方、圆、三角
方形、圆形、三角形堆积、重量理论教案
首先讲第一种结构上的方、圆、三角。 0度为界，90或90度以上统称为祛除重量，89度至0度为建立重量，那么方与圆都可以用来建立或者祛除重量。 方：把头发拉到一个面，做一个直线的切口即称为方形，角度在90度以在这里我来详细的解说何为方、圆、三角。 首先讲第一种结构上的方、圆、三角。
0度为界，90或90度以上统称为祛除重量，89度至0度为建立重量，那么方与圆都可以用来建立或者祛除重量。
方：把头发拉到一个面，做一个直线的切口即称为方形，角度在90度以上就称为祛除重量的方，如下图：
判断角度一般由上面一根头发与头皮形成的角度作判断，并不是下面。如上面的头发与头皮的角度小于89或者等于89度，称为堆积重量的方。
圆，圆的切线是随着头形走，注意，头是圆的，这个道理人人都知道，但在剪发中很多发型师都没有充分考虑到这一点，如果你碰到了什么难以理解的东西，就试着提醒自己：头是圆的。
注意，所谓的圆并不是严格的随着头形平行着圆，如上图，如果圆的切口严格平行与下面的头圆，那样落下来就可能形成重量线。
角度大于90 方形去除重量 角度大于90
圆形去除重量
堆积重量的圆：
和堆积重量方一样，只要是89度以下，就称为堆积重量。
三角：你可以简单的理解为与圆相反，也就是反头形曲线，切线与头形相反，因为头是圆的，所一很多情况下是祛除重量，在堆积重量的三角仍然是上长下短，更多情况下是出现在后脑的阴面或两侧！
不过有些时候如果把三角剪到一个面的时候，根据你自己的理解，也可以说是方形
提示：下图与上图都可以称为三角，但大家可以注意到，红色虚线代表了另外一种三角，只不过相对于黑色切线直了一些，所以，如果才用红色虚线这样的方法，既可以称为三角，又可以称为方。
再发表一张比较标准的图形，采用真人头形，大家看起来可能更实际些。
下面介绍第二种形上的方、圆、三角，这个比起上面结构上的要容易理解得多。 三角：
反头形曲线
三角形去除重量
圆形：
方形：
沙宣就象我们手中的剪刀、梳子一样，只是一件工具而已，下面是通过方、圆、三角做出的作品，同样出自沙宣之手。如果你已经能够理解沙宣技术，你就会发现，四个基本型会成为一种负担，是一个相对比较表面的东西。
注：沙宣只有四种剪法：平剪、点剪、刻痕、滑剪。
方圆三角，根据每个人，有着无数种变化，我们可以从9个基本形变成18个，甚至更多，需要自己去理解！
初三锐角三角函数与圆综合专题训练解析
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题 1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA?CB； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长． 2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长．
3、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线； （2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝ 1 2 ，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ； （2）若2 KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=3 5 ，AK=23，求FG 的长． 5、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。 （1）求证：BC ⊙O 是的切线； （2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=13 5 ，求⊙O 的半径。 图11 A C B D E F O P
专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题(解析版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题 【典例分析】 【例1】如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且?AN＝?BN，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F． （1）求证：MF是⊙O的切线； （2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长． 思路点拨 （1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论； （2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB， 可得AC CN CM BC ，即可求CM的长． 满分解答 （1）连接OM， ∵OM＝OB， ∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM 平分∠ABD ， ∴∠OBM ＝∠MBF ， ∴∠OMB ＝∠MBF ， ∴OM ∥BF ， ∵MF ⊥BD ， ∴OM ⊥MF ，即∠OMF ＝90°， ∴MF 是⊙O 的切线； （2）如图，连接AN ，ON Q ??AN BN =， 4AN BN ∴== AB Q 是直径，??AN BN =， 90ANB ∴∠=?，ON AB ⊥ 2242AB AN BN ∴=+22AO BO ON ∴===22981OC CN ON ∴=-=-= 221AC ∴=，221BC = A NM B ∠=∠Q ，AN C MBC ∠=∠ ACN MCB ∴??∽ ∴ AC CN CM BC = AC BC CM CN ∴=g g 73CM ∴=g 7 3 CM ∴=
【例2】如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H． （1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若HB=2，cos D=3 5 ，请求出AC的长． 思路点拨 （1）连接OC，易证∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以∠P+∠COB=90°，从而可知半径OC⊥DC； （2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D=3 5 ，设半径为r，所以OH=r﹣2，从而可求出r的值，利用勾股定 理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度． 满分解答 解：（1）DC与⊙O相切．理由如下： 连接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半径OC⊥DC，∴DC与⊙O相切． （2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=3 5 ，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设 ⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC=OH OC = 2 r r = 3 5 ，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴ 由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8． 在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=5
三角函数与圆的专题训练题
※三角函数与圆的专题训练题 A 基础训练 1．如图，已知⊙O 的半径为1，AB 与⊙O 相切于点A ，OB 与⊙O 交于点C ，CD ⊥OA ，垂 足为D ，则tan ∠COD 的值等于线段（ ）的长. A ．OD B ．OA C ．C D D ．AB 2．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点，则 sin ∠ABC 的值等于线段（ ）的长. A ．AC B ．EF C ．DF D ．AB 3．如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，点P 在弧AD 上，若AB :AD =1:2，则sin ∠BPC =（ ） A ．21 B ．2 C ．45 D ．5 52 4．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于P 点，∠BPC =α，则CD :AB 等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．其他答案 5．如图，⊙O 的直径AB = 2 1，AB 平分弦CD 交CD 于E ，DF ⊥CD 交CA 的延长线于F ，则sin ∠C ·sin ∠ADC 的值为线段（ ）的长. A ．DF B ．AE C ．CE D ．AC 6．如图，⊙O 的直径AB =1，C 为弧AB 的中点，E 为OB 上一点，CE 的延长线交⊙O 于D ， 则sin ∠AEC 的值为（ ）的长． A ．A B B ．AE C ．C D D ．CE 7．如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，P A =4，OA =3，则sin ∠AOP 的 值为（ ） A ． 43 B ．53 C ．54 D ．3 4 8．P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∠APB =60°，P A =10，则⊙O 半径长为（ ） A ．33 10 B ．5 C ．310 D ．35 B 综合运用 9．如图，P A 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交P A 、PB 于C 、D ，若⊙O 的 半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）
圆与三角函数专题
第21题专练 课前练习： 南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润=销售价﹣进货价） (1)求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？ 1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BO 平分∠ABC 交AC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交AC 于点D ． (1)判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AD =2，tan ∠BOC =2，求⊙O 的半径． 2.在⊙O 中，AB ⌒=AC ⌒，点F 是AC 上一点，连接AO 并延长交BF 于E. (1)如图1，若BF 是△ABC 高，求证：∠CBF=∠CAE ; （2）如图2，若BF 是△ABC 内的角平分线，BC=10，COS ∠BCA=13,求AE 的长. 图2 图1
3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，弦CD 与AB 相交于E (1) 若∠AOD ＝45°，求证：CE ＝2ED (2) 若AE ＝EO ，求tan ∠AOD 的值 4.如图，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 、C 均在⊙O 上，且P A ＝PB (1) 求证：PB 为⊙O 的切线 (2) 连AB ，若AB ＝6，tanC ＝2 3，求P A 的长 5.如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ； (2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝ 4 5 ，求AF FC 的值． A
中考复习专题之三角函数与几何结合
与三角函数有关的几何题 例1、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线 OB 于E D ，，连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1 tan 2 CED ∠= ，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 析解：（1）证明：如图6，连接OC ． OA OB = ，CA CB =，OC AB ∴⊥． AB ∴是⊙O 的切线． （2）BC 2=BD ×BE ． ED 是直径，90ECD ∴∠= ． 90E EDC ∴∠+∠= ． 又90BCD OCD ∠+∠= ，OCD ODC ∠=∠， BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠ ，BCD BEC ∴△∽△． BC BD BE BC ∴ =．∴BC 2=BD ×BE . （3）1tan 2CED ∠= ，1 2 CD EC ∴ =． BCD BEC △∽△，1 2BD CD BC EC ∴==． 设BD x =，则2BC x =． 又BC 2=BD ×BE ，∴（2x ）2=x (x +6) 解之，得10x =，22x =．0BD x => ，2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．
2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足 为D ， AD 交⊙O 于点E ． （1）求证：BC EC =; （2）若4 cos 5 BEC ∠=, 求DC 的长． 3、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是的中点， OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=，BC=2 ． （1）求∠A 的度数； （2）求证：BC 是⊙O 的切线； （3）求MD 的长度． 分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A 的度数． （2）要证BC 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BC 即可． （3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度． 解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°． （2）证明：在△ABC 中，∵cosC=，∴∠C=60°． 又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线． （3）解：∵点M 是 的中点，∴OM ⊥AE ． 在Rt △ABC 中，∵BC=2，∴AB=BC ?tan60°=2 × =6． ∴OA= =3，∴OD=OA=，∴MD=． 点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 4、如图，已知Rt △ABC 和Rt △EBC ，∠B=90°．以边AC 上的点O 为圆心、OA 为半径的⊙O 与EC 相切，D 为切点，AD ∥BC ． （1）用尺规确定并标出圆心O ；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：∠E=∠ACB ； （3）若AD=1， ，求BC 的长． B
中考数学复习专题三角函数与圆
2011中考数学复习专题—三角函数和圆 考点1 三角形的边角关系 主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。 1.如图所示 ，Rt △ABC ～Rt △DEF ，则cosE 的值等于（ ） A ．2 1 B ．2 2 C ．2 3 D ．33 2.如图，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B=ο40，则直角边BC 的长是（ ） A ．ο40sin m B ．ο40cos m C ．ο40tan m D ．ο40tan m 3.王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为ο60，又知水平距离BD=10m ，楼高AB=24m ，则树高CD 为（ ） A ．()m 31024- B ．m ???? ??-331024 C ．()m 3524- D ．9m 4.如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ） A ．6米 B ．8米 C ．18米 D ．24米 5.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE= 512，则河堤的高BE 为 米。 6．如果，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东ο60方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东ο30方向上，则灯塔P 到环海路的距离 PC= 米（用根号表示）。
中考数学复习专题三角函数与圆
2011中考数学复习专题-三角函数和圆 考点1 三角形的边角关系 主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用. 1.如图所示 ，Rt △ABC~Rt △DEF ，则cosE 的值等于( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 2.如图，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m,∠B= 40，则直角边BC 的长是（ ） A ． 40sin m B ． 40cos m C ． 40tan m D ． 40tan m 3。王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为 60，又知水平距离BD=10m,楼高AB=24m,则树高CD 为（ ） A ．()m 31024- B ．m ???? ??-331024 C ．()m 3524- D ．9m 4.如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图.点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到 古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1。2 米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ) A ．6米 B ．8米 C ．18米 D ．24米 5.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE= 512，则河堤的高BE 为 米。 6．如果,小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东 60方向上,在A 处东500米的B 处,测得海中灯塔P 在北偏东 30方向上，则灯塔P 到环海路的距离 PC= 米(用根号表示）。 7．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站,如图，在A 地北偏东 45、B 地北偏西 60方向上有一牧民区C 。一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C 。方案Ⅱ:从A 地开车穿越草沿AC 方向到牧民区C 。已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍。 （1）求牧民区到公路的最短距离CD 。
圆切线相似和锐角三角函数综合题中考专题复习无复习资料
圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习 复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。 复习过程 一、热身练习 二、实战演练
三、巩固提高 2.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P． （1）求证：BF=EF； （2）求证：PA是⊙O的切线； 3,求BD和FG的长度． （3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2 3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AH=8，DH=2，求CH的长； （3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC的长．
4.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径； （3）求sin ∠PCA 的值． 5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是 BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长； （3）求S △FAD ：S △FDB 的值． 6.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ． （1）求证：AP 是半圆O 的切线； （2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD 2=BE?BC 成立？说明理由； （3）如图ii ，在满足（2）问的前提下，若OD ⊥BC 与H ，BE=2，EC=4，连接PD ，请探究四边形ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan ∠DPC 的值．
圆与三角函数及相似三角形综合训练题
圆与三角函数及相似三角形综合训练题 1.如图，R t△ABC中，∠ACB=90 ，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心作⊙O分别与AC、 BC相切于D、E。⑴求⊙O的半径。⑵求sin∠BOC的值。 2.如图，如图，R t△ABC中，已知∠ACB=90 ，BC=6，AB=10，以BC为直径作⊙O交AB于 D,AC、DO的延长线交于E,点M为线段AC上一点，且CM=4. ⑴求证：直线DM是⊙O的切线。⑵求tan∠E的值。
3．﹙河南中考题﹚已知，如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E,且EM ﹥MC.连结DE ，DE=15.⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值。 4.﹙河南中考题﹚已知：如图，点DC 是以AB 为直径的半圆上的两点，O 为圆心，DB 与AC 相交于点E,OC ∥AD,AB=5，cos ∠CAB=5 4.求CE 和DE 的长。
5. ﹙河南中考题﹚已知：如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D,DP ⊥PB,垂足为P,PB与⊙O交于点C,PD=8. ⑴求BC的长；⑵连结DC,求tan∠PCD的值；⑶以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式。 6. ﹙北京中考题﹚已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F，交AE于点M,且∠B=∠CAE, FE:FD=4:3. ⑴求证：AF=DF；⑵求∠AED的余弦值；⑶如果BD=10，求△ABC的面积。
7. ﹙北京海淀区中考题﹚已知：以R t△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点，连结DE. ⑴如图，求证：DE是⊙O的切线；⑵连结OE、AE.当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值。 8．﹙天津中考题﹚如图，R t△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径 的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长。
锐角三角函数与圆的综合
1：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. 2：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是BC 的中点，DP AC ,垂足为点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线. （2）若AC =6, cosA=3 5 ，求PD 的长. 3.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC 的延长线于点E .连接BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=2 1 ，求⊙O 的直径的长． A B C D O D B O C A P E B M D C O A
4.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长. 5.如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC . （1）求P ∠的正弦值； （2）若半O 的半径为2，求BC 的长度. 6.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ， 连结AD 、BE ，若1sin 2 A =，∠BED=30°． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由； （3）若O 的半径2R =，试求CE 的长． A B C D E O F C B A O P
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题 例题一 2013?泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上， ∠CDA=∠CBD ． （1）求证：CD 2=CA?CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=，求BE 的长． 例题二（2013?呼和浩特）如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心， CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD=4：3．（1）求证：点F 是AD 的中点；（2）求cos ∠AED 的值；（3）如果BD=10，求半径CD 的长． 例题四（2014?沈阳）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直 径，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，CD ．（1） 求证：AD=CD ；（2）若AB=10，cos ∠ABC=，求tan ∠DBC 的值． 综合练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于 点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E. （1）求证：∠EPD=∠EDO.（2）若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长. 2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作 直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．（1）猜想直线MN 与⊙0的位 置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0 的半径． 3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点 D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点 E ，连结 BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2） 连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3 ABC ∠=，求BF 的长． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：CD ∥ BF ； （2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD= 5 4，求线段AD 的长．
中考数学复习：九年级圆与三角函数
圆与三角函数的有关计算和证明 【学习目标】 1、熟练掌握圆中有关的证明与计算； 2、能熟练运用三角函数； 3、能从复杂图形中识别常用的基本图形。 【典例分析】 一、以等腰三角形的腰为直径作圆，过底边中点作另一腰的垂线构切线 例1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交CA 的延长线于F ，DE ⊥AC 于E. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若AB ＝5，AF ＝3，求tanC 的值. 练习1、如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D 点，DE ⊥AC 于点E. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）连接OE 交⊙O 于F ，连接DF ，若tan ∠EDF=2 1，求cos ∠DEF 的值. 练习2、在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求sin ∠CEF ． 练习3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF= 1 2 ∠CAB. （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB=5，sin ∠CBF=55 ，求线段BF 的长. O A B C D E F F E D O A B C A E D O B C F
变式1、如图, AB 为⊙O 的直径, AC 为⊙O 的弦, ∠BAC 的平分线交⊙O 于点D, DE ⊥AC 于点E. （1）求证: DE 为⊙O 的切线; （2）连接OE 交AD 于点F, 连接BD, 若cos ∠BAC= 54, 求BD OF 的值. 变式2、如图1，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，点E 是弧BD 上一点，EF ⊥AD 于点F ，且EF 是⊙O 的切线. （1）求证：弧DE=弧BE ；（2）连接BE ，若tan ∠DAB= 12 5 ，求tan ∠B 的值. 二、（圆中的三个二分之一）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，点E 是半圆O 上一动点（不与A 、B 重合），点C 是弧BE 的中点，连接BE 、AC 交于点G ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交BE 于F 点。求证：(1)CD=?BE ；(2)CF=?BG ；(3)DF=?EG 。 例2、如图，Rt △ABCK ，∠ACD=90°，以AB 为直径作⊙O ，F 是⊙O 上一点，⌒ ⌒ FC ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，连AF 分别交CD 、BC 于E 、G 两点，连接CF 。 （1）求证：△ACE ∽△AFC ；（2）若sin ∠DAE=31，求BG CG 。 练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点 F ． （1）求证：CF=BF ；（2）若cos ∠BAD=31,，⊙O 的半径为3，求BC 的长． C B E F A D O
圆与三角函数(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优 专题16 圆与三角函数 题型一 利用锐角三角函数值求有关线段的长 【典例1】（2019?碑林区校级模拟）如图，已知△OAB 中，OA ＝OB ＝10，sin B =35 ，以点O 为圆心，12为直径的⊙O 交线段OA 于点C ，交直线OB 于点E 、D ，连接CD ，EC ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）在（l ）的结论下，连接点E 和切点，交OA 于点F ，求CF 的长． 【点拨】（1）过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，由条件求出OG ，根据切线的判定方法判断即可； （2）先求出CE 长，证明OG ∥EC ，得到△FOG ∽△FCE ，根据相似三角形的性质定理得OF CF =OG CE ，可 得OF ?CE ＝OG ?CF ，设CF ＝x ，则可得关于x 的方程，解方程即可得解． 【解析】（1）证明：如图，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ， ∴∠OGA ＝∠OGB ＝90， ∵OA ＝OB ，sin B =3 5=OG OB ， ∴OG =3 5×10=6，
∵⊙O 的直径为12， ∴半径r 为6， ∴OG ＝r ＝6，又OG ⊥AB ， ∴AB 为⊙O 的切线； （2）解：∵DE 为⊙O 的直径， ∴∠ECD ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDE ＝∠ABD ， ∴sin∠CDE =CE DE =3 5， ∴ CE 12 =3 5， ∴CE =36 5， ∵OA ＝OB ，AG ＝BG ， ∴∠AOG ＝∠BOG ， ∵OE ＝OC ， ∴∠OEC ＝∠OCE ， ∵∠AOB ＝∠OEC +∠OCE ， ∴∠AOG ＝∠OCE ， ∴OG ∥EC ， ∴△FOG ∽△FCE ， ∴ OF CF =OG CE ，
圆和三角函数及相似练习题
圆和三角函数及相似练习题 1、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。（1）求证：BC ⊙O 是的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=13 5 ，求⊙O 的半径。 2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ． （1）猜想直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由； （2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径． 3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2 s i n 3 ABC ∠=， 求BF 的长．
4、如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1） 求证：CD∥ BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长． 5、如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D， 交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC＝6，tan∠F＝1 2 ，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若2 KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=3 5 ， AK=FG的长． 5 4 5题图 P
圆与三角函数综合专题
B C E 圆与三角函数 知识点：垂直的证明方法 (1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该 垂线段的长等于半径,也就是“作垂直,证半径”。 (2) 当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于 这条直线，也就是“连半径,证垂直” 例1.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC 相切于点D ，E 。 (1)求⊙O 的半径。(2)求sin ∠BOC 的值。 例2．如图，等腰△AB C 中，AB=A C ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E 。(1)求证：DE 为⊙O 的切线(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO 的值。 ●专项训练： 1．如图，已知Rt△ABC 和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC 上的点D 为圆心， OA 为半径的⊙O 与EC 相切于点D ，AD∥BC. (l)求证： ∠E=∠ACB: (2)若2求BC 的长． 2．如图，已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点，以D 为圆心，OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。(l)连结DF ，请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论
B A F D D A B (2)当点D 运动到OA=2OC 时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。 3．如图，在△ABC 中．AB=BC,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过D 作DF ⊥BC,交AB 的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE 是⊙O 的切线；(2) 当AB=5， 4．如图，Rt△ABC 中， ∠C=90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点0为圆心， 过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点E EF ⊥AC 于点F 。 (1)求证：⊙O 与AC 相切： (2)若EF=2，BC =4，求tan ∠A 的值。 5．如图， △ABP 中，∠ABP=90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，在弧AC 上取一点F ，使弧 CF=弧CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D 。 (1)求证：CD 为⊙O 的切线。(2)连BF 交AP 于B 若BE=6，EF=2． 求tan ∠FAE 。
第五讲：圆的切线与三角函数(2014)
第五讲：圆的切线与三角函数—2015年中考数学 一、知识点睛 1 . 锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， 则∠A的正弦可表示为：sinA= ， ∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ， 它们统称为∠A的锐角三角函数 二、例题专讲 【例1】(2014 贵州省黔南州) 如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为． 9. （2013年北京市）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=1 2 ∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，求BC和BF的长．
相应专练1 1．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC=6，sinA=53s in =∠A ，则⊙O 的半径为 . 2．如图，梯形PCEN 中， P C ∥ME ，∠P=90o，PM=ME ，以CE 为直径的⊙O 与PM 切于D ，若CE=20，PM=16，则tan ∠PCD 的值为 . 4．如图，⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD=CD ， 则sin ∠OCA 的值是 . 6．如图，PA,、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PA 、BO 的延长线交于点Q ，连AB ，若sin ∠AQO ＝54 sin =∠AQO ， 则tan ∠ABP 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．3 D ．32
三、解答题部分 【例2】已知线段长求三角函数值 1．如图，AB 为⊙O 的直径，CD=CB ，CE ⊥AD 于E ，连BE. （1）求证：CE 为⊙O 的切线； （2）若AE=6，⊙O 的半径为5，求tan ∠BEC 的值. 相应专练2 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于M ，连BD 、DM. （1）求证：B D ∥CM ； （2）若sin ∠MCD ＝53s i n =∠MCD ，求cos ∠BDM 的值. 9. (2013 陕西省) 如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF ，并分别延长交直线l 于B 、C 两点. （1）求证：∠ABC +∠ACB=90°； （2）当⊙O 的半径R=5,BD=12时，求tan ∠ACB 的值.
圆与相似三角形、三角函数专题
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合 类型一：圆与相似三角形的综合 1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF. 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O 的切线，交BC于点E. (1)求证：点E是边BC的中点； (2)求证：BC2＝BD·BA； (3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形． 解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD ＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点 (2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD?BA (3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形 类型二：圆与解直角三角形的综合 3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，
DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F. (1)求证：直线EF是⊙O的切线； (2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长． 解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线 (2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE ＝203－143＝2 4．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值． 解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线 (2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝1010 5．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB 于点H，交⊙O于点G. (1)求证：OF·DE＝OE·2OH； (2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF?DE＝OE?AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF?DE＝OE?2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt △OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO?sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183 类型三：圆与二次函数的综合 6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D. (1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．
圆中三角函数综合例题及练习
圆中的三角函数 解决几何图形的三角函数求值问题,关键在于,找到相关的直角三角形．若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形,或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下: 一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中 例1(成都市)如图1,已知ＡB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥ＡＢ, 22AC =,BC =1，那么ｓin ∠AB Ｄ的值是 ． 解析：在⊙O 中，∠ＡCD =∠AB Ｄ； 又由于AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ,则∠ＡCD =∠ＡB Ｃ. Rt △ABC 中,A Ｂ= 22BC AC +=221)22(+＝3, 从而ｓin ∠ＡBD =AB AC =32 2. 评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化,充分本现了转化思想 的巧妙运用。 二、用直径与所对圆周角构造直角三角形 例２(烟台市)已知A Ｂ是半圆O 的直径，弦AD 、ＢC 相交于点P ,若∠DPB ＝α,那么CD AB 等于 A ．ｓinα B ． C ＯSα C.t ａｎα Ｄ．1 tan α 解析: 连结ＢD ,由于AB 为直径,则∠ADB =90°, 于是,在Ｒt △PBD 中，有C ＯSα= PB PD , 而点C 和点A 在圆周上，所以∠A =∠C , 又∠APB =∠CPD ，则△ＡPB ∽△CPD ， 从而 CD AB ＝PB PD ,所以CD AB =CO Ｓα，故选Ｂ。 评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件,因此,在解题中,要倍加关注直径所对圆周角。 三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形 例3(武汉市)如图４,等腰三角形ＡBC 中，AC =BC ＝１0，AB ＝12。以B Ｃ为直径作⊙O 交ＡB 于点D ，交AC 于点G ,DF ⊥A Ｃ,垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 (1)求证:直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠Ｅ的值。 解析:（1)证明：如图5,连结O Ｄ、ＣD , 因为BC 是直径，所以CD ⊥AB ， 而A Ｃ=BC ,则D 是AB 的中点 又因为O 是CB 的中点,所以O Ｄ//AC 由于DF ⊥ＡＣ，则OD ⊥E Ｆ,于是EF 是⊙O 的切线. (2)连结BG ，因为B Ｃ是直径,所以∠ＢGC =90° 图 B D E F G O C B D O 图1