数的概念 例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速 度？ 我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度， 即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下 导数的定义 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地 函数有增量 ， 若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。 记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的

概念。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： 函数的商的求导法则 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成： 复合函数的求导法则 例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下： 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。 下面我们给出复合函数的求导法则

导数与微分的关系

导数与微分的关系 宁小青 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？ 一、微分概念的导出背景 当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。 我们来看一个简单的例子： 维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度。在中学里，利用计算向凡加速度的办法已经求出这种速度约为7.9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它。 设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒种后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的并非是B 点，而是C点，BC=4.9米是自由落体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离。 容易看出，若C点与地心O的距离与A事点到O的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球的飞行了。因此，卫星应具有最小每秒飞行速度恰好在线段AB的长度。△OAB是直角三角形，OA和OC可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理 显然就这样按上式去计算是不可取的——这将导致两个量级的数在直接相减，工作量大不说，在字长较短的计算机上，还可能产生较大的误差。 利用乘法公式 可将上式改为 由于，因此这一项与这一项想比可以忽略不计，于是可以把计算简化为 由此计算出千米。 这就是说，卫星的速度至少要达到每秒7.9千米才能维持其围绕地球的飞行，此即所要求的第一宇宙速度。 上面所计算的，实际上就是函数在处，自变量出现了一个微小的改变量之后，函数值的相应改变量4.9。然而在计算过程中，我们并没有完全精确地去算

导数与微分习题及答案

第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量 =?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()() =?-?-→?x x f x x f x 000 lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则 =dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ． ()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0,2sin 0 ,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

浅谈导数在解题中的应用

浅谈导数在解题中的应用 1 引言 导数是微分学的理论基础，它的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的．导数作为研究客观世界物质变化的有力工具，在现代化建设的各个领域内有着广泛的应用．现在高中数学教材已引入了导数的内容，这不仅丰富了中学数学知识， 也为中学数学问题的研究提供了新的视角、新的方法和新的途径，同时优化了解题思维，简化了运算过程，拓宽了解题思路．本文就导数在解题中的应用进行总结，同时对部分问题通过初等数学解法和导数解法比较，进一步说明利用导数解题的优越性． 2 导数的基本理论 2.1导数的定义 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限0 00 ()() lim x x f x f x x x →--存在,则称函数f 在 点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作0()f x '． 2.2 导数的几何意义 函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率． 2.3 导数的相关结论[1](P93;123-124;142-143)． 3 导数在解题中的应用 3.1 导数在求极限中的应用 在求解极限的问题时，主要是用导数的定义式，即0 000 ()() lim ()x x f x f x f x x x →-'=-来解决， 所以导数的概念是应用导数求解问题的基础． 例1[2](P23) 设函数0()f x 在0x 处可导，试求下式的极限值． 000()() lim 2h f x h f x h h →+-- 解 000()()lim 2h f x h f x h h →+--00000()()()() lim 2h f x h f x f x f x h h →+-+--= 00000000()()()()1 1lim[][()()]()22 h f x h f x f x f x h f x f x f x h h →+---'''=+=+= 已知导数概念的变形式，通过加减同一式子或分子分母同乘一式子，化成导数定义式的和差，或导数定义式与函数的极限的和差等形式，从而求出所要求的极限值．

导数与微分导数概念

第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''

作业13高阶导数与高阶微分

1、填空题 1）设5x y =，则()()= 0n y () ln 5n 2）设cos 2y x =，() ()=x y n 2cos 22n n x π??+ ? ?? 3）设x y 211 += ，则()()=x y 6()()7 66212!61-+??-x 4）设()x f y =三阶可导，且其一阶导数、二阶导数均不为零，其反函数为()y x ?=，则 ()= ''y ?()()()()()()()()()3 21111x f x f x f x f x f dx dy dx x f d dy x f d '''-=''''-=???? ??'=???? ??' ()y ?'''= ()()()()()3 f x d f x d y dx dy dx dy ??? '' ?- ?'''??= ()()()()()()() ()() () ()()()() ()() 3 2 2 2 6 5 331 f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''''''''''''--=- =-''' 5）已知函数()x y 由方程0162=-++x xy e y 确定，则()=''0y 2 - 2、求下列函数的二阶导数 1）x e y x sin -= 解：x e x e y x x cos sin --+-='，x e x e x e x e y x x x x cos 2sin cos 2sin -----=--='' 2）()() 22 1ln 1y x x =++ 解：( ) 2 2ln 12y x x x '=++， ()() ()2 2 2 2 42ln 122ln 121x y x x x x x ' ''=++=++++ 3、求下列函数的n 阶导数的一般表达式 1）x y 2 sin = 解：x x x y 2sin cos sin 2=='，?? ? ? ?+ ==''22sin 22cos 2πx x y