《导数及其应用》单元测试题(文科)
一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确) 1.函数()2
2)(x x f π=的导数是( )
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是( )
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3.已知对任意实数x ,有()()()(f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,
()0()f x g x ''>>,,则0x <时( )
A .()0()0f x g x ''>>,
B .()0()0f x g x ''><,
C .()0()0f x g x ''<>,
D .()0()0f x g x ''<<,
4.若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值,则( ) (A ) 10<b (D ) 2
1
<
b 5.若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )
A .430x y --=
B .450x y +-=
C .430x y -+=
D .430x y ++= 6.曲线x
y e =在点2
(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.2
94
e
B.2
2e
C.2
e
D.2
2
e
7.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
8.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有
()0f x ≥,则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( ) A .3 B .
52 C .2 D .32
9.设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10. 函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )
(A ))2()3()3()2(0/
/f f f f -<<< (B ) )2()2()3()3(0/
/f f f f <-<< (C ))2()3()2()3(0/
/f f f f -<<< (D ))3()2()2()3(0/
/f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二.填空题(本大题共4小题,共20分)
11.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是____.
12.已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则
M m -=__.
13.点P 在曲线3
2
3
+
-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围是 14.已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数,则a 的取值范围 . (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .
三.解答题(本大题共4小题,共12+12+14+14+14+14=80分)
15.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
16.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值.
(1)求a 、b 的值;
(2)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围.
17.设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的
坐标分别为11()x f x (,)、22()x f x (,),该平面上动点P 满足?4PA PB =
,点Q 是点P 关于直
线2(4)y x =-的对称点,.求 (Ⅰ)求点A B 、的坐标;
(Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程.
18. 已知函数32()23 3.f x x x =-+
(1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程; (2)若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根,求实数m 的取值范围.
19.已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
(1)当1-=a 时,求函数的单调区间。 (2)当R a ∈时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数a ,使[]0,1-∈x ,函数有最小值-3?
20.已知函数()2
a f x x x
=+,()ln g x x x =+,其中0a >.
(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值;
(2)若对任意的[]12,1x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求
实数a 的取值范围.
【文科测试解答】 一、选择题
1.()∴==,42)(222x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π='; 2.∴=?=-.)(x x
e x e x x
f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f , ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x 选(A) 3.(B)数形结合
4.A 由()
b x b x x f -=-='22333)(,依题意,首先要求b>0, 所以()()
b x b x x f -+='3)( 由单调性分析,b x =有极小值,由()1,0∈=b x 得.
5.解:与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=,故选A 6.(D ) 7.(D ) 8.(C ) 9.(B )
10.B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ,
T
=
-)2()3(f f AB k f f =--2
3)
2()3( ,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 如图所示,切线BQ 的倾斜角小于
直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k 所以选B 11.1,e ??+∞???? 12.32 13.?? ??????? ?? ??πππ,4 32,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 三、解答题 15. 解:设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为 ??? ? ? -=-= 230(m )35.44 1218<<x x x h . 故长方体的体积为 ).2 3 0() (m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-= 从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--=' 令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x < 3 2 时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。 从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3。 16.解:(1)2()663f x x ax b '=++, 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=. 即6630241230a b a b ++=?? ++=?, . 解得3a =-,4b =. (2)由(Ⅰ)可知,3 2 ()29128f x x x x c =-++, 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--. 当(01)x ∈, 时,()0f x '>; 当(1 2)x ∈,时,()0f x '<; 当(23)x ∈, 时,()0f x '>. 所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+. 则当[]03x ∈,时,()f x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]03x ∈,,有2 ()f x c <恒成立, 所以 2 98c c +<, 解得 1c <-或9c >, 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ , ,. 17.解: (1)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1- 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -. (2) 设),(n m p ,),(y x Q ,()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m 21-=PQ k ,所以21-=--m x n y ,又PQ 的中点在)4(2-=x y 上,所以?? ? ??-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()9282 2 =++-y x . 另法:点P 的轨迹方程为(),922 2=-+n m 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆; 设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由 2102-=--a b ,?? ? ??-+=+420222a b 得a=8,b=-2 18.解(1)2 ()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-,即12170x y --=;……4分 (2)记3 2 2 ()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 ………………………10分 由()g x 的简图知,当且仅当(0)0 ,(1)0g g >?? 即30,3220 m m m +>?-<<-?+ 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线,m 的范围是(3,2)--.…………14分 19.(1)(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; (2)1、当,0=a (),2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ,,2??? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,??? ? ? ∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )