数分第一章总练习答案
总练习
1、设b a ,为实数,证明: (1));(2
1},max{b a b a b a -++=
(2) ).(21},min{b a b a b a --+= 证 因为???<≥=-++.,,)(21时当时当b a b b a a b a b a ???≥<=--+.
,,,)(21时当时当b a b b a a b a b a 所以);(21},max{b a b a b a -++=
).(21},min{b a b a b a --+=
2、设f 和g 都是D 上的初等函数,
定义)}(),(max{)(x g x f x M =,)}(),(min{)(x g x f x m =,D x ∈.
试问)(x M 和)(x m 是否为初等函数?
解:因为[]])()()()([21])()()()([21)(2x g x f x g x f x g x f x g x f x M -++=-++= 所以)(x M 是由初等函数f 和g 经四则运算和有限次复合而成的函数,
故)(x M 是初等函数.
又因为[]])()()()([21])()()()([21)(2x g x f x g x f x g x f x g x f x m --+=--+= 所以)(x m 也是由初等函数f 和g 经四则运算和有限次复合而成的函数,
从而)(x m 是初等函数.
3、 设函数x
x x f +-=11)(, 求:))((,)(,)
(1,)1
(,1)(,)1(,)(,)0(2x f f x f x f x f x f x f x f f ++-. x x
x x x x f f x x x f x x x f x x x x x f x x x x f x x x f x x x f f =+-++--=+-=-+=+-=+-=+=++-=++-=+-+=
-=111111))((;11)(;11)(1;11111
1)1(;121111)(;2)1(;11)(;1)0(:222解
4、 已知2
1)1
(x x x f ++=,求)(x f . 解: x x x x x x f 22
11111)(++=??
? ??++=.
5、 利用函数][x y =求解:
a) 某系各班级推选学生代表,每5人推选一名代表,余额满3人可增选1名,写出
可推选代表人数y 与班级学生数x 之间的函数关系(假设每班学生数为50~30人);
b) 正数经四舍五入后得正数y ,写出y 与x 之间的函数关系.
解: (1) 因余额满3人可增选1名,也就是说可在原来基础上增加2人后取整,于是]5
2[+=x y (2)由][x 定义知]5.0[+=x y .
6、 已知函数)(x f y =的图形,试作出下列各函数的图形:
(1))(x f y -=;(2) )(x f y -=;(3) )(x f y --=;(4) )(x f y =;
(5) ))(sgn(x f y =;(6) )]()([21x f x f y +=;(7))]()([2
1x f x f y -= 解:(1) )(x f y -=和)(x f y =的图形关于x 轴对称
(2))(x f y -=和)(x f y =的图形关于y 轴对称
(3) )(x f y --=和)(x f y =的图形关于原点对称 (4) )(x f y ={{?????<=∈-≥=∈=,
}0)(,)(,}0)(,)(21x f x D x x f x f x D x x f (5) ))(sgn(x f y ==??
???<=∈-==∈>=∈}0)(|{,1}0)(|{,0}0)(|{,1321x f x D x x f x D x x f x D x (6))](|)([|21x f x f y +=?
??<=∈≥=∈=}0)(|{,0}0)(|{),(21x f x D x x f x D x x f (7))](|)([|21x f x f y -=
???<=∈-≥=∈=}0)(|{),(}0)(|{,021x f x D x x f x f x D x 它们的图象如图1-14----图1-16
7、 已知函数f 和g 的图象,试作出下列函数的图形:
(1))};(),(max{x g x f y =
(2) )};(),(min{x g x f y =
解 (1),(2)的图形如图1-17和图1-18
8、 设f 、g 和h 为递增函数，
证明：若),(),()()(+∞-∞∈≤≤x x h x g x f ，则))(())()((x h h x g x f f ≤≤.
证 由题设条件，有))(())(())(())(())((x h h x g h x g g x g f x f f ≤≤≤≤，
因而))(())()((x h h x g x f f ≤≤.
9.设f 、g 为区间),(b a 上递增函数,
证明)}(),(max{)(x g x f x =?和)}(),(min{)(x g x f x =ψ都是),(b a 上的递增函数. 证 对任意的2121),,(,x x b a x x <∈，由f 、g 在),(b a 上递增知)()(12x f x f >，)()(12x g x g >，因之)()()(122x f x f x ≥≥?，)()()(122x g x g x ≥≥?.从而
)()}(),(max{)(1112x x g x f x ??==,即)(x ?在),(b a 上是递增函数.
同理可证)(x ψ在),(b a 上是递增函数.
10.设f 为],[a a -上的奇(偶)函数,证明:若f 在],0[a 上递增,则f 在]0,[a -上递增(减). 证: 当)(x f 为奇函数时,对任意的2121],0,[,x x a x x <-∈,有1x -,],0[2a x ∈-且21x x ->-.而)()(11x f x f -=-,)()(22x f x f -=-,从而有)()(21x f x f ->-,即)()(21x f x f <,所以)(x f 在]0,[a -上是递增的.
当)(x f 为偶函数时,类似地可以证明结论成立.
11.证明:(1) 奇函数与奇函数之和仍为奇函数;
(2)偶函数与偶函数之和仍为偶函数;
(3)奇函数与偶函数的乘积是奇函数;
(4) 奇函数与奇函数的乘积是偶函数;
(5) 偶函数与偶函数的乘积是偶函数.
证:只证(1)、(3)，其余可以类似地证明.
设1f ,2f 为D 上的奇函数, 1g ,2g 为D 上的偶函数.
(1) 令)()()(21x f x f x F +=,则对任意的D x ∈,
)()()(21x f x f x F -+-=-))(()(21x f x f -+-=)]()([21x f x f +-=)(x F -=
所以)()()(21x f x f x F +=是D 上的奇函数.
(3) 令)()()(11x g x f x G ?=,则对任意的D x ∈,
)()()(11x g x f x G -?-=-)()()(11x G x g x f -=?-=
所以)()()(11x g x f x G ?=是D 上的奇函数.
12.设f ,g 为D 上有界函数,
证明:?????++≤+∈∈∈∈∈)(inf )(sup )(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f x g x f D x D
x D x D x D x )(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈+≤. 证: 对任意D x ∈,由于)()(inf x f x f D x ≤∈,)()(inf x g x g D
x ≤∈ 所以)()()(inf )(inf x g x f x g x f D
x D x +≤+∈∈, 故)}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f D
x D x D x +≤+∈∈∈ (1) 由不等式(1)又有)(inf )}()()({inf )}({inf )}()({inf x f x g x g x f x g x g x f D x D x D x D x ∈∈∈∈=-+≤-++ 所以))(inf ()(inf )}()({inf x g x f x g x f D x D x --≤+∈∈)(sup )(inf x g x f D
x D x ∈∈+= 同理有)(inf )(sup )}()({inf x g a x f x g x f D
x D x D x ∈∈∈+≤+ 对任意D x ∈,由于)(sup )(x f x f D x ∈≤,)(sup )(x g x g D
x ∈≤,
所以)(sup )(sup )()(x g x f x g x f D
x D x ∈∈+≤+
故)(sup )(sup )}()({sup x g x f x g x f D
x D x D x ∈∈∈+≤+ (2)
由不等式(2)知))((sup )}()({sup )}()()({sup x f x g x f x f x g x f D
x D x D x -++≤-+∈∈∈
所以)}()({sup )(sup ))((sup x g x f x g x f D
x D x D x +≤+--∈∈∈
即)}()({sup )(sup )(inf x g x f x g x f D
x D x D x +≤+∈∈∈ 同理有)}()({sup )(inf )(sup x g x f x g x f D
x D x D x +≤+∈∈∈
13. 设f ,g 为D 上有界函数,且0)(,0)(>>x g x f
证明:)}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f D x D x D x ?≤?∈∈∈ )}()({sup x g x f D
x ?≤∈ )(sup )(sup x g x f D
x D x ∈∈?≤
证: (1) 只证第一个和第三个不等式.
,D x ∈?由),()(inf x g x g D x ≤∈且0)(,0)(>>x g x f ,所以),()()(inf )(inf x g x f x g x f D
x D x ?≤?∈∈ 故)},()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f D
x D x D x ?≤?∈∈∈ 同理可以证明)(sup )(sup )}()({sup x g x f x g x f D
x D x D x ∈∈∈?≤?
(2) 第二个不等式显然成立
14.延拓定义在),0[∞+上的函数到整个实数轴上,使所得的函数为(Ⅰ)奇函数(Ⅱ)偶函数.
设(1)1sin )(+=x x f (2)?????<≤≤--=x x x x x f 1,
10,11)(32 解: (1)令??
???<<∞--=+∞<<+=0,1sin 0,00,1sin )(x x x x x x f o
?
??<<∞--+∞<≤+=0,1sin 0,1sin )(x x x x x f e 则)(x f o 是奇函数, )(x f e 是偶函数, 且都是)(x f 延拓.
(2)令???????-<<∞-<≤---≤≤--+∞<<=1,01,1110,111,)(3223x x
x x x x x x x f o
???????-<<∞-≤≤---+∞<<=1
,11,111,)(32
3x x x x x x x f e 则)(x f o 是奇函数, )(x f e 是偶函数, 且都是)(x f 延拓.
注:一般地令??
???<<∞--=+∞<<=0,)(0,00,)()(x x f x x x f x f o ,???<<∞--+∞<≤=0,)(0,)()(x x f x x f x f e
则)(x f o 是R 上的奇函数, )(x f e 是R 上的偶函数, 且都是)(x f 的延拓.
15.设f 为定义在),(∞+-∞上以h 为周期的函数.证明:若f 在],[h a a +上有界,则f 在),(∞+-∞上有界.
证:因为f 在],[h a a +上有界,从而存在0>M ,对任意的],[h a a x +∈,有M x f ≤)(.对任意的),(∞+-∞∈y ,一定存在整数k 及],[h a a x +∈使.x kh y += 于是M x f x kh f y f ≤=+=)()()(
所以f 在),(∞+-∞上有界.
16.设f 在区间I 上有界,记)(sup x f M I x ∈=,)(inf x f m I
x ∈=
证明:m M x f x f I
x x -=''-'∈''')()(sup ,.
证:因为I x x ∈'''?,有M x f m ≤'≤)(,M x f m ≤''≤)(, 从而m M x f x f -≤''-')()( 所以m M x f x f I
x x -≤''-'∈''')()(sup ,
另一方面,0>?ε,I x x ∈?21,使得2)(1ε-
>M x f 及2)(2ε+ 由ε的任意性知)()(sup ,x f x f m M I x x ''-'≤-∈''' 因此m M x f x f I x x -=''-'∈''')()(sup ,