中考数学证明题集锦及答案

中考数学证明题精选

1.如图，两相交圆的公共弦AB为3

2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

2.已知扇形的圆心角为1500，弧长为π

20，求扇形的面积。

3.如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝600，求阴影部分的周长。

4.如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP

∥AO交

?

AB于P，求

?

AB与半圆弧及MP围成的阴影部分面积

阴

S。

5.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影部分的面积。

第1题图

6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，

AO＝15cm，BO＝20cm，求

?

DE的长。

2

O

1

O?

?

例1图

B

A

例3图

例4图

O

B

A

?

第2题图

E

A B

O

C

D

7.如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC ，求：

（1）被剪掉（阴影）部分的面积；

（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？

8.如图，⊙O 与⊙O '外切于M ，AB 、CD 是它们的外公切线，A 、B 、C 、D 为切点，E O '⊥OA 于E ，且∠AOC ＝1200。

（1）求证：⊙O '的周长等于?

AMC 的弧长；

（2）若⊙O '的半径为1cm ，求图中阴影部分的面积。

9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC;

(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠

BFE 的值.

10.已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

11.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想

BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD

的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由． E B

F C

D A

A (

B ( E )

第3题图

第4题图

12.如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若sin ∠BAD =

3

5

，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

13.如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．

14.如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），

⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.

15.如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，

DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，

垂足为点C . 求证：∠ACB=

3

1

∠OAC . 16.如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为

60． ⑴求AO 与BO 的长；

⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.

①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米； ②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝

15，试求AA ’的长． C A

B

D

O

E

17．如图⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G?是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD，求证：AD·CE=DE·DF．

说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）．（2）在你经过说明（1）的过程之后，?可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①∠CDB=∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

G

18．已知，如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且

EM>MC，

连结DE，

（1）求EM的长；（2）求sin∠EOB的值．

19．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，?D?是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

（1）求证：DE是⊙O切线；

（2）若AB=6，AE=24

5

，求BD和BC的长．

20．如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，O1O2的延长线交⊙O2于点A，AB切⊙O1于点B，交⊙O2于点C，BE是⊙O1的直径，过点B作B F⊥O1P，垂足为F，延长BF交PE于点G．

（1）求证：PB2=PG·PE；（2）若PF=3

2

，tan∠A=

3

4

，求：O1O2的长．

A

B

A

https://www.wendangku.net/doc/8010972493.html,

21．如图，P 是⊙O 外一点，割线PA 、PB 分别与⊙O 相交于A 、C 、B 、D 四点，PT?切⊙O 于点T ，点E 、F 分别在PB 、PA 上，且PE=PT ，∠PFE=∠ABP ． （1）求证：PD ·PF=PC ·PE ； （2）若PD=4，PC=5，AF=

21

20

，求PT 的长．

22．如图，BC 是半圆O 的直径，EC 是切线，C 是切点，割线EDB 交半圆O 于D ，A 是半圆O 上一点，AD=DC ，EC=3，BD=2.5

（1）求tan ∠DCE 的值；（2）求AB 的长．

23．如图，已知矩形ABCD ，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AC 、AB 于M 、E ，CE?的延长线交⊙A 于F ，CM=2，AB=4． （1）求⊙A 的半径；（2）求CE 的长和△AFC 的面积．

24．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，延长BA 到E ，使AE=AB ，连结ED ． （1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；

（2）连结EO 交AD 于点F ，求证：EF=2FO ．

25. 如图8．PA 和PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点D ．连结OP ，CB ．

（1）求证：OP ∥CB ；

（2）若PA ＝12，DB ：DC ＝2：1，求⊙O 的半径．

P

26. 如图9．在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点。（1）写出点O

到△ABC 的三个顶点 A 、B 、C （2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

27.如图9，已知△ABC 内接于⊙O ，直线DE 与⊙O 相切于点A ．BD ∥CA ．

求证：AB ·DA ＝BC ·BD ．

28.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm ；

图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．

(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐 ▲ ． (填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?

问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直

角三角形?

问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在， 求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程．

29.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、

C 不重合），过点

D 作直线y ＝－

1

2

x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩

形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

30.已知：如图 13，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC .

⑴求证：BE =DG ；

⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.

31. 如图 14，以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A ，BM 平分∠ABC 交AC 于点M ， AD ⊥BC 于点D ，AD 交BM 于点N ，ME ⊥BC 于点E ，AB 2

＝AF ·AC ，cos ∠ABD ＝

5

3

，AD ＝12． ⑴求证：△ANM ≌△ENM ；

⑵试探究：直线FB 与⊙O 相切吗？请说明理由. ⑶证明四边形AMEN 是菱形，并求该菱形的面积S .

32.如图，已知正方形OABC 在直角坐标系xoy 中，点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点O 为坐标原点，等腰直

角三角板OEF 的直角顶点O 在坐标原点，E 、F 分别在OA 、OC 上，且OA ＝4，OE ＝2，将三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1，的位置，连接AE 1、CF 1． （1）求证：△AOE 1≌△OCF 1；

（2）将三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE ∥CF ，若存在，请求出此时E 点的坐标，若不存在，请说明理由．

A D

G C

B

F

E

图

13

图 14

2011年中考冲刺班数学证明题集锦答案

1. 解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径为6R ，由题意得：AB R 3

3

3=

，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3；∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。

2. 解：设扇形的半径为R ，则180

R

n l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020R

ππ＝

，24=R ∴ππ24024202

1

21=??=lR S ＝扇形。

3. 解：连结OA 、OB

∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点 ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠

∠APO ＝

2

1

∠APB ＝300 在Rt △PAO 中，AP ＝322

3

430cos 0

=?=?PO OA ＝

2

1

PO ＝2，∴PB ＝32 ∵∠APO ＝300，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠ ∴∠AOB ＝300，∴ππ3

4

1802120=?=

?AB

l

∴阴影部分的周长＝PA ＋PB ＋?

AB ＝π343232++＝)3

4

34(π+cm 答：阴影部分的周长为)3

4

34(π+

cm 。 4. 解：连结OP

∵AO ⊥OB ，MP ∥OA ，∴MP ∥OB 又OM ＝BM ＝1，OP ＝OA ＝2 ∴∠1＝600，∠2＝300

∴PM ＝

32

3

=OP 而ππ3

1

360302==

R S POA 扇，2321=??=?PM OM S PMO

设PM 交半圆M 于Q ，则直角扇形BMQ 的面积为ππ4

1

412==r S BMQ 扇 ∴)(POA PMO BMQ AOB S S S S S 扇扇扇阴－++=?

＝???

?

??++-πππ312341412R ＝23125-π 5.π-4；

6.π6；

7.（1）π81

平方米，（2）

8

2

米； 8.（1）证明：由已知得∠AO O '＝600，AB O 'O 为直角梯形，设⊙O 与⊙O '的半径分别为R 、r ，则cos600

＝r R r R +-，即r R 3=，∴⊙O '的周长为r π2，而?AMC ＝180

120R

π＝r π2，∴⊙O '的周长等于?AMC 的弧长。（2）

)6

11

34(π-=阴影S cm 2。

9. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2.

又tan ∠ADC=2,所以2

12

DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.

证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC

所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.

所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形.

（3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?.

所以3BF k =

=

所以1sin 33

k BFE k ∠=

=. 10. [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝

21AB ，CF ＝2

1

CD ． ∴AE ＝CF

∴△ADE ≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形．

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，

∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ，

∴AE ＝BE ＝DE ．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形 11. （1）BM =FN ．

证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，

∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ． 又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．

（2） BM =FN 仍然成立．

（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，

∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．

又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．

12. （1）因为AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 所以∠ADB ＝90°，AB ＝10 在Rt △ABD 中，sin ∠BAD BD

AB

=

又sin ∠BAD =35，所以BD 103

5

=，所以BD =6

AD AB BD =

-=-=22221068

因为∠ADB ＝90°，AB ⊥CD

所以DE AB AD BD CE DE ··，== 所以DE ?=?1086 所以DE =

245

所以CD DE ==

2485

（2）因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD

所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒

，==

所以∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD 因为AO ＝DO ，所以∠BAD ＝∠ADO 所以∠CDB ＝∠ADO

设∠ADO ＝4x ，则∠CDB ＝4x

由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝x 因为∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° 所以4490x x x ++=? 所以x ＝10°

所以∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100° 所以∠AOC ＝∠AOD ＝100°

100125

2

13. (1)证明：∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽AFB ，△ACE ∽△ADF ∴

FD

CE

AF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD (2)方法一：连接CB 、OC ，

∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°∵F 是BD 中点， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线---------6′

方法二：可证明△OCF ≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解：由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG

由切割线定理得：（2＋FG ）2＝BG ×AG=2BG 2 ○1 在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ○

2 由○

1、○2得：FG 2-4FG-12=0 解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去） ∴AB ＝BG ＝24 ∴⊙O 半径为22

14. 解: ⑴点P 的坐标是（2,3）或（6,3）

⑵作AC ⊥OP ,C 为垂足.

∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1

∴△AC P ∽△OBP

∴

AC AP

OB OP

=

在OBP Rt ?中,OP 又AP=12-4=8, ∴

3AC =

∴AC=24 1.94

∵1.94<2

∴OP 与⊙A 相交.

15. 证明：连结OE 、AE ，并过点A 作AF ⊥DE 于点F ， （3分）

∵DE 是圆的一条切线，E 是切点， ∴OE ⊥DC ， 又∵BC ⊥DE ,

∴OE ∥AF ∥BC .

∴∠1=∠ACB ，∠2=∠3.

∵OA=OE ， ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2.

又∵点A 是OB 的中点， ∴点F 是EC 的中点. ∴AE=AC .

∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1.

即∠ACB =3

1

∠OAC . 16. 1

22

OB AB =

=米.

sin 604OA AB =?==. -------------- (3分)

⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ?中,

2,23,4OC x OD x CD ==+=

根据勾股定理:2

2

2

OC OD CD +=

∴()

()2

2

22234x

x ++= ------------- (5分)

∴(2

13120x x +-= ∵0x ≠ ∴0381213=-+x

∴x = ------------- (7分)

即梯子顶端A 沿NO . ---- (8分)

⑶∵点P 和点P '分别是AOB Rt ?的斜边AB 与''OB A Rt ?的斜边'

'B A 的中点

∴PO PA =，O P A P '''

= ------------- (9分) ∴,PAO AOP P A O A OP ''''∠=∠∠=∠------- (10分) ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠= ∵30PAO ∠=

∴45P A O ''∠= ----------------------- (11分)

∴cos 454A O A B '''=?==分)

∴AA OA A O ''=-=米. -------- (13分)

17．证明：连结AF ，则∠ABD=∠F ．

∵DF 为⊙O 的直径，∴∠DAF=90°，

∴∠ADF+∠F=90°，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°， ∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB ⊥AB ， ∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，

∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB ⊥AB ，

∴∠CBE=90°．取EC 中点M ，连结DM 、BM ，则DM=BM=CM=EM ， 即D 、E 、B 、C 在以EC 为直径的圆上， ∴∠ABD=∠DCE ，∴∠DCE=∠F ， ∴△DAF ∽△EDC ，∴

AD DF

DE CE

=

， ∴AD ·CE=DE ·DF ，以下略； 18．（1）DC 为⊙O 的直径，DE ⊥EC ，

．

设EM=x ，由于M 为OB 的中点， ∴BM=2，AM=6，∴AM ·MB=x ·（7-x ），即6×2=x （7-x ）， 解得x 1=3，x 2=4，∵EM>MC ，∴EM=4．

（2）∵OE=EM=4，∴△OEM 为等腰三角形，过E 作EF ⊥OM ，垂足为F ，

则OF=1，∴

∴sin ∠EOB=

154

． 19．（1）连结CO ，则AO=BO=CO ，

∴∠CAO=∠ACO ，又∵∠EAC=∠CAO ， ∠ACO=∠EAC ，∴AE ∥OC ， ∴DE 是⊙O 的切线．

（2）∵AB=6，∴AO=BO=CO=3． 由（1）知，AE ∥OC ， ∴△DCO ∽△DEA ，

CO DO EA DA =

=BD BO

BD AB

++． 又∵AE=245

，∴33

2465

BD BD +=

+， 解得BD=2．

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．

又∵∠EAC=∠CAB ，∴Rt △EAC ∽Rt △CAB ，

∴

AE AC AC AB =

，即A C 2=AB ·AE=6×245=114

5

． 在Rt △ABC 中，

由勾股定理，得B C 2=A B 2-AC 2=36-

1145=36

5

． ∵BC>0，

20．（1）∵BE 是⊙O 1的直径，∴∠BPE=90°． ∵BF ⊥O 1P ，∴∠BPF+∠FBP=90°．

∵O1E=O1P，

∴∠E=∠GPF=∠PBF，又∠BPG=∠EPB=90°，∴△GPB∽△BPE，∴PB2=PE·PG．

（2）∵AB是⊙O1的切线，∴O1B⊥AB，

∴△O1BF∽△O1AB，∴∠O1BF=∠A．

∵tan∠A=3

4

，∴tan∠O1BF=

3

4

．

设O1F=3m，则BF=4m．

由勾股定理得：O1B=5m=O1P，∴PF=5m-3m=2m．

又∵PF=3

2

，∴m=

3

4

，∴O1B=O1P，∴BF=

3

4

×4=3．

由tan∠A=BF

AF

，∴AF=

3

3

4

=4，∴AP=4-

3

2

=

5

2

，

∴PO2=5

4

，∴O1O2=

5

4

+

3

2

+

9

4

=

20

4

=5．

21．（1）连CD，因A、B、D、C四点共圆，∴∠DCP=∠ABP，而∠PFE=∠ABP，

∴∠DCP=∠PFE，CD∥EF，∴PD PC

PE PF

=，即PD·PF=PC·PE．

（2）设PT长为x，∴PE=PT，由（1）结论得PF=5

4

x，

由PT2=PC·PA得x2=5（5

4

x+

21

20

），解之得x1=7，x2=-

3

4

，∴PT=7．

22．（1）由已知得EC2=ED（ED+5

2

），解之得ED=2或ED=-

9

2

（舍去）．

∵BC为直径，∴CD⊥BE，由勾股定理得

tan∠

DCE=

DE

CD

=

（2）连AC交BD于F，由（1）得，

BC=

3

2

可证△ADF∽△BCF，∴DF AD

CF BC

==

2

3

．

设DF=2x，则CF=3x．由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，∴DF=2，CF=3，∴BF=1

2

．

由相交弦定理得AF=

1

3

DF BF

CF

=，∴

．

23．（1）由勾股定理，列方程可求AD=3．（2）过A作AG⊥EF于G，由勾股定理得

由切割线定理得CF=8

5

BCE∽△GAE，?得AG=

9

10

S△AFC=

36

5

．

24．证明：（1）连结OD易得∠EDA=45°，∠ODA=45°，∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，?∴直线ED是⊙O的切线（2）作OM⊥AB于M，∴M为AB中点，

∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴EF AE

FO AM

==2，∴EF=2FO.

25.

26.

27.证明：∵ DE 与⊙O 相切，

∴ ∠C ＝∠1， ∵ BD ∥CA ，

∴ ∠2＝∠3 ……6分

∴ △ABC ∽△BDA ． ……9分

∴ DA BC BD AB ． ……12分

∴ AB ·DA ＝BC ·BD ．

28. 【答案】

C

A

D E

O · 1 2

3

B

29.（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝5

2

若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤

3

2

，如图25-a ，

此时E （2b ，0）

∴S ＝

12OE ·CO ＝12

×2b ×1＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即

32＜b ＜5

2

，如图2

此时E （3，3

2

b -

），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )

＝ 3－[

12(2b －1)×1＋12×(5－2b )·(52b -)＋12×3(32

b -)]＝252b b - ∴23

125352

22

b b S b b b ?<≤

??

=?

?-<

（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的

面积即为四边形DNEM 的面积。

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED

又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ， 由题易知，tan ∠DEN ＝

1

2

，DH ＝1，∴HE ＝2， 设菱形DNEM 的边长为a ，

则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：2

2

2

(2)1a a =-+，∴54

a = ∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝

54

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

54

． 30.证明：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD .

∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成. ∴CG ⊥AD .∴∠AEB =∠CGD =90?. ∵AE =CG ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDG . ∴BE =DG . ······························································································· 3分 ⑵当BC =2

3AB 时，四边形ABFC 是菱形.

∵AB ∥GF ，AG ∥BF ，∴四边形ABFG 是平行四边形. ∵Rt △ABE 中，∠B =60?，∴∠BAE =30?，∴BE =2

1AB . ∵BE =CF ，BC =2

3

AB ，∴EF =2

1AB . ∴AB =BF .∴四边形ABFG 是菱形

31.证明：⑴∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°

又∵ME ⊥BC ，BM 平分∠ABC ，∴AM ＝ME ，∠AMN ＝∠EMN

又∵MN ＝MN ，∴△△ANM ≌△ENM ························································· 3分

⑵∵AB 2

＝AF ·AC ，∴

AC AB ＝

AB

AF

又∵∠BAC ＝∠F AB ＝90°，∴△ABF ∽△ACB ∴∠ABF ＝∠C ，∴∠FBC ＝∠ABC ＋∠ABF ＝∠ABC ＋∠C ＝90°

∴FB 是⊙O 的切线 ················································································ 6分 ⑶由⑴得AN ＝EN ，AM ＝EM ，∠AMN ＝EMN 又∵AN ∥ME ，∴∠ANM ＝∠EMN ∴∠AMN ＝∠ANM ，∴AN ＝AM ∴AM ＝ME ＝EN ＝AN

∴四边形AMEN 是菱形……………………………………………………………………7分

∵cos ∠ABD ＝

53，∠ADB ＝90°，∴AB

BD ＝53

设BD ＝3x ，则AB ＝5x ，由勾股定理，得 AD ＝2235)()(x x

－＝4x ，而AD ＝12，∴x ＝3

∵MB 平分∠AME ，∴BE ＝AB ＝15，∴DE ＝BE －BD ＝6 ∵ND ∥ME ，∴∠BND ＝∠BME

又∵∠NBD ＝∠MBE ，∴△BND ∽△BME ，∴ME ND ＝

BE

BD

…………………………10分 设ME ＝x ，则ND ＝12－x ∴

x

x

－12＝159，解得x 215

……………………………………………………………11分∴S

＝ME ·DE ＝

2

15

×6＝45………………………………………………………………12分 32.（1）证明：∵四边形OABC 为正方形，∴OC ＝OA ，∵三角板OEF 是等腰直角三角形，∴OE 1＝OF 1，又三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1的位置时，∠AOE 1＝∠COF 1，∴△OAE 1≌△OCF 1；

（2）存在，∵OE ⊥OF ，过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并且与OF 垂直，又当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时，则点F 与OF 垂直的直线必是⊙O 的切线，又点C 为⊙O 外一点，过点C 与⊙O 相切的直线只有2条，不妨设为CF 1和CF 2，此时，E 点分别在E 1和E 2点，满足CF 1∥OE 1，CF 2∥OE 2，点切点F 1在第二象限时，点E 1

在第一象限，在Rt △CF 2O 中，OC ＝4，OF 1＝2，cos ∠COF 1＝

1OF 1

=OC 2

，∴∠COF 1＝60°，∴∠AOE 1＝60°，∴

点E 1的横坐标为2cos60°＝1，点E 1的纵坐标为2sin60E 1的坐标为（1），当切点F 2在第一象限

时，点E 2在第四象限，同理可求E 2（1，∴三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE

∥CF ，此时点E 的坐标分别为E 1（1， E 2（1）

．