《立方根》典型例题
《立方根》典型例题
例1 求下列各数的立方根：
（1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5）.343
8 解 （1）2733= ，∴27的立方根是3，记作.3273=
（2）125)5(3-=- ，∴－125的立方根是－5，记作.51253-=-
（3）064.04.03= ，∴0.064的立方根是0.4，记作4.0064.03=．
（4）003= ，∴0的立方根是0，记作.003=
（5）3438)72(3= ，∴3438的立方根是72，记作.7
234383=
例2 求下列各式中的x ：
（1）012583=+x （2）()343143
=-x ； （3）064252=-x ； （4）02713=+x ．
分析：将方程整理转为求立方根或平方根的问题.
解答：（1）∵012583=+x ，∴12583-=x ， 即81253-=x ，∴38
125-=x ，即25-=x ； （2）∵()343143=-x ，∴334314=-x ，即714=-x ，∴2=x ；
（3）∵064252=-x ，∴64252=x ，∴64
25±=x ，即85±=x ； （4）∵02713=+x ，∴2713-
=x ，∴3271-=x ，即31-=x ． 说明：求解过程中注意立方根和平方根的区别，最终结果解的个数不同.
例3 圆柱形水池的深是1.4m ，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）．
分析 圆柱的体积h r V ?=2π，由于蓄水80吨，每吨水的体积是1立方米，因此水池的体积至少应为80立方米．
解 4.1,80,2==?=h V h r V π，
∴3.4,4.114.3802≈??=r r （米）（负值舍去）．
答：水池底面半径为4.3米．
例4 阅读下面语句：
①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-．
②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0． ③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同．
④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．
⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．
在上面语句中，正确的有（ ）
A ．1句
B ．2句
C ．3句
D ．4句
分析：当1=k 时，3331)1(-=-k ，而当2=k 时，11)1()1(33633==-=-k ，可见①不正确；1)1(3-=-，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能等于1-，所以②不正确；当0>a 时，3a 是正数，当0=，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数，3001.0的情况与此相同；课本中写到：“如果0>a ，那么33a a -=-”，这个关系式对 0 解答 B 说明 考查立方根的定义及性质． 例5 设8 27-=x ，则2x ，3x ，32x 分别等于（ ） A ．89,23,827-- B ．8 9,23,827- C ． 49,23,827- D ．49,23,827-- 分析 64 729)827(2=-， ∵,64 729)827(2= ∴ 827)827(2=-． ∵ 827)23(2-=，∴2 33-=x ． ∵647292=x ，64729)49(3=，∴4 932=x ． 解答 C 说明 考查平方根、立方根的求法． 例6 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0． 其中错误的是 A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 分析 一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数；0的立方根是0．立方根等于本身的数有0，1和1-．所以①、②、④都是错的，只有③正确． 解答 B 说明 立方根性质与平方根性质既有联系又有区别，不能混淆． 例7 下列语句正确的是（ ） A ．64的立方根是2 B ．-3是27的负立方根 C ．216125的立方根是6 5± D ．2)1(-的立方根是1- 分析 A 中64=8，它的立方根是2，对；B 中27只有一个正的立方根，没有负的立方根，错；C 中正数的立方根应只有一个，错；D 中2)1(-=1，它的立方根是1，而不是1-． 解答 A 说明 注意立方根意义 例8 下列语句对不对？为什么？ （1）0.027的立方根是0.3． （2）3a 不可能是负数． （3）如果a 是b 的立方根，那么0≥ab ． （4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1． 分析 立方根的定义是解题的基础，一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．因为开立方与立方互为逆运算，我们知道正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是零．也就是说，一个数的立方根是惟一的，这是与平方根的最主要的区别．从这些出发考虑问题，上述题不难解答． 解答 （1）正确．因为027.0)3.0(3=，所以0.027的立方根是0.3． （2）不正确．当a 是负数时，就有一个负的立方根，即3a 就是负数． （3）正确．如果b 是正数，它的立方根a 也是正数；如果b 是负数，它的立方根a 也是负数；如果b 是零，它的立方根是零，所以0≥ab ． （4）不正确．一个正数的平方根均有两个，而立方根只有一个，通常不可能相等．而平方根只有一个的数是0，0的立方根也恰是零．因此一个数的平方根与立方根相同，这个数只能是零． 说明 立方根与平方根有相似之处，但也有区别，主要是：一个数的立方根是惟一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错． 例9 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长． 分析 立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题． 解答1：∵21663=，∴62163=，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为236=÷（厘米） 解答2：设小正方体的棱长为a 厘米，则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得 216)3(3=a ，∴216273=a ，83=a ，2=a （厘米） ． 解答3：设小正方体的棱长为a 厘米．则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得 216)3(3=a ，∴621633==a ，∴2=a （厘米） ． 光学 经典高考题 （全国卷1）20．某人手持边长为6cm 的正方形平面镜测量身后一棵树的高度。测量时保持镜面与地面垂直，镜子与眼睛的距离为0.4m 。在某位置时，他在镜中恰好能够看到整棵树的像；然后他向前走了6.0 m ，发现用这个镜子长度的5/6就能看到整棵树的像，这棵树的高度约为 A ．5.5m B ．5.0m C ．4.5m D ．4.0m 【答案】B 【解析】如图是恰好看到树时的反射光路，由图中的三角形可得 0.4m 0.4m 6cm 眼睛距镜的距离眼睛距镜的距离 树到镜的距离镜高树高+=，即 0.4m 0.4m .06m 0+= L H 。人离树越远，视野越大，看到树所需镜面越小，同理有0.4m 6m 0.4m .05m 0++= L H ，以上两式解得L =29.6m ，H =4.5m 。 【命题意图与考点定位】平面镜的反射成像，能够正确转化为三角形求解。 （全国卷2）20.频率不同的两束单色光1和2 以相同的入射角从同一点射入一厚玻璃板后，其光路如图所示，下列说法正确的是 A ． 单色光1的波长小于单色光2的波长 B ． 在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2 的传播速度 C ． 单色光1通过玻璃板所需的时间小于单色光2通过玻璃板所需的时间 D ． 单色光1从玻璃到空气的全反射临界角小于单色光2从玻璃到空气的全反射临界角 答案：AD 解析：由折射光路知，1光线的折射率大，频率大，波长小，在介质中的传播速度小，产生全反射的 临界角小，AD 对，B 错。sin sin i n r = ，在玻璃种传播的距离为cos d l r =，传播速度为c v n =，所以光的传播事件为sin 2sin sin cos sin 2l d i d i t v c r r c r ===，1光线的折射角小，所经历的时间长，C 错误。 【命题意图与考点定位】平行玻璃砖的折射综合。 （新课标卷）33.[物理——选修3-4] (1)(5分)如图，一个三棱镜的截面为等腰直角?ABC ，A ∠为直角.此截面所在平面内的光线沿平行于BC 边的方向射到AB 边，进入棱镜后直接射到AC 边上，并刚好能发生全反射.该棱镜材料的折射率为 眼睛 树 的像 实数(二)立方根 重点：1、开立方与立方的互逆运算关系并能灵活运用 2、理解立方根的概念，会用立方运算求某些数的立方根 3、明确平方根与立方根的区别 难点：明确立方根与平方根的区别，知道立方根定义与空间形体有密切的联系 知识点： 1、立方根的概念： ，表示为 2、立方根的性质：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。（任意数都有立方根，且只有一个） 例题： 例1：求下列各数的立方根： ⑴-64；⑵0.125；⑶-27 512；⑷64 例2：求下列各式的值： ⑴327--； ⑵3343125- ； ⑶3729.0-； ⑷333643218164+ ---+-； ⑸327 102-- 例3：若A=323+-+b a b a 是b a 3+的算术平方根，B=1221---b a a 为21a -的立方根，试求A+B 的平方根 例4：⑴填写下表： 上表中已知数点a 的小数点的移动与它的立方根3a 的小数点的移动间有何规律？这个规律用倍数关系的语言应怎样叙述？ ⑵利用规律计算：已知的值求n m n m b b ,,12000,012.0,1233=== ⑶如果x b x 求,1003= 练习： 1．下列各式中正确的是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 2． 的立方根是（ ）． （A ）－4 （B ）±4 （C ）±2 （D ）－2 3． ，则 的值是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 4．下列四种说法中：（1）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是1；（3） 的平方根是 ；（4） ．共有（ ）个是错误的． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．下列说法正确的是（ ） （A ）27的立方根是3±（B ）27102 -的立方根是3 4- （C ）2是-8的立方根（D ）-27的三次方根是3 6．下列说法：（1）只有正数才有平方根；（2）负数没有立方根；（3）一个数的立方根不是正数就是负数；（4）任何数的立方根都只有一个。其中正确的说法的个数有（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．若一个数的算术平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ） （A ）1 （B ）0或1 （C ）0 （D ）非负数 8．若 ，则 叫做 的__________，记作___________． 双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 1．如图所示，在“探究平面镜成像特点”的实验中，下列说法正确的是（） A．为了便于观察，该实验最好在较暗的环境中进行 B．B如果将蜡烛A向玻璃板靠近，像的大小会变大 C．移去后面的蜡烛B，并在原位置上放一光屏，发现光屏上能成正立的像 D．保持A、B两支蜡烛的位置不变，多次改变玻璃板的位置，发现B始终能与A的像重合 【答案】A 【解析】A、在比较明亮的环境中，很多物体都在射出光线，干扰人的视线，在较黑暗的环境中，蜡烛是最亮的，蜡烛射向平面镜的光线最多，反射光线最多，进入人眼的光线最多，感觉蜡烛的像最亮．所以最比较黑暗的环境中进行实验，故本选项正确．B、平面镜成像大小跟物体大小有关，与物体到平面镜的距离无关，蜡烛A向玻璃板靠近，像的大小不会变化． 故本选项错误． C、因为光屏只能接收实像，不能接收虚像，所以移去后面的蜡烛B，并在原位置上放一光屏，不能发现光屏上能成正立的像．故本选项错误． D、如果多次改变玻璃板的位置，玻璃板前后移动，则像距物距不相等，所以会发现B 始终不能与A的像完全重合，故本选项说法错误． 故选A 2．如图所示，人透过透镜所观察到的烛焰的像是（） A．实像，这个像能用光屏承接 B．实像，这个像不能用光屏承接 C．虚像，这个像能用光屏承接 D．虚像，这个像不能用光屏承接 【答案】D 【解析】解：图示的像是一个正立的放大的像，根据凸透镜成像的规律可知，此时是物距小于一倍焦距时的成像情况．当物距小于一倍焦距时，物体成的像是虚像，根据虚像的形成过程可知，它不是由实际光线会聚而成，而是由光线的反向延长线会聚而成的，所以不能成在光屏上． 综上分析，故选D 3．乙同学把刚买的矿泉水随手放在科学书上，发现“学”字变大（如图），产生这一现象的原因是（） 《平方根》典型例题及练习 平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根 是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2）{==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根， 即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R 图5 Ｏ Ａ Ｂ Ｐ 图4 例1：已知水的折射率为34 ，光在真空中传播速度为3×108m/s ，则：光在水中的传播速度为______m/s ；光从水 中射向空气时发生全反射现象的临界角为____。 例2：一束复色可见光射到置于空气中的平板玻璃上，穿过玻璃后从下表面射出，变为a 、b 两束平行单色光，如图2，对于两束单色光来说（ ） A ．玻璃对a 光的折射率较大 B ．a 光在玻璃中传播的速度较大 C ．b 光每个光子的能量较大 D ．b 光的波长较大 例3：假设地球表面不存在大气层，那么人们观察到日出时刻与实际存在大气层的情况相比（ ） A ．将提前 B ．将延后 C ．在某些地区将提前，在另一些地区将延后 D ．不变 例4：如图4，只含黄光和紫光的复色光束PO ，沿半径方向射入空气中的玻璃半圆柱内，被 分成两光束，OA 和OB 沿如图所示的方向射出，则： Ａ．O Ａ为黄色，OB 为紫色 Ｂ．OA 为紫色，OB 为黄色 Ｃ．OA 为黄色，OB 为复色 Ｄ．ＯA 为紫色，ＯB 为复色 例5、如图5，一玻璃棱镜的横截面是等腰△abc ，其中ac 面是镀银的。现有一光线垂直于 ab 面入射，在棱镜内经过两次反射后垂直于bc 面射出。则 ( ) （A ）∠a=30°∠b=75° （B ）∠a=32°∠b=74° （C ）∠a=34°∠b=73° （D ）∠a=36°∠b=72° 例6：一个大游泳池，池底是水平面，池水深1.2m ，有一直杆竖直立于池底，浸入水中部分 杆是全长的一半，当太阳光以与水平方向成37O 角射在水面上时，测得杆在池底的影长为2.5m ，求水的折射率. 例7、图中M 是竖直放置的平面镜，镜离地面的距离可调节。甲、乙二人站在镜前，乙离镜的距离为甲离镜的距离的2倍，如图所示。二人略错开，以便甲能看到乙的像。以l 表示镜的长度，h 表示乙的身高，为使甲能看到镜中乙的全身像，l 的最小值为 （ ） A ．h 43 B ．h 21 C ．h 31 D ．h 例8：如图，一玻璃柱体的横截面为半圆形，细的单色光束从空气射向柱体的O 点（半圆的圆心），产生反射光束1和透射光束2，已知玻璃折射率为3，入射解为45°（相应的折射角为24°），现保持入射光不变，将半圆柱绕通过O 点垂直于图面的轴线顺时针转过15°，如图中虚线所示，则 （ ） A ．光束1转过15° B ．光束1转过30° C ．光束2转过的角度小于15° D ．光束 2 转过的角度大于15° 图2 双曲线经典练习题总结（带答案） 一、选择题 1．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A ．x 216－y 2 48＝1 B ．y 29－x 2 27 ＝1 C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27＝1 D ．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2 48＝1；当顶点为(0， ±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2 27＝1. 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 [解析] 双曲线 2x 2－y 2＝8 化为标准形式为x 24－y 2 8 ＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4. 3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( C ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2 ) C ．(1，2) D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1 a . ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1 a 2<2，∴1 任课教师学科物理授课时间 学生年级备注 教学内容：光学综合复习 一、教学目标 1、光的传播 2、反射定律 3、投射与透镜 4、凸透镜成像 5、近视与远视矫正 二、教学重点 平面镜成像、凸透镜成像实验。 三、教学难点 凸透镜成像 教学过程 1、下列说法不正确的是（） A．只有红色的物体才会发出红外线B．红外线具有热效应 C．紫外线最显著的性质是它能使荧光物质发光D．过量的紫外线照射对人体有害 2、如右图所示， A 为信号源， B 为接收器， A、B 间有一真空区域。当信号源 A 分别发射出次声波、可见光、红外线和紫外线信号时，接收器 B 不能接收到的信号是：（） A．可见光B．红外线 C．次声波D．紫外线 3、红外线和紫外线的应用非常广泛。下列仪器中，属于利用紫外线工作的是（） A．电视遥控器B．医用“B超”机C．验钞机D．夜视仪 4、下列关于图中所示光学现象的描述或解释正确的是： A．图甲中，小孔成的是倒立的虚像，是光的直线传播的应用 B．图乙中，人配戴的凹透镜可以矫正近视眼，是利用了凹透镜的会聚的作用 C．图丙中，太阳光通过三棱镜会分解成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七色光 D．图丁中，漫反射的光线杂乱无章不遵循光的反射定律 5、如图所示，对下列光学现象的描述或解释，正确的是( ) A．“手影”是由光的折射形成的B．“海市蜃楼”是由光的反射形成的 C．小女孩在平而镜中看到的是自己的虚像D．在漫反射中，不是每条光线都遵循光的反射定律 6、如图所示是十字路口处安装的监控摄像头，它可以拍下违 章行驶的汽车照片， A、 B 是一辆汽车经过十字路口时， 先后拍下的两张照片，下列说法正确的是（） A．摄像头成像的原理与电影放映机原理相同 B．可以看出汽车此时是靠近摄像头 C．照片中车的外表很清晰，但几乎看不见车内的人，这是因为车内没有光 D．夜晚，为了帮助司机开车看清仪表，车内的灯应亮着 7、下列有关光现象的解释，错误的是（） A．小孔成像是光的折射现象 B．雨后彩虹是太阳光传播中被空气中的水滴色散而产生的 C．在太阳光下我们看到红色的玫瑰花是因为它反射太阳光中的红色光 D．电视机遥控器是通过发出红外线实现电视机遥控的 8、下列关于光现象的描述中，正确的是() A．立竿见影是由于光的反射形成的 B．“潭清疑水浅”与“池水映明月”的形成原因是一样的 C．初三学生李凡照毕业照时成的像与平时照镜子所成的像都是实像 D．雨过天晴后天空中出现的彩虹是光的色散现象 《立方根》典型例题 例1 求下列各数得立方根: (1)27,(2)－125,(3)0、064,(4)0,(5) 解:(1),∴27得立方根就是3,记作 (2),∴－125得立方根就是－5,记作 (3),∴0、064得立方根就是0、4,记作. (4),∴0得立方根就是0,记作 (5),∴得立方根就是,记作 例2 求下列各式中得: (1) (2); (3); (4). 分析:将方程整理转为求立方根或平方根得问题、 解答:(1)∵,∴, 即,∴,即; (2)∵,∴,即,∴; (3)∵,∴,∴,即; (4)∵,∴,∴,即. 说明:求解过程中注意立方根与平方根得区别,最终结果解得个数不同、 例3圆柱形水池得深就是1、4m,要使这个水池能蓄水80吨(每立方米水有1吨),池得底面半径应当就是多少米？(精确到0、1米). 分析:圆柱得体积,由于蓄水80吨,每吨水得体积就是1立方米,因此水池得体积至少应为80立方米. 解:, ∴(米)(负值舍去). 答:水池底面半径为4、3米. 例4 阅读下面语句: ①得次方(k就是整数)得立方根就是. ②如果一个数得立方根等于它本身,那么这个数或者就是1,或者就是0. ③如果,那么a得立方根得符号与a得符号相同. ④一个正数得算术平方根以及它得立方根都小于原来得数. ⑤两个互为相反数得数开立方所得得结果仍然互为相反数. 在上面语句中,正确得有( ) A.1句 B.2句 C.3句 D.4句 分析:当时,,而当时,,可见①不正确;,这说明一个数得立方根等于它本身时,这个数有可能等于,所以②不正确;当时,就是正数,当时,就是负数,所以③就是正确得;,这个例子足以说明一个正数得算术平方根未必小于原来得数,得情况与此相同;课本中写到:“如果,那么”,这个关系式对时也就是正确得,只不过相当于等式两边调换了位置,所以⑤就是正确得. 解答: B 说明:考查立方根得定义及性质. 例5 设,则,,分别等于( ) A. B. C. D. 分析:, ∵∴ . ∵ ,∴. ∵,,∴. 解答: C 说明:考查平方根、立方根得求法. 例 6 有下列命题:①负数没有立方根;②一个实数得立方根不就是正数就就是负数;③一个正数或负数得立方根与这个数同号,0得立方根就是0;④如果一个数得立方根就是这个数本身,那么这个数必就是1与0. 其中错误得就是 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 分析:一个正数得立方根就是一个正数,一个负数得立方根就是一个负数;0得立方根就是0.立方根等于本身得数有0,1与.所以①、②、④都就是错得,只有③正确. 解答:B 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 九、机械振动 一、知识网络 二、画龙点睛 概念 1、机械振动 (1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。 (2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。 (3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性 2、简谐运动 (1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。 (2)振动形成的原因 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。 ②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。 (4)简谐运动的力学特征 ①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。 ②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为 F＝－kx 式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。 ③简谐运动的运动学特征 a＝－k m x 加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。 简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。 例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。 证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得 ｘ0＝mg/k 当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为 F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0) 则Ｆ＝－kx 所以此振动为简谐运动。 3、振幅、周期和频率 ⑴振幅 ①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。 ②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 ③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。 教学内容：光学综合复习 一、教学目标 1、光的传播 2、反射定律 3、投射与透镜 4、凸透镜成像 5、近视与远视矫正 二、教学重点 平面镜成像、凸透镜成像实验。 三、 教学难点 凸透镜成像 教学过程 1、下列说法不正确的是（ ） A ．只有红色的物体才会发出红外线 B ．红外线具有热效应 C ．紫外线最显著的性质是它能使荧光物质发光 D ．过量的紫外线照射对人体有害 2、如右图所示，A 为信号源，B 为接收器，A 、B 间有一真空区域。当信号源A 分别发射出次声波、可见光、红外线和紫外线信号时，接收器B 不能接收到的信号是：（ ） A ．可见光 B ．红外线 C ．次声波 D ．紫外线 3、红外线和紫外线的应用非常广泛。下列仪器中，属于利用紫外线工作的是（ ） A ．电视遥控器 B ．医用“B 超”机 C ．验钞机 D ．夜视仪 4、下列关于图中所示光学现象的描述或解释正确的是： A ．图甲中，小孔成的是倒立的虚像，是光的直线传播的应用 B ．图乙中，人配戴的凹透镜可以矫正近视眼，是利用了凹透镜的会聚的作用 C．图丙中，太阳光通过三棱镜会分解成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七色光 D．图丁中，漫反射的光线杂乱无章不遵循光的反射定律 5、如图所示，对下列光学现象的描述或解释，正确的是( ) A．“手影”是由光的折射形成的B．“海市蜃楼”是由光的反射形成的 C．小女孩在平而镜中看到的是自己的虚像D．在漫反射中，不是每条光线都遵循光的反射定律6、如图所示是十字路口处安装的监控摄像头，它可以拍下 违章行驶的汽车照片，A、B是一辆汽车经过十字路口时， 先后拍下的两张照片，下列说法正确的是（） A．摄像头成像的原理与电影放映机原理相同 B．可以看出汽车此时是靠近摄像头 C．照片中车的外表很清晰，但几乎看不见车内的人，这是因为车内没有光 D．夜晚，为了帮助司机开车看清仪表，车内的灯应亮着 7、下列有关光现象的解释，错误的是（） A．小孔成像是光的折射现象 B．雨后彩虹是太阳光传播中被空气中的水滴色散而产生的 C．在太阳光下我们看到红色的玫瑰花是因为它反射太阳光中的红色光 D．电视机遥控器是通过发出红外线实现电视机遥控的 8、下列关于光现象的描述中，正确的是( ) A．立竿见影是由于光的反射形成的 B．“潭清疑水浅”与“池水映明月”的形成原因是一样的 C．初三学生李凡照毕业照时成的像与平时照镜子所成的像都是实像 D．雨过天晴后天空中出现的彩虹是光的色散现象 实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 1. 2.光电效应方程是什么?物理意义？什么是内光电效应？什么是外光电效应？什么是红移现象？ 答：E k =hν –W（v是频率，w是溢出功） 物理意义：如果入射光子的能量hν大于逸出功W，那么有些光电子在脱离金属表面后还有剩余的能量，也就是说有些光电子具有一定的动能。因为不同的电子脱离某种金属所需的功不一样，所以它们就吸收了光子的能量并从这种金属逸出之后剩余的动能也不一样。由于逸出功W 指从原子键结中移出一个电子所需的最小能量，所以如果用Ek 表示动能最大的光电子所具有的动能，那么就有下面的关系式Ek =hν - W （其中，h表示普朗克常量，ν表示入射光的频率），这个关系式通常叫做爱因斯坦光电效应方程。即：光子能量 = 移出一个电子所需的能量（逸出功）+ 被发射的电子的动能。 内光电效应：内光电效应是光电效应的一种，主要由于光量子作用，引发物质电化学性质变化。内光电效应又可分为光电导效应和光生伏特效应 外光电效应：外光电效应是指物质吸收光子并激发出自由电子的行为。当金属表面在特定的光辐照作用下，金属会吸收光子并发射电子，发射出来的电子叫做光电子。光的波长需小于某一临界值（相等于光的频率高于某一临界值）时方能发射电子，其临界值即极限频率和极限波长。临界值取决于金属材料，而发射电子的能量取决于光的波长而非光的强度，这一点无法用光的波动性解释。还有一点与光的波动性相矛盾，即光电效应的瞬时性，按波动性理论，如果入射光较弱，照射的时间要长一些，金属中的电子才能积累住足够的能量，飞出金属表面。可事实是，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，电子的产生都几乎是瞬时的，不超过十的负九次方秒。正确的解释是光必定是由与波长有关的严格规定的能量单位(即光子或光量子)所组成。这种解释为爱因斯坦所提出。光电效应由德国物理学家赫兹于1887年发现，对发展量子理论及波粒二象性起了根本性的作用。 红移：所谓红移，最初是针对机械波而言的，即一个相对于观察者运动着的物体离的越远发出的声音越浑厚（波长比较长），相反离的越近发出的声音越尖细（波长比较短） 蓝移：蓝移（blue shift）也称蓝位移，与红移相对。在光化学中，蓝移也非正式地指浅色效应。 蓝移是一个移动的发射源在向观测者接近时，所发射的电磁波(例如光波)频率会向电磁频谱的蓝色端移动(也就是波长缩短)的现象。 这种波长改变的现象在相互间有移动现象的参考坐标系中就是一般所说的多普勒位移或是多普勒效应。 3,当两个物点刚能分辨时，其对透镜中心的张角成最小分辨角，由上图可知，它正好与艾里斑对透镜中心的张角相等，即有对某种光学仪器而言，一个物点通过其成的象斑应越小，其分辨率才越高，因此对挂 股俄一起的分辨率定义为最小分辨角的倒数，即有。为提高分辨率，可怎么控制。 答：按几何光学，物体上的一个发光点经透镜成像后得到的应是一个几何像点。而由于光的波动性，一个物点经透镜后在象平面上得到的是一个一几何像点像点为中心的衍斑。如果另一个物点也经过这个透镜成像，则在像平面上产生另一个衍射圆斑。当两个物点相距较远时，两个像斑也相距较远，此时物点是可以分辨的，若两个物点相距很近，以致两个象斑重叠而混为一体，此时两个物点就不能再分辨了。什么情况下两个像斑刚好能被分辨呢？瑞利提出了一个判据：当一个艾里斑的边缘与另一个艾里斑的中心正好重合时，此时对应的两个物点刚好能被人眼或光学仪器所分辨，这个判据称为瑞利判据。 为提高分辨率，可减小波长，增大D（出瞳直径）,可浸入油浸,增大数值孔径. 平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2） { ==a a 2 4、平方表： { 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是27 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ ^ ⑤ 是的算术平方根； ⑥ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义 （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） - A ．()1+a B ．()1+±a C ．12 +a D ．1 2 +±a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） \ A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．光学-经典高考题
立方根典型例题重难点和练习
双曲线专题经典练习及答案详解
初中光学经典例题
《平方根》典型例题及练习
双曲线经典例题讲解
光学典型例题
双曲线经典练习题总结(带答案)
(完整版)光学中考经典试题.doc
《立方根》典型例题
圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)
高考复习——《机械振动》典型例题复习
光学中考经典试题
实数知识点总结及典型例题练习
高中数学双曲线经典例题
研究生复试光学经典问题
《平方根》典型例题及练习题
高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)