热统答案 第七章
第七章 玻耳兹曼统计
习题7.1根据公式∑??-=l
l
l
V
a P ε证明，对于非相对论粒子： )()2(21222222z y x n n n L
m m p s ++== π，z y x n n n ,,=0，±1，±2，…
有V
U
p 32=
,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证：∑??-=l
l l V a P ε=???
???++??-∑)()2(212222z y x l l n n n L m V a π =??
????++??-∑)()2(222223
z y x l l n n n L m L V a π 其中 V
a u l
l ε∑=
;V ~3L ?=p ??
?
?????++??-∑)()2(212222
3
2
z y x l l n n n V m V a π (对同一l ,2
22z y x n n n ++)
=m a l
l 21∑-2
)2( π)(222z y x n n n ++)32(35
--V
=m a l
l 21∑-2
2
222)()2(L n n n z y x ++ π)32(3
532--V V =V
U
32 习题7.2试根据公式∑??-=l
l
l
V
a P ε证明，对于极端相对论粒子： 21
222)(2z y x n n n L
c cp ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，±2，… 有V
U
p 31=
,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证： ∑??-=l
l
l
V
a P ε；
对极端相对论粒子 2
1222)(2z y x n n n L
c cp ++== πε 类似得 31
2
1
2)()2(-∑??-=∑V n V a P i l
l π
=V
U
V
V a l
l l 31)31(3
43
1
-
=---
∑ε 习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第l 个能级的能量可以取为l l *εε或，以
?表
示二者之差=?l l εε-*。试证明相应的配分函数存在以下关系11Z e Z ?-*
=β，并讨论由
配分函数Z 1和Z *1求得的热力学函数有何差别。 证： 配分函数 ∑-=l e Z l βεω1
()111*
Z e e e Z l l l ?-?+--*
===∑∑βεββεωω
以内能U 为例，对Z 1: 1ln Z N
U β
??
-=
对Z 1*: ()
U N e N Z N
U Z +?=??-=??-=-1ln ln 1**ββ
β 习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为
∑-=s
Ps Ps Nk S ln
式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s
s s βεβεα---=
=,∑s 对粒子的所有量子态求和。
证法一：出现某状态s ψ几率为P s
设S 1,S 2,……S k 状态对应的能级s 'ε；
设S k+1 ,S k+2,……S w 状态对应的能级s 'ε；
类似………………………………；
则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计
N
e P s
S βεα--=；
显然NP s 代表粒子处于某量子态S 下的几率，S e NP S βεα--=。
于是S e βεα--∑
代表处于S 状态下的粒子数。例如，对于s 'ε能级?
??
?
??∑=--'K S S S S e 1βεα个粒子在s 'ε上的K 个微观状态的概率为：
()()
???
?
??''
∑
=='='--k S S S s e S S P P S P 1βεα粒子数 类似写出：()???
?
??''∑
=''=''--k S S S s e S P
S P 1βεα
………………………………………………等等。
于是N 个粒子出现某一微观状态的概率。
()=
=∏'=S
S S S P P ?∑
???
? ??'='--k S S S s e S P 1βεα???
?
??''∑
=''--k S S S s e S P 1βεα 一微观状态数P 1
=
Ω ，（基于等概率原理） Ω=ln k S
???
???????∑?∑=????
??''???? ??'+=''--='--W S K S S S k S S S S e S e S P P k S 111
ln
βεαβεα
k -=()()
??
??????++∑∑''--'--+'
''K W K S S S S S S S S P e P e 11ln ln βεαβεα
将S e NP S βεα--=带入S S
S P P kN S ln ∑-=?；
习题7.5固体含有A 、B 两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起
的混 合熵为k S =㏑
[][][])1ln()1(ln !
)1(!!
x x x x N x N N N x --+-=-κ其中N 是总原子数，
x 是A
原子的百分比，（1-x ）是B 原子的百分比。注意x<1，上式给出的熵为正值。 证： 显然 []!
)1()!(!
!!!21x N Nx N n n N -==
Ω S=k ㏑Ω=-N k [])1ln()1(ln x x x x --+=)1()1(ln x x x x Nk ---；
由于 )1()1(x x x x --＜1， 故0?S ；原题得证。
习题7.6晶体含有N 个原子。原子在晶体中的正常位置如图中O 所示。当原子
离开正
常位置而占据图中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷。
(1)假设正常位置和填隙位置数都是N ，试证明由于在晶体中形成n 个缺位和 填隙原子而具有的熵等于)!
(!!
ln
2n N n N k S -=；
(2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u 。试由自由能F=nu-Ts 为极小 值证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为n ≈kT
u Ne
2-
(设n ??N )
证： (1)??
?
???--=Ω=)!(!!)!(!!ln ln n N n N n N n N k k S =)!(!!ln 2n N n N k - (2)略，参见 ex7.7
习题7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新
的一
层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N 表示晶体中的原
子
数，n 表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极 小的条件证明，温度为T 时n ≈kT
W Ne
-(设n ??N )其中W 为原子在表面位置与
正常位置的能量差。
证： TS U F -=,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n 个空位需要能量
nW U =；Ω=ln k s ,而在N 个格点上形成n 个空位，其可能的状态数
!
)!(!
n n N N -=
Ω
!ln )!ln(!ln ln n n N N ---=Ω?;利用)1(ln !ln -≈m m m
?[])1(ln 1)ln()()1!(ln ln -------=Ωn n n N n N N N
)1(ln ]1))[ln(()1(ln -+---+--=?n kTn n N n N kT N kTN nW F
?利用自由能判据
0=??n
F
)1
()1(ln )1)((]1)1[ln(0n
kTn n kTn n N n N kT n kT W +-+--
-+---=? 0ln )ln(=+--?n kT n N kT W
,)(kT
W
e
n N n -
-=?N n ??； kT
W Ne
n -
=?。
习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动
量的最 概然分布为
e
[]
2
022
)(2p p p p m
x y x
-+=-
-β
α3
L dp dp Vdp z
y x
证： 设能级l ε这样构成：同一l ε中，P z 相同，而P x 与P y 在变化，于是有：
)
3(0)2(0)
1(0-----==∑=-----==∑=-------==∑=∑∑∑l z l z l l l l l l a p a p p a a E a a N δδδδεεδδδδδ
(∑==0p a p p l z )
参照教材玻耳兹曼分布证明；有 E N βδαδδ--Ωln -z p γ, 其中 ）（22221Z y x l p p p m
++=
ε 由(1)知: N dp dp dp e
h
V z y x p z
=?---γβεα3 将l ε代入 并配方得:
z y x p p m
dp dp dp e h
V z z y x ?+-+--)2()(32γβ
εεβα
=N dp dp dp e
h
V z y x m p m
m z y x =?+
-
+---2
)(2)()22
(3β
γ
β
εεββ
γα
其中 m
p m p y y x
x 2,22
2
=
=εε
对比page238式（7.2.4）得： 23
2
23
2)2()2()2(2mkT
h n mkT h V N e
m ππβ
γα==-
- 整个体积内，分布在z z z y y y x x x dp p p dp p p dp p p +→+→+→,, 内分子数为：
z y x z y x z y x m p m dp dp dp p p p f dp dp dp e mkT N z y x ??
=+-+-),,()21(2
)(2)(2
3
βγ
βεεβπ 由条件（3）知 ?=0),,(Np dp dp dp p p p f p z y x z y x z 计算得
z m p m z y x dp e m m p dp e dp e m kT z y x 2
)(22
3
)()21(βγ
ββεβεβγβγπ+---????????
?-+
=z m p m
y x dp e
m dp dp e
m kT
z y x ??+
-
+--2)
(2)
(2
3)(
)21
(
β
γβ
εεββ
γ
π
=0p N
dp dp fdp m z
y x =-
?
β
γ
0p m -=?
β
γ
代入得出分布： []3
)(22
022
"h dp dp Vdp e
z
y x p p p p
m
z y x
-++-
-β
α
其中 β
γαα22'
m -=,0p m -=βγ
习题7.9 (略)结合（7.8）求平均值。
习题7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气
体。 试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率v ，最概然速 率m v 和方均根速率s v 。
解： 对于二维情形， )(212
2y x p p m
+=
ε （准）连续能量下的简并度：
-s h
dp sdp y
x ;2
面积
?玻耳兹曼分布： y x p p kTm dp dp e
h
s y x )
(21
222+--α ； 利用 kTm N
e h s N m
e h
s N dp dp e h s y x p p m y x πβπααβ
α224
22)(2222=?=?=--+---∞
∞
+??
y x v
v kT
m
dv dv e
kT
m
N y x )
(22
2)2(:+-
?π速度分布率
进而推出速率分布：
vdv e kT
Nm kT
mv 22
- 习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度12v v v r
-=和相对
速率r r v v
=的概率分布，并求相对速率的平均值r v 。
解：两分子的相对速度r v
在rz ry rx dv dv dv 内的几率
21
2
2111])()()()[(23211)()2()
()()(2
2
12121212121--
∞∞
-+++++++-===????kT
m e
dv dv dv e kT m v V v V v d v V rx rz z ry y rx x z y x v kT m z
y x v v v v v v v v v kT
m
r r ππ 同理可求得z y v v 11,分量为2
12
2)(2
--
kT
m e
ry v kT m π和21
2
2)(2--kT
m e r v kT m
π 2
22
32
332
222)(81)()2(
)(r r v kT m v kT m r r e kT
m kT
m
kT m e
v V -
-
-
=
=πππ
引进2m =μ，速度分布变为r r v kT m
dv v e kT
r 2
223
2)2(-πμ
利用球极坐标系可求得速率分布为：r r v kT m dv v e kT
r
2
223
2)2(4-πμπ
相对速率平均值v kT dv v e v kT v r r v kT m r r r
28)2(42
20232
===-∞
?πμ
πμπ
习题7.12试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为
2
22
)(2
3)(),83()
(kT e e m kT v v =--=-π 解：222
22)2()(v v v v v v v v +=-+=-； 2
22)(εεεε-=- （略） 习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于v 与dv v +之间的分子数为：dv v e kT
m n d kT
mv 322
/32)2(
-
=Γππ
证： 在斜圆柱体内,分速度为z v 的v 方向的分子数为:
dt dsv V V v v v nf dn z z y x ==;),,(*
圆柱
dsdt dv dv dv v e kT
m n dsdt nfv dn z y x z v v v kT m
z z y x )
(22/3*
222)2(++-==ππ 对于
:
0,,积分得从对从+∞→+∞→∞-z y x v v v
dt 时间碰撞到ds 面积上的分子数（dv v v +→）
???+∞
++-
+∞∞
-+∞∞
-=0
)(22
\3*
2
22)2(dsdt dv dv dv v e
kT m n n z y x z v v v kT
m z y x π
=dsdt d dvd v e
kT
m n kT
mv ?θθπππcos )2(
2
/0
3220
2
\32?
?-
得到：若只计算介于dv v v +→分子数则为：（只对φθ,积分）
dv v e kT
m n n v kT
m
322
/3*
2)2/1(2)2(-=ππ
dv v e T
k m n kT
mv 322
/32)2(
-
=ππ
习题7.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均
根速度。
解： dv
v e kT m n dv
v e kT m n v kT nv
v kT m
30
22/304
22/32
2)2()2(??∞
+-+∞-=ππππ； 变量代换
?==dx m
kT
dv x n kT m
2;2 ?∞
-0
4
5/22/32)2()2(dx x e m kT kT m n x ππ;)8/3()2()2(
2/52/3πππm kT kT m n = ??∞
-∞
-
=0
3
22/33
22
/322
)2()2()2(
dx x e m Tk kT m n dv v e kT m n x Tk
mv ππππ
?=)2/1()2()2(
2
2/3m
kT kT m n ππ 略类似求,;892
/1)2(
)8/3(2
/1s v m
kT m kT v π
π==
习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：
bx ax p p p m
z y x ++++=222
2)(21ε其中b a ,是常数，求粒子的平均能量。
解： a
b a b a bx x a m p 4)4(22222
2-+++=ε
?-++++=),(;4)2()(21222
22据均分律四个平方项a
b a b x a p p p m z y x
a
b kT a b Tk 424)2/1(*42
2-
=-=ε 习题7.16气柱的高度为H ，截面为S ，在重力场中。试求解此气柱的内能和热
容量。
解： 配分函数?-++-=z y x mgz p p p m
dp dp dxdydzdp e h
Z z y x ββ
)(232
221
dz e dp e h S H
mgz x p m x ??--??
????=0
3232
ββ
[]
mgH
e mg m h S ββπ---??????=11)2(2/52/33 设 ???
???=mg m h
S A 1)2(2/33π；[]
mgH e A Z ββ--+-=1ln ln )2/5(ln ln 1)2/5(11)2/5(ln /-+-=-+-=??--kT
mgH mgH mgH e mgH kT e mgHe Z ββββ )()(;1
)2/5(ln /0略V v Tk mgH T U
C e NmgH NkT Z N
U U ??=-+=??-=-β 习题7.17试求双原子理想气体的振动熵。
解： 振动配分函数ω
βωβ ---=e e Z V 12
/1
代入式（7.6.1） )1ln(2/ln 1ωβωβ ----=?e Z
ω
βω
βωωβ ----
-=??e e Z 12/ln 1 代入熵计算式V V k T Nk Nk S θωθ=+=? 其中)./ln(。
习题7.18对于双原子分子，常温下kT 远大于转动的能级间距。试求双原子分
子理
想气体的转动熵。
解：由式（7.5.14）转动配分函数2
12 βI
Z r =
);/ln(;/1ln ;2ln ln 1
21r T Nk Nk S Z I Z θβββ+=?-=??=
其中r k I h θ=22 习题7.19气体分子具有固有电偶极矩0d ，在电场ε下转动能量的经典表达式为：
θεθ
εφθcos )sin 1(2102
22d p p I r -+=
，证明在经典近似下转动配分函数： εββε
βεβ02
1
00d e e h
I Z d d r --?= 解：经典近似下，r ε视为准连续能量
配分函数
??????==
∞
∞
-+?-
-
-π
φθεβθ
β
θβ
φθβε
φ
θφθθ
20
cos sin 2122
21021
1d dp d e
dp e
h
d d dp dp
e h
Z d I p I
r
利用
π=?∞
∞
--dx e
x 2
εββπθθβ
πβ
εβεβπ
θεβ02
cos 221)()
2(sin 2)(21
000d e e h
I d e I
I
h
Z d d d --?=???
=??
习题7.20同19题，试证在高温(10≤εβd )极限下,单位体积电偶极矩（电极化
强度）为：εξkT
d 32
0=。 解：电极化强度)1
(1ln 0000001εβββεβξε
βεβεβεβ--+=??=--d d d d e e e d e d Z N 高温极限下，0→β，保留至2
0)(εβd εε
βkT
nd d 222
020=?。其中V N n =
习题7.21试求爱因斯坦固体的熵。
解：将ω
βωβh h e
e
Z --
-=
121，代入至S 表达式即得，注意N 取3N 。(略)
第七章、统计热力学基础习题和答案
统计热力学基础 一、选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B 2. 在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令刀n i = N,刀n i & i = U , 这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的C 3. 假定某种分子的许可能级是0、&、2 ￡和3 &,简并度分别为1、1、2、3四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3￡时，体系的微观状态数为：() A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 4. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法A 5. 对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q) ? g i ? exp( - ￡ i/kT)的说法：(1) n i是第i能级上的粒子分布数; (2) 随着能级升高，￡ i 增大，n i 总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 6. 对于分布在某一能级￡ i上的粒子数n i，下列说法中正确是：() A. n i 与能级的简并度无关 B. ￡ i 值越小，n i 值就越大 C. n i 称为一种分布 D. 任何分布的n i 都可以用波尔兹曼分布公式求出B 7. 15?在已知温度T时，某种粒子的能级￡ j = 2 ￡ i，简并度g i = 2g j，则「和￡ i上 分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp( j/2￡kT) B. 2exp(- ￡j/2kT) C. 0.5exp( -￡j/kT) D. 2exp( 2 j/k￡T) C 8. I2的振动特征温度? v= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2的温度是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 9. 下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 10. 分子运动的振动特征温度?v是物质的重要性质之一，下列正确的说法是： ( ) A. ? v越高，表示温度越高 B. ?v越高，表示分子振动能越小 C. ?越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. ?越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 11. 下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与
matlab课后习题解答第二章doc
第2章符号运算 习题2及解答 1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度” 对象，还是“符号”符号对象？ 3/7+0.1; sym(3/7+0.1); sym('3/7+0.1'); vpa(sym(3/7+0.1)) 〖目的〗 ●不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。 〖解答〗 c1=3/7+0.1 c2=sym(3/7+0.1) c3=sym('3/7+0.1') c4=vpa(sym(3/7+0.1)) Cs1=class(c1) Cs2=class(c2) Cs3=class(c3) Cs4=class(c4) c1 = 0.5286 c2 = 37/70 c3 = 0.52857142857142857142857142857143 c4 = 0.52857142857142857142857142857143 Cs1 = double Cs2 = sym Cs3 = sym Cs4 = sym 2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认 为是自由符号变量. sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)') 〖目的〗 ●理解自由符号变量的确认规则。 〖解答〗 symvar(sym('sin(w*t)'),1) ans = w symvar(sym('a*exp(-X)'),1) ans = a
symvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z 3 求以下两个方程的解 （1）试写出求三阶方程05.443 =-x 正实根的程序。注意：只要正实根，不要出现其他根。 （2）试求二阶方程022=+-a ax x 在0>a 时的根。 〖目的〗 ● 体验变量限定假设的影响 〖解答〗 （1）求三阶方程05.443 =-x 正实根 reset(symengine) %确保下面操作不受前面指令运作的影响 syms x positive solve(x^3-44.5) ans = (2^(2/3)*89^(1/3))/2 （2）求五阶方程02 2 =+-a ax x 的实根 syms a positive %注意：关于x 的假设没有去除 solve(x^2-a*x+a^2) Warning: Explicit solution could not be found. > In solve at 83 ans = [ empty sym ] syms x clear syms a positive solve(x^2-a*x+a^2) ans = a/2 + (3^(1/2)*a*i)/2 a/2 - (3^(1/2)*a*i)/2 4 观察一个数（在此用@记述）在以下四条不同指令作用下的异同。 a =@, b = sym( @ ), c = sym( @ ,' d ' ), d = sym( '@ ' ) 在此，@ 分别代表具体数值 7/3 , pi/3 , pi*3^(1/3) ；而异同通过vpa(abs(a-d)) , vpa(abs(b-d)) , vpa(abs(c-d))等来观察。 〖目的〗 ● 理解准确符号数值的创建法。 ● 高精度误差的观察。 〖解答〗 （1）x=7/3 x=7/3;a=x,b=sym(x),c=sym(x,'d'),d=sym('7/3'), a =
高教热统答案第六章
第六章 近独立粒子的最概然分布 习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围 内，量 子态数为： εεεεd m h L d D 2 1 22)(?? ? ??= 证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为 x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P ε εεε21222 +=?+==?= 于是。()εε εεd m h L d D 2+ = 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D ε εε2222=??? ? ???= 习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围 内， 量子态数为 ()επεεmd h L d D 22 2= 证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。 ?PdPd h S dP dP h S dn y x 22== (s －面积) 因m P 22 =ε只与P 有关（P >0）,故对?积分可得： ()??? ? ??==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()2 2h mS D πε= ? (s=L 2 ) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。 解：φθθd dpd p h V dp dp dp h V dn z y x sin 233== 由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是
??===ππ εππφθθεε200 3 2 2323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =?=εε 于是， 3 2 )(4)(hc V D επε= 习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很 弱，可 看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试 证明， 在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：l e a l l βεαω--=和' --' ='l e a l l βεαω。其 中l ε和 'l ε是两种粒子的能级，l ω和'l ω是能级简并度。 证： 粒子A 能级，粒子数分布：l ε——{a l }——简并度l ω 粒子B 能级，粒子数分布：'l ε——{a ’l }——简并度' l ω 由21Ω?Ω=Ω 21ln ln ln Ω+Ω=Ω 即使Ω最大，()11ln ΩΩ， ()22ln ΩΩ达到最大。 l e a l l βεαω--=? l e a l l εβαω''-'-'=' （注：' l a δ与l a δ在此情况下独立） 讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证 明 …… 0ln ln =??? ??''+-''-'??? ? ??''+-???? ???∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a δεδεβδαδωδαδω 同一0β，原题得证。这也是满足热平衡的要求。
2009热统复习题与思考题及答案
热力学与统计物理复习题及答案 一、解释如下概念 ⑴热力学平衡态；⑵可逆过程；⑶准静态过程；⑷焦耳-汤姆逊效应；⑸μ空间；⑹Γ空间；⑺特性函数；⑻系综；⑼混合系综；⑽非简并性条件；⑾玻色——爱因斯坦凝聚； ⑴热力学平衡态：一个孤立系统经长时间后，宏观性质不随时间而变化的状态。 ⑵可逆过程：若系统经一过程从状态A出发到达B态后能沿相反的过程回到初态A，而且 在回到A后系统和外界均回复到原状，那么这一过程叫可逆过程。 ⑶准静态过程：如果系统状态变化很缓慢，每一态都可视为平衡态，则这过程叫准静态过程。 ⑷焦耳一汤姆孙效应：气体在节流过程中气体温度随压强减小而发生变化的现象。 ⑸μ空间：设粒子的自由度r，以r个广义坐标为横轴，r个动量为横轴，所张成的笛卡尔 直角空间。 ⑹Γ空间：该系统自由度f，则以f个广义坐标为横轴，以f个广义动量为纵轴，由此张成的f2维笛卡尔直角空间叫Γ空间。 ⑺特性函数：若一个热力学系统有这样的函数，只要知道它就可以由它求出系统的其它函数，即它能决定系统的热力学性质，则这个函数叫特性函数。 ⑻系综：大量的彼此独立的具有相同结构但可以有不同微观状态的假想体系的集合叫系综，常见的有微正则系综、正则系综、巨正则系综。 ⑼混合系综：设系统能级E1…，E n…，系综中的n个系统中，有n1个处于E1的量子态；…，有n i个系统处于E i的相应量子态，则这样的系综叫混合系综。 页脚内容1
页脚内容2 ⑽非简并性条件：指1/< 第七章 气体与蒸汽的流动 7、1对改变气流速度起主要作用的就是通道的形状还就是气流本身的状态变化？ 答:改变气流速度主要就是气流本身状态变化,主要就是压力变化直接导致流速 的变化。 7、2如何用连续性方程解释日常生活的经验:水的流通截面积增大,流速就降低？ 答:日常生活中水的流动一般都为稳定流动情况11 221212f f m m m Ac A c q q q v v ====,对 于不可压缩流体水1v =2v ,故有流速与流通截面积成反比关系。 7、3在高空飞行可达到高超音速的飞机在海平面上就是否能达到相同的高马赫数？ 答:不能,因为速度与压比有个反比关系,当压比越大最大速度越小,高空时压比小, 可以达到高马赫数,海平面时压比增大,最大速度降低无法达到一样的高马赫数。 7、4当气流速度分别为亚声速与超声速时,下列形状的管道(图7-16)宜于作喷管还就是宜于作扩压管？ 答:气流速度为亚声速时图7-16中的1 图宜于作喷管,2 图宜于作扩压管,3 图宜 于作喷管。当声速达到超声速时时1 图宜于作扩压管,2 图宜于作喷管,3 图宜于作扩压管。4 图不改变声速也不改变压强。 7、5当有摩擦损耗时,喷管的流出速度同样可用2f c ,似乎与无 摩擦损耗时相同,那么摩擦损耗表现在哪里呢？ 答:摩擦损耗包含在流体出口的焓值里。摩擦引起出口速度变小,出口动能的减小 引起出口焓值的增大。 7、6考虑摩擦损耗时,为什么修正出口截面上速度后还要修正温度？ 答:因为摩擦而损耗的动能被气流所吸收,故需修正温度。 7、7考虑喷管内流动的摩擦损耗时,动能损失就是不就是就就是流动不可逆损 失？为什么？ 答:不就是。因为其中不可逆还包括部分动能因摩擦损耗转化成热能,而热能又被 气流所吸收,所造成的不可逆。 7、8在图7-17 中图(a)为渐缩喷管,图(b) 为缩放喷管。设两喷管的工作背压均为0、1MPa,进口截面压力均为1 MPa,进口流速1f c 可忽略不计。1)若两喷管的最小截面面积相等,问两喷管的流量、出口截面流速与压力就是否相同？2) 假如沿截面2’-2’切去一段,将产生哪些后果？出口截面上的压力、流速与流量起什么变化？ 答:1)若两喷管的最小截面面积相等,两喷管的流量相等,渐缩喷管出口截面流速 小于缩放喷管出口截面流速,渐缩喷管出口截面压力大于缩放喷管出口截面压力。 2) 若截取一段,渐缩喷管最小截面面积大于缩放喷管最小截面面积,则渐缩喷管的流量小于缩放喷管的流量,渐缩喷管出口截面流速小于缩放喷管出口截面流 速,渐缩喷管出口截面压力大于缩放喷管出口截面压力。 7、9图7-18中定焓线就是否就是节流过程线？既然节流过程不可逆,为何在推导节流微分效应j μ时可利用0dh =？ 答:定焓线并不就是节流过程线。在节流口附近流体发生强烈的扰动及涡流,不能 第二章线性表 2.1 填空题 (1)一半插入或删除的位置 (2)静态动态 (3)一定不一定 (4)头指针头结点的next 前一个元素的next 2.2 选择题 (1)A (2) DA GKHDA EL IAF IFA(IDA) (3)D (4)D (5) D 2.3 头指针：在带头结点的链表中，头指针存储头结点的地址；在不带头结点的链表中，头指针存放第一个元素结点的地址； 头结点：为了操作方便，在第一个元素结点前申请一个结点，其指针域存放第一个元素结点的地址，数据域可以什么都不放； 首元素结点：第一个元素的结点。 2.4已知顺序表L递增有序，写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保持线性表的有序性。 void InserList(SeqList *L,ElemType x) { int i=L->last; if(L->last>=MAXSIZE-1) return FALSE; //顺序表已满 while(i>=0 && L->elem[i]>x) { L->elem[i+1]=L->elem[i]; i--; } L->elem[i+1]=x; L->last++; } 2.5 删除顺序表中从i开始的k个元素 int DelList(SeqList *L,int i,int k) { int j,l; if(i<=0||i>L->last) {printf("The Initial Position is Error!"); return 0;} if(k<=0) return 1; /*No Need to Delete*/ if(i+k-2>=L->last) L->last=L->last-k; /*modify the length*/ 热统重点复习题2005 一、名词解释： 1、状态函数： 任何一个物理量，只要它是描述状态的，是状态参量的单值函数，则该物理量就是状态函数。 2、内能： 系统处于一定状态下是具有一定能量的，这种由系统热运动的宏观状态所决定的能量，就叫做内能。 3、自由能判据： 对只有体积变化作功的系统，若体积、温度不变，则 △F≤0 该式表明：等温等容过程中自由能不增加，系统中发生的过程总是向着自由能减少的方向进行，平衡态时自由能最小。 4、吉布斯函数： 1．定义G=U-TS+PV 2．性质 ①是态函数，单位焦耳（J），广延量。 ②由熵增加原理可知在等温等容过程中，有 GA-GB≥W 即等温等压过程中，除体积变化功外，系统对外作的功不大于吉布斯函数的减少。即等温等压过程中，吉布斯函数的减少等于系统对外作的最大非膨胀功（最大功原理）. 5、吉布斯判据： 等温等压系统处在稳定平衡态的必要和充分条件是 △G>0 平衡态的吉布斯函数极小。 对等温等压系统中进行的过程，系统的吉布斯函数不增加，系统中发生的过程是向着吉布斯函数减少的方向进行，平衡态时，吉布斯函数最小（吉布斯判据）； 6、黑体辐射： 若一个物体在任何温度下都能将投射到它上面的电磁波全部吸收而无反射，则这种物体叫黑体，黑体的辐射叫黑体辐射。 7、熵判据： 孤立系统处在稳定平衡态的必要和充分条件为 △S<0 平衡态熵极大。 8、自由能判据： 等温等容系统稳定平衡态的必要和充分条件为 △F> 0 平衡态的自由能极小。 9、玻尔兹曼分布： 玻尔兹曼分布是玻尔兹曼系统处于平衡态时的最概然（即最可几）分布，按照等概率原理，也就是系统微观状态数最多的分布。 10、玻尔兹曼关系：Ω S K =ln 该式表明：熵是系统混乱程度（即无序度）的定量表示，它等于玻尔兹曼常数K乘以系统微观状态数的对数。 11、系综： 系综是指由大量结构完全相同、处于给定的相同宏观条件下彼此独立的假想系统的集合，其中每一个系综都与实际讨论的真实系统有相同的哈密顿，但有不同的微观状态，这种系统的集合叫统计系综（简称系综）。 12、自由能的物理意义： 在等温过程中，系统对外所做的功等于它的自由能的减少，这就是自由能的物理意义。 13、热力学第零定律： 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡，这个结论通常叫做热力学第零定律。 14、等几率原理： 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的几率是相等的。这是统计物理学中的基本假设。 15、自由焓的物理意义：在等温等压过程中，除去体积膨胀的一部分功以外，系统对外界所做的功等于它的吉布斯函数（自由焓）的减少，这就是自由焓的物理意义。 二、填空题： 1、热力学第一定律反映了能量守恒和转换时应该遵从的关系，它引进了系统的态函数——内能。 3.4 求证： （a ）,,;V n T V S T n μ?????? =- ? ??????? （b ）,,.T p t n V p n μ?????? = ? ??????? 解：（a ）由自由能的全微分（式（3.2.9）） dF SdT pdV dn μ=--+ （1） 及偏导数求导次序的可交换性，易得 ,,.V n T V S T n μ?????? =- ? ??????? （2） 这是开系的一个麦氏关系. （a ） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2）） dG SdT Vdp dn μ=-++ （3） 可得 ,,.T p T n V p n μ??????= ? ??????? （4） 这也是开系的一个麦氏关系. 3.5 求证： ,,.T V V n U T n T μμ?????? -=- ? ??????? 解：自由能F U T S =-是以, ,T V n 为自变量的特性函数，求F 对n 的 偏导数（, T V 不变），有 ,,,.T V T V T V F U S T n n n ????????? =- ? ? ?????????? （1） 但由自由能的全微分 dF SdT pdV dn μ=--+ 可得 ,,,,, T V T V V n F n S n T μμ??? = ? ????????? =- ? ??????? （2） 代入式（1），即有 ,,.T V V n U T n T μμ?????? -=- ? ??????? （3） 3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 1.m p dT U L T dp ?? ?=- ?? ? 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能m U 、摩尔焓m H 和摩尔体积m V 的改变满足 .m m m U H p V ?=?-? （1） 平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L ： .m H L ?= 克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出 ,m dp L dT T V = ? （3） 即 .m L dT V T dp ?= （4） 将式（2）和式（4）代入（1），即有 1.m p dT U L T dp ???=- ?? ? （5） 如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为 2 .dp L p dT R T = （6） 式（5）简化为 1.m RT U L L ???=- ?? ? （7） 3.9 以C βα表示在维持β相与α相两相平衡的条件下1mol β相物质升高1K 所吸收的热量，称为β相的两相平衡摩尔热容量，试证明： 简答题 什么是伽利略相对性原理什么是狭义相对性原理 答：伽利略相对性原理又称力学相对性原理，是指一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描述机械运动的力学规律来说完全等价。 狭义相对性原理包括狭义相对性原理和光速不变原理。狭义相对性原理是指物理学定律在所有的惯性系中都具有相同的数学表达形式。光速不变原理是指在所有惯性系中，真空中光沿各方向的传播速率都等于同一个恒量。 同时的相对性是什么意思如果光速是无限大，是否还会有同时的相对性 答：同时的相对性是：在某一惯性系中同时发生的两个事件，在相对于此惯性系运动的另一个惯性系中观察，并不一定同时。 如果光速是无限的，破坏了狭义相对论的基础，就不会再涉及同时的相对性。 什么是钟慢效应 什么是尺缩效应 答：在某一参考系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫固有时。固有时最短。固有时和在其它参考系中测得的时间的关系，如果用钟走的快慢来说明，就是运动的钟的一秒对应于这静止的同步的钟的好几秒。这个效应叫运动的钟时间延缓。 尺子静止时测得的长度叫它的固有长度，固有长度是最长的。在相对于其运动的参考系中测量其长度要收缩。这个效应叫尺缩效应。 狭义相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同 有何联系 答：牛顿力学的时间和空间概念即绝对时空观的基本出发点是：任何过程所经历的时间不因参考系而差异；任何物体的长度测量不因参考系而不同。狭义相对论认为时间测量和空间测量都是相对的，并且二者的测量互相不能分离而成为一个整体。 牛顿力学的绝对时空观是相对论时间和空间概念在低速世界的特例，是狭义相对论在低速情况下忽略相对论效应的很好近似。 能把一个粒子加速到光速c 吗为什么 答：真空中光速C 是一切物体运动的极限速度，不可能把一个粒子加速到光速C 。从质速关系可看到，当速度趋近光速C 时，质量趋近于无穷。粒子的能量为2 mc ，在实验室中不存在这无穷大的能量。 什么叫质量亏损 它和原子能的释放有何关系 答：粒子反应中，反应前后如存在粒子总的静质量的减少0m ?，则0m ?叫质量亏损。原子能的释放指核反应中所释 放的能量，是反应前后粒子总动能的增量k E ?，它可通过质量亏损算出20k E m c ?=?。 在相对论的时空观中，以下的判断哪一个是对的 （ C ） （A ）在一个惯性系中，两个同时的事件，在另一个惯性系中一定不同时； 热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020. 一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统 二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K 参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统 第七章统计热力学基础 一、选择题 1、统计热力学主要研究（）。 (A) 平衡体系(B)单个粒子的行为案(C) 非平衡体系(D) 耗散结构 2、能量零点的不同选择，在下面诸结论中哪一种说法是错误的：( ) (A) 影响配分函数的计算数值(B) 影响U，H，F，G 的数值 (C) 影响Boltzmann分布数N 的数值(D) 影响能级能量εi的计算数值 3、最低能量零点选择不同，对哪些热力学函数值无影响：( ) (A) U (B) S (C) G (D) H 4、统计热力学研究的主要对象是：（） (A) 微观粒子的各种变化规律 (B) 宏观体系的各种性质 (C) 微观粒子的运动规律 (D) 宏观系统的平衡性质 5、对于一个U,N,V确定的体系，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（） (A) 玻兹曼分布定律(B) 等几率假设(C) 分子运动论(D) 统计学原理 6、以0到9这十个数字组成不重复的三位数共有（） (A) 648个(B) 720个(C) 504个(D) 495个 7、各种不同运动状态的能级间隔是不同的，对于同一种气体分子，其平动、转动、振动和电子运动的能级间隔的大小顺序是：（） (A) t > r > v > e(B) t < r < v < e (C) e > v > t > r(D) v > e > t > r 8、在统计热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（） (A) 气体和晶体皆属定域子体系 (B) 气体和晶体皆属离域子体系 (C) 气体属离域子体系而晶体属定域子体系 (D) 气体属定域子体系而晶体属离域子体系 9、对于定域子体系分布X所拥有的微观状态t x为：（） (A) (B) 第2章人工智能与知识工程初步 1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s (1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。 解：定义谓词d P(x)：x是人 L(x,y)：x喜欢y 其中，y的个体域是{梅花，菊花}。 将知识用谓词表示为： (?x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花)) (2) 有人每天下午都去打篮球。 解：定义谓词 P(x)：x是人 B(x)：x打篮球 A(y)：y是下午 将知识用谓词表示为：a (?x )(?y) (A(y)→B(x)∧P(x)) (3)新型计算机速度又快，存储容量又大。 解：定义谓词 NC(x)：x是新型计算机 F(x)：x速度快 B(x)：x容量大 将知识用谓词表示为： (?x) (NC(x)→F(x)∧B(x)) (4) 不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。 解：定义谓词 S(x)：x是计算机系学生 L(x, pragramming)：x喜欢编程序 U(x,computer)：x使用计算机 将知识用谓词表示为： ? (?x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer)) (5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。 解：定义谓词 P(x)：x是人 L(x, y)：x喜欢y 将知识用谓词表示为： (?x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer)) 2 请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。 解： (2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。 解： (3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。 解：参例2.14 (4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。 解：参例2.10 (5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。 解： 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数 κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果11 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1,T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 00 p V pV C T T ==（常量） ， 或 .p V C T = （5） 式（5）就是由所给11,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。 第一章 热力学的基本规律 １。1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κ。 解： 理想气体的物态方程为RT pV =，由此可算得： P P V V k T T P P T T V V T V P 1 )(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα 1.2 证明任何一种具有两个独立参量Ｔ,P 的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ,根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果P k T a 1 ,1== ,试求物态方程。 证明： dp p V dT T V p T dV T P )()( ),(??+??= 两边除以V ，得 dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果 ,1,1p T == κα 代入上式，得C P T P dP T dT V ln ln ln )( ln +-=-=? 所以物态方程为：CT PV = 与1ｍｏl 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程. 1.３在0０C 和1atm 下,测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.１85 ×10—5Ｋ—1，ｋ=7．8×１0 —７ ａｔｍ－1 .ａ和ｋ可以近似看作常数。今使铜 加热至１00C ，问(1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变?（2）若压力增加1０0at ｍ，铜块的体积改变多少? 解:（ａ)由上题dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 体积不变,即0=dV 所以dT k a dP = 即atm T k a P 62210108.71085.47 5=???=?=?-- (b ） 47512121 1 211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα 可见，体积增加万分之4.07。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力F ，物态方程是 f （F ，Ｌ,Ｔ)=０.实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为F T L L a )(1??= ，等温杨氏模量定义为 T L F A L Y )(??=, 其中A 是金属丝的截面积.一般来说,α和Y 是T 的函数,对F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量.假设金属丝两端固定。试 证明，当温度由T １降至Ｔ２时，其张力的增加为 21()F YA T T α?=-- 证明:（a ）设(,)F F T L =，则 L T F F dF dT dL T L ?????? =+ ? ??????? （1) 第七章 玻耳兹曼统计 习题7.1根据公式∑??-=l l l V a P ε证明，对于非相对论粒子： )()2( 2122 222 2 z y x n n n L m m p s ++= = π，z y x n n n ,,=0，±1，±2，… 有V U p 32=,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证：∑??-=l l l V a P ε=?? ????++??- ∑ )()2(212222z y x l l n n n L m V a π =?? ? ???++??-∑)()2(222223 z y x l l n n n L m L V a π 其中 V a u l l ε∑= ;V ~3L ?=p ??? ? ??? ? ++?? - ∑)() 2(212 2 2 2 32 z y x l l n n n V m V a π (对同一l ,2 22z y x n n n ++) =m a l l 21∑-2 )2( π)(2 22z y x n n n ++) 3 2(3 5- - V =m a l l 21∑-2 2 222) ()2(L n n n z y x ++ π) 3 2(3 532-- V V = V U 32 习题7.2试根据公式∑??-=l l l V a P ε证明，对于极端相对论粒子： 2 1 2 22) (2z y x n n n L c cp ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，±2，… 有V U p 31= ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证： ∑??-=l l l V a P ε； 1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q =50-5P ，供给函数为Qs=-10+5p。（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。 （2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5p。 求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。 （4）利用（1）（2 ）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。（5）利用（1）（2 ）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响. 解答: (1)将需求函数Qd = 50-5P和供给函数Qs =-10+5P 代入均衡条件Qd = Qs ,有: 50- 5P= -10+5P 得: Pe=6 以均衡价格Pe =6 代入需求函数Qd =50-5p ,得: Qe=20 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 (图略) (2)将由于消费者收入提高而产生的需求函数Qd=60-5p 和原供给函数 Qs=-10+5P, 代入均衡条件Q d= Qs ,有: 60-5P=-10+5P 得Pe=7 以均衡价格Pe=7代入Qd方程，得Qe=25 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7 , Qe=25 (图略) (3) 将原需求函数Qd =50-5p和由于技术水平提高而产生的供给函数Q =-5+5p , 代入均衡条件Qd =Qe ,有: 50-5P=-5+5P得Pe= 5.5 以均衡价格Pe= 5.5 代入Qd =50-5p ,得22.5 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5 Qe=22.5 (4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说,静态分析是在一个经济模型中根据所给的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例,在图中,均衡点 E 就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此,给定的供求力量分别用给定的供给函数Q=-10+5P 和需求函数Q=50-5P表示，均衡点具有的特征是:均衡价格P=6 且当P =6 时,有Q= Q d= Qe =20 ，同时, 第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 2.1 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n 误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解： 得： 2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。 证明： 其中： ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ211 1 2 )?()?(i n i i n i i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-= 01????i i i i i Y X e Y Y ββ=+=- 即： ∑e i =0 ，∑e i X i =0 2.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什 么条件下等价?给出证明。 答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数： 使得Ln （L ）最大的0 ?β，1?β就是β0，β1的最大似然估计值。 同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小， 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, σ2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi ~N(0, σ2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。 ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ0 1 00??Q Q β β ??==? ? 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。 解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： P P V V k T T P P T T V V T V P 1 )(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα 1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果P k T a 1 ,1== ，试求物态方程。 证明： dp p V dT T V p T dV T P )()( ),(??+??= 两边除以V,得 dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果 ,1,1p T == κα 代入上式，得C P T P dP T dT V ln ln ln )( ln +-=-=? 所以物态方程为：CT PV = 与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。 1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185 ×10-5K -1，k=7.8×10-7 atm -1 。a 和k 可以近似看作常数。今使铜加热至100 C ， 问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？ 解：（a ）由上题dp dT dp p V V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1 体积不变，即0=dV 所以dT k a dP = 即atm T k a P 62210108.71085.47 5=???=?=?-- (b) 47512121 1 211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα 可见，体积增加万分之4.07。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力F,物态方程是 f(F ,L,T)=0。实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为F T L L a )(1??= ，等温杨氏模量定义为 T L F A L Y )(??=， 其中A 是金属丝的截面积。一般来说，α和Y 是T 的函数，对F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T 1降至T 2时，其张力的增加为 21()F YA T T α?=-- 证明：（a ）设(,)F F T L =，则 L T F F dF dT dL T L ?????? =+ ? ??????? （1） 由于1L F T F T L T L F ????????? =- ? ? ??????????工程热力学思考题答案,第七章
DS第二章-课后习题答案
考研_热统重点复习试题及解答
热统第三章作业答案
大物第二章课后习题答案
热力学与统计物理试题及答案
第七章 统计热力学基础
第二章课后习题与答案
热统第一章作业答案
热统习题解答全
高教热统答案第七章
第二章课后习题答案
第2章课后习题参考答案
热统习题解答(全)