外尔

外尔

张奠宙

(华东师范大学)

外尔，H(Weyl，Hermann)1885年11月9日生于德国的埃尔姆斯霍恩；1955年12月8日卒于瑞士苏黎世．数学，数学物理．

外尔出生在邻近汉堡的一个小镇上．父亲路德维希(Ludwig)是银行家，母亲安娜(Anna)在家里照料孩子．外尔在乡镇上度过了少年时代，并在阿尔托纳的一所文法中学读书．虽说乡下的孩子往往比较闭塞，见识不广，但外尔在中学时已读过Ⅰ．康德(Kant)的《纯粹理性批判》(Critique of Puve Reason，1781)．他回忆说：“这书立即打动了我的心．”

1904年，外尔从这所中学毕业．当时的校长是德国大数学家D．希尔伯特(Hilbert)的表兄弟，遂将外尔介绍到希尔伯特所在的格丁根大学攻读数学．从此，外尔踏上了数学之路，并成为日后希尔伯特的继承人．

在格丁根的第一年，外尔读了许多课程．其中包括希尔伯特的课“化圆为方与数的理论”．新世界的门向他打开了．1905年夏天，外尔带着希尔伯特的辉煌作品“数论报告”(Der Zahlbericht)回家去．他回忆说：“整个暑假我在没有初等数论和E．伽罗瓦(Galois)理论这些准备知识的情况下，自己尽力搞懂它．这几个月是我一生中最快乐的几个月，经历了我们共同分担的疑虑和失败的许多岁月之后，它的光辉仍抚慰着我的心灵．”外尔曾这样描述希尔伯特对青年人的影响：“他所吹奏的甜蜜的芦笛声，诱惑了许多老鼠追随他跳入数学的深河”．外尔自己就是这些“老鼠”中的一个．

在格丁根读了一年书之后，外尔按惯例要到另一所大学求学一年．他到了慕尼黑大学．1906年重返格丁根．1907年，外尔投入积分方程的研究．一年之后，以“奇异积分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的论文获得博士学位．他在格丁根一直呆到1913年．1910年起任无薪讲师(privatdozent)，在讲授函数论等课程的同时，他开拓了新领域“黎曼面”．

1913年，外尔和J．海伦(Joseph Helen)结婚．海伦是格丁根大学哲学系的著名才女．他们有两个儿子．其中J．外尔也是数学家．父子曾合著《亚纯函数和解析曲线》(Meromorphicfounctions and analytic curves，1943)．

就在结婚的同一年，外尔受聘为位于苏黎世城的瑞士联邦工学院的教授．这时，大物理学家A．爱因斯坦(Einstein)也在那里执教，他们经常交谈．爱因斯坦的物理学新思想给外尔留下了深刻的印象．

1915年，正值第一次世界大战，外尔服了一年兵役．1916年重返苏黎世．此后的十余年，是外尔数学创造的全盛时期．外尔在苏黎世的生活是幸福的；他曾

说，那时打扰他平静生活的最糟糕的事是外国大学请他去执教的一连串邀请．但是在内心深处，外尔仍然向往格丁根大学，希望回到希尔伯特身边．因为他的“根”在那里，他要到那里摄取营养，获得新的动力．1923年，格丁根大学邀他回去接替退休的F．克莱因(klein)．当时德国政治形势动荡，经济一团糟．外尔踌躇再三，拿着“接受邀请”的电文到电报局，可到了拍发时，又改变了主意，辞谢了邀请．1930年夏天，格丁根大学又邀他回去接替希尔伯特．尽管这时德国政治、经济形势仍然不好，但外尔终于接受了邀请．他写信给老师：“应召作为你的继任，我内心的欣喜和自豪是无法用言词来形容的”．

但是外尔在格丁根没有呆很长时间．30年代的德国，法西斯的浊流在到处蠢动，排犹的风潮越演越烈．外尔本人虽不是犹太人，可是他的妻子海伦是半个犹太人．1933年1月，希特勒上台，局势极度动荡，大批犹太科学家离开德国．作为格丁根大学数学研究所的领导人，整个春天和夏天，外尔写信，去会见政府官员，但什么也改变不了．夏日将尽，人亦如云散．外尔去瑞士度假，仍想回德国，希望通过自己的努力来保住格丁根的数学传统．可是美国的朋友极力劝他赶快离开德国：“再不走就太晚了！”美国普林斯顿高级研究院为他提供了一个职位．早在那里的爱因斯坦说服了外尔．从此，他和海伦在大西洋彼岸渡过了后半生．

到普林斯顿时，外尔已经48岁，数学家的创造黄金时期已经过去．于是他从“首席小提琴手”转到“指挥”的位置上．他象磁石一样吸引大批数学家来到普林斯顿，用他渊博的知识、深邃的才智给年轻人指引前进的方向．普林斯顿取代格丁根成为世界数学中心，外尔的作用显然是举足轻重的．无数的年轻人怀念外尔对他们的帮助，用最美好的语言颂扬他的为人，其中有一个是中国学者陈省身．1985年，陈省身回忆他和外尔的交往时写道：

“我1943年秋由昆明去美国普林斯顿，初次会到外尔．他当然知道我的名字和我的一些工作．我对他是十分崇拜的．……外尔很看重我的工作，他看了我关于高斯(Gauss)-博内(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜．我们有很多的来往，有多次的长谈，开拓了我对数学的看法．历史上是否会再有象外尔这样广博精深的数学家，将是一个有趣的问题．”

外尔在美国也继续做一些研究工作．他写的《典型群，其不变式及其表示》(The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代数数论》(Algebraic theory of numbers，1940)使希尔伯特的不变式理论和数论报告在美国生根开花．他的“半个世纪的数学”(A half-century of mathematics，1951)更成为20世纪上半叶数学的最好总结．他还在凸多面体的刚性和变形(1935)、n维旋量黎曼矩阵、平均运动(1938—1939)、亚纯曲线(1938)、边界层问题(1942)等方面作出贡献．

外尔的妻子于1948年逝世．1950年，他又和B．爱伦(Ellen)结婚．外尔在1951年退休，但他在普林斯顿的职位仍然保留着．以后他在普林斯顿和苏黎世两地居住．1954年，外尔在第十二届国际数学家大会上讲话，介绍菲尔兹奖获得者小平邦彦(小平邦彦，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞尔(Serre) 的工作．第二年，70寿辰的祝寿活动之后不到一个月，外尔在邮局寄信时突然心脏病发作，于1955年12月8日与世长辞．

外尔的著作生前出版过选集．1968年，施普林格(Springer)出版社发行外尔的《论文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十几本书．

外尔一生的科学工作，可以分为四个时期：格丁根时期(1904—1913)；苏黎世时期(1913—1930)；第二格丁根时期(1930—1933)；普林斯顿时期(1933—1955)．他的数学工作几乎遍及整个数学．其中包括奇异积分方程、微分方程、数学物理方法、希尔伯特空间，吉布斯(Gibbs)现象、狄利克雷原理、模1分布、概周期函数、亚纯曲线变分学等分析课题，凸体的表面的刚性、拓扑学、微分几何中的联络、黎曼面等几何课题，李群的不变量、李群的表示、代数理论、逻辑等代数课题，以及相对论、量子论、哲学、科学史等课题．他的许多工作成为20世纪一系列重要数学成就的出发点．外尔的研究足迹紧紧追随着整个科学的进展，从广义相对论到量子力学，一直在科学的前沿上弄潮．许多人认为，时至今日，通晓整个数学的数学家似乎已经没有了．外尔也许是能做到这一点的最后一人．

外尔在格丁根时期的初期研究工作，可以说完全在希尔伯特的影响下进行．他在格丁根的博士论文题目正是希尔伯特当时钟爱的研究课题：积分方程．

1910年，外尔在为获得无薪讲师职位发表就职演讲时，作出了他在数学上第一个重要工作：二阶线性微分方程的奇异边界条件．众所周知，经典的斯图姆(Sturm)-刘维尔(Liouville)问题是求解自共轭微分方程

其中0≤x＜l，p(x)＞0，q(x)为实值函数，解y(x)必须满足下列边界条件：

y′(0)－wy(0)=0， (2)

y′(l)－hy(l)=0， (3)

这里w，h都是实数．这时，人们知道：当λ取一列非负实数λn(λn→∞)时，方程(1)存在非平凡解．这一数列称为方程的谱，每个λn称为方程的特征值(本征值)，相应的解y n(x)称为特征函数(本征函数)．这时y n(x)好象sin nx，cos nx一样可以作为正交基，使每个函数可以按y n(x)展为级数，正象函数关于cos nx和sin nx展为三角级数一样．

外尔研究l=+∞的奇异情形．他的想法是令λ取复数值．于是对给定的h，会存在复数w(λ，h)满足边界条件(2)，(3)．当h取遍一切实数值时，点w(λ，h)在某圆C l(λ)上．此时，外尔看到，当l→+∞时，C l(λ)(λ固定)形成一族圆，其极限或者是圆或者是一点．这两种情形的出现与λ的选择无关．如果有“极限圆”，那么(1)的解都在[0，＋∞)上平方可积，而在“极限点”情形，(1)只有一个解(差一常数因子)是平方可积的．

在后来由冯·诺依曼(von Nenmann)创立的无界对称算子理论中，一个微分

相等．外尔在这里提供了斯算子可以作自伴扩张的充要条件是两个亏指数n+和n

-

图姆-刘维尔算子P(x，D)(对称算子)进行自共轭扩张的第一个例子．在a＜x＜b 情形，如果a，b分别趋于0和∞时都是极限点型，则n+=n

=0．算子P(x，D)已

-

=1，其自伴扩张经是自伴的．如果0和∞分别是极限圆型和极限点型，则n+=n

-

=2，算子P(x，D)可用两个用一个边界条件得出．若二者都是极限圆型，则n+=n

-

边界条件决定其自伴扩张．本世纪偏微分算子理论的长足进展，外尔的这一结果可说是其先驱．

外尔并没有停留在自伴扩张问题上．他将关于与离散谱λn相应的特征函数y n(x)的级数展开，推广到连续谱λ的特征函数yλ(x)的积分展开，从而为卡莱曼(T．Carleman)积分算子理论开辟了道路．更引人注目的是外尔对大物理学家H．A．洛伦兹(Lourentz)1910所提问题的回答．1910年，洛伦兹在格丁根讲演时提到，能否由听鼓声推知鼓的形状？这等于由一个椭圆方程△u+λu=0的本征值λn(即鼓膜振动的自然频率)来确定鼓膜形状．外尔研究了更一般的问题，提出了在希尔伯特空间H上的紧自伴算子特征值的直接计算方法(即不必先求出λ1，…，λn-1再来计算λn)，后人称之为“极大极小方法”，这套本征展开理论，为洛伦兹问题的解决提供了钥匙．人们要求知道当λ很大时，小于λ的特征值的个数N(λ)，其中

v是本征频率，v是波在鼓膜中的传播速度．外尔证明了

这里A是鼓膜的面积．这恰好证实了洛伦兹的猜想：频率在v和dv之间的充分高的谐波数目与边界的形态无关，仅和它围成的面积成正比．这项工作相当漂亮．1954年5月，外尔在洛桑作演讲．当他回忆这段往事时，写了如下的话：

“这个问题的结论虽然在前些时候已被物理学家猜想到．然而对大多数数学家来说，这一结果似乎是在很遥远的将来才能作出证明的．当我狂热般地作出证明时，我的煤油灯已开始冒烟．我刚完成其证明．厚厚的煤烟灰就象雨一样从天花板上落到我的纸上、手上和脸上了．”

这套“听音辨鼓”的理论近几年又出现新的高潮，现在有了更精确的估计，甚至可以决定表示鼓上孔的数目的拓扑参数．将平面鼓膜推广到高维的流形上去，仍是成为许多人追逐的课题．

外尔在追随希尔伯特研究积分方程和微分方程之后，从1911到1912年开辟了自己的新研究方向：黎曼面．这时，外尔在格丁根大学讲授函数论课程．复值多值函数依靠黎曼

曼面的构造一直依靠直观想象，并用自然语言加以描述．外尔一面授课，一面构思严格的黎曼面理论．年仅26岁的外尔爆出了天才的火花．他将黎曼面R看成被R中各点的邻域U所覆盖，而每一邻域U又附以从U到复平面的映射ψu．外

尔把所有由(U，ψu)构成的全体记作．如果满足(1)中所有U的并集即是R，(2)当V=U1∩U2非空

上区域ψ

u2(V)到复平面区域ψu1(V)的复变函数．我们假

)看作黎曼面．在20世纪数学史上，外尔的这一想法是划时代的(上面的叙述已采用现在常用的形式)．首先，他采用了邻域思想，无疑为点集拓扑学的出现催生．其次，黎曼面用现在的眼光来看乃是复一维流形．在20世纪大放异采的复流形理论即导源于此．第三，外尔指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函数的多值性直观化的手段，而且是这个理论的本质部分，是解析函数能在其上生长和繁荣的唯一土壤”．它开创了现代函数论．第四，黎曼面的亏格、分类等导向同调和同伦论，为代数拓扑的诞生指引了方向．外尔这一工作，几乎影响了20世纪的整个纯粹数学．1913年《黎曼面的观念》(Die Idee der Riema-nnschen Fl che)出版．从中人们可以看到希尔伯特的邻域公理化方法，L．E．J．布劳韦尔(Brouwer)使用的单纯形方法，H·庞加莱(Poincare)的基本群观念以及曲面的指向等严格理论．

外尔结束了格丁根大学的函数论教学工作．

外尔在苏黎世时期(1913—1930)的工作是极其辉煌的．他在1914年完成了关于模1等分布的研究，人们将它看作解析数论的新篇章．这一工作的发表因第一次大战而推迟到1916年．

所谓实数列｛x n｝以模1等分布，是指x n的小数部分y n均匀地分布在［0，1］内，即对任何［0，1］的

β，n)是指前n个实数x1，…，x n的小数部分y1，…，y n落在［α，β］中的个数．｛x n｝

模1等分布也可用积分描述为：对任何在[0，1]上有界的黎曼可积函数f(x)，有

这就使我们能用分析工具来研究数论问题．但是使外尔最值得骄傲的是下列基本定理：

｛x n｝模1等分布的充要条件是：对任何非零整数h，当N→∞时

由此可以推出，若P(x)是首系数为无理数的多项式，则p(n)是等分布的．若θ是无理数，则实数列{nθ}是等分布的(这结果早些时候为P．博尔(Bohl)等数学家用纯算术方法得到过)．这一基本定理的证明借助于对多项式指数和的一项估计，现称为外尔不等式．多项式指数和与调和分析紧密相连，而外尔在研究微分算子谱论时成天与调和分析打交道，因而他从分析学转向数论研究乃是顺理成章的．多项式指数和问题与E．华林(Waring)问题(任何正整数k，总存在g(k)，使k可表示为S(≥g(k)个k次幂之和)及ζ函数的黎曼猜想(ζ函数的非显然零点全部都在直线Res=1／2上)等密切相关．这一工作后来为苏联的И．M．维诺格拉多夫所改进，用于堆垒素数论．我国的华罗庚及其学生们在这一方向上有突出的贡献．

1916年，当外尔从兵营回到工学院讲台时，爱因斯坦的广义相对论问世不久，一场物理学研究的浪潮席卷全球．外尔毫不犹豫地投身其中．1916到1917年，他在苏黎世的联邦工学院讲授相对论课程时，力图把哲学思想、数学方法以及物理学理论结合起来，用自己的思想清晰而严格地阐述广义相对论．讲稿在1918年以《空间、时间、物质》(Raum、Zeit、Malerie)的书名正式出版，五年之内再版五次，成为年轻人的心爱之物．大物理学家W．K．海森伯(Heisenberg)等都从此书中得到教益．

1917—1919这几年间，外尔在几何学与物理学上作出了巨大贡献．他受到爱因斯坦在广义相对论中研究引力场的鼓舞，企图提出一种既包括引力又包括电磁力的几何理论，即通过发展几何学来完成“统一场论”的构想．虽然“统一场论”经过努力(包括爱因斯坦本人的努力)至今仍未建立起来，但是外尔一系列的研究成果却深刻地影响着当代物理学的进展．

外尔首先对作为相对论数学框架的黎曼几何加以改造和扩展．黎曼几何依赖于一种度量，它是微分二次型：

曲率就依这一度量而确定．爱因斯坦的引力理论依赖于二次型，而电磁理论只依赖于一次型．外尔根据前人结果已看到曲率可以通过向量的平行移动而得到．在特殊情形下，这是容易理解的∶a，b是直线l上两点，a处向量P a沿l

平行移动到b处为P b，此时P a与l的夹角等于P b与l的夹角，P a沿l且保持与l 夹角不变的移动称为平行移动．Pa沿l平行移动到b再平行移动回到a，夹角一直不动，夹角变化量为0，所以直线的曲率也是零．在半径为r的球面上一点a 处有一向量P a与过a的大圆l夹角为θ，当P a沿大圆(测地线)作保持夹角不变的移动(平行移动)转一圈回到a时，向量P a实际上转了一圈，增加了2π的幅角，

在黎曼几何中，曲线x i＝x i(t)，i=1，2，…，n(t1≤t≤t2)的长度S由积分表出：

这里g ij是度量张量的共变分量．使这积分取得极值的曲线，即测地线满足方程

一个向量场v h(t)，如满足

则定义为v h(t)与曲线x h=x h(t)平行．由此可以看出：测地线的切

外尔注意到上面的平行定义与度量张量g ij没有直接关系，只与克里

时称v h(t)与x h(t)平行．

这样一来，黎曼几何就从度量束缚中解脱出来，而由一组函数

向量(ξi)与邻近的点(x i+dx i)的平行向量(ξi+dξi)之间的关系为：

为仿

射联络．这种空间称为仿射联络空间，黎曼空间只是其中的一个特例．外尔的这一思想无疑是稍后的E．嘉当(Cartan)的一般联络理论的源头．联络概念已构成现代微分几何的基础，其意义之重大正如分析学中的微分概念．

1918年，外尔发表了著名的论述统一场论的论文．他写道：“如果黎曼几何要与自然相一致，那么它的发展所必须基于的基本概念应是向量的无穷小平行移动…．但是一个真正的无穷小几何必须只承认长度从一点到它无限靠近的另一点作转移的这一原则．这就禁止我们去假定在一段有限距离内长度从一点转移到另一点的问题是可积的．…一种几何产生了”．这样，外尔的不可积标量因子的想法就产生了．电磁学在概念上可纳入一个不可积量因子的几何想法之中：电磁场依赖于一次型

加到dφ

将不改变理论的物理内容，由此得到

有不变意义，Fμv可看成等同于电磁场，其中φv=常数·Aμ，Aμ是电磁势．

该理论在变换dφ→dφ+d(log λ)下的不变性，即今天称为“规范不变性”的最早形式．

爱因斯坦对外尔的论文预印本十分关注，但后来明确表示反对这篇文章．结果爱因斯坦的意见作为按语加在外尔文章的后面，外尔又写了一个回答附在末尾．

爱因斯坦的异议是说，不可积标度因子理论如果正确，那么从0出发的两条路径，由于标度的连续变化，一般将会有不同大小，因而两个钟快慢将会不同，时钟依赖于每个人的历史，那就没有客观规律，也就没有物理学了．外尔对此作了回答，但未能消除爱因斯坦的异议．1949年，外尔回忆当时的心情说：“在苏黎世的一只孤独的狼——外尔，……很不幸，他太易把他的数学与物理的和哲学的推测混在一起了．”

1929年，外尔又回到这一课题．由于量子力学的推动，福克(Fock)和F．W．伦敦(London)在1927年指出：外尔的不可积标度因子应当是一个不可积的“相”因子．外尔在1929年的文章中写道：我曾经希望规范不变原理将引力和磁力统一起来而未获支持，但这一原理在量子论的场方程中有一个形式上的等价物，

一不

变性和电荷守恒定律的关系仍与先前一样．…规范不变性原理具有广义相对论的特征…．外尔的这些观点对后世有许多影响，不可积“相”因子消除了爱因斯坦异议，并由实验证实．不过“统一场论”始终未完成．外尔对自己的研究一直注视着，直到去世前几个月，他在将1918年的规范理论的论文收入他自己的《论文全集》时，在“跋”中写了下列的话：

“我的理论最强的证据似乎是这样的：就像坐标不变性保持能量动量守恒一样，规范不变性保持了电荷守恒．”

外尔的规范理论启发了杨振宁：可以把规范理论从电磁学推广出去．这就产生了杨振宁-米尔斯(Miles)在1954年提出的非交换规范场理论．这一规范场理论在粒子物理中显示了强大的生命力，可惜那时外尔已退休，未曾注意及之．

外尔的数学研究总是和当代的物理学最新成就联系在一起．当1925—1926年量子力学刚刚产生的时候，外尔深入地从事李群及其表示的研究，并在1927年把这项研究与量子力学结合起来．1928年，名著《群论和量子力学》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版．差不多每一位在1935年之前出生的理论物理学家，都会在自己的书架上放上这本书．不过，几乎没有人去读它．对物理学家来说，这本书太抽象了．

1930年，在该书德文新版的前言中，外尔写道：

“质子和电子的基本问题已经用其与量子定律的对称性性质的关系来讨论了，而这些性质是与左和右、过去和将来以及正电和负电的互换有关．”

这里的左和右是指宇称守恒(P)，过去和将来是指时间反演不变(T)，正电和负电是指电荷共轭不变性(C)．诺贝尔物理奖获得者杨振宁博士曾评论说：“在1930年，没有人，绝对没有人以任何方式猜想这些对称性是彼此相关的，仅仅在50年代人们才发现他们之间的深刻联系．”

外尔非常喜欢对称，在1952年写过《对称》(Symmetry)的精美小书．也许因为太醉心于对称，他抛弃了自己提出的不满足左右对称的二分量中微子理论(1929)．28年以后的1957年，杨振宁和李政道发现了宇称不守恒，并由吴健雄等用实验证实．外尔的二分量中微子理论也得到重新肯定．这时外尔去世已经两年，人们无法听到这位理论物理先驱的评论了．

让我们再回到数学上来．外尔在本世纪20年代从事李群和李代数及其表示的研究，可说是外尔数学生涯中最光辉的篇章．

本世纪初，G．F．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)和I．舒尔(Schur)等已完成复n阶方阵构成的一般线性群GL(n，c)的不可约有理线性表示的工作．由此可知行列式为1的特殊线性群SL(n，c)的所有有理线性表示是完全可约的．1913年，嘉当独立地完成单复李代数不可约线性表示的工作，并指出有限维半单李代数是完全可约的．

外尔创立一种新的方法，将注意力集中于大范围李群，仅把李代数作为一种工具．1897年A．胡尔维茨(Hurwitz)指出了一种对正交群或酉群构作不变量的途径：只须将有限群中普通的平均求和代之以紧群上关于不变测度的积分，他不仅研究特殊酉群SU(n)的不变量(韦尔称之为酉技巧)，而且处理了特殊线性群SL(n，c)的不变量问题．舒尔于1924年借助在SU(n)作用下该群的任何表示空间中一种对称数量积不变量的存在性，证明SU(n)的完全可约性，他又用酉技巧证明了SL(n，c)连续线性表示的完全可约性和SU(n)的特征标的正交关系．

从这些结果出发，外尔首先指出舒尔和嘉当的两种表示之间的联系，说明二者能一一对应的原因在于SU(n)是单连通的．其次他研究了正交群的双叶覆盖群的存在性．最后，外尔转入半单李群大范围理论的研究．这一工作之深刻令人叹为观止．

外尔首先指出，酉技巧不仅在典型群上有用．他证明，每个半单复李代数，

可从一个紧李群的实李代数u经过复化(com-plexification)而得到．嘉当曾逐类讨论过这一问题，外尔则用半单代数的根代数性质很快得出．这样，外尔建立了和u的线性表示之间的联系．但是要用酉技巧，还必须证明确实存在以u为李代数的紧李群G u，而且是单连通的．为了绕过这个困难，外尔证

明了紧群G u的通用覆盖群也是紧的．可以说这一结果是外尔论文中最深刻最有活力的核心．

这一结果可以有极好的几何解释，因而有外尔“房”和外尔“墙”的概念产生．韦尔证明：G u的基本群是有限群，因而G n是紧群．极大环面T在G u中的作用和对角线矩阵群在SU(n)中的作用相似，即每个G u中元素是T中一个元素的共轭．G u的特征标的正交关系是重要工具．外尔最终提出一个大胆的想法：由“分解”G u的无限维线性表示来求得半单群的所有不可约表示．

李群的研究和群上调和分析紧密相连．他考虑G u上复值连续函数全体F．若按群G u上的不变测度定义积分，则F上可定义卷积

F于是构成群代数．如果考察算子R(f)∶g→f*g，则R(f)是紧的自伴算子，于是就可以用紧算子的谱分解理论加以研究了．更一般地，外尔研究了不变内积．他证明：n维线性空间V上的一般线性群GL(V)中的紧子群G，V上必存在关于G的不变内积：

利用这一定理，可直接决定所有紧复连通李群．即连通复紧李群必可交换，因此是复环面．外尔还得到：紧李群的李代数必具有不变内积(紧李代数)．

外尔的研究都有强烈的背景，丰富的思想和高度的技巧．他用自己的成果开辟了20世纪纯粹数学的新天地，并且表明“抽象”方法和传统的“硬”分析方法完全可以相比美．

作为希尔伯特的继承者，外尔确实发扬了希尔伯特的传统，且注入了时代精神．微分算子理论、模1等分布论、仿射联络理论、连续群论都可以在希尔伯特

的积分方程、数论、代数不变量、物理学研究等研究中找到渊源，而相对论、量子力学、拓扑学方法、代数拓扑工具等则使他发展并超越了希尔伯特的范围．他们师生二人，可以说代表了20世纪上半叶的数学．

然而，他们两人并非完全一致．在数学基础上，外尔拥护布劳韦尔的直觉主义，不承认实无限，不准滥用排中律，不愿用选择公理．他的全部工作确实没有用G．康托尔(Cantor)的超限数理论，而且说康托尔的那一套是“雾中之雾”．外尔把布劳韦尔的观点介绍给希尔伯特，希尔伯特却极力反对直觉主义．希尔伯特倡导“形式主义”，企图证明包含自然数系统的数学体系是无矛盾的和相容的．但是希尔伯特也小心翼翼地把有限步可以达到的结论认为是最可靠的，所以外尔说

希尔伯特“从布劳韦尔的直觉主义的启示中获益非浅．”1931年，K．哥德尔(G

del)击破了希尔伯特的梦想．外尔平静地和希尔伯特讨论事情的前因后果，尽管两人的意见并未统一．

1932年，希尔伯特70寿辰．外尔写了生日祝辞，表达了他对恩师的崇敬与深情．1943年希尔伯特去世．外尔在《美国数学会公报》(Bulletin of American Mathematical Society，50，pp·612—654，1944)上发表了“大卫·希尔伯特及其数学工作”(DavidHilbert and his mathematical work)的长篇纪念文章(中译本见《数学史译文集》，上海科学技术出版社，1981)．

外尔在美国继续做过一些研究工作，例如凸体表面的刚性与形变(1935)，n 维的旋量、平均运动(1938—1939)、亚纯曲线(1938)、边界层问题(1942)等．作为20世纪前半叶数学发展的见证人，他对克莱因、希尔伯特、诺特等大数学家的记述和评论，具有很高的历史价值．1950年，外尔在《美国数学月刊》(Monthly AMS)发表论文“半个世纪的数学”，是一篇极好的学术总结(中译本见《数学史译文集续集》，上海科学技术出版社，1985)．

最后，我们应当提到外尔的哲学研究．外尔对哲学终生不渝．他早年追随过康德哲学，后来受E．胡塞尔(Husserl)的影响很深．他的《空间、时间、物质》就是一部物理学、哲学和数学相结合的著作．他在哲学方面主要作品是《数学和自然科学的哲学》(Philosophie der Mathematik und Wissenschaften，1927)．书中的数学部分包括数理逻辑、公理学、数及连续统、无穷，以及几何学共三章，自然科学部分有空间时间与先验的外在世界、方法论以及世界的物理图景，也是三章．书中引用了一百多位哲学家、数学家和自然科学家的原著，对整个问题作了详尽而清楚的阐述．

在数学哲学方面，外尔早在1910年就写过论文“关于数学概念的定义”(

ber die Definitionen der mathematischen Grundbe-griffe)．他将数学看作“一棵自豪的树，它自由地将枝头长入稀薄的空气，同时又从直觉的大地和真实的摹写中吸取力量”．在同一文章中，外尔认为“连续统的势的问题，必须从严密地建立集合论原理的途径去解决”．到了1918年，他出版了《连续统》(Das Ko-ntinuum)一书，成为一场集合论争辩的导火线之一．

进入20年代，外尔站在布劳韦尔一边，赞成直觉主义，反对希尔伯特倡导的形式主义．这在前面已经有所提及．但是外尔在晚年似乎力图调和这两方面的冲突．“数学中的公理方法与构造程序”(Axiomatic versus constructive procedures in mathematics)是外尔用英文写的遗作，大约写于1953年以后，1985年才公诸于世(The Mathematical Intelligencer vol．7，No．4)．文中说：“现代数学研究的大部分建立在构造程序和公理方法的巧妙结合之上．”例如他从域公理出发，用1a记α，2a记1α+α，3α记2α+α，如此继续，就得出α的倍数vα，即自然数全体．然后看是否有v使vα=0，表明域的特征数为有限(质数)或∞．

外尔曾设想，数学证明必须是一步一步地可被人的直觉检验的程序．现在四色问题的计算机证明已突破了外尔的要求，但是构造主义观点却由于计算机的发展而倍受重视．外尔说过：“哲学的反思伴随着历史的反思．”数学基础正以新的形式继续着争辩．尽管外尔的“调和”并未得到公认，可是历史也许会再次注意他的数学哲学观点．

外尔逝世已经40年了，但是整个国际数学界仍然时刻感到他的存在．他所创立的深刻数学思想至今还在起着指路灯的作用．他的工作一定会影响到下一个世纪．

计算外箱规格举例：

计算外箱规格举例：1.内盒规格：长27cmX 宽19.5cmX 高13cm 12PRS/CTN 1>此为12PRS/装每层6双（2×3）=6双 外箱规格应为：长：内盒高度13 cm×3+3=42cm 宽：内盒高度19.5 cm×2+3=42cm 高：内盒高度27cm×2+3=57cm 即42X42X57cm 是2层装 2>内盒规格：26×17.2×10.5 cm 24PRS/CTN 每层12双（3×4）=12双 外箱规格应为：长：10.5 cm×4+3=45 cm 宽：17.2 cm×3+3=54.6 cm 高：26 cm×2+3=55 cm 20PRS/CTN 每层10双（2×5）=10双 外箱规格应为：长：10.5 cm×5+3=55.5 cm 宽：17.2 cm×2+3=37.4 cm 高：26 cm×2+3=55 cm

材料计算方法及公式 一材料尺寸规格 二皮料排刀方法 此为规则的排刀 1 排刀时先固定两点 2 按先固定两点在方格纸上任一条直线排第一刀 3 排第二刀时务必与第一刀在同一条直线上（此为皮料规则性排刀） 4 排第三刀和第四为插刀排在第二和第一刀之间 5 排第五刀和第六刀时插在第四刀和第三刀的中间 6 最后图形连接的四点必须是一个等边四边形 7 图的形状及方式必须是有两个图是顺方向四个图形是逆方向 8 连接逆方向的四个图形的固定点组成一个平行四边形 此为不规则的排刀 1 排刀时先固定两点 2 按先固定两点在方格纸上任一条直线排第一刀 3 排第二刀时任意排刀原则为最节约料的方式 4 排第三刀和第四刀时任意排刀原则最节约料的方式 5 排第五刀和第六刀时任意排刀原则最节约料的方式 6 最后的图形连接的四点必须是一个等边四边形 7 图的形状及方式必须是有两个图是顺方向四个图形是逆方向 8 连接逆方向的四个图形的固定点组成一个平行四边形 三皮料计算公式 平行四边形的面积设长L 宽W 四副料排刀方法 1 排刀方式与皮料规则性的排刀方式一样 2 其第五刀必须是与第一刀在同一条水平线上 3 其第六刀要迁就第刀和第四刀 五副料的计算方式 A=[（Y＂-W1）/W2+1*2] B=（Z-L1）/L2+1 六副料的测量方法 W1 W2 第一刀的最宽点与第四刀最左边或第五刀最右边一点，取数最大的一个为W1 最小的一个数为W2 L1 测量第一刀的最低点与第三刀的最高点或者是第一刀的最高点与第四刀的最低点，但两者取最小的一个数为L1。 L2 测量第一刀的最低点与第二刀的最低点和距离为L2。 七鞋垫的计算方法 公式材料60Y＂码 设长：L1 L2 宽：W1 W2 A=[（2.54*Y＂-W1）/W2+1*2]

瓦楞纸箱价格计算方法

瓦楞纸箱价格计算方法 实例：面纸牛皮卡300克/高瓦180克（A/B楞）/芯纸180克普瓦/里纸280克箱板纸 瓦楞纸箱计价公式 纸箱价格（元）=瓦楞纸板出厂每平方米价（元/m2）×纸箱展开面积（m2） 一、瓦楞纸板出厂每平方米价的计算 1〃瓦楞纸板的组成 瓦楞纸板主要分为三层瓦楞纸板、五层瓦楞纸板和七层瓦楞纸板。 三层瓦楞纸箱主要用于包装重量较轻的内包装物，三层瓦楞纸箱又叫单瓦楞纸箱其结构是由一张瓦楞纸两面各粘一张面纸组合而成。 五层瓦楞纸箱主要用于单件包装重量较轻且易破碎的内装物；五层瓦楞纸箱又叫双瓦楞纸箱，过去简称为三黄两瓦。五层瓦楞纸箱的结构是由面纸、里纸、两张芯纸和两张瓦楞纸粘合而成，楞型的组合通常采用AB型（重庆地区药品包装以此型最多）、AC型、BC型、AE型或BE型。 七层瓦楞纸箱由下列纸板组成三层瓦楞箱板纸（主要用于重型商品的包装，如摩托车等）； 组成：由面纸、瓦楞纸、芯纸、瓦楞纸、芯纸、瓦楞纸、里纸粘合而成。瓦楞楞型的组合通常采用BAB型、BAA型、CAC型或BAC型 2〃统一瓦楞纸板的计量单位 1）.一般纸箱厂购进时面纸、里纸、芯纸、瓦楞原纸均以吨价计算。即各种面纸、里纸、芯纸、瓦楞原纸为每吨多少元，其单位表示为”元/吨”，而计算时必须换成”元/公斤”， 如进价为5200元/吨，则按公斤算即为5200元/1000kg=5.20元/kg. 2).一般纸张的重量通常讲克重，实际上应为每平方米多少克重即各种面纸、里纸、芯纸、瓦楞原纸重量均以”克/m2”为代表单位，为计算必须统一其用量单位，这里必须把“克/m2”换算成“kg/m2”。 如购进300克的牛皮纸，即是300g/m2的牛皮纸，此时将“300克/m2”换算成(300/1000)kg/m2”，则得0.3kg/m2。 3)〃瓦楞原纸制作瓦楞纸的系数的确定 瓦楞原纸因压瓦楞后引起纸张长度方向上的缩短其缩短比值称为压缩比系数。此项系数各制造厂无统一标准，其原因在于各制造厂的生产能力、管理水平的 常用包装知识及价格公式 ◆包装基本常识◆ 一，常用包装材料 A.白纸类---普通白纸，拷贝纸，皱纹纸等 B.气泡纸/保利绒/海绵/珍珠棉 C.纸盒类---白盒，棕色盒，彩盒等 D.塑料袋---PP,PE,OPP,PVC,PVA，收缩膜（PE,PP)等 E.其它类包装 产品的包装是产品的重要组成部分，它不仅在运输过程中起保护的作用，而且直接关系到产品的综合品质。以下为我们常用的包装材料及包装：

LED显示屏箱体尺寸和数量计算方法

LED显示屏箱体尺寸和数量计算方法 现在LED显示屏应用越来越普遍，可是对于销售人员和用户来说，已知显 示屏的长和宽，如何计算箱体尺寸和数量呢？锐凌光电小编教您计算整屏箱体数量以及箱体尺寸。 例如：客户想做一个户外P8全彩LED显示屏，长约9.5米左右，高约4.5米左右，用户外防水箱体做成整屏，而P8户外模组的尺寸为256*128mm，此时首先要算出长和高各需要多少张模组，才可以算出箱体尺寸和数量。箱体长可取512、768、1024、1280mm，箱体高可取512、640、768、896、1024、1152、1280mm， 以下是具体计算方法： 长：9500mm / 256mm=37.109375（长取37张板，用屏体长除以模组长）高：4500mm / 128mm=35.15625（高取35张板，用屏体长除以模组高） 共需要模组数量：长37*高35=1295张 显示屏的实际长为：37张*256mm=9472mm 显示屏的实际高为：35张*128mm=4480mm 显示屏的实际面积为：9472mm*4480mm=4243456mm2 显示屏的长、高和面积都算出来了，这时需要算箱体的尺寸和数量，可是到底怎么计算呢？锐凌光电小编教您一个简单的计算方法，那就是借助Excel表格，首先你要清楚你需要的箱体尺寸是多少，我这里取箱体的长为768mm，然后在Excel表格中写上768，然后用屏体长9472mm除以箱体长768mm=12个，这时 用鼠标单击第一个768不松手，一直拉到最后一个768，然后看Excel表格左下角的数字，看到9216，这个就表示屏体的长，如下图所示： 那么原来算出来的屏体长是9472，用9472减去9216等于256，这时我们会发现长为256刚好是模组的长，很显然不能做成箱体的长，所以第12个箱体的长取768（3张模组）很明显是错的，那么第12和13个箱体的长我们应改为512mm （2张模组），这时我们用鼠标单击第一个768不松手，一直拉到最后一个512时，发现左下角的尺寸是9472，刚好满足屏体的长，长需要13个箱体，如下图所示：所以下一步我们就要算箱体的高了。 同理，箱体的高的计算方法一样，首先取屏体高4480mm除以箱体高768mm 等于5个箱体，如下图所示，箱体高的尺寸为3840mm，用屏体4480mm减去箱

瓦楞纸箱内尺寸、制造尺寸及外尺寸计算

瓦楞纸箱内尺寸计算 瓦楞纸箱也是包装中最常见的一种，但是怎么样掌握适当的尺寸是有计算方法的，当设计人员设计好包装时，便会有一个尺寸用来生产包装，通常这种尺寸有两种，我们称之为内尺寸和外尺寸。那内尺寸和外尺寸又是怎样计算的呢？我们来共同学习一下吧。 内尺寸计算公式：XI二XmaxNx+d(Nx-1)+T+kl 式中：XI ----------------- 纸箱内部尺寸，mm; Xmax ------------ 内装物在X方向上的最大外尺寸，mm; Nx ---------------- 装物在X方向上的排列件数； d ---------------- 中包装间隙系数，mm; mm; T ---------------- 隔衬及缓冲厚度，mm; kl ------------------ 尺寸xx系数， 如现已知：1max=400mmbmax=300mmhmax=300mm n1=10nb=2nh=2 排列方式：10*2*2 查瓦楞纸箱内尺寸xx系数K表，可得： KL=3mmKB=3mmKH=2mm 贝心Li=40*10+(10-1)*1+3=412mm Bi=150*2+(2-1)*1+3=304mm Hi=150*2+(2-1)1+2=303mm 计算制造尺寸 由内尺寸计算制造外尺寸 1、制造尺寸公式：X= Xi+( ni-a)t

式中：X 瓦楞纸箱长、宽、高制造尺寸（mm） Xi --------- 纸箱内尺寸（mm） t ----------- 瓦楞纸箱计算厚度（mm） ni ---------- 由内向外纸板层数 a ---------- 系数 这是理论公式，在实际生产中要根据情况加上适当的xx系数，即： X=Xi+（ ni-a）t+k 因为瓦楞纸板厚度与瓦楞型和纸板层数有关，（ni-a）与箱型有关，一旦楞型， 纸板层数和箱型确定，纸板厚度也就基本确定，所以，在实际设计中，可将上式中的（ni-a）再加上1—3毫米的xx系数而合并成一个常数，任用K表示，则上式简化为：X=XI+K 其中：X ----------- 瓦楞纸箱长宽高制造尺寸（mm） Xi --------- 纸箱内尺寸（mm） K ---------- 制造尺寸的xx系数（mm） 2、对接摇盖制造尺寸 在纸箱摇盖对接封合的箱型中，摇盖尺寸理论值应为箱宽制造尺寸的1/2，但是由于摇盖回弹作用，必然在摇盖对接外产生间隙，使封箱不严造成内装物遭尘埃污染，因此，对接摇盖宽度制造尺寸都应一xx值，xx值为摇盖伸长系数X、 f，贝心F=B1/2+Xf 其中：F ----------- 纸箱对接摇盖宽度（mm） B1 ---------- 纸箱非接合端面宽度制造尺寸（mm）

纸箱种类的选择与尺寸计算

纸箱种类的选择与尺寸计算 1. 纸箱种类：卡通箱、天地盒、中封箱、侧封箱、L型以及异形（本人一般以内径订购纸箱，这样更方便计算）。 2. 柜类的外箱为卡通箱。长=外观尺寸+40（保丽龙）+12（余量）=外观尺寸 +52 宽=外观尺寸+40（保丽龙）+12（余量）=外观尺寸+52 高=外观尺寸+40(面板保丽龙)+15(包装框)+12(余量)=外观尺寸+67 即卡通箱尺寸=外观尺寸的长宽各加2”高加2-1/2”. 3. 床类、餐桌类的天地盒外箱：地盒长=保丽龙外观尺寸+18（余量），地盒宽=保丽龙外观尺寸+18（余量），地盒高=保丽龙外观尺寸+12（余量）；天盒长=地盒长+12，天盒宽=地盒宽+12，天盒高=地盒高+6（余量）。 4. 化妆镜类的侧封箱外箱(2宽+3高<98″=2450mm允许下用)。长=外观尺寸+40（保丽龙）+18（余量）,宽=外观尺寸+40（保丽龙）+18（余量）,高=外观尺寸+40（保丽龙）+12（余量）,另有包装时，四个角可考虑用五层纸板，即特殊型套角，减小包材。 5. 床类（圆柱床、雪撬床、方板床）用天地盒，床柱一般用五层纸板（B=C）的内盒，床尾尺寸（2宽+3高）<2450=98″,可选择侧封箱。 6. 餐桌用天地盒，一般中面板为2*18″ 、1*18″ 、2*12″全部一起包,分炮筒桌或四脚桌、片腿桌三种形式,四脚桌腿用气泡袋装,内盒同桌面一箱,炮筒单独一箱,片腿桌也单独一箱。 包装要求以及保丽龙的使用 1. 柜类包装：面板一般全部用成型保丽龙L*120*120*20*20,其它部位用8kg，四个下脚有线条，可以考虑用成型的L*120*120*20*20保护，背板不油漆可不用保丽龙，门前面保丽龙一般用80-120宽，有内抽须固定，不可有晃动现象，柜类四个边的L型保丽龙长度上下各空30-75即可，宽度厚度根据产品而定，L型保丽龙长度以50mm为进制。 2. 纸套角一般用B3C，特殊受力用B=C，有保丽龙套角就需有纸套角。 3. 餐椅类：外箱用卡通箱，靠背每一层用纸板B=C隔开，两端头有一特殊套角（用B=C纸板做成，两座垫间有一纸板隔开；另有保丽龙保护，椅腿需有气泡袋，用麻绳钉在座框下，靠背用PE袋包好，PE袋上有警告标志。 4. 餐桌桌面边沿用成型L*120*120*20*20保丽龙，长度各边空30-75mm长，四个角视情况用方型或梯形或三角形保丽龙，或保丽龙套角 120*120*120*20*20*20，餐桌腿可用汽泡袋+内盒，或珍珠棉+内盒+保丽龙。炮筒一般单独包装，用保丽龙+珍珠棉+外箱即可。 5. 镜类： 1) 镜子前需有保丽龙同外观镜子尺寸同样，厚度一般为8mm-15mm,同立柱平齐，四个角用保丽龙套角，四边用方形保丽龙垫平齐即可; 2) 化妆镜底部用整块10mm厚保丽龙，比纸箱尺寸小30mm; 3) 镜背条、五金包、说明书在一起，在底座下面，有五金包飘带，镜背板和镜子之间需贴双面胶固定，锁镜背板用ф3*12mm伞头木螺丝。 6．床类：圆柱床、方板床柱用内盒(地盒)形式保护，床芯板用8kg的保丽龙垫平，纸板一般计算7mm，注意纸箱开口方向，折叠方向，上脑用L型保丽龙或五层纸板，小床内径在1.5米左右，保丽龙长度取1/3Lmm,大床内径超1.7米，保丽龙长度取1/4Lmm放在下档，圆柱上端有雕刻花用L型保丽龙或“U″型保丽龙，床底部一般设计12mm,PB板余料做包装框，视情况用3mm或不用。

纸箱尺寸怎么算

随着纸箱的广泛使用,定制的商户也越来越多。设计做出一个合适的纸箱，首先要计算好尺寸。首先要计算放入纸箱物品的尺寸（也就是相当于纸箱的内径尺寸），如果放的是多个物品，要先测量一个物品的长宽高，然后再看需要怎么放好看，放多少个，最后再计算出总的尺寸的长宽高。 三层纸箱的尺寸是在内径基础上长宽高各加1-1.5厘米 五层纸箱尺寸是在内径基础上长宽高各加1.5-2厘米 计算纸箱面积=长X宽：首次算出料长和料宽（单位都换算成米） 按最简单的对口纸箱为例： 料长=（长+宽）X2+0.05 料宽=宽+高+0.01 纸箱的面积=料长X料宽

内规格+纸板薄厚=生产制造规格、生产制造规格+纸层薄厚=外规格、内规格+纸板薄厚=外规格。但是，这些计算方式仅适用于纸箱的长度和宽度。而纸箱的高面因为上下左右都有条横压线和90°弯曲，所以箱高计算方法为:内规格+2个纸板薄厚=生产制造规格、生产制造规格+2个纸层薄厚=外规格、内规格+2个纸板薄厚=外规格。 纸箱形式 1、包卷式纸箱 包裹瓦楞纸箱与0210箱有些相似，不同之处在于0210箱的边缘方向平行于空白纸板的宽度，而包裹瓦楞纸箱的边缘方向平行于纸板的长度。0210箱接头连接到主箱表面，而包装纸盒连接到侧箱表面。0210包装盒内外摇盖的压痕线在一条直线上，而包装盒是不同的。 2、分离式纸箱 分离式纸板箱在流通过程中可以分为两个以上，主要解决大量生产和小量销售的矛盾。分离纸盒可以在传统标准纸盒类型的基础上结合各种辅料，也可以采用全新的成型方法。 3、三角柱型纸箱 三角形柱型纸箱是壳体与角衬个页面成形，纸箱的4个角隅产生三角形柱或斜角柱构造，进而使抗拉强度提升20%-50%。与普通瓦楞纸箱相比，三角瓦楞纸箱的抗压强度在标准条件下可提高20%-30%，在高湿度条件下可提高40%-60%。因此，箱体不会凸出，尤其是在潮湿条件下。

纸箱种类的选择与尺寸计算

纸箱种类的选择与尺寸计算；； 作者:江南依依家具港标签：娱乐2010-09-15 23:02 星期三晴 江南依依家具港店铺https://www.wendangku.net/doc/8a12029377.html, 纸箱种类的选择与尺寸计算 1. 纸箱种类：卡通箱、天地盒、中封箱、侧封箱、L型以及异形（本人一般以内径订购纸箱，这样更方便计算）。 2. 柜类的外箱为卡通箱。长=外观尺寸+40（保丽龙）+12（余量）=外观尺寸+52 宽=外观尺寸+40（保丽龙）+12（余量）=外观尺寸+52 高=外观尺寸+40(面板保丽龙)+15(包装框)+12(余量)=外观尺寸+67 即卡通箱尺寸=外观尺寸的长宽各加2” 高加2-1/2”. 3. 床类、餐桌类的天地盒外箱：地盒长=保丽龙外观尺寸+18（余量），地盒宽=保丽龙外观尺寸+18（余量），地盒高=保丽龙外观尺寸+12（余量）；天盒长=地盒长+12，天盒宽=地盒宽+12，天盒高=地盒高+6（余量）。 4. 化妆镜类的侧封箱外箱(2宽+3高<98″=2450mm允许下用)。长=外观尺寸+40（保丽龙）+18（余量）,宽=外观尺寸+40（保丽龙）+18（余量）,高=外观尺寸+40（保丽龙）+12（余量）,另有包装时，四个角可考虑用五层纸板，即特殊型套角，减小包材。 5. 床类（圆柱床、雪撬床、方板床）用天地盒，床柱一般用五层纸板（B=C）的内盒，床尾尺寸（2宽+3高）<2450=98″,可选择侧封箱。 6. 餐桌用天地盒，一般中面板为2*18″ 、1*18″ 、2*12″全部一起包,分炮筒桌或四脚桌、片腿桌三种形式,四脚桌腿用气泡袋装,内盒同桌面一箱,炮筒单独一箱,片腿桌也单独一箱。 包装要求以及保丽龙的使用 1. 柜类包装：面板一般全部用成型保丽龙L*120*120*20*20,其它部位用8kg，四个下脚有线条，可以考虑用成型的L*120*120*20*20保护，背板不油漆可不用保丽龙，门前面保丽龙一般用80-120宽，有内抽须固定，不可有晃动现象，柜类四个边的L型保丽龙长度上下各空30-75即可，宽度厚度根据产品而定，L型保丽龙长度以50mm为进制。 2. 纸套角一般用B3C，特殊受力用B=C，有保丽龙套角就需有纸套角。 3. 餐椅类：外箱用卡通箱，靠背每一层用纸板B=C隔开，两端头有一特殊套角（用B=C纸板做成，两座垫间有一纸板隔开；另有保丽龙保护，椅腿需有气泡袋，用麻绳钉在座框下，靠背用PE袋包好，PE 袋上有警告标志。 4. 餐桌桌面边沿用成型L*120*120*20*20保丽龙，长度各边空30-75mm长，四个角视情况用方型或

包装纸盒结构图与尺寸标注规范

1.纸盒尺寸标注的三种类型。 （1）制造尺寸。纸盒的加工制造尺寸，标注在结构设计展开图（工作图)上，可用X 表示，直角六面体纸盒、纸箱的内尺寸用L*W*D表示（如图3-17）。 图3-17常规纸盒展开图绘制长宽高 （2）内尺寸。纸盒成型后构成内部空间的尺寸，直角六面体纸盒、纸箱的内尺寸可用X1或L1*B1*H1用表示。内尺寸一般由包装物的数量、形状、大小，或内包装的形式、大小决定的，是纸容器结构设计的重要依据。在包装盒设计过程中，制造尺寸要依据内尺寸计算确定，以保证按照制造尺寸加工的容器，成型后满足内尺寸，即容积量的要求。 （3）外尺寸。纸盒成型后构成的外部最大空间尺寸，反映容器所占空间体积的大小。如直角六面体的纸盒外尺寸可用X0或L0XB0XH0。外尺寸是外包装、运输包装及储运、堆码及货架的设计依据（如图3-18）。

图18

图19 2.纸盒设计图标注方法。 （1）纸盒设计图的尺寸线、尺寸界线、尺寸数字的线型、画法、标注方法与国家机械制图标准一致，尺寸界线从裁切线或中心线（或槽中心线）引出，也可把裁切线、中心线当做尺寸界线标注。 （2）印刷文字、图案以稿样为准，在设计图上不必画出，只需按比例标出尺寸范围，、用点划线画出，并在技术要求中注明印刷涂油的要求即可。

（3）立体图样应标注内尺寸，如需标注外尺寸，应在尺寸前加注“外”字。 （4）纸板名称、规格、厚度可在技术要求中提出。 3.管型折叠纸盒的结构与尺寸规范。 （1）粘贴翼倒角角度：10*15。 （2）切缝锁合/封口主摇翼宽度缩减量：一般为0.80mm或纸板厚度。 （3）切缝锁合/插舌翼片缩进量：一般为0.8mm或纸板厚度。 （4）切缝锁合/防尘翼（封口副翼）肩：根据纸盒尺寸和I或纸板厚度而变化。 （5）切缝锁合/主防尘翼（封口副翼）角度：一般为45 （6）切缝锁合/次防尘翼（封口副翼）角度：一般为15。 （7）防尘翼（封口副翼）缩进量：一般为…8111111或纸板厚度。 （8）摩檫锁合/插舌翼肩：根据纸盒尺寸和或纸板厚度而变化。 （9）摩擦锁合/主防尘翼（封口副翼）角度：一般为15。 （10）制造接头缩进量：一般为0.8mm或纸板厚度。 （11）完全或部分交叠密封盒底I防尘翼（封口副翼）肩：根据尺寸变化。 （12）完全或部分交叠密封盒底/主防尘翼（封口副翼）角度：一般为45。。（13）完全或部分交叠密封盒底/次防尘翼（封口副翼）角度：一般为。 （14）完全或部分交叠密封盒底/可选防尘翼（封口副翼)细节：一般为15。 （15）部分交叠密封盒底：一般为1/2宽度加9mm-10mm。

瓦楞纸箱的尺寸计算

瓦楞纸箱的尺寸计算 瓦楞纸箱也是包装中最常见的一种，但是怎么样掌握适当的尺寸是有计算方法的，当设计人员设计好包装时，便会有一个尺寸用来生产包装，通常这种尺寸有两种，我们称之为内尺寸和外尺寸。那内尺寸和外尺寸又是怎样计算的呢？我们来共同学习一下吧。 内尺寸计算公式：X I=X max N x+d(N x-1)+T+k I 式中：X I——————纸箱内部尺寸，mm； X max—————内装物在X方向上的最大外尺寸，mm； N x——————内装物在X方向上的排列件数； d——————中包装间隙系数，mm； T——————隔衬及缓冲厚度，mm； k I——————内尺寸修正系数，mm； 如现已知：1max=400mm bmax=300mm hmax=300mm n1=10 nb=2 nh =2 排列方式：10*2*2 查瓦楞纸箱内尺寸修正系数K表，可得： KL=3mm KB=3mm KH=2mm 则：Li=40*10+(10-1)*1+3=412mm Bi=150*2+(2-1)*1+3=304mm Hi=150*2+(2-1)1+2=303mm 计算制造尺寸 由内尺寸计算制造外尺寸 1、制造尺寸公式： X= Xi+(ni-a)t 式中： X————瓦楞纸箱长、宽、高制造尺寸（mm） Xi————纸箱内尺寸（mm)

t ————瓦楞纸箱计算厚度（mm） ni————由内向外纸板层数 a————系数 这是理论公式，在实际生产中要根据情况加上适当的修正系数，即：X=Xi+(ni-a)t+k 因为瓦楞纸板厚度与瓦楞型和纸板层数有关，(ni-a)与箱型有关，一旦楞型，纸板层数和箱型确定，纸板厚度也就基本确定，所以，在实际设计中，可将上式中的(ni-a)再加上1—3毫米的修正系数而合并成一个常数，任用K表示，则上式简化为：X=X I+K 其中：X————瓦楞纸箱长宽高制造尺寸(mm) Xi————纸箱内尺寸(mm) K————制造尺寸的修正系数(mm) 2、对接摇盖制造尺寸 在纸箱摇盖对接封合的箱型中，摇盖尺寸理论值应为箱宽制造尺寸的1/2，但是由于摇盖回弹作用，必然在摇盖对接外产生间隙，使封箱不严造成内装物遭尘埃污染，因此，对接摇盖宽度制造尺寸都应一修正值，修正值为摇盖伸长系数X、f，则：F=B1/2+Xf 其中：F————纸箱对接摇盖宽度(mm) B1————纸箱非接合端面宽度制造尺寸(mm) 计算瓦楞纸箱外尺寸 由制造尺寸计算瓦楞纸箱的外尺寸 在流通过程中，不论运费的计算，还是箱面标志中的体积，都要以外尺寸为准，因此，在纸箱设计中，不光根据尺寸确定制造尺寸，还要根据制造尺寸计算外尺寸，计算公式： Xo————纸箱的外尺寸(mm) X max————纸箱最大制造尺寸(mm) K————纸箱外尺寸修正系数(mm)

瓦楞纸箱的计算公式及测量方法

瓦楞纸箱的计算公式及测量方法 一、瓦楞纸板主要分为那几种以及它们的用途： 1.三层瓦楞纸板； 又叫单瓦楞纸板（常用的包含单A型、单B型、单E型）主要用于包装重量较轻的包装物，其结构是由一瓦楞纸两面各粘一里面纸组合而成。 2.五层瓦楞纸板； 主要用于单件包装重量较轻且易破碎的装物；五层瓦楞纸箱又叫双瓦楞纸箱，五层瓦楞纸箱的结构是由：面纸、里纸、一芯纸和两瓦楞纸粘合而成，楞型的组合通常采用AB型、AC型、BC型、AE型、BE型和EE型。还有一种特殊的瓦楞叫AB复合瓦，是用6层原纸合成，愣型也属于AB型，但是A瓦一般是用两瓦楞纸复合在一起，作用是为了增加强度，但是厚度又没有七层的厚，强度和七层的差不多，这种箱子装柜好装又可以保证强度。 3.七层瓦楞纸板： 七层瓦楞纸箱由下列纸板组成三层瓦楞箱板纸（主要用于重型商品的包装，如摩托车、健身器材、烟箱等）； 组成：由面纸、瓦楞纸、芯纸、瓦楞纸、芯纸、瓦楞纸、里纸粘合而成。是由3瓦楞2芯纸和里外面纸组成，瓦楞楞型的组合通常采用BAB型、BAA型、BAC 型。 4.瓦楞原纸制作瓦楞纸的系数的确定 瓦楞原纸因压瓦楞后引起纸长度方向上的缩短其缩短比值称为压缩比系数，通常也可叫楞率。此项系数各制造厂无统一标准，其原因在于各制造厂的生产能力、管理水平的高低、瓦楞辊使用时间直接影响瓦楞纸的收率高低，但瓦楞包装界一般默认如下系数； A楞的压缩比系数为1.59，即1.59米的瓦楞纸压瓦楞后为1米长。 B楞的压缩比系数为1.36，即1.36米的瓦楞纸压瓦楞后为1米长。

C楞的压缩比系数为1.50，即1.50米的瓦楞纸压瓦楞后为1米长。 E楞的压缩比系数为1.27，即1.27米的瓦楞纸压瓦楞后为1米长。 瓦楞种类瓦楞高度（mm）30cm标准楞数A型 4.5-4.8 34+2 B型 2.5-3.0 50+2 C型 3.5-3.8 38+2 E型 1.1-2.0 96+4 我司目前为A瓦和B瓦。 二、瓦楞纸箱尺寸计算 1、首先瓦楞纸箱的箱型分类： a：普通半盖箱（根椐纸箱大小以及自身设备的限制来确定是否做一片成型或是两片成型）【见图片展示】 对口天地盖 b：全盖箱（同上） c：天地盖（上下盖）—见图 以上一般是出口纸箱比较常用的包装方式，而且在用材上面也是可以直接根据要求纸箱的大小来确定用材料的平方大小。 另外还有一些如：托盘、翻盖式、牙膏盒、底部对插盒等一些比较特殊的盒型。这些箱型所存在的一个问题就是不方便运输，所以一般来说这些箱子外面最终还是会再用一层纸箱来套。 随着市场的竞争需求，客人在包装方式上也都在不断的推出新，不断的 提升自己的品牌效益，而且有些客人还直接的把这种纸箱包装方式推给我们纸箱生产厂家的身上，让我们来帮忙设计看有比较独特风格的包装箱。 2、纸箱径尺寸、制造尺寸、与外径尺寸的关系： 制造尺寸=径尺寸+纸板厚度

箱体尺寸计算

内盒：产品尺寸一边加2-3公分（保力龙） 内径：汽泡纸产品尺寸加0.5 高+1公分 内盒= 长、宽+0.5 高加 1 保丽龙包装产品与产品间隙 1.5cm 1.邮购包装 1）试摔内盒（90cm高试摔） 2）内盒要六面封口 3）用五层内盒，可分为五层穿心内盒和五层箱式内盒。 长=（长+1）*个数+1（外箱外径） A．五层穿心内盒算外箱规格公式：宽=（宽+1.8）*个数+1（外箱外径） 高=（高+1）*个数+1（外箱外径） 长=（长+1.5）*个数+1（外箱外径） B．五层箱式内盒算外箱规格公式：宽=（宽+1.5）*个数+1（外箱外径） 高=（高+2）*个数+1（外箱外径） 2.普通包装 1）安全包装，可分为： A．汽泡纸包装 B．保利龙包装 2）汽泡纸包装如是多个产品装一个内盒，产品要用隔套隔开，隔套可用三层或五层（根据产品大小）。 3）只要包装安全，内盒可用三层内盒和五层内盒（或箱式） 长=（长+0.5）*个数+0.5+1（外箱外径） A．三层穿心内盒算外箱规格公式：宽=（宽+0.6）*个数+0.6+1（外箱外径） 高=（高+0.5）*个数+1（外箱外径） 长=（长+0.5）*个数+0.5+1（外箱外径） B．三层箱式内盒算外箱规格公式：宽=（宽+0.5）*个数+0.5+1（外箱外径） 高=（高+1）*个数+0.5+1（外箱外径） C．五层穿心内盒算外箱规格公式：同邮购包装 D．五层箱式内盒算外箱规格公式：同邮购包装 4）如果是保利龙包装，要套透明塑料袋，塑料袋口超过‘7’要打孔，并贴或印客人指定的警告图标。 3.彩盒包装/礼品盒包装 1）安全包装，可分为： A．汽泡纸包装 B．保利龙包装

瓦楞纸箱展开面积计算方法

瓦楞纸箱展开面积计算方法 核算纸箱成本具体是从计算纸箱面积开始的，而面积计算得准确与否直接由尺寸决定，一般情况下尺寸是需要亲手去量的。下面介绍两种常见类型的纸箱面积算法，其余类型可以按此方法类推。 平口箱的展开面积平口箱也称之为 02 型瓦楞纸箱。 L 、 W 、 H 、 F 、 TS 分别表示长、宽、高、摇盖和接头。为了保证成型后的纸箱平整，第二侧面需要减去 2mm 。 瓦楞纸箱内、外径与制造规格的关系 一般来说，客户定购的纸箱有两种销售方向，即内销和外销，其中外销用于出口的纸箱需要通过集装箱运输，这就对尺寸的要求格外严格，稍有偏差都可能导致集装箱内放不下预定的纸箱个数，造成运输不便，耽误运输时间，甚至会有较大的经济损失。 纸箱尺寸有内径尺寸、外径尺寸和制造尺寸之分，其中内径规格以包装实物规格为准；制箱时的下料尺寸称为纸箱的制造尺寸，若客户提供的订单规格为外径或内径，在生产过程中一般都需转换为制造规格。集装箱和非集装箱的区别主要在于外径，并且与瓦楞类型密切相关。下面将通过表 2 详细罗列出纸箱内径规格、制造规格、外径规格之间的关系： 表 2 瓦楞纸箱内、外径与制造规格的关系 瓦楞纸箱制造尺寸的量法纸箱的制造尺寸为制箱时的下料尺寸。制造尺寸以展开的箱坯上的压线为度量的基准。分切机上的压痕辊在压线位置上压出的是一条沟，压线是这条沟槽的中心线。两条压线的距离就是制造尺寸。将制造尺寸转换为内、外径尺寸可以通过表 2 速成，但它们也分别有自己的测量方法。

瓦楞纸箱在制造过程中有单拼和双拼之分 单拼即一页成型箱 , 一般用于周长较小的纸箱；双拼也称为二页箱，有的纸箱周长太大，不得不用两片箱坯拼凑一个纸箱，但有时纸箱厂为了利用生产过程中裁切下来的余料，也会用两片拼凑一个尺寸不算太大的纸箱，甚至有时会用四片。二页箱与一页箱相比，多了一个接头，因此两者的面积计算有一些细微的差别。 接头和回丝 纸箱接头的制造尺寸根据瓦楞层数和生产工艺水平确定，单瓦楞纸板为 35 ~ 40mm ，双瓦楞纸板为 45 ~ 50mm ，三瓦楞纸板为 50mm 。计算纸箱展开面积时必须考虑到制造过程中回丝的损耗，回丝的尺寸依据纸板层数确定，一般为 20 ~ 40mm 。为了便于实际工作中的计算，统一采取加“ 8 ”加“ 4 ”的规则，即将横向方向上接头和回丝的总和定为 8cm ，纵向方向上回丝总合定为 4cm 。 1、平口箱面积计算公式 通过以上介绍，平口箱的面积计算可以由下面两条公式表示： 单拼纸箱面积 S= ［ ( 长 + 宽) × 2+8 ］× ( 宽 + 高 +4) 双拼纸箱面积 S= ［ ( 长 + 宽+8) × 2 ］× ( 宽 + 高 +4) 注：这里长、宽、高、 8 、 4 的单位均为 cm 。 上全盖下插口式纸箱的展开面积上全盖下插口式的纸箱一般箱型较小，有些是用瓦楞纸板制成，有一部分是仅用单层的涂布白卡纸生产，例如药品、食品、化妆品的外层小包装。 切长和瓦高 在瓦楞纸箱制造过程中，分清楚切长和瓦高的概念尤为重要。一旦搞错，纸箱强度将差之千里，从而会导致生产出来的纸箱全部报废，造成巨大的损失。 切长是指垂直于瓦楞方向的长度；瓦高是指顺着瓦楞方向的长度。 接头与回丝在这里根据纸箱层数确定接头尺寸，三层箱的接头一般为 3cm ，五层箱的接头一般为 4cm 。回丝的尺寸统一按 2cm 计算。 2、上全盖下插口式纸箱面积计算公式 切长： L= （长 + 宽）× 2+ 接头 + 回丝 瓦高： H= 1/2 宽 + 插口 + 高 + 宽 + 回丝 面积S= L × H 说明：一般计算纸箱的面积都是参照实物进行的，将纸箱展开后，根据不同纸箱的具体形状作具体的尺寸分析，长、宽、高通过精确的测量都是固定的，接头和回丝的尺寸视不同的情况具有一定的灵活性。 3、上插口下平口箱和上插口下自扣的面积S计算公式 S= ［ ( 长 + 宽) × 2+8 ］× ( 宽×1.5 + 高 +8) 4、上插口下插口箱的面积面积S计算公式 S= ［ ( 长 + 宽) × 2+8 ］× ( 宽×2 + 高 +16) 5、上搭口下搭口箱的面积S计算公式 S= ［ ( 长 + 宽) × 2+8 ］× ( 宽×2 + 高 +4) 6、上提手下平口箱的面积S计算公式 S= ［ ( 长 + 宽) × 2+8 ］× ( 宽×1.25+ 高 +4) 7、附件的面积S计算公式 S= ( 长 + 2) × ( 宽+2)

纸箱内外尺寸算法

纸箱内外尺寸 一、定义： 内尺寸：纸箱合成型后内部尺寸=被包装物的体积 内尺寸长度：箱内底面稍长边的尺寸 内尺寸宽度：箱内底面稍短边的尺寸 内尺寸高度：箱内顶面到底面的尺寸 外尺寸：箱最外轮廓尺寸=制造尺寸 二、纸箱外尺寸 纸箱在内尺寸的基础上设计外尺寸 国际五层纸板内尺算外尺长宽高各加1，1，1.7cm 三层长宽高各加0.4,0.4,0.6cm 国内标准:五层BC坑不加强坑,长宽高各加1,1,1.5cm 五层BC坑加强坑,长宽高各加1.2,1.2,1.7cm 三层B坑长宽高各加0.6,0.6,1.2cm 三层C坑长宽高各加0.7,0.7,1.3cm 内箱尺寸换外箱尺寸：内箱组合后的尺寸长宽高各加2，2，2.5cm(五层) 三、纸箱制造尺寸(用外尺寸计箱,设长=X,宽=Y,高=H) 五层BC坑纸板用料尺寸(两页):纸宽=Y+H+2>1cm(啤边), 长=X+Y+4.5>2.7cm(结口) 压线:上盖=下盖=Y/2+(0.2~0.3cm) 中高= H 长，宽= X，Y，4.5>2.7cm结口 四、有些客户的外尺寸（箱体积）为制造尺寸长+0.5,宽-0.5,高+1cm(五层BC坑纸板 用料) 它的内尺换外尺公式为长宽高各加1.5,0.5,2cm(五层BC坑纸板用料) 五、纸板是按英寸来开的，所以在纸箱算用料时，当刚好在一个度点上，就要想办法可 在纸箱尺寸的宽与高各减0.2cm来减少一个度的用料.但最好经相关人员确认

六、公司内部各客户的尺寸算法 1、美的饮水机外尺为：制造尺寸长+0.5cm纸板厚, 宽,高都相同. 2、美的电磁炉外尺为：制造尺寸=外尺寸 3、美的炊具外尺寸为：制造尺寸=外尺寸 4、美的家用电器外尺为：制造尺寸 5、美的开利外尺为：制造尺寸 6、美的风扇外尺为：制造尺寸 7、格兰仕空调外尺为：制造尺寸 8、格兰仕微波炉外尺为：制造尺寸 9、格兰仕小家电外尺为：制造尺寸 10、亿龙电器外尺为：制造尺寸 11、百明实业外尺为：制造尺寸 12、松下空调外尺为：制造尺寸 13、华凌空调外尺为：制造尺寸 14、