第九编 解析几何
第九模块 解析几何 §
9.1直线的倾斜
角与斜率 1.
设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则α的范围为 . 答案 0°＜α＜135° 2.（20082全国Ⅰ文）曲线y =x 3
-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45° 3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 . 答案 1 4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是 . 答案 （-∞,-1）∪［0，+∞） 5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -3
2
例1 若α∈??????2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是 . 答案 ???
???ππ,65 例2 （14分）已知
直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2
-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值. 解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;
2
分 当
a ≠1且
a ≠0
时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =
x a -11-(a +1), l 1∥l 2???
???+-≠--=
-)
1(3112a a a
，解得a =-1,
5分 综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.
6分 方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-132=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2
-1)-136≠0,
2分 ∴l 1∥l 2???
???≠?--=?--061)1(0
21)1(2a a a a
4分 ???
???≠-=--6)1(0
222a a a a ?a =-1,
5分 故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.
6分 （2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分 当a ≠1时，l 1:y =-2a x -3, l 2:y =
x a
-11
-(a +1),
12分 由???
??-2a 2a
-11=-1?a =32.
14分 方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0， 得a +2(a -1)=0?a =
3
2
.
14分 例3 已知实
数x ,y 满足y =x 2
-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：
23++x y 的最大值与最小值. 解 由2
3
++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k , 如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴3
4
≤k ≤8， 故
23++x y 的最大值为8，最小值为3
4
. 1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是 . 答案 ???
?????????πππ,656,0 2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，
l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交； 当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m
+52
，
基础自测
b 1=4
35m -，
它们在y 轴上的截距分别为b 2=m
+58
. （1）由k 1≠k 2,得-
4
3m
+≠-m
+52
， m ≠-7且m ≠-1. ∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交. （2）由??
?≠=,
,2121b b k k ,得
??????
?+≠-+-=+-m m m
m
584355243，m =-7. ∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +2??
? ??+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2
=3，那么x y 的最大值为 . 答案 3 一、填空题 1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 . 答案
???
?????????πππ,434,0 2.
（20092姜堰中学高三综合练习）设直线l 1:x -2y +2=0的倾斜角为1α,直线l 2:mx -y +4=0的倾斜角为2α,且2α=1α+90°,则m 的值为 . 答案 -2 3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2
）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜
角的取值范围是 . 答案 ???
????????πππ,24,0 4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，
则l 3的斜率为 . 答案 -2 5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是 . 答案 -3
1
6.（20082浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3
）共线，则a = . 答案 1+2 7.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线
段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞） 8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案
3
1
二、解答题 9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点. k AP =
1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤2
1
且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=1212+-(x +1),即y =31x +3
4
,
代入x+my +m =0, 整理，得x =-
37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤2
1
. 10.已知直线
l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得： （1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解 （1）由已知133≠m (m -2), 即m 2
-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3. 故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当12（m -2）+m 23=0，即m =
21时，l 1⊥l 2. (3)当21-m =3m ≠m
26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m 26
， 即m =3时，l 1与l 2重合. 11.
已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）. 解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0， ∴k AB 2k BC =0≠-1， 即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴
x
y 3
-=0，即y =3. 此时AB 与CD 不平行. 故所求点D 的坐标为（3，3）. ②若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y . 由于AD ⊥AB ，∴x y 3-23=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y =3. 解上述两式可得???????
==,59,5
18y x 此时
AD
与BC 不平行. 故所求点D 的
坐
标
为
??
?
??59,518, 综上可知，使ABCD 为直角梯形
或??
? ??59,518. 的点D 的坐标可以为（3，3）
12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程； （2）已知实数m ∈???
?????---13,133
，求直线AB 的倾斜角
α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=
1
1
+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=
2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]
3,00,33 ???
?
????-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪????????+∞,33， ∴α∈
??? ????????32,22,6ππππ . 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈??
?
???32,6ππ. §9.2 直
线的方程、直线的交点坐标与距离公式 1.下列四个命题中真命题的序号是 .
①经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示 ②经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程
1=+b
y
a x 表示 ④经过定点A （0，
b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 答案 ② 2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为 . 答案 x +y -5=0 3.（20082全国Ⅱ文）原点到直线x +2y -5=0的距离为 . 答案 5 4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为 . 答案 2x +y =0 5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0 例1 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =
3
2x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+b y
a x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+a a ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,
综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k 2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =3
2
, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=
3
2
(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0. （2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=
α
α2tan 1tan 2-=-
43. 又直线经过点A （-1，-3）， 因此所求直线方程为y +3=-4
3(x +1), 即3x +4y +15=0. 例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |2|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为
1=+b y a x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得11
2=+b
a . （1）∵2b
a 1
2?≤b a 12+=1，∴ab ≥8. ∴S △AOB =2
1ab ≥4. 当且仅当a 2=b 1=21
,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,
即x +2y -4=0. （2）由
a 2+b
1
=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |2|PB | =22)01()2(-+-a 222)1()02(b -+- =]4)1[(]1)2[(22+-+-b a ≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2, 即a =3,b =3时，|PA |2|PB |取最小值4. 此时
基础自测
2
2
直线l 的方程为x +y -3=0. 方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴
正半轴分别交于
A ??? ??
-0,12k 、B （0，1-2k ）. （1）S △
AOB
=
21??
?
??-k 12（1-2k ）
=
213?????
?
-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即
x +2y -4=0. （2）|PA |2|PB |=22441
)1
(k k
++ =
84422
++k k
≥4, 当且仅当
2
4k
=4k 2
,即k =-1时取得最小值，此时直
线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0. 例3 （14分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在， 则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9）， 截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.
4分 若直线l 的斜率存在时， 则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立， 由
??
?=+++-=0
11)3(y x x k y , 解得A ???
??+-+-141,123k k k k .
8分
由???=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ???
??+-+-191173k k ，k k , 由两点间的距离公式，
得 2
173123??? ??+--+-k k k k +2
191141??? ??+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1.
12分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.
14分 方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于
A (x 1,y 1),
B (x 2,y 2), 则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5
①
6分 又(x 1-x 2)2
+(y 1-y 2)2
=25
② 联立①②可得???=-=-0
5
2121y y x x 或
?
?
?=-=-50
2121y y x x ,
12分 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.
14分 例4 求直线l 1:y =2x +3
关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程. 解 方法一 由???+=+=132x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线
l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0. 在直线l 上任取一点（1，2）， 由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得
2
21122k k k +-+-=
2
2)1(2322-++-， 解得k =
2
1
(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0. 方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）, 则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，
且线段PP 1的中点 P 2???? ??++2,200y y x x 在直线l 上. ∴???????++=+-=?--1
2211000
0x x y y x x y
y ，变形得???+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=23(y -1)+3, 整理得x -2y =0. 所以所求直线方程为x -2y =0. 1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =
4
3
x ,求直线l 1,l 3的方程. 解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-5
2
x , 即2x +5y =0. ②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为
a y a x +2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-2
1
， 此时，直线方程为x +2y +1=0.
综上所述，所求直线方程2
为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=
4
3
. 于是
tan
2α=α
αsin cos 1-=31554
1=-
, tan2α=724)4
3(1432tan 1tan 222=-?
=-αα, 所以所求直线l 1的方程为
y -6=
3
1(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724
(x -8), 即
24x -7y -150=0. 2.直线l 经过点
P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+b y a x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴??
?
??=+=.123,
24b a ab 解得???==.
4,6b a ∴所求的直线方程为46y x +=1, 即2x +3y -12=0. 方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-
k
2
, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴??? ?
?
-k 23(2-3k )=24.解得k =-32. ∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y -12=0. 3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,
直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是
510
7
. (1)求a 的值； (2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的
2
1
;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -
21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)
1(2)
2
1
(22=-+--a , ∴5
2
1+
a =
1057,∴21+a =2
7
, ∵a ＞0,∴a =3. (2)假设存在这样的P 点. 设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上， 且
5
3-C =
52
1
2
1+C ，即C =
213或C =611， ∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+6
11=0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式
5
3
200+-y x =
5
23
2
1
00-+y x ， 即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0； 由
于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程?????
=+-=+-042021320000y x y x ， 解得??
???=-=,21,300y x (舍去). 由????
?=+-=+-,042,
061120000y x y x 解得???
????
==1837
9100y x ∴假设成立，P ??? ??1837,91即为同时满足三个条件的点. 4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后
反射，求反射光线所在的直线方程. 解 方法一 由???=+-=+-.0723,052y x y x 得???=-=.2,1y x ∴反射点M 的坐标为（-1,2）. 又取直线
x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0)，由PP ′⊥l 可知,k PP ′=-
32
=5
00+x y . 而PP ′的中点Q 的坐标为???? ??-2,2500y x , Q 点在l 上，∴32250-x -2220y +7=0. 由???????=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得???????
-=-=.
1332,13
1700y x
根据直线的两点式
方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0. 方法二 设直
线x -2y +5=0上任意一点P
（x 0,y 0）关于直线l 的3
2
00-=--x
x y y , 又
对称点为P ′(x ,y ), 则PP ′的中点Q ???
?
??++2
,20
0y y x x 在l 上， ∴3320x x +-2320y y ++7=0, 由???
???
?=++-+?-=--07)(2332
00
0y y x x x x y y 可得P 点的坐标为 x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ， 代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0, 即为所求反射光线所在的直线方程. 一、填空题 1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *
，b ∈N *
，则可作出的l 的条数为 . 答案 2 2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是 . 答案 x +3y -15=0 3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是 . 答案 -3
2
4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是 . 答案 x +2y -3=0
5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 . 答案 2x +y -6=0
6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是
4
1
(0°≤θ≤180°)，那么θ= . 答案 30°或150° 7.设l 1的倾斜角为α，α∈??
?
?
?2,
0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针
方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转
2
π
-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 . 答案 2x -y +8=0 8.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 二、解答题 9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为6
1. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k 4
-3，3k +4， 由已
知，得（3k +4）（
k 4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-3
8
. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0. （2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =
6
1
x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b 2b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0. 10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度. 解 （1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵
k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=12（x -1） 即x -y =0. 由???=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为
??? ??--21,21. 又∵M 为QQ ′的中点， 由此得???????-=+-=+212
12
1
21''y x . 解之得?????-=-=.2,2''y x ∴Q ′（-2，-2）. 设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射线方程为
2
22
232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |=|NQ ′|. ∴|PN |+|NQ |=|PN |+|NQ ′|=|PQ ′| =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41. 11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程. 解
设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0. 由???=++=+-01022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0）， 由点P
到两
2
2
2
2
3
113
151++-=
+--c , 得
直线l ,l 1的距离相等， 则
c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为
2
2
1
33++-a =
2
2
3
151+--，得a =9或a =-3,
3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴
∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0. 12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程. 解 方法
一 设点A （x ，y ）在l 1上， 由题意知???????=+=+0232B B y y x x ，∴点B （6-x ，-y ）， 解方程组???=+-+-=--03)()6(022y x y x ， 得???????
==3163
11y x ，
∴k =833
110316
=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0. 方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3), 则??
?=---=022)3(y x x k y ,解得???????-=--=24223k k y k k x A A , 由???=++-=03)3(y x x k y ,解得???????+-=+-=161
33k k y k k x B B . ∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2
-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32
312≠-=+B A
x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.
§9.3 圆的方程 1.方程x 2
+y 2
+ax +2ay +2a 2
+a -1=0表
示圆，则a 的取值范围是 . 答案 -2＜a ＜
3
2 2.圆x 2+y 2
+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是 . 答案 ??? ??
∞-41, 3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 .
答案 （x -1）2
+(y -1)2
=4 4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为 . 答案 (x -2)2
+(y +1)2
=9 5.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆（x +a ）2
+(y +b )2
=r 2
(r ＞0)的圆心位于第 象限. 答案 二 例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 . 答案 x 2
+y 2
-4x =0 例2 （14分）已知圆x 2
+y 2
+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径. 解 方法一 将x =3-2y , 代入方程x 2
+y 2
+x -6y +m =0, 得5y 2
-20y +12+m =0.
4分 设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=5
12m
+. 6分 ∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.
8分 而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴
x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2. ∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为??
?
??-3,21，半径r =25.
14分 方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k 1=2. ∴O 1M 的方程为:y -3=2??
? ??
+21x , 即：y =2x +4.
由方程组???=-++=03242y x x y . 解得M 的坐标为（-1，2）. 则以PQ 为直径的圆可设为（x +1）2+（y -2）2=r 2
.
6分 ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上. ∴（0+1）2
+（0-2）2
=r 2
，即
基础自测
O
1Q 2
=O 1M 2
+MQ 2
. ∴2
1
21??
?
??+-+
r 2
=5,MQ 2
=r 2
. 在Rt △O 1MQ 中，
（3-2）2
+5=4
4)6(12m
--+.
∴m =3.∴半径为
2
5
,圆心为??
? ??-3,21.
14分 方法三 设过P 、Q 的圆系方程为
x 2
+y 2
+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0. 由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m -3λ=0，即m =3λ.
3分 ∴圆的方程可化为 x 2+y 2
+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0 即x 2
+(1+λ)x +y 2
+2(λ-3)y =0.
6分 ∴圆心
M ??? ??-+-2)3(2,21λλ，
7分 又圆在PQ 上.
∴-
2
1λ
++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3. 12分 ∴
圆心为??
?
??-3,21，半径为25.
14分 例3 已
知实数x 、y 满足方程x 2
+y 2
-4x +1=0. （1）求y -x 的最大值和最小值； （2）求x 2
+y 2
的最大值和最小值. 解 （1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时
32
02=+-b
，解得
b =-2±6. 所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6. （2）x 2+y 2
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知
识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2， 所以x 2
+y
2
的最大值是（2+3）2=7+43， x 2+y 2的最小值是（2-3）2
=7-43. 1.（20082 山东文，11）若圆C 的半径为1，
圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 . 答案 (x -2)2+(y -1)2
=1 2.已知圆C ：（x -1）2
+(y -2)2
=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0, 即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0与2x +y -7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1）， 又有（3-1）2
+（1-2）2
=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交. （2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=222CM r -
=2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CM
k 1,从而k l =-
3
1121
--=2. ∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5. 3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2
=1上任意一点. （1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x -2y 的最大值和最小值； （3）求
12
--x y 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为 d =224
31204)2(3++?+-?=56.
∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为 d +r =
56+1=511，最小值为d -r =56-1=5
1
. （2）设t =x -2y , 则直线x -2y -t =0与圆（x +2）2+y 2
=1有公共点. ∴
2
2212+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2， ∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k =
1
2
--x y ， 则直线kx -y -k +2=0与圆（x +2）2+y 2
=1有公共点， ∴
1
232++-k k ≤1.∴
433-≤k ≤433+, ∴k max =433+，k min =4
3
3-.
一、填空题 1.圆x 2+y 2
-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为 . 答案 2 2.两条
直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2
+(y -1)2
=4的内部，则实数a 的取值范围是 . 答案 -
51＜a ＜1 3.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2
-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是 . 答案 3+2 4.圆心在抛物线y 2
=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆
的方程是 . 答案 x 2+y 2
-x ±2y +4
1
=0 5.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2
+y 2
+2x -4y +1=0的周长，则
b a 11+的最小值是 . 答案 4 6.从原点O 向圆：x 2+y 2
-6x +4
27=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 . 答案 π 7.（20082四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0
与圆C ：（x -1）2+（y -1）2
=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 2 8.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴
间的线段为直径的圆的方程为 . 答案 （x +2)2
+2
23??? ?
?
-y =425 二、解答题 9.根据下列条件求圆的方程： （1）
经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上； （2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：
22y x +=22)1()1(-+-y x ，
即x +y -1=0. 解方程组???=++=-+01320
1y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）. 又圆的半径r =|OC |=5, 所以所求圆的方程为（x -4）2
+(y +3)2
=25. （2）设圆的方程为x 2
+y 2
+Dx +Ey +F =0
①
将
P
、
Q
点
的
坐
标
分
别
代
入
①
得
：
??
?=---=+-10
320
24F E D F E D 令x =0，由①得y 2
+Ey +F =0
④ 由已知|y 1-y 2|=43，其中y 1、y 2是方程④的两根， 所以（y 1-y 2）2
=(y 1+y 2)2
-4y 1y 2=E 2
-4F =48
⑤ 解②、③、
⑤组成的方程组得 D =-2，E =0，F =-12或D =-10，E =-8，F =4， 故所求圆的方程为 x 2
+y 2
-2x -12=0或x 2
+y 2
-10x -8y +4=0. 10.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2
+y 2
-2x -2y +1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值. 解 将圆方程化为(x -1)2
+(y -1)2
=1,其圆心为C （1，1），半径r =1,如图，由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =23
2
1
3|PA |3r =1||2-PC . ∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC |最小. 当点P 恰为圆心C 在直线3x +4y +8=0上的正射影时,|PC |最小,由点到直线的距离公式,得 |PC |min =
5
8
43++=3, 故四边形PACB 面积的最小值为22. 11.已知圆x 2
+y 2
=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). ∵P 点在圆x 2
+y 2
=4上,∴(2x -2)2
+(2y )2
=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2
+y 2
=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中, |PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连结ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2
=|ON |2
+|PN |2
=|ON |2
+|BN |2
, 所以x 2
+y 2
+(x -1)2
+(y -1)2
=4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2
+y 2
-x -y -1=0. 12.已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程; (2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2
+y 2
=r 2
相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 解 (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a )2
+(y -b )2
=25, 其中圆心(a ,b )满足a -b +10=0. 又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a )2+(0-b )2=25. 解方程组?????=-+--=+-25
)0()5(0102
2b a b a , 可得???=-=010b a 或???=-=55b a , 故所求圆C 的方程为 (x +10)2+y 2=25或(x +5)2+(y -5)2
=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d =
1
110+=52. 当r 满足r +5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r
2
相外切的圆； 当r 满足r +5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2
相外切； 当r 满足r +5=d ,即r =52-5
时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2
相外切. §9.4 直线、圆的位置关系
② ③
1.若直线ax +by =1
与圆x 2+y 2
=1相交，则P （a ，b ）与圆的位置关系为 . 答案 在圆外 2.若直线4x -3y -2=0
与圆
x 2
+y 2
-2ax +4y +a 2
-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 . 答案 -6＜a ＜4 3.两圆x 2
+y 2
-6x +16y -48=0与x 2
+y 2
+4x -8y -44=0的公切线条数为 . 答案 2 4.
若直线y =k (x -2)+4
与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 答案 ???
??43,125 5.(20082重庆理，15)直线l 与圆
x 2
+y 2
+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y
+1=0
例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2
-2m -24=0（m ∈R ）. （1）
求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； （3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x -3m ）2
+［y -(m -1)］2
=25， 设圆心为（x ，y ），
则???-==13m y m
x ，消去m 得 l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0， 则
圆心到直线l 1的距离为d =
10
)1(33b
m m +--=
10
3b +. ∵圆的半径为r =5， ∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线
与圆相交； 当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切； 当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离. （3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =
10
3b +， 弦长=222d r -且r
和d 均为常量. ∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2
+y 2
-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程. 解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =
33+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k 反=3
3
+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =
33+b (x -b ), 即3x -(b +3)y -3b =0. ∵已知圆x 2+y 2
-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2）， 半径为1, ∴2
)
3(932)3(6++-?+-b b b =1,解得b 1=-
43,b 2=1. ∴k AB =-34或k AB =-4
3. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0. 方法二 已知圆C ：x 2+y 2
-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2
+(y +2)2
=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切. 设l 的方程为y -3=k (x +3),则
2
2155k k ++=1, 即12k 2
+25k +12=0. ∴k 1=-
34，k 2=-4
3
. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0. 方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与
已知圆相切. ∴????
???=+-+=--1
122332k b k k b
k k ,消去b 得
11552=++k k . 即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0. 例3 已知圆C 1：x 2
+y 2
-2mx +4y +m 2
-5=0,圆C 2：x 2
+y 2
+2x -2my +m 2
-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含？ 解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2
+(y +2)2
=9;C 2:(x +1)2
+(y -m )2
=4. （1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2. (m +1)2
+(m +2)2
=25. m 2
+3m -10=0,解得m =-5或m =2. （2）如果C 1与C 2内含，则有
22)2()1(+++m m ＜3-2.
(m +1)2+(m +2)2＜1,m 2
+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1, ∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切； 当-2＜基础自测
m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含. 例4 （14分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2
+4x -12y +24=0. （1）
若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程. 解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是
AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23， 圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2
=16，
圆心
C （-2，6），半径r =4，故AC =4， 在Rt △AC
D 中，可得CD =2. 2分
设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx , 即kx -y +5=0. 由点C 到直线AB 的距离公式：
2
2
)1(562-++--k k =2，得k =
4
3
. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0.
4分 又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.
6分 则y 2
-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23, ∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意. ∴所求直线的方程为
3x -4y +20=0或x =0. 8分 方法二 设所求直线的斜
率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5, 联立直线与圆的方程?????=+-+++=0
2412452
2y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2
）x 2
+(4-2k )x -11=0
① 2分 设方程①的两根为
x 1,x 2, 由根与系数的关系得???
???
?
+-=+-=+221221111142k x x k k x x ② 4分
由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =4
3
， 此时直线的方程为3x -4y +20=0.
6分 又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.
8分 （2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）, 则CD ⊥PD ，即CD 2=0，
10分 （x +2,y -6）2(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2
+y 2
+2x -11y +30=0.
14
分
1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2
=5. （1）无公共点； （2）
截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直. 解 （1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0
的距离 d =
2
2
)
1(2-+m =
5
m ， ∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即
5
m ＞5, ∴m ＞5或m ＜-5. 故当m ＞5或m ＜-5时，直
线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r 2
-d 2
=12
，即5-5
2
m =1. 得m =±25, ∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为 2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d =
22r ，即225
=m 25, 解得m =±225. 故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2.从圆C ：x 2
+y 2
-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标
.
解 已知圆C 的方程为(x -2)2
+(y -3)2
=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结
PC ，CT .由平面几何知， |PT |2
=|PC |2
-|CT |2
=（a -2）2
+（b -3）2
-1. 由已知，|PT |=|PO |，∴
|PT |2
=|PO |2
， 即（a -2）2
+（b -3）2
-1=a 2
+b 2
. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT |2
=a 2
+b 2
=
9
1
（13a 2-24a +36）. 当a =
1312时， |PT |min =3
1
3613
12
24)1312(
132+?-?=
13136. |PT |的最小值为
13136，此时点P 的坐标是??
? ??1318,1312. 3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2
+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ， 因为圆C ：x 2+y 2
+2x -6y +5=0的圆心
为C （-1，3）， 则?????=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113
212, 解得m =3,n =1,r =5, 所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2
=5.
方法二 因为圆C ：x 2
+y 2
+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x -y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2
+y 2
+2x -6y +5+λ(2x -y )=0, 因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程， 解得λ=-4, 所以所求圆的方程为x 2
+y 2
-6x -2y +5=0. 4.圆x 2
+y 2
=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=4
3π
时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程. 解 （1）当α=4
3π
时，k AB =-1， 直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =
2
1
00-+=
22， 从而弦长|AB |=22
1
8-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4. 由?????=+=+,
8,
8222
22121y x y x 两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y . ∴直线l 的方程为y -2=
2
1
（x +1），即x -2y +5=0. 一、填空题 1.
（20082辽宁理）若圆x 2+y 2
=1与直线y =kx +2没有公共点，则k 的取值范围为 . 答案 (-3,3) 2.（20082重
庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是 . 答案 相交 3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2
=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a = . 答案 2-1 4.（20082全国Ⅰ文）若直线
1=+b y a x 与圆x 2+y 2
=1有公共点，则2211b a +与1的大小关系是 . 答案 2
211b a +≥1 5.能够使得圆x 2+y 2
-2x +4y +1=0上恰有两个点到直线2x +y +c =0距离等于1的c 的取值范围为 . 答案 （-35，-5）∪
（5，35） 6.（20082湖北理）过点A （11，2）作圆x 2+y 2
+2x -4y -164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条. 答
案 32 7.设直线ax -y +3=0与圆（x -1）2+(y -2)2
=4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a = . 答案 0 8.
（20082湖南文，14）将圆x 2+y 2
=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是 ；若过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是 . 答案 （x -1）2
+y 2
=1
33或-3
3 二、解答题 9.已知圆C ：x 2+y 2
+2x -4y +3=0.
若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点. 当切线不过原点时，设切线方程为y =-x +b 或y =x +c ,分别代入圆C 的方程得2x 2
-2（b -3）x +（b 2
-4b +3）=0. 或2x 2
+2(c -1)x +(c 2
-4c +3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0， 即［2(b -3)］2
-432
3
（b 2
-4b +3)=-b 2
+2b +3=0, ∴
b =3或-1,Δ2=0, 即［2(
c -1)］
2
-4
3
23(c 2
-4c +3)=-c 2
+6c -5=0.
∴
c =5或1,
当切线过原点时，设切线为y =kx ,即kx -y =0. 由
2
12k
k +--=2，得k =2±6,∴y =(2±6)x .
故所求切
线方程为：x +y -3=0，x +y +1=0，x -y +5=0，x -y +1=0,y =(2±6)x . 10.已知曲线C ：x 2+y 2
-4ax +2ay -20+20a =0. （1）证明：
不论a 取何实数，曲线C 必过定点； （2）当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上； （3）若曲线C 与x 轴相切，求a 的值. （1）证明 曲线C 的方程可变形为 (x 2
+y 2
-20)+(-4x +2y +20)a =0， 由??
???=++-=-+020240
2022y x y x ,解得???-==24y x ，
点（4，-2）满足C 的方程，故曲线C 过定点（4，-2）. （2）证明 原方程配方得(x -2a )2+(y +a )2=5(a -2)2, ∵a ≠2时，5(a -2)
2
＞0, ∴C 的方程表示圆心是（2a ,-a ),半径是5|a -2|的圆. 设圆心坐标为（x ,y ），则有???-==a y a x 2, 消去a 得y =-21
x ,故圆
心必在直线y =-21x 上. （3）解 由题意得5|a -2|=|a |,解得a =2
55±. 11.已知圆C ：x 2+y 2
-2x +4y -4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y =x +m ,圆C 化为（x -1）2
+(y +2)2
=9,圆心C （1，-2），则AB 中点N 是两直线x -y +m =0与y +2=-(x -1)的交点即N ???
?
?-+-21,21m m ,以AB 为直径的圆经过原点，
∴|AN |=|ON |，又CN ⊥AB ，|CN |=221m ++， ∴|AN |=2)3(92m +-. 又|ON |=2
2)2
1()21(-++-m m ， 由|AN |=|ON |，解得m =-4或m =1. ∴存在直线l ，其方程为y =x -4
或y =x +1. 12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2
+2x -6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足2=0. （1）求m 的值； （2）求直线PQ 的方程. 解 （1）曲线方程为（x +1）2
+(y -3)2
=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m =-1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y =-x +b . 将直线y =-x +b 代入圆的方程， 得2x 2
+2(4-b )x +b 2
-6b +1=0. Δ=4(4-b )2
-4323(b 2
-6b +1)＞0, 得2-3
2＜b ＜2+3
2. 由根与系数的关系得 x 1+x 2=-(4-b ),x 12x 2=2
1
62+-b b .
y 12y 2=b 2
-b (x 1+x 2)+x 12x 2=2162+-b b +4b . ∵2=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2
-6b +1+4b =0, 解得b =1∈(2-32,2+32),
∴所求的直线方程为y =-x +1.
§9.5 曲线与方程 1.已知坐标满足方程F （x ，y ）=0的点都在曲线C
上，那么下列说法错误的是 （只填序号）. ①曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0 ②凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在C 上 ③不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0 ④不在C 上的点的坐标必不适合F （x ，y ）=0 答案 ①②③ 2.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是 . 答案 线段AB 3.动点P 到两坐标轴的距离之和等于2，则点P 的轨迹所围成的图形面积是 . 答案 8 4.（20082北京理）若点P 到直线x =-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为 (写出曲线形状即可). 答案 抛物线 5.已知直线l 的方程是f （x ，y ）=0，点M （x 0，y 0）不在l 上，则方程f （x ，y ）-f （x 0，y 0）=0表示的曲线与l 的位置关系是 .
答案 平行
例1 如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直
线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ， 求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解 设点M 的坐标为（x ,y ）, ∵M 是线段AB 的中点， ∴A 点的坐标为（2x ,0），B 点的坐标为（0，2y ）. ∴PA =（2x -2，-4），PB =（-2，2y -4）. 由已知PA 2PB =0，基础自测
∴-2（2x -2）-4（2y -4）=0， 即x +2y -5=0. ∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x +2y -5=0. 例2 （5分）在△ABC 中，A 为动
点，B 、C 为定点，B （-
2a ,0），C （2a ，0）且满足条件sin C -sin B =2
1sin A ,则动点A 的轨迹
方程是 . 答案
2
2
16a x -
2
2
316a
y =1（y ≠0)的右支 例3 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2
+y 2
=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解 设AB 的中点为R ，坐标为（x 1，y 1），Q 点坐标为（x ，y ）， 则在
Rt △ABP
中，|AR |=|PR |， 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理有 Rt △OAR 中，|AR |2
=|AO |2
-|OR |2
=36-（x 21+y 21）. 又
|AR |=|PR |=
()21214y x +-，
所以有（x 1
-4）2
+y 21=36-（x 21+y 21）. 即x 21+y 2
1-4x 1
-10=0. 因为R 为PQ 的中点，所以x 1
=2
4+x ，y 1=20+y . 代入方程x 21+y 2
1-4x 1-10=0，得 2
2224??
? ??+??? ??+y x -42
24+x -10=0. 整理得x 2+y 2=56. 这就是Q 点的轨迹方程.
1.已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，
满足||2||+2=0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程. 解 由题意：=（4，0），=（x +2,y ）,=（x -2,y ）, ∵|MN |2|MP |+MN 2NP =0， ∴2204+2()222y x +++（x -2）24+y 20=0， 两边平方，化简得y 2
=-8x .
2.已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：（x -3）2+y 2
=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得 |MC 1|-|AC 1|=|MA |， |MC 2|-|BC 2|=|MB |. 因为|MA |=|MB |， 所以|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离之差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小），这里a =1,c =3,则b 2
=8,设点M 的坐标为（x ,y ）,其轨
迹方程为x 2
-8
2y =1 (x ≤-1). 3.设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN =2MP ，PM ⊥PF ，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M （x 0，0），P （0，y 0），N （x ，y ）， 由MN =2MP 得（x -x 0，y ）=2（-x 0，y 0）， ∴?
??=-=-00
022y y x x x ，
即??
???=-=y
y x
x 2100. ∵⊥,=(x 0,-y 0), =(1,-y 0), ∴(x 0,-y 0)2
（1，-y 0）=0,∴x 0+y 2
0=0. ∴-x +42y =0,即y 2=4x . 故所求的点N 的轨迹方程是y 2
=4x .
一、填空题 1.在平面直角坐
标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P （2，4），则该抛物线的方程是 . 答案 y 2
=8x 2.已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA |=2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 . 答案 4π 3.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC =2CB ，则点C 的轨迹是 （写出形状即可）. 答案 椭圆 4.平面直角坐标系中，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC =1λOA +2λOB （O 为原点），其中1λ，2λ∈R ，且1λ+2λ=1，则点C 的轨迹是 （写出形状即可）. 答案 直线 5.F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹为 （写出形状即可）. 答案 圆 6.一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨迹为 （写出形状即可）. 答案 椭圆 7.已知△ABC 的顶点B （0，0），C （5，0），AB 边上的中线长|CD |=3，则顶点A 的轨迹方程为 . 答案 (x -10)2
+y 2
=36(y ≠0) 8.平面上
有三点A （-2，y ），B （0，
2
y
），C （x ，y ），若⊥，则动点C 的轨迹方程为 . 答案 y 2
=8x 二、解答题 9.如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B .设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程. 解 方法一 （参数法）：设M 的坐标为（x ,y ）. 若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）. 若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB 的斜率为-k
1
，故直线CA 方程为：y =k (x -2)+2,
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ． 13 B ． 5 C ． 23 D ． 59 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ． 6 3 B ． 33 C ． 23 D ． 13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合， e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
解析几何第四版习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
高等代数与解析几何之间的联系
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
解析几何第4章.
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即 02 3 5622=- ---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22 2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{ }2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为： ??? ??+==-=? ?? ? ??-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220 0000
而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为 ())3 4,31,3 1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为 )15 13 ,1511,152(0-- M ，圆的方程为： ????? =++= -++++0 7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为 {})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量 {}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： v u Y +=( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ． 13 B ． 5 C ． 23 D ． 59 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ． 13 3.【2016高考理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合， e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40]班级_.
第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40] 班级 §1空间直角坐标系§2向量及其加减法，向量与数的乗法姓名________ 一、概念题 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限。 (】，-2, 3) ________ (2，- 3，- 4) _________ (- 1，- 3，- 5) _________ (-1, 5,- 3)____________ (2, 3,- 4)____________ (- 2,- 3, ]) _______________ (-5 , 3 , 1) _________ (3 , 4 , 6) _______________ 2、指出下列各点的位置。 A(3,4,0) ___________ B(0,4,3) ________ C(3,0,0) ___________ D(0,—1,0) ________ 3、指出当点的坐标适合下列条件之一时，该点所在的卦限。 点)在__________________ 上的对称点是1 5、点A (—4,3,5 )在％0『平面上的投影点为_________________________ 在ZOX平面上的投影点为 _______________ 在0X轴上的投影点为 _________________ 在oy轴上的投影点为__________________ 6、点P (—3,2,— 1)关于yoz平面的对称点为_______________________ 关于ZOX 平面的对称点为 ______________ 关于oy轴的对称点为_______________ 关于ox轴的对称点为_______________ 7、在y轴上与点A (1,—3,7 )和点B (5,7,—5 )等距离的点 为_______________ 8、u a b 2 c, v a 3b c，用a, b, c 表示2u 3v = __________________ 二、计算题：
第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
解析几何试题及答案
解析几何 1.（21）（本小题满分13分） 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经 过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足 ,求点的轨迹方程。 （21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量 的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵 活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养. 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直 线上，故可设 ① 再设 解得②，将①式代入②式，消去，得 ③，又点B在抛物线上，所以， 再将③式代入，得 故所求点P的轨迹方程为 2.（17）（本小题满分13分） 设直线 （I）证明与相交； （II）证明与的交点在椭圆 （17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. （II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而 此即表明交点 （方法二）交点P的坐标满足， ，整理后，得 所以交点P在椭圆 .已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。 （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为m的函数，并求的最大值。 （19）解：（Ⅰ）由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为 （Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程， 点A、B的坐标分别为此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由；设A、B两点的坐标分别为，则； 又由l与圆
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
高等代数与解析几何同济答案
高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o
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【篇二：各门课程课后答案】 式]《会计学原理》同步练习题答案 [word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [word格式]《实用成本会计》习题答案 [word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案 [word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） [word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎） [pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）
解析几何课后答案按
第1章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？ （1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=-
（5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, +=- （5）, ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. [证明]： )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ， ∴0=+=+OB OD OC OA ， 从而OA=OC ，OB=OD 。
5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++＝4. [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), ＝2 1 (OB +), 所以 2＝2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP ＝λ+1. 2. 在△ABC 中，设＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5
第七章空间解析几何与向量代数.
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1空间直角坐标系 一. 空间点的直角坐标 右手系 坐标轴，坐标面，卦限 空间点的直角坐标 横坐标，纵坐标和竖坐标 二.空间两点的距离 设M 1 X i , y i , z i ,M 2 X 2,y 2,Z 2 为空间两点 特殊地，点M X, y,z 与坐标原点O 0,0,0的距离 .向量的概念 1 .定义 3 .自由向量 4 .零向量 单位向量 零向量的方向可以看作是任意的 二.向量的加减法 (1 )交换律:a b b a 的负向量：记 a 大小相等，方向相 反 三.向量与数的乖法 1 .定义 2 .运算规律 (1 )结合律: (2 )分配律: (2 )结合律:(a b) c a (b c) 1. 2. 3. =J 2 X 2 X 1 y 2 2 y i Z 2 2 Z i D = J x 2 y 2 z 2 §7 .2向量及其加减法 向量与数的乘法 2 .向径：OM 叫点M 对于点O 的向径
定理1 .设向量a 0，那么，向量b//a 存在唯一的实数 ，使b a 注：(1 ). b 可以为零向量，此时 0 (2 ).规定零向量与任何向量都平行 3 .与a 同方向的单位向量：a 0 一. 向量在轴上的投影 1 .轴u 上有向线段 AB 的值.记AB 2.点A 在轴U 上的投影 * 3 .向量在.轴U 上的投影，记prj u AB 二. 向量的坐标 1 . P 1P 2 Q i Q 2 R i R 2 2 .向量a 的坐标 a a x , a y , a z a x ，a y , a z 为a 在x,y,z 轴上的投影 上式叫向量a 的坐标表示式 §7 .3 向量的坐标 AB * 4 .（性质1 ）投影T h 向量AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：prj u AB AB cos 5.（性质2 ） prj prj a prj b 6 .（性质3 ） prj prj a M 1M 2 M 1P M i Q M i R X 2 X 1 y 2 * j 上式称为向量基本单位向量的分解式
解析几何F答案
解析几何F答案
《解析几何》试题（F ）答案 一、填空题：（每空2分，共30分） 1、 {} 36,45,48--； 2、 )3 ,3,3( 3 21321321z z z y y y x x x ++++++； 3、4 π或43π ，{}2,1,1-或{}2,1,1--； 4、15-； 5、)1,1,2(-； 6、01844-=-=-z y x 或0 1 241-= -=-z y x ； 7、3； 8、14 1arcsin ，)0,2,2(--； 9、 2； 10、双叶双曲面； 11、锥面； 12、椭圆抛物面； 13、旋转椭球面。 二、（本题16分） 解：（1）矢量设A 在矢量B 方向上的射影为 B B A A prj B ?= ，………………………………………… …………………………2 由于b a A 32+=，b a B -=，所以， 2 2 223),(cos 232))(32(b b a b a a b ab a b a b a B A -∠+=-+=-+=?， (2)
而 ) ,(cos 22))((2 2 222 b a b a b a ab b a b a b a B ∠-+=-+=--=， (2) 又由于1=a ，2=b ，3),(π=∠b a ， 所 以 9 -=?B A ， 3 2 =B ，…………………………………………… ………………..2 解 得 3 3-=A prj B 。………………………………………… ………………………….2 （ 2 ） 因 为 =?B A ),(sin 55)()32(b a b a a b b a b a ∠=?=-?+ (3) =353 sin 10=π。 所以以A 和B 为邻边的平行四边形的面积为 3 5。 (3) 三、（本题8分） 解：由于四面体的四个顶点为)0,0,0(A ，)6,0,6(B ， )0,3,4(C 及)3,1,2(-D ，则以点)0,0,0(A 为始点，分别以点) 6,0,6(B ，)0,3,4(C 及)3,1,2(-D 为终点的矢量是 (1) {} 6,0,6=…………………………………………… (1)
(完整版)(整理)第七章空间解析几何
第七章空间解析几何与向量代数内容概要
习题7-1 ★★1．填空： （1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥ （2） 要使 b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向 ★2．设c b a v c b a u -+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32- 知识点：向量的线性运算 解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=- ★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点 R 在线段PQ 上，且 n m RQ PR = ，证明点R 的向径为 n m m n += +r r r 12 知识点：向量的线性运算 证明：在OPQ ?中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+= n m m n m m ， ∴n m m n n m m PR OP OR ++=-++ =+=22r r r r r 1 11)( ★★4．已知菱形 ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。 知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形， ∴ =（自由向量）， ∴222 AB AC BD AB CD DC AB --=-=-?=?=-=-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a a b ∴2b a +==，2 DA +=-u u u r a b ★★5．把ABC ?的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点 A 连接，试以 a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
空间解析几何教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：空间解析几何 英文名称：Analytic geometry 课程编号：2411207 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第1学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。 3．本课程的教学目的和任务 通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。 2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。 3.丘维声，《解析几何》，北京大学出版社。 4.南开大学《空间解析几何引论》编写组编，《空间解析几何引论》，高教出版社。 5.吕林根许子道等编《解析几何》（第三版）,高等教育出版社出版 三教学方法和教学手段说明 1．启发式教学，课堂教学与课后练习相结合。 2．可考虑运用多媒体教学软件辅助教学。
解析几何大题带答案
解析几何大题带答案
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中， M 、N 分别是椭圆 12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点 的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，), 2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线 段MN 中点的坐标为)2 2 ,1(- -，由于直线PA 平分 线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直 线PA 过坐标 原点，所以 .2 2122 =-- = k
解法二： 设) 0,(),,(,,0,0),,(),,(1112121 2 2 1 1 x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为2 1 ,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 )() (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11 PB PA k k ⊥-=所以 28. （北京理19） 已知椭圆 2 2:1 4 x G y +=.过点（m,0）作圆 221 x y +=的 切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以. 322--=b a c 所以椭圆G 的焦点坐标为) 0,3(),0,3(-
第七章向量代数与空间解析几何复习题
第七章向量代数与空间解析几何 （一）空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。（）2．任何向量都有确定的方向。（） 3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。（）5．若a b a c, 则b c() 6．向量a, b满足a = b ，则a, b同向。（）a b 7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，a y ， a z }。（） | a || a || a | 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。(） 二、填空题 1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是 2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5） 3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。 4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为 5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。 6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a= 6 7．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。 三、选择题 1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为 （A）42( 3)252（ B）( 3)252 （C）42( 3)2（D）4252 2．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1 OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2 =
2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习：第8章 平面解析几何 4 第4讲 分层演练直击高考 含解析
1．圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝ 3 3 x 的位置关系是________． [解析] 因为圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径r ＝1， 所以圆心到直线y ＝33x 的距离为|3|3＋9＝12 ＜1＝r ，故圆与直线相交． [答案] 相交 2. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________． [解析] 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径r 2 ＝2，故两圆的圆心距O 1O 2＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1
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