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线代教案第5章矩阵的相似对角化

(完整版)可逆矩阵教案.doc

§1.4可逆矩阵 ★ 教学内容： 1.可逆矩阵的概念； 2.可逆矩阵的判定； 3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 4.可逆矩阵的性质。 ★教学课时： 100 分钟 /2 课时。 ★教学目的：通过本节的学习，使学生 1.理解可逆矩阵的概念； 2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法； 3.熟悉可逆矩阵的有关性质。 ★教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。 ★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。 1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。 2.定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵 B ，使得 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为A1。 3.可逆矩阵的例子：（ 1）例 1 单位矩阵是可逆矩阵；（ 2）例 2 1 0 1 0 A ， B 1 ，则 A 可逆； 1 1 1 1 0 0 （ 3）例 3 对角矩阵 A 0 2 0 可逆； 0 0 3 1 1 1 1 1 0 （ 4）例 4 A0 1 1 ， B 0 1 1 ，则A可逆。 0 0 1 0 0 1 4.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A1和A是同阶方阵；

（ 3）可逆矩阵 A 的逆 A 1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A 1 互为逆矩阵；（ 4）若 A 、 B 为方阵，则 AB E A 1 B 。二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆 1.方阵不可逆的例子：例 5 例 6 1 1 A 0 0 1 2 A 2 4 不可逆；不可逆； 2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（ 1）说明利用定义判定及求逆的方法，（ 2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆（ 1）引入转置伴随矩阵 1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论 a i1 A s1 a i 2 A s2 L a in A sn D,i s (i 1,2,L , n) ， 0,i s a 1 j A 1t a 2 j A 2t L a nj A nt D, j t ( j 1,2,L , n) ； 0, j t 2）写成矩阵乘法的形式有： a 11 a 12 L a 1n A 11 A 21 L A n1 A 0 L 0 a 21 a 22 L a 2 n A 12 A 22 L A n2 0 A L M M O M M M O M A E M M O M a n1 a n 2 L a nn A 1n A 2n L A nn 0 0 L A 3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设 A ij 式是 A (a ij )n n 的行列式中 a ij 的代数余子式，则 A 11 A 21 L A n1 A * A 12 A 22 L A n 2 M M O M A 1n A 2n L A nn 称为 A 的转置伴随矩阵。（ 2）转置伴随矩阵求逆： 1） AA * A E ； 2）定理 1.4.1 A 可逆的充分必要条件是 A 0 （或 A 非奇异），且

第三章矩阵对角化、若当标准型

第三章矩阵的对角化、若当标准型 §3.1 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ?∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。下面定理1是显然的。定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。定理2 设n n A ?∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。定义2设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。定理3 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则 rank()i i n n I A αλ=-- 证明特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以 dim dim ()i i i n V N I A λαλ==- dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=-- 例1 求123323001A ?? ??=?? ??-?? 的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。

解 1 23det()3 2 30 1 I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+- 所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。 1λ的几何重复度113rank()I A αλ=-- 2233rank 3331000---?? ??=----=?? ???? 2λ的几何重复度223rank()I A αλ=-- 3233rank 3231005--?? ??=---=?? ???? 定理4 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。证明因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向量12,, ,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,,i αεεε扩充为n C 的基 121,,,,,i i n ααεεεεε+ 设121 []i i n P ααεεεεε+=，则 121 []i i n AP A ααεεεεε+= 121[,]i i i i i n A A ααλελελεεε+= 121 *[]i i i i n i O ααλλεεεεελ +????????=???????? ? PB =

矩阵的可对角化及其应用

附件：分类号O15 商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月

矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix

第五章特征值和特征向量矩阵对角化

第五章特征值和特征向量矩阵对角化习题5.1 1．解：(A) 设11 00 ,2 20 4A B ?? ????==? ????? ?? , 因为秩(A )=秩(B )所以A 与B 等价; 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(A)不正确. (B) A 与B 相似, 即存在可逆矩阵P 使得1P A P B -=, 所以秩(A )=秩(B ),因此A 与B 等价. (B)是正确的. (C) 与(A)一样, 设11 00 ,2 20 4A B ?? ????==? ????? ?? ,秩(A )=秩(B ), 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(C)不正确. (D) 与(A)一样, 设11 00 ,2 20 4A B ?? ????==? ????? ?? ,｜A ｜=｜B ｜, 但是由于tr A 与tr B 不相等, 所以A 与B 不相似. 因此(D)不正确. 7．解：(1) 因为2 1001 02 5225 2 (1)(3)2 4 124 1 E λλλλλλ-??? ?---=-=--????---+?? , 所以特征值为1,1,3. 求解方程组 1 00(2 52)2 4 1E X O ?? ? ? ---=????--??, 得属于特征值1的特征向量为 [][]1122, 1, 01, 0, 1T T k k ξ=+- (其中12,k k 为不同时为零的任意数). 求解方程组1 00(32 52)2 4 1E X O ?? ? ? ---=????--?? , 得属于特征值3的特征向量为 []230, 1, 1T k ξ= (其中3k 为不为零的任意数). 习题5.2 4．证明：T A 的特征多项式为(())()T T T T E A E A E A E A λλλλ-=-=-=-

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案第一章线性方程组与矩阵授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生 21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～ B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4 2

3 定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[]1[]2[]3[]4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[]2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[]1[]2[]3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[]1[]2[]3[]4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 121n P AP λλλ-??????=??????即12n AP P λλλ??????=?????? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,, ,n P P P 即

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化为规范型。 ( × )

42矩阵教案

§2.1.1矩阵的概念教学目标：知识与技能：1.掌握矩阵的概念以及基本组成的含义(行、列、元素) 2.掌握零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念. 3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来, 用矩阵表示丰富的问题, 体会矩阵的现实意义. 过程与方法：从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义教学过程：一、问题情境: 设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP → (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为???? ?? 2 3 2 （1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示： A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．图——矩阵 2 3 2 3 ???? ??80 90 86 88

二、建构数学矩阵：记号：A ，B ，C ，…或（a ij ） (其中i,j 分别元素a ij 所在的行和列) 要素：行——列——元素矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。特别：（1）2×1矩阵，2× 2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵（2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12] 列矩阵：???? ?? a 11 a 21 ，一般用，等表示。（4）行向量与列向量三、教学运用例1、用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) . 思考: 如果用矩阵M=00??? 12 3 2 40? ?? 表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征? 例2、某种水果的产地为A 1 , A 2 , 销地为B 1 , B 2 , 请用矩阵表示产地A i 运到销地B j 的水果数量(a ij ), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 . 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 A B C 0 3 1 3 0 0 1 0 2

可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。 1.求方阵的高次幂例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110?? ?-?? ，试计算k A 。解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里 ()()121211,,12-?? ηη=εε ? -?? ，且 σ 在 12 ,ηη下的矩阵为 1 112 1112 12 11111121012111 01 2 1 ----?????????? ?? ??== ? ??? ????? ?----- ????????? ?????显然 1 10 10 1k k ??? ? = ? ? ?? ?? ，再利用上面得到的关系1 1121111112101201---???????? = ? ??? ?---???????? 我们可以得到 1 21111111111211 101201121201111k k k k k k k ----+????????????????=== ? ??? ? ????? ? ------+???????????????? 2.利用特征值求行列式的值。例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因

为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X λ-λ=，因为X ≠0，所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使 1 00 0r E P AP -??= ??? =B ，其中 r E 是r 阶单位矩阵，从而 1102220 2r n r n r E E A PP PBP E B E -----=-=-= =2 3由特征值与特征向量反求矩阵。若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则例设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为 () 123,,T P X X X =，它应与特征向量 1 P 正交，即 []1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为 ()() 231,0,0,0,1,1T T P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。取 ()123010100,,101,010101001P P P P B -???? ? ? === ? ? ? ?-???? ，则 1P A P B -=，于是1110 010******* 210101010 0011010011 1010022A PBP -? ? ?-?????? ? ??? ?===- ? ??? ? ??? ? ?--??????- ??? 4判断矩阵是否相似

第二章矩阵教案讲稿【哈工大版】

教学单元教案格式线性代数课程教案教学目的及要求：

线性代数课程教案教学内容及过程教学引入：前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer 法则有它的局限性：系数行列式D 0 ；方程组中变量的个数等于方程的个数。接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。矩阵这一具体概念是由19 世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。数学上，一个m×n 矩阵就是一m 行n 列的矩形阵列。矩阵由数组成。在本门课程中，它是求解线性方程组的一种重要工具。教学内容与教学设计：第二章矩阵 2.1 矩阵的概念 2.2 矩阵的运算 2.3 可逆矩阵 2.4 矩阵的初等变换和初等矩阵 2.5 矩阵的秩 2.6 分块矩阵 2.1 矩阵的概念一、定义例题1：某种物资有 3 个产地,4 个销地,调配量如表 2.1所示 16351635 那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：3120或 3 1 20 40124012 定义1：由m n 个数或代数式a ij i1,2, ,m; j1,2,,n构成的一个 m 行n 列的矩形列旁批矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。

a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n 或 a 21 a 22 2n 称为一个 m 行n 列的矩阵。其中a ij 称为矩 a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn 阵的第 i 行 j 列的元素 i 1,2, ,m; j 1,2, ,n 。矩阵的元素属于数域 F ，称其为数域 F 的矩阵。若无特别说明，本书里的矩阵均指实数域 R 上的矩阵。一般用大写的字母 A ，B ，C , 表示矩阵；有时为了突出矩阵的行列规模，也对大写字母右边添加下标，如 m n 的矩阵 A 可以表为 A m n ；还有，要同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式 a ij m n 标记。若矩阵的所有元素为零，则称其为零矩 ij m n 阵，记为 0m n ，不引起混淆时也可简记为 0 。当矩阵 A m n 的行列数相等时，即 m n 时称其为 n 阶方(矩)阵 A 或简称为方阵 A ；一阶方阵也常作为一个数对待。对于n 阶方阵 A a ij n n ，由它的元素按原有排列形式构成的行列式称为方阵 A 的行列式，记为 A 或detA 。定义 2：如果两个矩阵 A a ij m n ， B b ij s t 具有相同的行数、列数，即 m s,n t ，且对应位置上的元素相等 a ij b ij ，那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A B 。 1 a c 1 4 例题 2：设矩阵 A ,B ,且 A B ,试求a,b,c, d 2 b 3 0 3d 解：因为 A B ，故有： 1 c 1，a 4，2 b 0，3 3d 联解求得： a 4，b 2， c 0，d 1。二、几种特殊矩阵 1) m n 矩阵 A (a ij )m n ，当 m 称为 n 阶方阵，记为 A n . 特别地，一阶方阵 (a) a . n 时，即 a 11 a 12 a 21 a 22 a 1n a 2n a n1 a n2 a nn

矩阵的运算教案

9.2 矩阵的运算一、新课引入：小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：题型答题姓数名期中期末填空题选择题解答题填空题选择题解答题小王 10 3 2 8 4 4 小李 9 5 3 7 3 3 填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分； 1、观察： 2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩； 3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？二、新课讲授 1、矩阵的加法（1）引入：记期中成绩答题数为A ，期末答题数为B ，则： ???? ??=3592310A ??? ? ??=337448B 确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C ??? ? ??=+=68166718B A C （2）矩阵的和（差）：当两个矩阵A B 、的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A B 、的和（差）,记作：()A B A B +-。（3）运算律：加法运算律：A B B A +=+；加法结合律：()()A B C A B C ++=++。 2、矩阵的数乘（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵： ()9 3.531 8432A B ??+= ??? （2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘

积矩阵，记作：A α。（3）运算律：（R γλ∈、）分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(；结合律：()()()A A A γλλγγλ==。 3、例题举隅例2、已知???? ??=???? ??-=1683,5231B A ，求B A + 例3、已知? ?? ? ??=???? ??-=3-74-3,1564B A ，求B A - 例4、某公司有三家分厂一月份的水费、电费和燃料费如表所示（单位：元），现在公司限定各分厂的水费、电费、燃料费都至少要节约20％，用矩阵表示这三家分厂各项费用的限定额例5、给出二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 存在唯一解的条件 4、矩阵的乘法（1）引入：总评成绩如何计算（2）矩阵的乘积：一般，设A 是k m ?阶矩阵，B 是n k ?阶矩阵，设C 为n m ?矩阵，如果矩阵C 中第 i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C AB =。（3）运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(；CA BA A C B +=+)(；结合律：()()()B A B A AB γγγ==；()()BC A C AB =。注意：（1）交换律不成立，即：BA AB ≠；（2）只有当矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相等时，矩阵之积才有意义。 5、例题举隅例 6、已知??? ? ??=???? ??=2-01412,751-3B A ，求AB

矩阵对角化及应用论文

矩阵对角化及应用理学院数学082 缪仁东指导师：陈巧云摘要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征. 关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量. 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择. 1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵. 定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使 1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化. 矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关. 定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组 AX X λ= (1) 存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成, ()0E A X λ-= (2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 =0E A λ-, (3)

即 11 121212221 2 0n n n n nn a a a a a a a a a λλλ------=--- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程．其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵的特征多项式． 11 1212122 21 2 ()||n n A n n nn a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-= --- 111n n n n a a a λλλ--=++ ++ 显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++ +; （ⅱ）12 n A λλλ=. 若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程 =0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组： ()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数）．设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为 A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;

第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ，所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且

矩阵的初等变换教案

线性代数教案周次课题课时课型教具 8.2矩阵的初等变换与矩阵的秩（1） 2 新授教材教学目的1、理解矩阵的初等变换定义 2、理解阶梯型矩阵的定义以及如何运用矩阵的初等行变换求阶梯型矩阵教学重点矩阵的初等变换、阶梯型矩阵教学方法例证法、启发诱导法、讲授法教学过程一、复习与导入矩阵的相等、矩阵的和与差、数乘矩阵以及矩阵的乘法。数有加减乘除四则运算，矩阵有没有矩阵的除法？ 3’ 二、讲授新课例1 求下列线性方程组的解：解用消元法求解，并采用分离系数法在右边写出求解过程中所相应的矩形数表(矩阵)：对换④、⑤的位置得 39’

对换④、⑤的位置得 (－4)×⑤+④得 ⑥得最后，将代入⑤，得；再将代入①得．因此，这个方程组的解为

．通过线性方程组与矩阵对比，总结出结论一、矩阵的初等变换1 定义：①互换矩阵的某两行（列）的位置 ②用一个非零数k遍乘矩阵的某一行（列） ③将矩阵中某一行（列）遍乘一个常数k加到另一行（列）上 2 举例说明具体变化规律例2 二、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵 1 定义 8.11 矩阵为阶梯型矩阵B满足：

（1）零行（元素全为0的行）在最下方；（2）首非零元素（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增。（每一个非零行的第一个非零元素正下方的元素必须全为零）若阶梯形矩阵还满足非零行的首行非零元都是1，叫做行简化阶梯型矩阵。 2 例1回顾、总结——矩阵经过若干步初等行变换化成阶梯型矩阵 3 思考题：同一个矩阵的阶梯型矩阵是否唯一 4 例3 求矩阵的阶梯型矩阵 5 练习 p245 4 （1）三、小结 1、矩阵的初等变换 2、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵 2’四、作业：习题2.4(2).5(2)(3)(4) 1’课后反思 1、教学方法： 2、教学效果： 3、问题： 4、解决措施：

矩阵可对角化的判定条件开题报告

矩阵可对角化的判定条件开题报告开题报告矩阵可对角化的判定条件选题的背景、意义矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论

进行应用和举例,给出算法。特别给出了解题时方法的选择。矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论. 文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,

矩阵可对角化的条件.

第二节矩阵可对角化的条件定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。例1设，则有：，即。从而可对角化。定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得将按列分块得，从而有

因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，则有。令，则是一个可逆矩阵且有：因此有，即，也就是矩阵可对角化。注若，则，对按列分块得，于是有，即，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设 (1) 成立。则有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得，再由两两互不相同可得 ,将其代入(1)式得，因此有，从而线性无关。推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且。定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。

证明：设，记，，则有，且或是的属于特征值的特征向量。若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知，矛盾。因此有，,又由已知得 ,,因此向量组线性无关。定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个基础解系,且假设,则有。现将扩充为一个维线性无关向量组,其中未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而可由向量组线性表示，即：因而有：

线代教案第5章 矩阵的相似对角化