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§3 OK格林公式以及曲线积分与路径的无关性

§3 Green 公式以及曲线积分与路径的无关

3.1 Green 公式

1 单连通与复连通区域

定义3.1 设D 为平面区域，如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。

闭区域的正面与边界正向的规定搭配：右手螺旋定向，即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 )，则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向。

右手螺旋定向法则还可表述为：人站立在区域的正面的边界上，让区域在人的左方。则人前进的方向为边界的正向。若以L 记正向边界，则用-L 表示反向（或称为负向）边界。

2 Green 公式

定理3.1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成。若函数P 和Q 在闭区域

D ?R 2上连续，且有连续的一阶偏导数，则有

其中L 为区域D 的正向边界。

Green 公式又可记为

简要证明仅就D 即是-x 型的又是-y 型的区域情形进行证明。

设{}b x a x y x y x D ≤≤≤≤=),()(:),(21??。因为y

??连续，所以由二重积分的计算法有

dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P

b a x x b a D

)]}(,[)](,[{}),({12)()(21????-=??=???????。另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

?????+=+=a

b a

L L L

dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[212

dx x x P x x P b

)]}(,[)](,[{21??-=?。

因此

???=??-L D

Pdx dxdy y

P ；

设{}d y c x x y y x D ≤≤≤≤=),()(:),(21ψψ。类似地可证 ???

=??L D

Qdx dxdy x

。

由于D 即是-x 型的又是-y 型的，所以以上两式同时成立，两式合并即得

???+=??

???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q 。

注 1) 对复连通区域D ， Green 公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D 来说都是正向。

2) 设区域D 的边界曲线为L ，取x Q y P =-=,，则由Green 公式得区域D 的面积

如椭圆L ：22

221x y a b +=，正向；也可以写作L ：cos x a t =，sin y b t =，

:02t π→，则椭圆面积：

?-=

ydx xdy D S 21

)( ?+=

πθθθ202

2)cos sin (2

1d ab ab ab d ab πθπ==?2021。 3 应用举例

对环路积分，可直接应用Green 公式。对非闭路积分，常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧。

例3.1 计算积分

xdy ，其中(0,)A r ，( , 0 )B r 。曲线AB 为圆周

222r y x =+在第一象限中的部分。

解法一(直接计算积分) 曲线AB 的方程为 2

0 , sin , cos π

≤≤==t t r y t r x 。

方向为自然方向的反向。因此

??-=??

? ??+-=-=AB r t t r tdt r xdy 22

2022242sin 2121cos ππ

。解法二(用Green 公式) 补上线段BO 和OA ( O 为坐标原点 )成闭路。设所围区域为D 。注意到D ?为反向，以及0=?BOA

xdy ，有

xdy ??

???-

=-=-=D

BOA

r dxdy xdy xdy 24

。

例3.2 计算积分 ?

+-=L y x ydx

xdy I 2

2，其中L 是一条无重点、分段光滑的、不

经过坐标原点的任一正向闭曲线。

解设L 为闭区域D 的边界。

222),( , ),(y x x

y x Q y x y y x P +=

=。(P 和Q 在D 上有连续的偏导数)。 ()

2222222y x x y y x y x y P +-=???? ??+-??=??，2

222

2)(y x x y x Q +-=??。 ⑴ 如果坐标原点不在L 内，则在区域D 上总有：

x Q ??-??，从而 ?

+-=L y x ydx

xdy I 2

2??=???? ?

???-??=D dxdy y P x Q 0。 ⑵ 如果坐标原点在L 内，则y

P x Q ??-??在区域D 内的(0,0)点不成立，不能用Green 公式。

作一个半径为r 的完全属于D 的小圆0L ：2

22r y x =+

方向为顺时针方向。属于L 内但属于0L 之外的区域D D ?0上，总有

P x Q ??-??，故?++-022L L y x ydx xdy 0()0D Q P d x y σ??=-=????，即

002222=+-++-??L L y x ydx

xdy y x ydx xdy ；

从而

??-+-=+-02222L L y x ydx

xdy y x ydx xdy

+=π

θθ

θ20

2222sin cos d r r r

2d πθπ==?

。

注最后的计算结果与辅助线L 、0L 无关。例3.3 验证区域D 的面积公式 1

()2

L S D xdy ydx =

-ò?， L 为D 的正向边界。证 (,)P x y y =-，(,), Q x y x = 1, 1,

P Q

y x

抖=-= 抖 1

()2

L S D xdy ydx =

-ò?。例3.4 计算由星形线 ) 20 ( sin , cos 33π≤≤==t t b y t a x 所界的面积。

解 1()2L S D xdy ydx =-ò?33331

(cos d sin (sin d cos )2a t b t b t a t p

--=-蝌

4242

221

(cos sin sin cos )d cos sin d 22ab t t

t t t

ab t t t p

--=?? 蝌 20111sin 2d (1cos 4)d 888

ab t t ab t t ab p

p p -==-=蝌。例3.5 计算积分?++L

dy x y x dx xy )(22，其中L 是由曲线 222 , x y x y ==，

4 , 3==xy xy 所围区域D 的边界，取正向。

解 ,),(2xy y x P = x y x y x Q +=2),(。

1 , 1

2 , 2=??-???+=??=??y

P x Q xy x Q xy y P 。

???

dxdy 。

作代换xy v x

u ==

, 2，在此代换之下，区域D 变为uOv 平面上的区域 } 43 , 21|),( {≤≤≤≤='v u v u D 。

=-=??x

x x y

y x v u 23

2),(),(u x y 332-=-， u v u y x 31),(),( =???。于是，

????

???'

===D

D L

u dv du dudv u dxdy 2143331

?===

212

12ln 3

1ln 3131u u du 。

例3.6 计算积分??-D

y dxdy e

， D ：10 , 1≤≤≤≤x y x 。

解令2

),( , 0),(y xe y x Q y x P -==，有

???+=D

dy y x Q dx y x P ),(),( 。

域D 为三角形，三个顶点为O , ) 0 , 0 (A ) 1 , 1 (， B ) 1 , 0 (。?

????

??-==+=??BO

O A

dy y x Q dy y x Q dy y x Q dx y x P ),( ] [),(),(),(

)1(2

111010

2----=

-==?e e dx xe x

x 。 3.2 曲线积分与路线无关性

1 曲线积分与路径无关

定义3.2 设D 是一个开区域，),(y x P 、),(y x Q 在区域D 内具有一阶连续偏导数。如果对于D 内任意指定的两个点A 、B 以及D 内从点A 到点B 的任意两条曲线1L 、2L 等式

??+=+2

L L Qdy Pdx Qdy Pdx

恒成立，就说曲线积分?+L

Qdy Pdx 在D 内与路径无关，否则说与路径有关。

2 积分与路径无关的等价条件

定理3.2 设D ?2?是单连通闭区域。若函数P 和Q 在闭区域D 内连续，且有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

⑴ 在D 内每一点处有

y P ??=

??； ⑵ 沿D 内任一按段光滑的闭合曲线L ，有

?=+L Q d y P d x 0；

⑶ 对D 内任一按段光滑的曲线L ，曲线积分?+L

Qdy Pdx 与路径无关，只与曲线L 的起点和终点有关；

⑷ Qdy Pdx +是D 内某一函数u 的全微分，即在D 内有=du Qdy Pdx +。证(采用循环证明，即⑴?⑵?⑶?⑷?⑴) ⑴?⑵：设L 是D 内的任意一条闭曲线，因为在D 内

y P ??=??，故在L 围成的区域D D ?0内

Q y P ??=??也成立，由格林公式?=+L Qdy Pdx 0；

⑵?⑶：设1L 、2L 1L ，2L 是D 内的任意两条具有相同的起点、终点的曲线，

则-+=21L L L 是

D 内的一条闭曲线。因为 ??+=+2

L L Qdy Pdx Qdy Pdx ?02

=+-+??L L Qdy Pdx Qdy Pdx

?02

=+++??-L L Qdy Pdx Qdy Pdx ?0)

(21=+?

-+L L Qdy Pdx ，

所以，由条件⑵，?=+L

Qdy Pdx 0，即知1

L L Pdx Qdy Pdx Qdy +=+??，表明积分

与路径无关，只与起点、终点有关。

⑶?⑷：因为积分与路径无关，对于D 内的任意两点A 、B ，从A 到B 的积分可以写作：

Pdx Qdy Pdx Qdy +=+?

?00(,)(,)

x y x y Pdx Qdy

=+?

),(:y x u =。

事实上(,)u x y 即为所求，因为

00(,)(,)

(,)x x y x y u x x y Pdx Qdy +?+?=+?

00(,)(,)(,)

(,)

x y x x y x y x y Pdx Qdy Pdx Qdy +?=+++?

00(,)

x y (,)

x x y +?(,)

x y

(,)(,)x x x

u x y P x y dx +?=+?

，

(,)u x x y +?(,)(,)x x

u x y P x y dx +?-=?(,)P y x ξ=?（ξ介于x ，x x +?之间）

，

0(,)(,)lim x u u x x y u x y x x ?→?+?-=??0(,)lim

x P y x

ξ?→?=?0lim (,)(,)x P y P x y ξ?→==；同理可证：

(,)u

Q x y y

?=?，表明),(y x u 一阶偏导数存在；已证得(,)u P x y x ?=?，(,)u

Q x y y

?=?，

由于,P Q 是连续函数，从而表明),(y x u 一阶偏导数连续，即),(y x u 可微，从而

u u

du dx dy x y

??=

+?? 或写作du Pdx Qdy =+。 ⑷?⑴：已知du Pdx Qdy =+，则u P x ?=

?，u

Q y

?=?。 y x u x u y y P ???=????=??2)(，x y u

y u x x Q ???=????=??2)(。

因为 y P y x u ??=???2、x Q x y u ??=???2 连续，所以 x

y u y x u ???=???22。即 x

Q y P ??=??。

例3.7 计算22()(sin )L

x y dx x y dy +++?，L 是上半圆

周y =上从

(0,0)到(1,1)的圆弧。

解：2P x y =+，2sin Q x y =+，

y ?=?，1Q x ?=?，Q x ?=?P y

?? 在xOy 平面上处处成立所以在xOy 平面内的曲线积分与路径无关，从而有 22()(sin )L

x y dx x y dy +++?1

22()(si n )L L x y dx x y dy =++++??

22()(sin )L L x y dx x y dy =+++??

(0)(1sin )x dx y dy =+++??

101

1cos 2132

y dy -=++?

1111sin 2324=++-111

sin 264

=-，或0L ：y x =，:01x →，则

22()(sin )L

x y dx x y dy +++?

22()(sin )L x y dx x y dy =+++?

220

{()(sin )}x x x x dx =+++?

1201111

1sin sin 2364

xdx =++=-?。

例3.8 计算

22()()L

x y dx x y dy

x y +--+?，L 是沿曲线cos y x π=从(,)A ππ-到(,)B ππ--的曲线弧。

解 22x y P x y +=

+，22

x y Q x y

-=-+， 2

222222

2()2()

()

P x y y x y x xy y

y x y x y ?+-+--==?++， 2222

222222

2()2()()Q x y x x y x xy y x x y x y ?+----=-=

?++。 x

y P ??=??在除去原点及负半实轴外的单连通区域内处处成立，故在此单连通区域内积分与路径无关，从而

22()()L x y dx x y dy x y +--+?12322()()[]L L L x y dx x y dy

x y

+--=+++??? 1

2322

2222()()()L L L x y dy x y dx x y dy

x y x y x y --+--=+++++???32π=-。例3.9 计算积分(3,4)2322(1,2)

(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-?

。

解 236P xy y =-，2263Q x y xy =-，

12P Q

xy y x

??==??， A

B L

L 2

L 3L π

-(1,2)

(3,2)

(3,4)

在xOy 面内处处成立，故在xOy 面内的曲线积分与路径无关，从而 (3,4)2322(1,2)

(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-?

(3,2)(3,4)2322(1,2)

(3,2)

(6)(63)xy y dx x y xy dy =+-+-?

(3,2)(3,4)2322(1,2)(3,2)

(6)(63)xy y dx x y xy dy =-+-?

221

(622)(6333)x dx y y dy =-+?-???

(248)(549)236x dx y y dy =-+-=??。

例3.10 设曲线积分2()L

xy dx y x dy ?+?与路径无关，其中()x ?具有连续导数

且(0)0?=，试计算(1,1)2(0,0)

()I xy dx y x dy ?=+?

。

解 ⑴ 因为积分与路径无关，选取路径为：~~OB BA

(1,1)2(0,0)

()I xy dx y x dy ?=+?

(0,1)(1,1)2

2(0,0)(0,1)

()()xy dx y x dy xy dx y x dy ??=+++??

(0,1)(1,1)

(0,0)

(0,1)()y x dy xy dx ?=+?

2001

(0)12

y dy x dx ?=+?=??。 ⑵ 因为积分中含有未知函数()x ?，故只要求出()x ?即可以计算积分。已知曲线积分与路径无关，则有：

Q P

x y

??=??，即()2y x xy ?'=，()2x x ?'=，2()x x c ?=+，由(0)0?=，可得0c =，从而2()x x ?=，则

(1,1)2(0,0)

()I xy dx y x dy ?=+?

(1,1)22(0,0)

xy dx yx dy =+?

(1,1)2222

(0,0)

12y dx x dy =

+? (1,1)22(0,0)1()2d x y =?22(1,1)

(0,0)

11()22

x y ==。例3.11 设在半平面0x >上，有一力为3()k F xi yj r =-+

构成的力场，其中k

为常数，r =场力F 所作的功与路径无关，并求一

个函数(,)u x y ，使得3

()k

du xdx ydy r =-

+。解 3()k F xi yj r =-+ ，则3kx P r =-，3

ky Q r =-，场力所作的功为：

(0,1)

B (1,1)

A (1,0)

L W P d x

Q d y =+?33

kx ky

dx dy r r =-

-?，其中L 是右半平面上的任意一条曲线。因为

2126

32r r y P

kx y r

-??=-?53kxy r = ，212632r r x Q ky x r -??=-?53kxy r =，从而

y P ??=

??在在右半平面内处处成立，故右半平面内积分与路径无关，即场力F

所作的功与路径无关；

(,)u x y (,)33(1,0)

x y kx ky dx dy r r =-

(,0)33(1,0)x kx ky dx dy r r =--?(,)33(,0)x y x kx ky

dx dy r r +--? (,0)3(1,0)

x kx dx r =-?

(,)3(,0)x y x ky dy r +-?31x kx dx x =-?3220()

y ky

dy x y +-+?

1112x

k k x =?

(1))k k x x

=-+-

k =

。

3 恰当微分的原函数求法定义3.3(恰当微分) 设D 若有x

y P ??=??，则称微分形式Qdy Pdx +是一个恰当微分。

恰当微分有原函数。如何求原函数的求法： 1) 公式法

或

(

其中点) , (00y x ∈D ，当点) 0 , 0 (∈D 时，常取) , (00y x =) 0 , 0 ()

验证(3.3)式

??+=+=??y y t y y x dt t x P y x P dt t x Q y x P x

0),(),(),(),(00 =-+=+===),(),(),(|),(),(0000y x P y x P y x P t x P y x P y

t y t ),(y x P ；

),(y x Q y

=??。例3.12 验证：

2y x ydx

xdy +-在右半平面)0(>x 内是某个函数的全微分，并求

出一个这样的函数。解这里 2

2y x y P +-=

，

22y x x Q +=。因为P ，Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数，且有y P

y x x y x Q ??=

+-=??22222)(，所以在右半平面内，22y

x ydx xdy +-是某个函数的全微分。

取积分路线为从)0,1(A 到)0,(x B 再到),(y x C 的折线，则所求函数为 ?

+-=)

,()

0 ,1(22),(y x y x ydx xdy y x u ?++=y y x xdy 02

20x

arctan =。例3.13 设()(2)y y e x dx xe y dy ++-，问是否是某函数),(y x u 的全微分？若是，试求所有的),(y x u 。

解 y P e x =+，2y Q xe y =-，

y P Q

e y x

??==??在xOy 面内处处成立，故存在xOy 面内处处可微的函数),(y x u ，使得()(2)y y du e x dx xe y dy =++-；

⑴ 公式法

00(,)(,)

(,)()(2)x y y y x y u x y e x dx xe y dy =++-?

(,)(0,0)

()(2)x y y y e x dx xe y dy =++-?

(,0)(0,0)x =+

?(,)(,0)

()(2)x y y y x e x dx xe y dy ++-?

(,0)(0,0)()x y e x dx =++

(,)(,0)

(2)x y y x xe y dy -?

00()x

e x dx =++

(2)y y xe y dy -?

(1)2y x x x e y =++--222

y x xe y =+-，

所有的原函数为2

y x u c xe y c +=+-+。

⑵ 求导还原法

若()(2)y y du e x dx xe y dy =++-，则：

y u P e x x ?==+?，2y u Q xe y y

?==-?， 2()()2

y y

u x u dx Pdx e x dx xe c y x ?===+=++????，

由此求得：

()y u

xe c y y

?'=+?，比较可得：()2c y y '=-，2()c y y c =-+，所求函数为：222()22

x x u xe c y xe y c =++=+-+（所有的原函数）。

⑶ 凑微分法求u

=du ()(2)y y e x dx xe y dy ++-

2y y e dx xdx xe dy ydy =++-()2y y e dx xe dy xdx ydy =++-

221()()()2y d xe d x d y =+-221

()2

y d xe x y c =+-+，

所以，2

x u xe y c =+-+。

注 1) 00(,)x y 的取法不同，求出的),(y x u 可能相差一个常数，事实上通常称),(y x u 为Qdy Pdx +的原函数，即Qdy Pdx +有无穷多个原函数，两两之间最多相差一个常数，故所有的原函数可表示为：c y x u +),(。

2) 推广的Newton-Leibliz 公式：若Qdy Pdx +的一个原函数为),(y x u ，则

1100(,)1100(,)

()(,)x y x y Pdx Qdy u x y u x y +=-?。

练习10.3

1．计算曲线积分?++L

dy x dx x y 22)(，其中L 是上半圆222x y R +≤的正向边

界曲线。

2．计算积分22

(sin )(9cos )L

y x dx x y dy +++?

，L 半径为a 的圆周的内接正八边形的正向边界曲线。

3．计算积分2(sin 3)(cos )x x L

e y y x dx e y x dy -++-?，L 如图所示的上半椭圆：

221x y a b

+=。 4．计算{2()cos 2}{()sin 2}AnB

I y x y dx y x dy ??'=-+?

，其中曲线AnB 为连接

点(,1)A π与点(2,2)B π的线段AB 的上方的任意凸曲线，且该曲线与线段AB 所围图形的面积为

，?有一阶连续的导数。 5．求积分?

+-L

y x xdy

ydx 2

24，其中L 是正向闭曲线：||||2x y +=。

6．设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明 ?=+L

dy x xydx 022。

7．计算??-D

y dxdy e 2

，其中D 是以)0,0(O ，)1,1(A ，)0,1(B 为顶点的三角形

闭区域。

8．计算?+L

dy x xydx 22，其中L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段

弧。

9．证：在整个xOy 面内，ydy x dx xy 22+是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。

10．验证式 ydy x dx y x cos ) sin 2 (++是恰当微分，并求其原函数。

格林公式及其在曲线积分求解中的应用

南昌工程学院《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用课程名称数分选讲系院理学院专业信息与计算科学班级2012级1班学生姓名魏志辉学号2012101316 指导教师禹海雄设计起止时间：2015年6月11日至2015年6月15日

什么是曲线积分？？ 1.设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σf(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σf(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。

高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全) 一导数公式：二基本积分表：三三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

公路测量计算公式

计算公式一、方位角的计算公式二、平曲线转角点偏角计算公式三、平曲线直缓、缓直点的坐标计算公式四、平曲线上任意点的坐标计算公式五、竖曲线上点的高程计算公式六、超高计算公式七、地基承载力计算公式八、标准差计算公式一、方位角的计算公式 1. 字母所代表的意义： x 1：QD 的X 坐标 y 1：QD 的Y 坐标 x 2：ZD 的X 坐标 y 2：ZD 的Y 坐标 S ：QD ～ZD 的距离 α：QD ～ZD 的方位角 2. 计算公式： ()()212212y y x x S -+-=

1）当y 2- y 1>0，x 2- x 1>0时：1 21 2x x y y arctg --=α 2）当y 2- y 1<0，x 2- x 1>0时：1 21 2360x x y y arctg --+?=α 3）当x 2- x 1<0时：1 21 2180x x y y arctg --+?=α 二、平曲线转角点偏角计算公式 1. 字母所代表的意义： α1：QD ～JD 的方位角 α2：JD ～ZD 的方位角 β：JD 处的偏角 2. 计算公式： β＝α2-α1（负值为左偏、正值为右偏）三、平曲线直缓、缓直点的坐标计算公式 1. 字母所代表的意义： U ：JD 的X 坐标 V ：JD 的Y 坐标 A ：方位角（ZH ～JD ） T ：曲线的切线长，23 22402224R L L D tg R L R T s s s -+??? ? ??+= D ：JD 偏角，左偏为-、右偏为+

2. 计算公式：直缓（直圆）点的国家坐标：X′=U+Tcos(A+180°) Y′=V+Tsin(A+180°) 缓直（圆直）点的国家坐标：X″=U+Tcos(A+D) Y″=V+Tsin(A+D) 四、平曲线上任意点的坐标计算公式 1. 字母所代表的意义： P ：所求点的桩号 B ：所求边桩～中桩距离，左-、右+ M ：左偏-1，右偏+1 C ：J D 桩号 D ：JD 偏角 L s ：缓和曲线长 A ：方位角（ZH ～JD ） U ：JD 的X 坐标 V ：JD 的Y 坐标 T ：曲线的切线长，23 22402224R L L D tg R L R T s s s -+??? ? ??+= I=C-T ：直缓桩号 J=I+L ：缓圆桩号 s L DR J H -+ =180 π：圆缓桩号

高等数学积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ．＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

微积分公式大全

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++，　，　，　 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

微积分公式大全

微积分公式 sin x dx = —cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln ｜sin x ｜ + C sec x dx = ln ｜sec x + tan x ｜ + C csc x dx = ln |csc x – cot x ｜ + C sin —1(—x) = —sin —1 x cos -1（—x ） = — cos -1 x tan -1(-x ） = -tan —1 x cot -1(-x ） = — cot -1 x sec -1(—x) = — sec -1 x csc —1(—x ） = — csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos —1 x dx = x cos -1 x-2 1x -+C tan —1 x dx = x tan -1 x-?ln （1+x 2 ）+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln （1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x — ln ｜x+12 -x |+C csc —1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x ｜+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln ｜ sinh x | + C sech x dx = -2tan —1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln ｜ x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv — v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ—sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ

高数微积分公式大全总结的比较好

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 二、导数的四则运算法则三、高阶导数的运算法则（1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ????? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ? +?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x =

市政道路高速公路曲线高程计算公式

市政道路高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度

α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程：

说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式

公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径

P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ ④变坡点高程：HZ ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S 计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算

5.2 微积分基本公式-习题

1．设函数0 cos x y tdt = ?，求'(0)y ，'()4 y π。【解】由题设得'()cos y x x =，于是得 '(0)cos01y ==，'()cos 4 4 2 y ππ == 。 2．计算下列各导数： ⑴20x d dx ?；【解】20x d dx ?2)x =2= ⑵ 1t d dt dx ；【解】1t d dt dx 1 ()t d dt dx =-=-=。 ⑶ cos 2 sin cos()x x d t dt dx π?；【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π?0cos 2 2sin 0[cos()cos()]x x d t dt t dt dx ππ=+?? 》 0cos 22 sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ= +?? sin cos 2200 [cos()]cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=-+?? 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d d x x x x dx dx ππ=-+ 22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+-- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=--- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。 ⑷2ln 1 x x d dt dx t ?。【解】 2ln 1x x d dt dx t ?21ln 11 1[]x x d dt dt dx t t =+?? 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t =+?? …

公路常用计算公式

公路常用计算公式一、方位角的计算公式二、平曲线转角点偏角计算公式三、平曲线直缓、缓直点的坐标计算公式四、平曲线上任意点的坐标计算公式五、竖曲线上点的高程计算公式六、超高计算公式七、地基承载力计算公式八、标准差计算公式一、方位角的计算公式 1.字母所代表的意义： x1：QD的X坐标 y1：QD的Y坐标 x2：ZD的X坐标 y2：ZD的Y坐标 S：QD～ZD的距离 α：QD～ZD的方位角 2.计算公式： 1）当y2- y1>0，x2- x1>0时： 2）当y2- y1<0，x2- x1>0时： 3）当x2- x1<0时：二、平曲线转角点偏角计算公式 1.字母所代表的意义： α1：QD～JD的方位角

α2：JD～ZD的方位角 β：JD处的偏角 2.计算公式： β＝α2-α1（负值为左偏、正值为右偏）三、平曲线直缓、缓直点的坐标计算公式 1.字母所代表的意义： U：JD的X坐标 V：JD的Y坐标 A：方位角（ZH～JD） T：曲线的切线长， D：JD偏角，左偏为-、右偏为+ 2.计算公式：直缓（直圆）点的国家坐标：X′=U+Tcos(A+180°) Y′=V+Tsin(A+180°)缓直（圆直）点的国家坐标：X″=U+Tcos(A+D) Y″=V+Tsin(A+D) 四、平曲线上任意点的坐标计算公式 1.字母所代表的意义： P：所求点的桩号 B：所求边桩～中桩距离，左-、右+ M：左偏-1，右偏+1 C：JD桩号 D：JD偏角 L s：缓和曲线长 A：方位角（ZH～JD）

U：JD的X坐标 V：JD的Y坐标 T：曲线的切线长， I=C-T：直缓桩号 J=I+L：缓圆桩号：圆缓桩号 K=H+L：缓直桩号 2.计算公式： 1）当P

曲线积分和格林公式学习总结

高数作业姓名：徐艳涛班级：电子商务1133 学号：201161102348

曲线积分和格林公式学习总结 §1对弧长的曲线积分 1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。 2、s z y x f d ),,(? Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数 ) ,,(z y x f 中的点) ,,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ 3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ = ; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ = = = ; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(2 2 += ?Γ 4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)() () (t z z t y y t x x ，β α ≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ =? β α )) (),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[2 2 2 ++。例1 计算? Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π 20≤≤t 解因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++) 3 82(22)1(3 2 20 πππ + = += ?dt t 例2 ?Γds y ||，其中Γ为球面2 2 2 2 =++z y x 与平面y x =的交线；解 Γ的参数方程为t z t y x sin 2,cos = ==，π 20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到? L ds y ||=2 4d cos 24 2 =?t t π 例3 计算?Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中:Γ???? ?==+1 222z a y x )0(>a 解 Γ:?? ? ??===1sin cos z t a y t a x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222 ∴ ?Γ ds z y x )(2 22++) 1(2)1(2 2 20 +=+= ?a a adt a ππ

道路曲线计算公式

高速公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式时间:2009-12-27 21:40:34 来源:本站作者:未知我要投稿我要收藏投稿指南高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：

当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程：

说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式

曲线积分和格林公式

什么是曲线积分？？ 1. 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx 或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;

）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出 4.格林公式【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 (1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 其中是的取正向的边界曲线. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【证明】先证

公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式

公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一。 1．缓和曲线的作用 1）便于驾驶员操纵方向盘 2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化 3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车 4）与圆曲线配合得当，增加线形美观 2．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0°均匀地增加到圆曲线上。 S=A2/ρ（A：与汽车有关的参数） ρ=C/s C=A2 由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。 3．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。令：ρ=R，l h=s 则 l h=A2/R 4．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定： 1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。a1=0,a2=v2/ρ,a s=Δa/t≤0.6 2）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s)

3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。 4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3°——29°之间，视觉效果好。《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。 5．直角坐标及要素计算 1）回旋线切线角（1）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。 βx=s2/2Rl h （2）缓和曲线的总切线角 β=l h/2R.180/л 2）缓和曲线直角坐标任意一点P处取一微分弧段ds，其所对应的中心角为dβx dx=dscosβx dy=dssinβx 3）缓和曲线常数（1）主曲线的内移值p及切线增长值q 内移值：p=Y h-R(1-cosβh)=l h2/24R 切线增长值：q=X h-Rsinβh=l h/2-lh3/240R2 （2）缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：βh=l h/2R 总弦长：C h=l h-l h3/90R2

曲线积分与格林公式学习总结

曲线积分与格林公式学习总结王德才 201121102340 电子商务1133班

一、曲线积分 1定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n 个小弧段ΔLi 的长度为ds ，又Mi(x,y)是L 上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds ，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L 的分法及Mi 在L 的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L 上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2、对弧长的曲线积分：s z y x f d ),,(?Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数) ,,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ （1）第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ =; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ ===; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=?Γ （2）第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)()() (t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ=?β α))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。例1 计算? Γ ds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t 解因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++)3 82(22)1(3 2 20 πππ +=+= ?dt t 3第一类曲线积分（1 ）公式：= 应用前提: 1）曲线L 光滑,方程可以写成为:

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微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ

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tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1

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