《会爬坡的易拉罐》

会爬坡的易拉罐

--动能和势能的转化演示器说课稿

昌黎县安山镇实验学校董瑞刚尊敬的各位领导，各位老师:

大家好！我今天说课的内容是《会爬坡的易拉罐——动能和势能的转化演示器》

一、说教材

这一内容是人教版八年级物理下册第十一章第四节：机械能及其转化教材中的一个课后实验，有助于学生巩固动能、势能的相互转化。动能、势能的相互转化是机械能中必不可少的内容，所以正确认识动能与势能的互相转化对于学生今后的学习有着非常重要的作用。而我们的教材中只用单摆、滚摆实验说明动能和重力势能可以相互转化，对动能、弹性势能也可以相互转化只配一幅蹦床运动的插图，没有用具体的实验来演示。为加深学生对动能、弹性势能也可以相互转化的认识和理解，我特意安排了这一节课内制作实验课。

美国的心理学家布鲁纳曾经说过：“有效的学习开始于准确的引导”。所以准确、易懂、可行的教学目标能使学生目标明确，从而选择正确的学习方法，进行有效的学习。我依据新课程标准的相关要求、教材内容和实际情况，制定了本节课的教学目标有以下三个方面：

知识与技能目标：（通过对《会爬坡的易拉罐》实验分析，进一步认识、理解动能和势能的相互转化。）过程与方法目标：（通过制作会爬坡的易拉罐活动，培养学生动手制作学具的能力；通过观察、分析实验现象，培养学生运用能量的转化知识，分析有关物理现象的能力，培养学生从能量观点分析问题的意识。）情感态度与价值观目标：（通过小组合作，培养学生与他人交流、合作的能力。

通过制作《会爬坡的易拉罐》，激发学生对科学的求知欲，使其乐于探索自然现象和生活中的物理学道理，乐于参与观察、实验、制作等科学实践活动，养成实事求是、尊重自然规律的科学态度。）本节课的教学重点：我放在正确引导、组织学生进行制作会爬坡的易拉罐，运用它进行实验探究动能、势能的转化上面。

本节课的教学难点：组织、指导学生认真观察《会爬坡的易拉罐》的实验并进行分析、归纳得出正确结论。

二．说教法

陶行之先生说过：好的先生不是教书，不是教学生，而是教学生学。这就是常言中所说的“授人以鱼，不如授人以渔。”也就是说我们老师要将打开知识宝库的钥匙交给学生，而不仅仅是为学生打开知识宝库的大门。所以我根据中学生好奇心强、求知欲高的年龄特点采取探究法、动手实验法、直观演示法、讲解法的教学方法。

三说学法

我想请问大家，有谁知道，儿童的智慧起源于哪里？著名的教育家苏霍母林斯基说过:“儿童的智慧在他们的手指尖上。”因此在课堂上我们要解放学生的双手，让学生真正动起来。引导学生主动观察思考、动手制作学具，进行实验，通过实例分析，提高学生应用知识解决问题的能力，养成良好的学习习惯。

四．说教学过程

这也是最重要的一个部分，这节课采取了巧设悬念，引入新课；动手制作，展示成果；课堂实验，探究体验；总结拓展，得出结论的达标程序。其指导思想是激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与制作，开发学生的潜能，让学生主动摄取知识、超越自我，在轻松、愉快的气氛中完成学习任务。

第一步：巧设悬念，引入新知

伟大的科学家爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”这就是说一个人一旦对某事物有了浓厚的兴趣，就会主动去求知、去探索、去实践，并在求知、探索、实践中产生愉快的情绪和体验，所以古今中外的教育家无不重视兴趣在智力开发中的作用。为此在引入新知时我巧设悬念：上课时我拿出一个事先做好的易拉罐对学生说：“这是什么？（易拉罐），老师下面变一个魔术，我要让它自己爬坡，你们信不信？”（不信），接着我在斜面上演示了这个实验。当学生看到易拉罐真的能自动爬坡时都感到非常好奇，兴趣大增。我接着说：“大家想不想也制作一个这样的易拉罐？”学生异口同声地说：“想！”一下子就把课堂的气氛调动起来了。

第二步：动手制作，展示成果

组织和引导学生进行会爬坡的易拉罐的制作，进行实验是本节课的重点。美国心理学家布鲁纳曾经说过:“对学生最好的刺激乃是所学材料的兴趣”。可见,学习材料对激发学生的学习兴趣起到至关重要的作用。因此我课前让学生事先预习教材内容，自己收集、准备了实验所需器材：

这些就是学生们准备好的材料。（一个易拉罐、一个小弹珠、两根橡皮筋、一根细线、两根竹签、一块塑料膜，四根硬金属线、一把铁锺、一枚铁钉、一把剪刀。）

常言说：“磨刀不误砍柴功”，在出示完制作材料后，我并没有让学生马上动手制作，而是让学生先观察已制好的这个学具，问同学们：如何才能让你们小组更快更好的完成制作？学生们纷纷回答：

１）有的说制作时要有分工：一个同学打孔的时候，另一个同学包小弹珠；

２）有的说制作时要有合作：在绑小弹珠，和穿橡皮筋时要求两个同学进

行配合才能完成；

３）有的说制作时要有次序：先打孔，后包小弹珠，再绑小弹珠，最后穿橡皮筋；

４）有的说制作时要讲求方法：在穿橡皮筋时可用金属丝从两端牵引等等。

这样让学生懂得分工合作、有序工作是完成任务的必要条件。然后我就让他们进行小组制作比赛。看哪个小组制作得又快又好。

在学生制作学具的过程中，我给予他们适当的指导、热情的鼓励，对他们出现的错误我及时矫正，这样做提高了学生学习的积极性，确保了学具的制作成功。

结果出乎意料的是，有的小组仅用了不到１０分钟的时间就制作好了，而且制作出来的效果非常好。

在学生自制学具成功后，我让他们上讲台展示自己的劳动成果，使他们感受到成功的喜悦，这样就能进一步激发学生们学习物理的兴趣，开发学生的潜能，培养学生的创新能力。

第三步：课内实验体验探究

为突破本节的难点，我在实验中引导学生观察实验现象的同时进行思考：１）易拉罐从斜面上滚下来，高度有什么变化？（越来越低）

２）易拉罐从斜面上滚下来，速度有什么变化？（越来越快）

３）易拉罐在水平面停下的瞬间为什么又会沿返回？

4）在这个过程中易拉罐的重力势能、动能、弹性势能有什么变化？

为让学生能清楚地观察易拉罐内小弹珠的运动,橡皮筋发生形变过程，我特地将实验器材做了些改进：用一透明的塑料罐取代了不透明的易拉罐。这样学生能直接观察到罐内橡皮筋发生的弹性形变。比较形象地得出结论：重力势能、

动能、弹性势能可以相互转化。从而轻忪愉快地达到了本节课教学目标。

第四步：评估交流拓展延伸

在完成教学目标之后，我并没有就些满足。，我要求学生再谈谈上了这节课之后的体会和感想。想一想，这个实验还有哪些可以改进的地方？课后找一找我们日常生活中还有哪些地方用了动能和势能相互转化的事例。让来自生活中的物理，不断地走向生活，为学生的创作发展提供更广阔的天空。

[结束语]：本节课以自制学具、实验为主，旨在调动学生的学习积极性，锻炼学生的动手能力，培养学生的观察、实验能力，培养学生实事求是的科学态度等。

在引导学生掌握知识时，强调学生明确观察实验现象、进行有目的地观察，然后根据实验现象运用动能、势能的相关知识分析动能和势能的转化，从而培养学生良好的学习习惯。

教学过程是富有变化、动态生成的过程，在师生互动、生生互动中会产生许多的信息和创新的火花，教师要机智的将有价值的信息和问题作为教学的焦点来重新组织教学。巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变化，保护创新火花、激发奇思妙想，实现教学的有效性，使物理课堂充满着生机与活力。教与学的过程也是我丰富自身知识、实现自我发展的过程，我会在此过程中不断的学习，充实自己，最终实现教学相长、生生奋发的目标。

谢谢大家！

易拉罐的设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计 一．问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 二、问题分析 在易拉罐设计的实际情况中，问题分析 在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内的体积大于饮料的净含量(我们通常饮料的净含量为355ml而它实际的体积大约为365ml），同时考虑饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省(我们用所用材料的体积来衡量）。

在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量测量如下数据如下表： 罐高123.7 罐柱内径61.29 上圆台高13.5 下圆台高7.7 罐盖内径58.17 罐底厚度0.29 罐盖厚度0.29 罐底拱高10.11 圆柱体高102.5 罐壁厚度0.135 问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准； 问题三中，对比问题一中所测的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的2倍，因此我们在解决此问题是可以假设罐盖、罐底的两倍，再利用规划方法所求得的数据与测量数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。 三、模型假设 （1）、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖﹑罐底的厚度是罐壁的两倍； （2）、易拉罐的各接口处的材料忽略不计； （3）、易拉罐各部分所用的材料相同； （4）、单位体积材料的价格一定；

最新易拉罐的优化设计知识分享

易拉罐形状和尺寸的最优设计 组员：邢登峰，张娜，刘梦云 摘要 研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。 问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。 问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r ππ=+，由微积分方法求最优解， 结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型： 2min (,) (,)0.0 0s r h g r h r h v s t r h π?=-=?>??>? 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。

问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 模型 圆台面积 2 ()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。 结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。 另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。 最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐最优设计数学建模 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。

产品创新设计作业——易拉罐的设计

经典产品开发案例——易拉罐 引言 易拉罐是我们日常生活中再常见不过的产品，而事实上早在1959年它便诞生了，至今已有了50多年的历史。挑选易拉罐作为案例分析，是因为我相信简单却又经久的设计就是最成功的，这些经典产品历经了时间和用户的考验，在易拉罐简单的设计背后却有许多值得学习的常识和经验。 生活中有很多这样的产品，比如拉链、圆珠笔、白炽灯、缝纫机、复印机、剃须刀等等。这些发明悄然地改变了世界，伴随我们的生活工作。而我们常常忽视了它们的优秀，在科技更新速度日益飞升的今天，大多数人变得麻木，诸如“什么时候发明的”，“有什么独特的设计”，“功能是如何实现的”这些问题也仅仅是和我们打了个照面而已。我们欣然地接受这些伟大的发明家们的创造，对于我们而言，花尽可能少的时间知道它怎么使用就足够了，甚至懒惰到可以包容一些并不合理的设计。 之所以叫易拉罐，是由于它在顶部的设计采用了易拉环的结构，这是一次开启性的革命，也给人们的生活带来了极大的便利和享受。 1 易拉罐的诞生与市场需求 我们知道，新产品的开发首先应该做的就是需求分析。需求分析首先要确认已存在产品或系统的未确认缺点及未来可能发生的潜在问题，然后确认用户目前及未来还没有满足的希望。首先，要了解，大部分灌装饮品如汽水、啤酒等都注满二氧化碳，因此铝罐要承受的压力极大，约每平方厘米需要50公斤的力度，才能把拉盖开启。如何让使用者轻易将拉盖开启正式制造拉盖的一大难题。 最早的铝罐需要分离式的开罐器，这一局限性使得许多场合下应用都不便利。1959年，俄亥俄州的艾玛弗兰兹发现外出郊游时喝冰啤酒很困难，于是他用汽车保险杠杆打开啤酒，弗兰兹想要找到更好的办法，思考如何将开罐头的杠杆粘在杠杆上。他彻夜未眠，终于找到了发明的灵感，当然这也他在达顿可靠工具制造公司的工作经验密不可分，他在金属的制作和刻痕上有着丰富的经验积累，弗兰兹于1963年取得易拉罐的专利权。他也声明，易拉罐不是他个人发明的，自1800年来大家就一直在研究这个问题，他所做的知识找出将拉环粘到罐顶部的方法。 此后，易拉罐在美国成功研发并生产，由罐身、顶盖和底罐三片马口铁材料制成。目前用来制作易拉罐的材料主要有两种：铝材和马口铁，王老吉、红牛、露露等品牌用的是马口铁，可乐、雪碧等碳酸饮料品牌采用的是铝制易拉罐。 2 易拉罐的设计 易拉罐之结构设计

数学建模 易拉罐的设计问题

易拉罐的形状和尺寸的最优设计 一旅五队赵久国（3782011040）摘要 现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。 本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。 关键词：355毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值 对比分析优化设计

第一步： 对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。 第二步： 假设： 1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样. 2.易拉罐的体积一定. 3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h ，厚度为a ，体积为v ，表面积为s 。其中r 和h 是自变量，易拉罐面积s 是因变量，而体积v 是固定参数，则s 和v 分别为： 2222233 222()()2422,s r a a r a h r h ar a r a hra ha v v r h h r ππππππππππ=+?++?-=++++== 第三步： 根据前两步建立模型： 2g(,)min (,) 0,0,(,)0r h r h v s r h r h g r h π=-=>>=设目标函数其中且 V 是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定的条件下求S 的最小值，此时r 和s 的比值。

创新设计方案

创新设计方案 一、设计名称：可以关闭的易拉罐 二、设计目的（设计背景）： 大多数人们在外面玩的时候口渴了都会想到要买水喝，但很多又不愿意一瓶喝完，就出现了易拉罐比较少量的瓶子，但易拉罐有一个最不方便的地方就是喝不完也关不上，很多人不喜欢手上拿着就喜欢放在包里方便，渴的时候再拿出来，然后我们就想到为了大家方便，想要设计出可以打开后还可以关闭的易拉罐瓶子。 三、设计原理： 现在的大多数人追求的生活品质越来越高，人们对这些消费品的要求也越来越多样化。易拉罐在人们的生活中随处可见，最初的易拉罐设计是将一个拉环固定在事先划好的开盖带上，利用杠杆作用和刻划痕迹，罐头先在开口上方打开，进一步拉开的动作将金属片拉离罐头顶部，铝片沿着刻划的痕迹撕开，留下来的开口从罐子边缘延伸到（或超过）罐子中心，这样在打开罐子饮用或倾倒饮料时，空气能由开口进入罐内，让饮料轻松地流出。易拉罐拉环独特的设计一方面结束了钥匙型开罐器的时代，另一方面也将在罐顶上打两个不同三角形切口的开罐动作减少为一个拉的轻松动作。半开半闭式的易拉罐更容易引进市场，通过在罐顶下安装旋转装置，让喝不完的水放在任何一个地方不易溢出，会给更多的人带来方便。四、作用与功能： 方便人们的生活，受各大消费群众的需求，方便携带和饮用。拉环式易盖有两种形式：一种是小口式，拉环拉起时罐盖开启一小口，由此小口可以吸出或倒也流体内装物，比如汽水类易拉罐就属于小口式；另一种是大口式，拉环拉起时几乎整个罐盖都被揭开，以便取出固体 五、设计结构与简图：

设计结构：采用普通的易拉罐瓶子，在开口处设计可以旋转开关的开口。 六、设计说明： 这次我们设计的是一个可开关的易拉罐，这个易拉罐跟平时我们看到的普通易拉罐没有什么区别，只是在拉罐开口处做了一些轻微的调整，普通的拉罐拉开过后就不可以再关闭，使消费者买了打开了以后就必须要喝完，然而一些消费者一次喝不完这么多放在那里就只有浪费。我们这次设计的这个易拉罐开口就设计成为了可开关的，当消费者打开后喝不完还可以将瓶口关上，这样方便了二次饮用，不会造成了浪费，也方便携带。做成这个易拉罐的技术条件也非常简单，只需要在现有的易拉罐制作工艺上，将易拉罐瓶口配上一个可旋转的开关，开关可以由简单的铝片制成，在消费者第一次将易拉罐打开后，旋转铝片就可将开口处密封。 七、制造用料： 普通的易拉罐一个，少许铝片 八、可行性分析： 在该易拉鑵项目可行性研究中，从节约资源和保护环境的角度出发，遵循“创新、先进、可靠、实用、效益”的指导方针，严格按照技术先进、低能耗、 低污染、控制投资的要求，确保该易拉鑵项目技术先进、质量优良、保证进度、

易拉罐设计问题

易拉罐的设计问题 一、模型的假设 1、除易拉罐的顶盖外，罐的其他部分厚度相同 2、忽略材料的接缝折边以及切削的损耗 3、易拉罐所装的饮品的体积一定 4、忽略制造中的工艺上的必须要求的折边长度 二、符号说明 V 表示易拉罐的用料体积 0V 表示易拉罐的罐内的容积 r 表示圆柱形的圆半径 S 易拉罐的表面积 λ表示易拉罐的上、下底面的单位面积的造价 θ表示易拉罐的侧面的价格 α表示易拉罐的上顶面与侧面厚度的比例系数 d 表示除顶盖外的其他部分材料的厚度 三、模型的建立及求解 要比较易拉罐的优劣，可以由其制作过程中所消耗的原材料的多少来判别，即最优易拉罐应具有最小的表面积。 如果，先不考虑材料的厚度及价格等因素，由圆柱的体积公式可得，2V r h π=，从而2V h r π=，又易拉罐的表面积为2222S r r h ππ=+，将2V h r π=代入其中得222V S r r π=+ 又由题知，体积V 为常数，即求当 r 为何值时，函数Ｓ取值最

小，由此目标函数为 min 222V S r r π=+ 22V V S r r r π=++≥= 当且仅当22V r r π=，即r =时h=2r 。但是，在实际生活中，易拉罐却不是这样的。 我们以355ml 的可口可乐易拉罐为对象来测量，得到如下数据。 由数据可知，4h r ≈即易拉罐的高与直径的比约为2:1。这是由于喝饮料时要使劲拉使得顶盖要比其他部分厚。 考虑到用于上下底面与侧面所用材料的造价不同，故制造一个易拉罐的价格为222y r rh λπθπ=+，于是目标函数可化为 min 222y r rh λπθπ=+ () 223y r rh rh πλθθ=++≥当且仅当22r λ=rh θ，即2r h λθ= 时，易拉罐的价格最低，此时易拉 罐不再是等边圆柱了。 考虑易拉罐的顶盖厚度是其他部分的材料厚度的α倍，进而易拉罐的侧面用料体积为 22(())((1))V r d r h d ππα=+-++ 圆柱形易拉罐顶盖用料的体积为2d r απ，底部用料体积为2d r π，所以易拉罐用料体积为

参考论文1-易拉罐的最优设计

易拉罐最优设计模型 （2006年全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件

易拉罐设计

易拉罐最优设计模型 （2006年获全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认

易拉罐的设计

易拉罐的设计 生活中我们常看到圆柱形的包装容器，如易拉罐、水杯、油漆桶等。那么，为什么这些容器都设计成了这样的形状？这样的形状有什么优势呢？显然，当一个容器需要大量使用的时候，考虑用料成本，设计一个容积足够、美观大方又节省材料的容器是极为必要的。 标签：易拉罐设计最小值 易拉罐是生活中常见的饮料容器，每天都有不计其数的易拉罐饮料从生产线上生产出来打包装箱输送到全国各地，同时被无数人购买，畅饮之后又要丢入垃圾桶。每个易拉罐的用料不多，但是有了庞大的基数支撑，用料成本便不可忽视，节约用料是一个极为重要的问题。 根据已经掌握的知识，平面中等面积的情况下圆的周长最短，那么，可以联想到空间中等体积的情况下球体的表面积最小。按照节省用料的考虑，为什么没有大规模使用球型的容器呢？最简单直观的缺点是不方便持握，不方便放置。而且还有一个问题就是球型容器运输的时候放入箱子中也会浪费更多的空间。 思考一：假设包装都是标准的圆柱体，忽略包装材料的拼接，近似认为容积就等于体积，这样把问题近似转换为一个纯粹的数学问题，即：“体积一定的圆柱体，底面半径与高的比值为多少时，表面积最小？” 设易拉罐的高为h，底面半径为r，有圆柱体的体积公式V=πr2h，得到h= 。又易拉罐表面积为S=2πr2+2πrh。将h= 代入表面积公式得S=2πr2+ 。[1]现在，问题转化成为了在r取何值的时候，函数S能够取到最小值。S= ，当且仅当2πr2= ，即时，易拉罐有最小表面积，此时h=2r。 但是在实际生活中，我们绝对看不到有这样形状的容器装满饮料放在货架上，为什么呢？这种形状的圆柱体又叫等边圆柱，这种形状拿起来的手感很差，因为太粗了，不适合作为饮料的容器，作为罐头、油桶倒是不错。那么，还有什么因素影响了易拉罐的形状呢？易拉罐的上底和下底经过观察和侧面是不一样的，一般来说，下底的材料会更加厚一些，或是更加硬一些，这可能是影响易拉罐形状的又一因素。 思考二：体积一定的圆柱形容器，上下底面的价格是侧面造价的k倍，那么底面半径和高的比为多少时表面总造价最小[2]？ 经过调查，有相当一部分饮料包装的底面的单位造价是侧面单位造价的2倍左右，为了便于计算，假设k=2。设圆柱底面半径r，高为h，侧面单位造价为a，底面单位造价为ka，圆柱体总造价为y。V=πr2h，y=2aπrh+4aπr2。= 。 当且仅当4r=h时，表面总造价最低。如果材料特殊，底面单位面积造价不

易拉罐优化设计

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：黄海学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 于才华 2. 刘扬 3. 王晓龙 4. 郭彩霞 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：戴琳琳薛靖峰 日期： 2011 年 8月 30 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 饮料罐（即易拉罐）在我们生活中随处可见，饮料的生产过程中需要大量的易拉罐。本文研究的是易拉罐的形状和尺寸最优设计问题，在生产大量易拉罐时，可以节省易拉罐的制作材料和生产费用。 问题一，我们利用千分尺测量了一个355毫升可口可乐饮料的易拉罐各部位，列出了有关的数据表格。 问题二，我们在已知假定易拉罐是一个正圆柱体时，针对材料最省的标准，在不考虑易拉罐的盖部圆台和底部圆台的高度画出了简单的平面图。利用问题一的数据：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍,建立体积的目标函数，得出高是半径的4倍是易拉罐的最优设计。我们的结果在半径与高的比值能合理说明我们所测量的易拉罐形状和尺寸。 问题三，结合问题一、二，已经给出易拉罐的中心纵断面：上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，假定圆台和圆柱的厚度不同，列出了材料最节约目标函数，利用了非线性规划方法和LINGO软件求得最优解。 问题四，我们考虑到易拉罐的材料、安全、成本问题等方面，设计了我们自己的易拉罐的形状。 关键词：易拉罐最优设计不等式最小值数学模型

易拉罐形状和尺寸的最优设计

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍 b 时，最优设计方案为61:： =H R 。 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h 2.2r ====H R ，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。 关键词：最优设计 体积结构 材料最省 lingo

易拉罐的最优设计

易拉罐最优设计模型 周亦挺 鲍亨卫 莫亚萍 （2006年获全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省， 来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9 .9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

易拉罐形状和尺寸的最优设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计 作者：孙振 王鼎文 李淋窈 摘要 研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。 问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。 问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r ππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型： 2min (,) (,)0.0 0s r h g r h r h v s t r h π?=-=?>??>? 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 模型 圆台面积 2 ()(s r r R r ππ=++ 用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。 结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。 另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。 最后写出了我们对数学建模的体会文章。 关键词：易拉罐 最优设计 数学建模 一、问题的提出 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿

易拉罐形状和尺寸的最优设计方1

易拉罐形状和尺寸的最优设计方案 摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易 拉罐形状和尺寸的最优设计方案。 问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。 问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。通过理论推导(拉格朗日乘 数法)求得与关系的解析解分别为、、 ，并用实测数据进行验证，实测数据与理论结 果吻合效果较好。 问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样 本检验，说明实测数据与理论结果基本相符。 问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。 问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。 本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。 关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本检验

一、问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。 2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。 3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4.利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5.用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模及其关键步骤以及难点。 二、模型假设 1．各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响；2．易拉罐的容积是一定的； 3. 易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比； 4．易拉罐圆台部分顶盖到侧面间的坡度为0.3[1]。 三、符号说明 ：规划的目标函数； ：易拉罐的表面积； ：易拉罐的体积； ：正圆柱体形易拉罐底面的半径；

垃圾桶的改良设计

| 垃圾桶的改良设计 题目选定的意义与目的: 一个绿色的地球是我们人类生存的先决条件，数千年的人类文明进程没有牺牲地球的绿色，但是两百年的现代化文明却使我们绿色的地球日渐披黄蒙黑。垃圾污染在自然界是一大污染，它污染水源、污染大气，甚至危害生命。拥有绿色和美好的生活环境是重要的，生活环境的优劣是人民文明进步的标志，环境卫生的好坏决定着城市文明的程度。于是减少对地球的污染是我们现在当前的首要任务，在污染严重的当今，垃圾的回收再利用，走可持续的发展是非常有必要的，于是一个好的垃圾桶就非常有必要了。 垃圾的不断增加及造成的污染给人类的生存环境构成了严重的威胁，垃圾的处理问题引起了人们普遍的关注。与人类生活联系最为密切的垃圾桶的设计，应是通过对垃圾桶的外形, 颜色 ,功能以及提高废弃物的回收率等方面来设计，增加人们的环保意识，实现能源的可持续发展。 我国能源短缺，而且能源结构很不合理，而原本不被利用的垃圾的资 源化处理可以节约原生能源针对当下大街上摆放的垃圾桶造型不美观，颜色过于单调，不便于拆卸与移动，垃圾的回收利用率很低，社会大众呼唤绿色垃圾桶的设计。 （ 、 设计计划： 产品设计计划安排

产品功能，原理，使用过程分析 垃圾桶，又名废物箱或垃圾箱，就是装放垃圾的地方。垃圾桶多数以金属或塑胶制，用时放入塑料袋，当垃圾一多便可扎起袋丢掉。多数垃圾桶都有盖以防垃圾的异味四散，有些垃圾桶可以以脚踏开启。 垃圾桶是一种专门盛放垃圾的容器，它可以使我们的生活变得干净整洁，是我 们离不开的好伙伴，它总是弄脏了自己，却清洁了别人。 不管穷国还是富国，垃圾分类都在成为世界性的潮流，而在这方面曾经世界领 先的中国，这好的传统却几乎丢失了。垃圾分类对于一向勤俭持家的中国人并 不陌生。 如今我们的生活好了起来，于是我们便不再吝啬卖破烂换回的那几毛钱。勤俭 节约，废物利用，这中华民族的传统美德，现在却在丢失。我们每个人都是垃 圾的制造者，又是垃圾的受害者，但我们更应是垃圾公害的治理者，我们每个 人都可以通过垃圾分类来战胜垃圾公害。 在高科技的现在，垃圾的种类越来越多，垃圾桶的形状，功能原理也越来越多，在众多的垃圾桶中如脚踏开盖式垃圾桶，智能垃圾桶等等。这些垃圾桶都有他 们独特的功能和造型，他们的功能原理也不相同。例如智能垃圾桶，智能感应 垃圾桶，采用微电脑控制芯片、首创红外线探测装置、机械传动装置和连杆机 构组成，自动开关盖，是集机、光、电于一体的高科技新产品，具有性能可靠，使用寿命长，耗电低等优点。智能垃圾桶可以不用麻烦我们自己去开垃圾桶的盖，智能垃圾桶是根据光的感应，当我们触及到这些感应时，智能垃圾桶的桶 盖就会自动开启，这样就方便了我们在倒垃圾时开启垃圾桶盖的这一环节，大 大的方便了我们。又如脚踏开盖式垃圾桶，他们利用杠杆原理，利用脚踏的力 量就可以开启垃圾桶的盖子，这种垃圾桶的设计是在人在倒垃圾时弯腰这一环 节做出了很大改进，这种垃圾桶是在你倒垃圾时不要弯腰了，你只要用脚轻轻

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型[1]

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 查建飞 郑娴雅 金兰贞 (2006年获全国二等奖) 摘要:目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。而资源 是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。 首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。 模型Ⅰ:把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h 与底面半径r 之间的关系为()r h 21αα+=，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型Ⅱ进行分析。 模型Ⅱ:进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。通过对模型Ⅰ中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。 模型Ⅲ：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。 最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。 关键词：最优设计 形状与尺寸 合适度 一、问题重述 生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题： （1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。 （2）设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 （3）设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 钱益锋 罗坚坚 董龙寅 (2006年获全国一等奖) 摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所 用材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型， 并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。 模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标， 建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径 两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=， mm R 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。 模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一 定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高 之和约为直径的两倍。 模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的 原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与 高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入 计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台 一、问题重述 销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某 种意义下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设 计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的 话，可以节约的钱就很可观了。 现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。 问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐， 测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数 据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理 地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比， 等等。 问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个 正圆台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计？其结果 是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐 形状和尺寸的最优设计。 同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，