第八章 三角函数式的变换
第八章 三角函数式的变换
一、两角和与差的正弦，余弦，正切公式及其二倍角公式，辅助角公式。 1、公式的回忆 2、公式的应用 例1、1tan()4
2
π
α+=
，（1）求tan α的值；（2）求
2
sin 2cos 1cos 2ααα
-+的值。
答案；15,3
6
-
-
例2、（1）cos 43cos 77sin 43cos167??+??=
(2)cot 20cos103sin 10tan 702cos 40??+
??-?=
答案：1,22
-
例3、5tan cot ,(
,)242
ππ
ααα+=
∈，求cos 2α和sin(2)4
π
α+
的值。
答案：3
2
,510
-
，切化弦，或者直接正切求解。
例4、化简：（1）315sin 35cos x x +；（2）2sin()2sin()3cos(
)3
3
3
x x x π
π
π+
+-
--
答案：（2）0，直接展开，或者诱导公式变化。（结束）
可补充：点(3cos ,4sin )P x x ，直线4350x y ++=，求点P 到该直线的最小距离及P 点坐标。
注意范围的一些三角恒等变换题 1、4sin 5
α=
，α在第二象限，求cos
2
α
的值。
答案：55
2、5sin 5
α=，10sin 10
β=
，且,αβ为锐角，求αβ+
答案：
4
π
3、A B C 中，3sin 4sin 1A B +=，4cos 3cos 1B A +=，则C = 。
答案：30?
4、A B C 中，2sin()3
A B +=
，3cos 4
B =-
，求cos A 的值。
答案：7235
12
+错
5、04
π
α<<，04
π
β<<
，且3sin sin(2)βαβ=+，2
4tan
1tan
2
2
α
α
=-，求αβ+的
值。 答案：
4
π
二、综合应用（结合三角函数，其它的一些公式）
化简三角函数式的常用方法：“切化弦”，“弦化切”来减少函数的种类，采用“配方法”，“降幂公式”来逐步降低各项的次数。 三角函数最值问题归类：
1、三角方法，利用正弦，余弦的有界性；
2、代数方法，先变为代数问题，再选用配方法、不等式法，判别式法，单调性法等求解；
3、解析法，利用点线距离公式，斜率公式，直线方程 类型：
（1）sin y a x b =+，一次函数； （2）sin cos y a x b x c =++，辅助角；
（3）2sin sin y a x b x c =++，给定区间上的二次函数最值问题； （4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，化为二次函数；
（5）tan cot y a x b x =+，化为2
at b y t
+=，判别式；
（6）sin ,sin a x b y c x d
+=+，三角函数的有界性，分离常数求最值，不等式法求最值，也可以数
形结合。 （7）sin cos a x b y c x d +=
+，三角函数的有界性，或者万能公式，判别式求解 半角公式1cos 1cos sin sin
,cos
,...tan
...2
2
2
2
sin 1cos αα
ααααα
α
--=±===
=
+
1、化简
4
2
2
12cos 22
2tan(
)sin ()
4
4
x cos x x x ππ-+
-+
= 。 答案：
1cos 22
x
2、已知函数5sin 12
()(0)2
2sin
2
f θθθπθ=-
+
<<。
（1）将()f θ表示成关于cos θ的多项式；
（2）a R ∈，试求使曲线cos y a a =+与曲线()y f θ=至少有一个交点时，a 的取值范围。 答案：（1）2()2cos cos 1f θθθ=+-;(2) 31a -<<(约分) 3、设函数2
()cos(2)sin 3
f x x x π
=+
+
（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期； （2）设,,A B C 为A B C 的三个内角，若1cos 3
B =
，1()4
f C =-
，且C 不为钝角，求sin A .
答案：13()sin 22
2
f x x =-，2
C π
=
，sin A =1cos 3
B =。
作业反馈：
合一变形公式和有关角的范围的问题，值域问题要加强。 1、当04
x π
<<
时，函数2
2
cos ()cos sin sin x f x x x x
=
-的最小值是 。
答案：4，弦化切。
2、判断：若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<。错
3、A B C 中，3sin 4cos 1A B +=，4cos 3cos 1B A +=，则C = 。 答案：30?
4、函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则实数a = ，b = 。 答案：1,22±
5、在锐角三角形ABC 中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-= （1）若sin cos 20B C +=，求,,A B C 的大小；
（2）已知向量(sin ,cos )m B B = ，2(sin ,cos )n C C =
，求||m n -
的取值范围。
答案：（1）5,,4
3
12
A B C π
π
π=
=
=
，（2）[21,1)-
6、已知函数2
3
()sin cos 3cos ,(0)2
f x a x x a x a b a =-+
+>，若[0,]2x π
∈,()f x 的最
小值是2-，最大值为3，求实数,a b 的值。 答案：2,23a b ==-+
。合一变形和注意角的范围问题。
三角函数公式及其图像
初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数μx y=，μ是常数； 1.当u为正整数时，函数的定义域为区间 ) , (+∞ -∞ ∈ x，他们的图形都经过原点，并当u>1时 在原点处与X轴相切。且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称； 2.当u为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3.当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n图形于x轴相切,如果m (2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. (3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区 间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/ 三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ） A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后，再作关于x 轴的对 称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是＿＿＿＿＿＿＿。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ） （A ）向左平移 4π个单位 （B ）向右平移4π 个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 （A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 （C ）向右平移18π 个单位 （D ）向左平移18 π 个单位 3．将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 （纵坐标不变），再把 所得图象向左平移6π 个单位，得到的函数解析式为（ ） ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4 π 个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ）??? ??+=42cos πx y （B ）??? ??+=42cos πx y （C ）x y 2sin = （D ）x y 2sin -= 5．要得到函数x y cos 2=的图象，需将函数)42sin(2π +=x y 的图象（ ） (A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4 π个单位长度 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D 《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议，变A 伸压 y 无疑， 变φ 要把系数提，正φ 左进负右移． 周期变换是通过改变x 的系数来实现的，即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关．这是因为ω π 2=T ，故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍，则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变)，故有“变T 数倒系数议”之说． 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x 的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说． 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容．对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图像，哪是新函数的图像，再据本歌诀所述，很快就可得到解决． 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像，可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x ， 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可．故选(B)． 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=，即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得，须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可．故选(B)． 点评 由于当ω ?- =x 时, 相位0 =+?ω x ．因而，我们可称此时的相位为零相位．由此可 见，在作相位变换时，其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的．对于本题而言，由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ，故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ，π 处．易知要平移的数值是： 3 )4 (12 π π π = - -，方向是向 右的．显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法． 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1，只需把C 上所有的点先向右平移 ，再将 ． ( ) (A) 5 2π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位，横、纵坐标都伸 1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页 6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数 《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A (2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？ 《图象变换的顺序寻根》 题根研究？ 一、图象变换的四种类型 从函数y二f (x)到函数y二A f ( ： "「)+m其间经过4种变换： 1. 纵向平移——m变换 2. 纵向伸缩——A变换 3.横向平移一一变换 4. 横向伸缩一一总变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y二sin x到y二A sin ( ' ：」)+m为例，讨论4种变换的顺序问题 V：= / (x)= 1+ 3sin( 2x- ［例1】函数 ' -的图象可由y二sin x的图象经过怎 样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步，横向平移: 将y二sin x向右平移：，得 第2步，横向伸缩: L-1—A ——J — 将. 二的横坐标缩短二倍, 第3步：纵向伸缩: v 二s￡n( 2x——''i 将. -的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移: v = 3sin(2x——) v = 1 + —— 将二向上平移1,得 【解法2】第1步，横向伸缩: 2 将y 二sin x 的横坐标缩短二倍，得 y 二sin 2 x 第2步，横向平移: 第3步，纵向平移: y — sinC2x ——） 将， -向上平移】；，得 第4步，纵向伸缩: v = — 4- sinf 2x — 将1 1的纵坐标扩大 71 【说明】 解法1的“变换量”（如右移：）与参数值（「对应，而解法2 71 71 中有的变换量（如右移1）与参数值（一）不对应，因此解法1的“可靠性” 大, 而解法2的“风险性”大. 【质疑】 对以上变换，提出如下疑问： （1） 在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有 变 （2） 在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反一一 如当匚<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向） （3） 在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反一一 如1^1 > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” 【答疑】 对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式 y 二A f （-八i ）+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至.如果把函数式变为方 程式 -r （y^' ） = f （一」），则x 、y 在形式上就“地位平等”了 v = 1 + 2x- — （v — 1） = sinf 2x -—） 71 将y 二sin 2 x 向右平移；一：，得 尸二 sin （ 2孟一— .-I + 3sin( 2x —— 3倍，得. - 71 考点测试20 三角函数的图象和性质 一、基础小题 1．已知f(x)＝sin ? ????x ＋π2，g(x)＝cos ? ????x －π2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x)的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象 D ．向右平移π 2 个单位，得到g(x)的图象 解析 因为g(x)＝cos ? ????x －π2＝cos ? ????π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选 D. 2．函数y ＝sin 2x＋sinx －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．??????－54，－1 C ．???? ? ?－54，1 D ．? ?????－1，54 答案 C 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈???? ??－54，1. 3．函数y ＝2sin ? ????π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．??????－π，－5π6 B ．??????－π3，0 C ．??????－2π 3 ，－π6 D ．??????－π 3 ，－π6 答案 C 解析 因为y ＝2sin ? ????π6－2x ＝－2sin ? ????2x －π6，所以函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ? ????2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，解得π3＋kπ≤x ≤5π6＋kπ(k ∈Z)， 即函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间为? ?? π3 ＋kπ， ? ??5π 6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ? ????π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为???? ??－2π3，－π6. 4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．3π 2 答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k ∈Z)，故选C. 5．已知函数f(x)＝sin ? ????x ＋π6，其中x ∈??????－π3，a ，若f(x)的值域是??????－12，1，则a 的取值围是( ) A ．? ????0，π3 B ．??????π3，π2 C ．??????π2 ，2π3 D ．???? ??π3，π 解析 若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π 6 或x 三角函数图像及其变换 一、 知识梳理 1、sin y x =与cos y x =的图像与性质 2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+ （1） 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 （2） sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系 二、 典型例题 1、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π =+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π =+，x R ∈ 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ???的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ，的简图是（ ） 4、下面有五个命题： ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a = Z k k ∈π ,2 |. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36 )32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数，在〔ππ - =x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3 π 个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4 x π =,则θ的一个可能取值是 A. π125 B. π125- C. π12 11 D. 1112π- 三、高考再现 1、已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =++ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03?????? ，上的取值范围． 幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形 各三角函数值在各象限的符号 sin α·csc α cosα·secα tan α·cot α 三角函数的性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且 x≠kπ+ ,k ∈Z ｝ 2 ｛x ｜x ∈R 且 x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2k π+ 时 2 y max =1 x=2kπ- 时 y min =-1 2 ［-1,1］ x=2kπ 时 y max =1 x=2kπ+π 时 y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 在［2kπ - 2 ,2kπ+ 2 ］在(kπ- 2 ，kπ+ 2 )内都 上都是增函数；在是增函数(k∈Z) ［2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 3 π］上 都是减函数(k∈Z) 反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈〔- , 22 〕的反函数，叫做反 正弦函数，记作 x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数，叫做反 余弦函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- , ) 22 的反函数，叫做反正切 函数，记作x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的 反函数，叫做反余 切函数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于［- , ］ 22 且正弦值等于x的角 arccosx表示属于 ［0，π］，且余弦 值等于x的角 arctanx表示属于(- , 2 )，且正切值等于x 2 的角 arccotx表示属于 (0，π)且余切值等于 x 的角 性 质 定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- ，］ 22 ［0，π］(- ，) 22 (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是增函 数 在［-1，1］上是减 函数 在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减 函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π- arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx 周期性都不是同期函数 单调性 在［2kπ-π，2kπ］上都是 增函数；在 ［2kπ，2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都 是减函数(k∈Z) 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226 x y π = +的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ． （１） 32； 14π；26x π+；6 π （2）函数2sin(2)3 y x π =- 的对称中心是 ；对称轴方程是 ；单调增区间是 ． （２）( ,0),26k k Z ππ+∈；5,212 k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ?? -++∈???? (3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量 ,06a π?? =- ??? 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图 象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6 y x π =- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3 y x π =- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量 ,06a π?? =- ??? 平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知， 73()1262 πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6 3sin(2π 的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像 上所有的点 （ ） （A ）向左平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移 6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移 6 π 个单位长度，得到函数2sin(),6 y x x R π =+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标 不变）得到函数R x x y ∈+=),6 3sin(2π 的图像 三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1．快速写出下列各式的值： （1）? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin （2）? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos （3）2sin15cos15??=_________； （4）2 2 cos 15sin 15?-?=_________； （5）2 2sin 151?-=_________； （6）2 2 sin 15cos 15?+?=________ （7）) 15tan(1195tan 1?? -++ （8） 2cos 6sin x x -=________ 2化简：（1）4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+；（2）(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+．3 设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2 π αβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β． 4若3cos()45x π +=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象，可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度． 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； －2 2 2 x =8 x y O 三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5 y x π =- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个 函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的（ ） (A)向左平移 3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数 ()cos g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图象（ ） 三角函数公式 倍角公式 2ta nA tan 2A = 2 Sin 2A=2Si nA?CosA 1-ta n 1 2A 2 2 2 2 Cos2A = CoS 2A-Si n 2A=2Cos 2 A-1=1-2si n 2A 三倍角公式 3 3 sin3A = 3sinA-4(sinA) cos3A = 4(cosA) -3cosA π π tan3a = tana? tan(—+a) ? tan(--a) 3 3 半角公式 积化和差 SinaSinb = 1 1 -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 一 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 2 1 COSA tan(A)=^°^=^n ^ Sina=— 两角和公式 sin( A+B) = Sin AcosB+cosAs inB cos(A+B) = cosAcosB-si nAsinB sin( A-B) = Sin ACOSB-COSAS inB COS(A-B) = cosAcosB+si nAsinB tan( A+B)= tanA tanB 1- ta nAta nB tan( A-B)= tanA 「tanB 1 tan Ata nB cot(A+B)= cotAcotB -1 cotB cotA COt(A-B)= cotAcotB 1 COtB-COtA .z A * -cos A Sin(I ) ^ 2 A cos()= 2 1 cos A tan 自 =J≡≡ A COt q ) = Sin a+s in b=2s in a 「b cos — 2 Sin a-s in b=2cos Sin a 「 b 2 cosa+cosb = 2co a —b cos — 2 COSa-COSb = -2sin Sin tan A+ta nB=si n(A+B)∕cosAcosB tan A-ta nB=si n(A-B)∕cosAcosB ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB -ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB a b三角函数图像的平移变换专项练习
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