广东省珠海一中等六校2015届高三第四次联考试题数学(文科)

“珠海一中”等六校2015届高三第四次联考试题

数学(文科 )

本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. BACDD DABCC

1.设集合(){}

lg 32A x y x ==-,集合{B x y ==,则A B ?=( )

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A .31,2??????

B .(],1-∞

C .3,2??-∞ ??

? D .3,2

??+∞ ???

2.设,a b 为实数,若复数()()112i a bi i +?+=+,则( ) A .31,22a b =

= B .3,1a b == C .13

,22

a b == D .1,3a b == 3. 已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,1

2a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8=( C )

A .1+ 2

B .1- 2

C .3+2 2

D .3-2 2

4. 下列命题中的假命题...

是( ) A .0,3<∈?x R x B .“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件 C .,20x x R ?∈> D .若q p ∧为假命题,则p 、q 均为假命题

5. 已知奇函数(),0,(),0.

f x x y

g x x >?=?且1)a ≠对应的图

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象如图所示,那么()g x = ( ) A . 1()

2

x

- B . 1()2

x

- C . 2x - D . 2x -

6.给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( )

A .①和②

B .②和③

C .③和④

D .②和④

7. 已知双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线方程为12y x =,则该双曲线的离心率为( )

A .

2

5

B .3

C .5

D .2 8.若实数x ,y 满足不等式组??

?

??≥≥>-+>-+0,0072052y x y x y x ,且x 、y 为整数,则34x y + 的最小值为( )

A .14

B .16

C .17

D .19

9. 执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是(

)

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A .-1

B .

2

3

C .

3

2

D .4 10.对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ,若对任意正实数ξ,,x D ?∈使得

0|()|f x c ξ<-<恒成立,则称函数()y f x =为“敛c 函数”.现给出如下函数:

①()()f x x x Z =∈; ②()()112x

f x x Z ??

=+∈ ???;

③ ()2log f x x =; ④()1

x f x x

-=.

其中为“敛1函数”的有( )

A .①②

B .③④

C . ②③④

D .①②③ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11. 0.32

12.

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13. 41

14. 1 15. 4

11.在区间()0,1内任取两个实数,则这两个实数之和小于0.8的概率是 . 12. 在ABC ? 中,4

ABC π

∠=

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,AB ,3BC = ,则sin BAC ∠=. 13. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使得平面⊥ABD 平面CBD ,形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如右图所示,则侧视图的面积为

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(二)选做题(14、15题,考生只能从中选作一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线()

6

sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为__ __.

P

A

B

C

D

M

15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是⊙O 的直径,P 是AB 延长线上的

一点,过P 作⊙O 的切线,切点为C ,32=PC ,若?=∠30CAP ,则⊙O 的直径=AB .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16、已知函数x x x x f cos sin cos )(2+=. (1)求函数)(x f 的最大值;

(2)在ABC ?中,3==AC AB ,角A 满足1)8

2(

=+π

A f ,求ABC ?的面积. 17、某班20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下: (I) 求频率分布直方图中a 的值;

(II) 分别求出成绩落在[)6050,

与[)7060,中的学生人数; (III) 从成绩在[)7050,的学生中人选2人,求此2人的成绩都在[)7060,

中的概率.

18、如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面

ABCD 是60ABC ∠=?的菱形,M 为PC 的中点.

(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥;

(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证

明;若不存在,请说明理由;

(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.

19、已知二次函数2

()f x ax bx =++c 的图象通过原点,对称轴为n x 2-=,()f x '是()f x 的导函数,且(0)2,f n '=()n ∈*

N . (I )求)(x f 的表达式;

(II )若数列{}n a 满足)('1n n a f a =+,且14a =,求数列{}n a 的通项公式; (III )若2

12

n

n a a n n b -+?=,n n b b b S +++= 21,是否存在自然数M,使得当M n >时

n n S n -?+1250>恒成立?若存在,求出最小的M;若不存在,说明理由

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.

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(第20题)

20、如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为F (1,0).过抛物线在x

轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ,与x 轴分别交于C 、D 两点,且AC 与BD 交于点M ,直线AD 与直线BC 交于点N . (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)求证:MN ⊥x 轴;

(Ⅲ)若直线MN 与x 轴的交点恰为F (1,0),求证:直线AB 过定点.

21、设知函数)(ln 1)(R a x a x x

x f ∈+-=

(e 是自然对数的底数). (1)若函数)(x f 在定义域上不单调,求a 的取值范围;

(2)设函数)(x f 的两个极值点为1x 和2x ,记过点))(,(11x f x A ,))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ,是否存在a ,使得21

22--≤a e e

k ?若存在,求出a 的取值集合;若不存在,请说明理由.

P

M Q

六校2015届高三第四次联考试题

数学(文科 )参考答案

一、选择题: BACDD DABCC 二、填空题:11.

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0.32 12. 13. 41

14. 1 15. 4

三、解答题:

16解:(1)x x x x f cos sin cos )(2+=x x 2sin 2

1

22cos 1++=

…………2分 21)2cos 222sin 22(22++=

x x 2

1

42sin(22++=πx ……… 4分 ∵1)4

2sin(1≤+

≤-π

x ,∴)(x f 的最大值为

2

1

22+. ……… 6分 (2)∵182(

=+πA f , ∴12

1]4)82(2sin[22=+++ππA ,………7分 即 222

s i n (=

+

π

A , ∴2

2

cos =A . …………9分 ∵A 为ABC ?的内角, ∴ 2

2

sin =

A . ………………10分 ∵3==AC A

B ,∴ AB

C ?的面积4

2

9sin 21=???=A AC AB S …12分 17【答案】(I )0.005a =;….3分 (II )2,3; ……7分

(III )

3

10

…………………………..12分 解:法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以

OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O = ,OC ?平面POC ,OP ?平面POC ,

所以AD ⊥平面POC ,又PC ?平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分

法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥,

又AM DM M = ,AM ?平面AMD ,DM ?平面AMD , 所以PC ⊥平面AMD ,

又AD ?平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分

(Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,

在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.…………8分 (Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离,

由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =, PO ?平面PAD ,所以PO ⊥平面A B C D ,即PO 为三棱锥P A C D -的体高.………………9分

在Rt POC ?中

,PO OC =

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,PC = 在PAC ?中,2PA AC ==

,PC ,边PC 上的高AM

==

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, 所以PAC ?

的面积1122PAC S PC AM ?=

?==

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,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得………………11分

1133PAC ACD S h S PO ???=?,

又22ACD S ?==

所以1133

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h =

解得h =

,所以点D 到平面PAM

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分 19. (I )由已知,可得0=c ,()2f x ax b '=+, ……….. 1分

∴???

??==n a

b n

b 222 解之得12a =,n b 2= ………….3分

nx x x f 22

1

)(2+=∴ ……… 4分

(II ) n a a n n 21+=+

…………….5分

11223211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n +-+-++-+-=∴---

=442

)

1(24)1321(22+-=+-?

=+-++++n n n n n ………. 8分 (III )n n n n n a a n n 2)4(4)1()1(221=+--++-+=-+ n a a n n n b n

n 22

2

1?=?=∴-+ …………………10分

n n n S 2232221321?++?+?+?= (1)

1332242322212+?+?+?+?=n n n S (2)

(1)—(2)得:111

2

1

2222

222+++?--=?-++=-n n n n

n n n S ……12分

∴n n S n -?+12=50221>-+n ,即522

1

>+n 当5≥n 时,5221>+n …..13分

4=∴M 存在,使得当M n >时,n n S n -?+1250>恒成立 ……. 14分

20解:(1)设抛物线的方程为22(0)y px p =>,由题意的12

p

=,2p = 所以抛物线的方程为:24y x =

(2)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,且120,0y y >>, 由24(0)y x y =>

得,y =

所以'

y =

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所以切线AC

的方程为:'1)y y x x -=

-,即'112()y y x x y -=-

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整理得:112()yy x x =+,---------(1) 且C 点的坐标为1(,0)x -,

同理得切线BD 的方程为:222()yy x x =+,-----------(2) 且C 点的坐标为2(,0)x -,

由(1)(2)消去y ,得02(1)yy x =+。 又直线AD 的方程为:2

112

()y y x x x x =

++ ----------(3)

直线BC 的方程为:2

112

()y y x x x x =

++ -------------------(4)

由(3)(4)消去y,得1221

12

N x y x y x y y -=

-,所以M N x x =,即MN x ⊥轴。

(3)由题意,设0(1,)M y ,代入第(2)问中的(1)(2)式,得:

0112(1)y y x =+,0222(1)y y x =+

所以1122(,),(,)A x y B x y 都满足方程02(1)yy x =+

所以直线AB 的方程为02(1)yy x =+,故直线AB 过定点(-1,0).

21解(1))(x f 的定义域为),0(+∞,并求导2

22/

111)(x ax x x a x x f +--=+--=,

令1)(2+-=ax x x g ,其判别式42-=a ?,由已知必有0>?,即2-a ; ①当2-

<=

a

x 且01)0(>=g ,则当),0(+∞∈x 时,0)(>x g , 即0)(/a 时,)(x g 的对称轴12

>=

a

x 且01)0(>=g ,则方程0)(=x g 有两个不等1x 和2x ,且),1(),1,0(21+∞∈∈x x ,121=?x x ,

当),0(1x x ∈,),(2+∞∈x x 时,0)(/x f , 即)(x f 在),0(1x ,),(2+∞x 上单调递减;在),(21x x 上单调递增; 综上可知,a 的取值范围为),2(+∞;

………………………6分

(2)假设存在满足条件的a ,由(1)知2>a . 因为)ln (ln )()()(21122

11

221x x a x x x x x x x f x f -+-+-=

-, 所以2

12

1212121ln ln 11)()(x x x x a

x x x x x f x f k --+--=--=

, 若2122--≤

a e e k ,则1

2ln ln 22121-≤--e e x x x x ,由(1)知,不妨设),1(),1,0(21+∞∈∈x x 且有121=?x x ,则得)ln (ln 21

21221x x e

e x x --≤-, 即),1(,0ln 21122222+∞∈≤-+-x x e

e x x (*) 设)1(ln 1

1)(2>-+

-=x x e

e x x x F , 并记]4)21(21[21222/1

----=e e e e x ,]4)21(21[21222/

2--+-=e

e e e x ,

则由(1)②知,)(x F 在),1(/2x 上单调递增,在),(/2+∞x 上单调递减,且e x x <<<

2/110, 又0)()1(==e F F ,所以当),1(e x ∈时,0)(>x F ;当),(+∞∈e x 时,0)(

22=+-=ax x x g ,知e

e x x a 1

122+≥+

=(x x y 1+= 在)[∞+e 上

单调递增),又2>a ,

因此a 的取值集合是}1

|{e

e a a +≥. ………………………14分

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