2010年中考数学试题分类汇编 压轴题

1 2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(一)

24.(2010广东广州,24,14分)如图,⊙O 的半径为1,点P 是⊙O 上一点,弦AB 垂直

平分线段OP ,点D 是 APB 上任一点(与端点A 、B 不重合),DE ⊥AB 于点E ,以点D

为圆心、DE 长为半径作⊙D ,分别过点A 、B 作⊙D 的切线,两条切线相交于点C .

(1)求弦AB 的长;

(2)判断∠ACB 是否为定值,若是,求出∠ACB 的大小;否则,请说明理由;

(3)记△ABC 的面积为S ,若2

S DE =

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ABC 的周长.

【分析】(1)连接OA ,OP 与AB 的交点为F ,则△OAF 为直角三角形,且OA =1,OF =12

,借助勾股定理可求得AF 的长;

(2)要判断∠ACB 是否为定值,只需判定∠CAB +∠ABC 的值是否是定值,由于⊙D 是△ABC 的内切圆,所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线,因此只要∠DAE +∠DBA 是定值,那么CAB +∠ABC 就是定值,而∠DAE +∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角,这个值等于∠AOB 值的一半;

(3)由题可知ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆=++=12

DE (AB +AC +BC ),

又因为2S DE =

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所以2

1()2DE AB AC BC DE ++=AB +AC +BC

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=,由于DH =DG =DE ,所以在Rt △CDH 中,CH

,同理可得CG

,又由于AG =AE ,BE =F

C

P

D O B

A E H G

C

P D

O B

A

E

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