初中数学经典难题参考答案(更新版)

初中数学经典难题参考答案

一、选择题

1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k 为（C ） A 、16 B 、-16 C 、±16 D 、±13

2、若

11m n -=3，2322m mn n

m mn n

+---的值是（B ） A 、1.5 B 、35 C 、-2 D 、-75

3、判断下列真命题有（C ）

①任意两个全等三角形可拼成平行四边形②两条对角线垂直且相等的四边形是正方形③四边形ABCD ，AB=BC=CD ，∠A=90°，那么它是正方形④在同一平面内，两条线段不相交就会平行⑤有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 A 、②③ B 、①②④ C 、①⑤ D 、②③④

4、如图，矩形ABCD 中,已知AB=5,AD=12,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC ，E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF=（B ） A 、5 B 、6013 C 、245 D 、55

12

5、在直角坐标系中，已知两点A （-8，3）、B （-4，5）以及动点C （0，n ）、D(m,0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值为 m

n

=（B ）

A 、-23

B 、-32

C 、-34

D 、34

二、填空题

6、当x= 负数 时，

||3x x -与3x x

-互为倒数。9、已知x 2

-3x+1=0，求（x-1

x ）

2

= 5

7、一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为v ，下山的速度为v ′，单程

的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为 (

2vv v v '

+'

)

8、将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点

A '，则点A '的坐标是

()

9、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程(X-3)(X-4)=0的解，则菱形ABCD 的周长为 16

10、如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是△ABC 的中线，△CDB 内以CD 为边的等腰直角三角形周长是

（

AB

或

12

AB ） (第4题图)

11235 (11)

2

3

1

5

1

1

2

11

3

2

1

④

③

②

①

11. 如图，边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，AE=BE，F是AC?上一动点，EF+BF的最小值为(

12、如图，边长为

3

的正方形ABCD顺时针旋转30°，得上图，交DE于D’,阴影部分面积是(9-

13、如图，已知四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，且∠AOD＝90°，若BC＝2AD，AB＝12，CD＝9，四边形ABCD的周长是(21+

14、有这样一组数：1，1，2，3，5…，现以这组数据的数作为正方形边长的长度构造如下正方形；再分别从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形记为①、②、③、④.第⑩个矩形周长是466

15、如图，在直线y=-

3

3

x+1与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，第二象限内有一点P（a,

1

2

）,且△ABP的面积与△ABC的面积相等，则a= (4-)

三、解答题

16、如图，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，连结AE并取中点F，连结AE并取中点F，连结BF、DF，求证BF⊥DF。

证明：连结BD交AC于O，

则在△AEC中，由中位线定理，得FO＝(1/2)CE

又因为已知CE=AC, 且从已知矩形ABCD 得到AC=BD,

所以FO＝(1/2)BD,

从而有FO=BO,FO=DO,

于是有∠OFB=∠OBF, ∠OFD=∠ODF,

又因为△BFD的三个内角和是180°,

(第11题图) (第12题图) (第13题图) (第10题图)

(第14题图)

(第15题图)

(第16题图)

所以∠BFD=∠OFB+∠OFD=1/2(∠OFB+∠OFD+∠OBF+∠ODF)=1/2×180°=90°, 因此△BFD 是直角三角形，从而BF ⊥DF 。

17、如图，已知在等腰ABCD 中，AD=x ，BC=y,梯形高为h （1）用含x 、y 、h 的关系式表示周长C （2）（AD=8，BC=12，BD=10

2，求证∠DCA+∠BAC=90°

解：（1）C

＝x y ++（2）作DE ∥AE ，交BC 延长线于点E ，则

BD=AC=DE=＝BC+CE ＝BC+AD ＝20， 从而有222BD DE BE +=, 由勾股定理得到∠BDE ＝90°。 此外,由DE ∥AE 得到∠DCA=∠CDE,由△ABC ≌△DCB 得到∠BAC=∠CDB, 所以∠DCA+∠BAC=∠CDE+∠CDB=90°

18、如图，过原点的直线l 1：y=3x ，l 2：y=12

x 。点P 从原点O 出发沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动。直线PQ 交y 轴正半轴于点Q ，且分别交l 1、l 2于点A 、B 。设点P 的运动时间为t 秒时，直线PQ 的解析式为y=―x+t 。△AOB 的面积为S l (如图①)。以AB 为对角线作正方形ACBD ，其面积为S 2(如图②)（1）求S l 关于t 的函数解析式； （2）求S 2关于t

的函数解析式；

解:由方程组3y x y x t

=??

=-+?解得A 点的坐标是（3,44t t

）；

由方程组12

y x

y x t

?

=???=-+?解得B 点的坐标是（2,33t t ）； （1）22

1

11152242324

POQ QOA POB t t S S S S t t t t ???=--=-?-?=

（2）12

=, (第17题图)

从而得到正方形ACBD 的边长是

5

sin 451212

t t ??＝， 所以22

2

525()12144

S t t ==。

19、如图，菱形OABC 边长为4cm ，∠AOC=60度，动点P 从O 出发，以每秒1cm 的速度沿O —A —B 运动，点P 出发2秒后，动点Q 从O 出发，在OA 上以每秒1cm 的速度，在AB 上以每秒2cm 的速度沿O —A —B 运动，过P 、Q 两点分别作对角线AC 的平行线，设P 点运动的时间为x 秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（阴影部分）的周长为y cm,请回答下问题。

（1）当x=3时，y 是多少？

（2）求y 与x 的关系式, ，并画出此函数的图象．。（注意取值范围）

分析：（1）当x=3时，可得所截图形为等腰梯形，然后可得PQ=EF ，FQ=OQ=OF=1，PE=OP=OE=3，可

求出y 值．

（2）根据题意可分四种情况进行分析①当0≤x≤2时，y=3OP ，即y=3x ； ②当2≤x≤4时，y=3PO-QO=3x-?（x-2）=2x+2；

③当4≤x≤6时，y=2（OA+AP ）-QO+BP=2x-（x-2）+（8-x ）=10；

④当6≤x≤8时，AQ=2[（x-2）-4]=2x-12，y=3[（AB-AQ ）]-PB=3[4-（2x-12）]-（8-x ）=-5x+40．

解答：

（1）当x=3时，所截图形为等腰梯形，PQ=EF=2 FQ=OQ=OF=1，PE=OP=OE=3 故y=2+2+1+3=8 （3分）

（2）根据题意可得①当0≤x≤2时，y=3OP ，即y=3x ； ②当2≤x≤4时，y=3PO-QO=3x-?（x-2）=2x+2；

③当4≤x≤6时，y=2（OA+AP ）-QO+BP=2x-（x-2）+（8-x ）=10；

④当6≤x≤8时，AQ=2[（x-2）-4]=2x-12，y=3[（AB-AQ ）]-PB=3[4-（2x-12）]-（8-x ）=-5x+40．

y 与x 的关系式是此函数的图象是（图象是一分段函数图象）

20. 已知(1)A m -，

与(2B m +，是反比例函数k y x

=

图象上的两个点．

（1）求k 、m 的值；

（2）若点(10)C -，，

则在反比例函数k

y x

=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？

若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 解；答案与方法如下，过程略 （1）

k=

m=- (2)存在,直线AB

C 与直线AB 平行的直线方程是

1)x -，与反比例函数

联立成方程组解得

x=-2,y=或者

x=1,y=D 的坐标是（

2,

1,。

21直线10-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 从B 点出发，沿线段BA 匀速运动至A 点停止；同时点Q 从

原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动 (如图1)，且在运动过程中始终保持PO =PQ ，设OQ =x . （1）试用x 的代数式表示BP 的长.

（2）过点O 、Q 向直线AB 作垂线，垂足分别为C 、D （如图2），求证：PC =AD .

（3）在（2）的条件下，以点P 、O 、Q 、D 为顶点的四边形面积为S ，试求S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的范围.

解：（1）

BP=

2x = （2

）因为10PC

BC BP =-==

()(102)22

AD OA OQ x =-?

=-?=，

x

x

，

所以AD=PC

（3）

11

()

22 PCO CDQO

S S S PC OC QD OC CD

=+=??++??

1

()

2

QD AD

=++??

其中PC=QD=AD设都等于t，则由（2）知

t=,

所以

2222

11

]25525

2222

S t t x x

=+-?=-++=-++

22。（本题满分8分）（1）如右图，点O是线段AD的中点，分别以AO和

DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连

结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

解: ∵∠AEB是△DEA的外角即∠AEB=∠EDA+∠EAD

∵OC=OD,OA=OB, ∠COA=∠BOD,∴△COA≌△BOD (SAS),∴∠CAO=∠DBO

∴∠AEB=∠EDA+∠DBO

又∵∠BOA是△BDO的外角

即∠BOA=∠EDA+∠DBO

∴∠AEB=∠EDA+∠DBO=∠BOA

∴∠AEB=60°

（2）如下图，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

解:方法类似于（1）,故略去解法。

B

O

D

C

E

图8