北京四中2013届高三上学期期中测验数学试卷

北京四中2013届高三上学期期中测验数学试卷

（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上．

． 1.已知集合(){}03|<-=x x x P ，{}2|<=x x Q ，则=Q P （ ） A ．()0,2- B ．()2,0 C ．()3,2 D ．()3,2-

2. 函数y =的定义域为（ ）

A ．[4,1]-

B ．[4,0)-

C ．(0,1]

D ．[4,0)(0,1]- 3．下列命题中是假命题．．．的是（ ） A ．,()sin(2)f x x ???∈=+R 函数都不是偶函数 B ．0,()ln a f x x a ?>=-有零点

C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈?使R

D ．,)1()(,342

是幂函数使+-?-=∈?m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减

4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．90 B ．120 C ．135 D ．150

5. 已知数列n a a a a n n n +==+11,1,}{中，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A ．?8≤n

B ．?9≤n

C ．?10≤n

D ．?11≤n

6．已知函数))()(()(b a b x a x x f >--=其中的图象

如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）

7．函数1,(10)()cos ,(0)2

x x f x x x π+-≤

=?≤≤??的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A ．32

B ． 1

C ． 2

D ．1

2

8．定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]3,1[∈x 时，)(x f |2|2--=x ， 则（ ） A ．

2π2π

(sin

)(cos )33f f >

B ．)1(cos )1(sin f f >

C ．)6(tan )3(tan f f <

D ．)2(cos )2(sin f f <

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置．．．．．．．．上．

． 9．设i 为虚数单位，则234561+i+i +i +i +i +i = .

10．正项等比数列{}n a 中，若2298log ()4a a =，则4060a a 等于 .

11.已知y x z c y x y x x y x +=??

?

??≥++-≤+≥302,

42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是 .

12. 设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=

)5(),2()()2(,21

)1(f f x f x f f 则 .

13.已知函数x x x f sin cos )(=，给出下列四个说法：

①若)()(21x f x f -=，则21x x -=； ②)(x f 的最小正周期是2π；

③)(x f 在区间]4,4[π

π-

上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线4

3π

=x 对称．

其中正确说法的序号是 .

14．定义一种运算???>≤=?b

a b b a a b a ,,，令()()45si n cos 2?+=x x x f ，且??

???∈2,0πx ，则函数

??? ?

?

-2πx f 的最大值是 .

三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B

． （1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．

16.（本小题满分13分）

已知函数()()2

2sin cos 2cos 2f x x x x =++-. （1）求)(x f 函数图象的对称轴方程； （2）求)(x f 的单调增区间.

（3）当3,44x ππ??

∈????

时,求函数()f x 的最大值，最小值.

17.（本小题满分13分）

设等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为S n . （1）若98,01411==S a ，求数列}{n a 的通项公式；

（2）若,77,0,614111≤>≥S a a 求所有可能的数列}{n a 的通项公式.

18.（本小题满分13分）已知函数321

()3

f x x x ax =-++（a ∈R ）.

（1）若3=a ，试确定函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在其图象上任意一点00(,())x f x 处切线的斜率都小于22a ，求实数a 的取值范围.

（3）若[0,2],()0x f x ?∈<，求a 的取值范围.

19.（本小题满分14分）已知函数()x f x e x =- （e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的最小值；

（2）设不等式()f x ax >的解集为P ，若1|22M x x ??

=≤≤????

，且M P ≠? ，求实数a 的

取值范围；

（3）已知n N *∈，且0

()n

n S f x dx =?，是否存在等差数列{}n a 和首项为(1)f 公比大于0的等比数列{}n b ，使得1

()n

n k k k S a b ==+∑？若存在，请求出数列{}{}n n a b 、的通项公式．若不存在，

请说明理由．

20.（本小题满分14分）

已知A(1x ,1y )，B(2x ,2y )是函数21,122

()11,2x

x x f x x ?≠??-=??-=

??的图象上的任意两点（可以重合），点M

在直线1

2

x =上，且AM MB = .

（1）求1x +2x 的值及1y +2y 的值

（2）已知10S =，当2n ≥时，n S =1()f n +2()f n +3()f n +1

(

)n f n

-+ ，求n S ； （3）在（2）的条件下，设n a =2n S ，n T 为数列{n a }的前n 项和，若存在正整数c 、m ，使得不等式

11

2

m m T c T c +-<-成立，求c 和m 的值.

答题纸

班级姓名成绩二、填空题（每小题5分，共30分）

班级姓名成绩

班级姓名成绩