(新课标)高一数学上学期期中试题
2013-2014学年度上学期期中考试
高一数学试题【新课标】
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1. 已知全集}4,3{},3,2,1{},5,4,3,2,1{===B A U ，则=B C A U ▲ .
2. 若函数)(x f 是R 上的奇函数，则=+++-+-)2()1()0()1()2(f f f f f ▲ .
3. 已知幂函数)(x f y =的图象过点)8,2
1(，则=-)2(f ▲ . 4. 已知函数2
4)12(x x f =-，则f(2)= ▲ .
5．函数2
2
1()1x f x x
-=+的值域是 ▲ . 6. 若函数y=f(x)的图象经过点(1,-2)，则函数y=f(-x)+1的图象必定经过的点的坐标是 ▲ .
7. 函数1
)(+=
x x
x f 的单调增区间是 ▲ . 8. 函数)12(log )(2
1-=x x f 的定义域是 ▲ .
9. 将log 23，32
4
-
，52
2
-
，log 0.53用“＜”从小到大排列 ▲ .
10. 已知A=B={(x,y)︱x∈R, y∈R }，从A 到B 的映射:(,)(,)f x y x y xy →+，A 中元素(m,n)与B 中元素(4,-5)对应，则此元素为 ▲ .
11. 截止到1999年底，我国人口约13亿．如果今后能将人口年平均增长率控制在1﹪，那
么经过 ▲ 年后，我国人口数为16亿？（用数字作答，精确到年）
（不允许使用计算器，参考数据：lg1.010.0043;lg 20.3010;lg13 1.1139===）
12. 函数()()1()(3)51x a
x f x a x a
x ?
成立，则a 的取值范围是 ▲ .
13．定义：区间1212[,]()x x x x <的长度为21x x -，已知函数0.5|log (2)|y x =+定义域为
[,]a b ，值域为[0，2]，则区间[,]a b 的长度的最大值为 ▲
14. 已知函数)(x f y =的定义域是),(+∞-∞，考察下列四个结论：
①若)1()1(f f =-，则)(x f 是偶函数；
②若)1()1(f f <-，则)(x f 在区间]2,2[-上不是减函数；
③若f(x)在[a,b )上递增，且在[b,c]上也递增，则f(x)在[a,c]上递增； ④若∈-=x x f x f |,)(||)(|R ，则)(x f 是奇函数或偶函数.
其中正确的结论的序号是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
计算：(1)21log 32.5log 6.25lg0.001ln 2e -++++；
(2)
2
10232
1133(2)()(3)()482
π-----+ .
16．（本小题14分）
已知集合2
3{|log (33)0},{|20}A x x x B x mx =-+==-=，且A
B B =，
求实数m 的值．
17.（本小题满分14分）
已知函数()log (1)a f x x =+，()log (42)a g x x =-（0a >，且1a ≠）． （1）求函数()()f x g x -的定义域；
（2）求使函数()()f x g x -的值为正数的x 的取值范围．
18.（本小题满分16分）
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A 的收益 与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B 的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）。
（1）分别将A 、B 两种产品的收益表示为投资的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A 及股票等风险型产品B 两种产品，
问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
19.（本小题满分16分）
已知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)
x
1.8
y
0.45
图1
图2
成立．
（1）函数x
x f 1
)(=
是否属于集合M ？说明理由； （2）若函数f(x)=x
2k ?+b 属于集合M ，试求实数k 和b 满足的条件； （3）设函数2
()lg 2
a
f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围． 20．（本小题16分）
已知函数2
2()(2)(2)x
x
f x a a -=-++，x ∈[－1，1]．
⑴当1a =时，求使f （x ）=4
13
的x 的值； ⑵求()f x 的最小值；
⑶关于x 的方程()f x 2
2a =有解，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、填空题： {1,2} 2. 0 3. 1
8
-
4. 9
5. (-1,1]
6. (-1,-1)
7. (-∞,-1);(-1,+∞)
8. 112x x ??<≤????
9. log 0.53<352
242--< 12. 3 05 a <≤ 13. 154 14. ② 二、解答题：本大题共6小题，共90分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）原式=2-3+ 12+3 2 ………………………………………4分(1个式子1分) = 1 ………………………………………………7分 (2) 原式= 32-1-49+4 9 ………………………………………4分(1个式子1分) = 2 1 ………………………………………………7分 16. 解. A={1,2} ……………………………………………………2分 A B=B ，B ?A ……………………………………………………4分 m=0，B=? ……………………………………………………7分 m·1-2=0，m=2 ……………………………………………………10分 m·2-2=0，m=1 ……………………………………………………13分 ∴m=0，或1，或2 ……………………………………………………14分 17.解：（1）由题意可知， ()()f x g x -log (1)a x =+log (42)a x --， ……………1分 由10420x x +>??->? ， ……………3分 解得 1 2 x x >-?? ∴ 12x -<<， ∴函数()()f x g x -的定义域是(1,2)-． ……………6分 （2）由()()0f x g x ->，得 ()()f x g x >， 即 log (1)a x +log (42)a x >-， ① ……………8分 当1a >时，由①可得 142x x +>-，解得1x >， 又12x -<<，∴12x <<； ……………10分 当01a <<时，由①可得 142x x +<-，解得1x <， 又12x -<<，∴11x -<<． ……………12分 综上所述：当1a >时，x 的取值范围是(1,2)； 当01a <<时，x 的取值范围是(1,1)-． ……………14分 18. 解：（1）设投资为x 万元， A 、 B 两产品获得的收益分别为f （x ）、g （x ）万元， 由题意，112(),(),0;0)f x k x g x k k k x ==≠≥ ……………………………3分 又由图知f （1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得1215 ,44 k k == ……………………6分 ∴1()(0);()0)4f x x x g x x = ≥=≥ …………………………8分 (不写定义域扣1分） （2）设对股票等风险型产品B 投资x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资（10-x ）万元， 记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元， 则1(10)0)4y x x =-≥ ……………10分 t =，则2x t =，(0t ≤≤ ∴21565 ()4216y t =- -+ …………………………………12分 当52t =也即254 x =时，y 取最大值6516 ……………14分 答：对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资15 4 万元时， 可获最大收益65 16 万元.（答1分，单位1分 ） ……………16分 19.解：（1）),0()0,(+∞-∞= D ，若M x x f ∈=1 )(，则存在非零实数0x ，使得 11 110 0+=+x x ， …………………………………2分 即0102 0=++x x ， …………………………………3分 因为此方程无实数解，所以函数M x x f ?= 1 )(．………………………………4分 （2）R D =，由f(x)=x 2k ?+b ∈M ，存在实数0x ，使得 1b 2k b 2 k 00x 1 x ++?=+?+，12k 0x =?， ………………………6分 所以，k 和b 满足的条件是k>0，b ∈R.………………………………9分 （3）由题意，0>a ，R D =．由2()lg 2 a f x x =+∈M，存在实数0x ，使得 2200lg lg lg (1)223 a a a x x =++++， …………………………………10分 所以，() 2 22 00(1)232a a x x =+++ 化简得(a-3)x 02 +2ax 0+3a-6=0， ……………………………12分 当a=3时，x 0= -1 2 ，符合题意． …………………………………13分 当0>a 且a≠3时， 由△0≥得4a 2 -18(a-3)(a-2)≥0，化简得 2a 2 - 15a+18≤0解得 3 62 a ≤≤且3a ≠ …………………15分 综上，实数a 的取值范围是3 62 a ≤≤ ………………………16分 20.22)22(2)22(2)22(222 )(22222++---=+--+=----a a a a x f x x x x x x x x x x t --=22 ………………………………………………………………2分 ⑴当a=1时，由f （x ）= 413得：41342t -t 2 =+，解得2 3t 21t 21==，. 由212-2x -x =得x=2-log 1712 ） （+; 由2 32-2x -x =得x=1, ∴x=1,或2-log 1712 ） （+ . …………………………………………………6分 ⑵2)(222)(2 2 2 2 ++-=++-=a a t a at t x f x x t --=22 , x x --22在]1,1[-∈x 上单调递增,∴]2 3,23[-∈t . …………………………………………………8分 当23-