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四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题(解
析版)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知集合2,,,则
A. B. C. D. 2,
【答案】B
【解析】解:集合2,,,
.
故选:B.
直接利用交集的运算性质求解得答案.
本题考查了交集及其运算,是基础题.
2.i为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数
A. B. 0 C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】解:是纯虚数,
,即.
故选:C.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
3.某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1,2,3,4,5,6的队员进行实弹射击比赛,每人射击1次,
击中的环数如表:
则以上两组数据的方差中较小的一个为
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】解:甲组数据为:6,7,7,8,7,7;
乙组数据为:6,7,6,7,9,7;
所以甲组数据波动较小,方差也较小;
计算它的平均数为,
方差为.
故选:B.
根据两组数据的波动性大小判断方差大小,再计算平均数与方差的值.
本题考查了平均数与方差的计算问题,是基础题.
4.某班共有50名学生,其数学科学业水平考试成绩记作2,3,,,若成绩不低于60分为合
格,则如图所示的程序框图的功能是
A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数
B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率
C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数
D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率
【答案】D
【解析】解:执行程序框图,可知其功能为输入50个学生成绩,
k表示该班学生数学科成绩合格的人数,i表示全班总人数,
输出的为该班学生数学科学业水平考试的合格率.
故选:D.
执行程序框图,可知其功能为用k表示成绩合格的人数,i表示全班总人数,即可得解.
本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.
5.已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形,腰长为3,
底边长为2,俯视图是一个半径为1的圆如图,则这个几何体的内切球
的体积为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解:由三视图知该几何体是圆锥,且底面圆的半径为1,母线长为3;
其正视图为等腰三角形,且内切圆的半径满足
,
解得;
几何体的内切球体积为
.
故选:A.
由三视图知该几何体是圆锥,结合图中数据求出圆锥内切球的半径,再计算内切球的体积.
本题考查了由三视图求几何体的内切球体积的应用问题,是基础题.
6.若函数的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,则函数在区间
上的最小值为
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】解:函数的图象向左平移个单位长度后
图象所对应解析式为:,
由关于y轴对称,则,,,
又,
所以,
即,
当时,
所以,
,
故选:A.
由三角函数图象的性质、平移变换得:,由关于y轴对称,则,,,又,所以,
由三角函数在区间上的最值得:当时,所以,,得解
本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值,属中档题.
7.若函数的定义域和值域都是,则
A. B. C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】解:因为为上的递减函数,
所以,,
即,解得
故选:B.
根据函数的单调性得,,解得,再代入原式可得.
本题考查了函数的值域,属中档题.
8.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的外接圆面积
为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:设的外接圆半径为R,
,
由余弦定理可得:,
,解得:,
的外接圆面积为.
故选:C.
设的外接圆半径为R,由余弦定理化简已知可得,利用正弦定理可求,解得,即可得解的外接圆面积.
本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
9.若正实数x,y满足,则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:,,,
,
当接仅当,取等号,
故选:D.
将变成,将原式后,用基本不等式可得.
本题考查了基本不等式及其应用,属基础题.
10.在正方体中,点M,N分别是线段和上不重合的两个动点,
则下列结论正确的是
A.
B.
C. 平面平面
D. 平面平面
【答案】A
【解析】解:在正方体中,易证平面,
又平面,
,
故选:A.
利用线面垂直的判定方法易证平面,在用线面垂直的性质定理可得.
此题考查了线面垂直的判定和性质,属容易题.
11.已知,若点P是抛物线上任意一点,点Q是圆上任意一点,则
的最小值为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】解:抛物线的焦点,准线l:,
圆的圆心为,半径,
过点P作PB垂直准线l,垂足为B,
由抛物线的定义可知,
则,
当A、P、B三点共线时取最小值,
.
即有取得最小值4.
故选:B.
求得抛物线的准线方程和焦点坐标,过点P作PB垂直准线l,垂足为B,由抛物线的定义和当A、P、B三点共线时取最小值,结合图象即可求出.
本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值,注意运用抛物线的定义和圆的性质,考查转化能力,计算能力,属于中档题.
12.设函数是定义在上的函数,是函数的导函数,若,,为
自然对数的底数,则不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:令,,
则,
故在递增,
而,
故,即,
故,
故选:A.
令,,求出函数的导数,根据函数的单调性求出x的范围即可.
本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道常规题.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.若,则______.
【答案】
【解析】解:,则,
故答案为:.
直接利用利用二倍角的余弦公式,把代入运算求得结果.
本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值,属于基础题.
14.已知,向量,,且,则______.
【答案】或2
【解析】解:向量,,且,
则或2
故答案为:或2.
由已知及向量的数量积的性质可知,从而可求.
本题主要考查了向量的数量积的运算性质的简单应用,属于基础试题.
15.若关于x的方程只有一个实数解,则实数k的值为______.
【答案】
【解析】解:由可得,
函数与的函数图象只有一个交点.
又两函数的对称轴均为直线,
两函数的交点必在对称轴上,即为,
,即.
故答案为:.
根据函数与的对称性和交点个数得出交点坐标,从而得出k的值.
本题考查了函数零点与函数图象的关系,属于中档题.
16.已知双曲线右支上有一点A,它关于原点的对称点为B,双曲线的右焦点为F,
满足,且,则双曲线的离心率e的值是______.
【答案】
【解析】解:,可得,
在中,,
,
在直角三角形ABF中,,可得,,
取左焦点,连接,,可得四边形为矩形,
,
.
故答案为:.
运用三角函数的定义可得,,取左焦点,连接,,可得
四边形为矩形,由双曲线的定义和矩形的性质,可得,由离心率公式,即可得到所求值.本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
三、解答题(本大题共7小题,共80.0分)
17.已知等差数列是递增数列,且,.
求数列的通项公式;
若,求数列的前n项和.
【答案】解:设首项为,公差为d的等差数列是递增数列,
且,.
则:,
解得:或9,或1,
由于数列为递增数列,
则:,.
故:
则:.
由于,
则:,
,
.
所以:,
,
,
.
【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式.
利用的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和.
本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
18.今年年初,习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道:“我们要积极推进两岸经济
合作制度化打造两岸共同市场,为发展增动力,为合作添活力,壮大中华民族经济两岸要应通尽通,提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通,可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作,社会保障和公共资源共享,支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召,在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源,据统计,每家大型农贸市场的年平均销售量单位:吨,以,,,,,,
分组的频率分布直方图如图.
求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数;
在年平均销售量为,,,的四组大型农贸市场中,用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场,求年平均销售量在,,的农贸市场中应各
抽取多少家?
在的条件下,再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,求恰有1
家在组的概率.
【答案】解:由直方图的性质得:
,
解方程得,
直方图中.
年平均销售量的众数是,
,
年平均销售量的中位数在内,
设中位数为a,则:,
解得,
年平均销售量的中位数为224.
年平均销售量为的农贸市场有:,
年平均销售量为的农贸市场有:,
年平均销售量为的农贸市场有:,
抽取比例为:,
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家,
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家,
年平均销售量在的农贸市场中应抽取家,
故年平均销售量在,,的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.由知年平均销售量在,,的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.
设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,
基本事件总数,
恰有1家在组包含的基本事件的个数,
恰有1家在组的概率.
【解析】由直方图的性质能求出直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数.年平均销售量为的农贸市场有25,年平均销售量为的农贸市场有15,年平均销售量为的农贸市场有5,由此利用分层抽样能求出年平均销售量在,,的农贸市场中应各抽取多少家.
年平均销售量在,,的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,基本事件总数,恰有1家在组包含的基本事件的个数,由此能求出恰有1家在组的概率.
本题考查频率、众数、中位数、概率的求法,考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
19.如图,在三棱柱中,四边形是长方形,,
,,,连接EF.
证明:平面平面;
若,,,D是线段上的一点,且,
试求的值.
【答案】证明:在三棱柱中,,,
,
又在长方形中,,,
平面,
四边形与四边形均是平行四边形,
且,,连结EF,
为的中点,F为的中点,EF为的中位线,
,
又,,
又平面,平面,平面,
,
又在平行四边形中,,
平行四边形是菱形,
由菱形的性质得对角线,,
平面,
又平面,平面平面.
解:由知平面,平面,
的长为三棱锥的高,的长为三棱锥的高,
在菱形中,,,
在中,由余弦定理得,
,,
又在中,,
,,
,
又在中,,
又,F分别为,中点,
,
,
.
【解析】推导出,,从而平面,连结EF,推导出,从而,推导出平面,从而,进而平行四边形是菱形,由菱形的性质得对角线,从而平面,由此能证明平面平面.
平面,平面,得AE的长为三棱锥的高,的长为三棱锥的高,由余弦定理得,从而,,推导出,由此能求出的值.
本题考查空间位置关系、锥体的体积公式及其应用,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
20.已知,椭圆C过点,两个焦点为,,E,F是椭圆C上的两个动点,直线AE的斜率与
AF的斜率互为相反数.
求椭圆C的方程;
求证:直线EF的斜率为定值.
【答案】解:由题意,可设椭圆方程为,
,解得,,
椭圆的方程为,
证明设,,设直线AE的方程为,代入得
,
,
,
又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,再上式中以代k,可得
,
,
直线EF的斜率
【解析】由题意,可设椭圆方程为,可得,解得即可,设,,设直线AE的方程为,代入,求出点E的坐标,再将k
换为,求出F的坐标,即可求出直线的斜率
本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的关系,弦的斜率问题等基础知识,考查了运算求解能力,推理论证能力,化归与转化思想,应用意识.
21.已知.
求在处的切线方程;
求证:当时,.
【答案】解:,
故,
故切线方程是:;
令,,
令,解得:,
令,解得:,
故在递减,在,
故极小值,
故,
,
,
故时,.
【解析】求出函数的导数,计算的值,求出切线方程即可;
求出,由放缩法求出即可.
本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,是一道综合题.
22.在平面直角坐标系xOy中曲线的参数方程为其中t为参数以坐标原点O为极点,x轴正半轴
为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线的极坐标方程为.
把曲线的方程化为普通方程,的方程化为直角坐标方程;
若曲线,相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线的垂线交曲线于E,F两点,求.【答案】解:曲线的参数方程为其中t为参数,
转换为直角坐标方程为:.
曲线的极坐标方程为.
转换为直角坐标方程为:.
设,,且中点,
联立方程为:,
整理得:
所以:,,
由于:,.
所以线段AB的中垂线参数方程为为参数,
代入,
得到:,
故:,,
所以:,
故:.
【解析】直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果.
利用的结论,进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果.
本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
23.已知函数,,其中,.
若函数的图象关于直线对称,且,求不等式的解集.
若函数的最小值为2,求的最小值及其相应的m和n的值.
【答案】解:函数的图象关于直线对称,,
,
当时,,解得,
当时,,此时不等式无解,
当时,,解得,
综上所述不等式的解集为.
,
又的最小值为2,
,
,当且仅当时取等号,
故的最小值为2,其相应的.
【解析】先求出,再分类讨论,即可求出不等式的解集,
根据绝对值三角形不等式即可求出,再根据基本不等式即可求出
本题考查了绝对值函数的对称轴,简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用,考察了运算求解能力,推理论证能力,转化与化归思想.