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排列组合基础练习

排列组合基础练习
排列组合基础练习

排列组合基础练习 1 已知集合A={0,1,3,5,7,11},B={-1,-7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一平面直角坐标系中所确定的不同点的个数是 ( )

A .36 B.63 C.18 D.36

2.4名运动员去争夺三项冠军,不允许并列,则共有多少种不同的冠军获得情况 ( )

(A )34C (B )34A (C )34 (D )43

3.从4本不同的书中挑三本,分别给甲,乙,丙三人每人一本,不同的分法有 ( )

(A )34C (B )3434A C (C )3334A C (D )33121314A C C C

4.某校午餐准备了6种不同的炒菜,每个学生可以任选3种,则不同的选法种数为( )

(A )36A (B ) 36C (C ) 36 (D )6

3 5.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是

A .C 16C 2 94

B .

C 16C 2 99 C .C 3 100 - C 3 94

D .A 3 100 - A 3 94

6.5本不同的书,全部分给四个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为( )

(A )480 (B )240 (C )120 (D )96

7.若把英语“error ”中字母的拼写顺序写错了,则可能出现的错误的种数是( )。

(A )19 (B )20 (C )119 (D )60

8. 5个身高均不等的学生站成一排合影,若高个子站中间,从中间到两边一个比一个矮,则这样的排法种数共有( ) (A )6种 (B )8种 (C )10种 (D )12种

9.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m 接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那么不同的参赛方案有 种

10.已知A={1,2,3,4},集合A 有 个子集.

11.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第

一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_ ____种(用数字作答)

12.某人制定了一项旅游计划,从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A 、B 、C 为必选城市,并且在游览过程中,必须按A 在B 之前,B 在C 之前的顺序(ABC 可以不相邻),则共有不同的游览路线种数为

三解答题

13.用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,其中5的倍数有多少个?

14. 4男3女排成一排:(1)若其中三位女生两两不相邻,有多少种排法?

(2)若其中甲、乙不相邻,丙、丁相邻,有多少种排法?

(3)若女生中只有两个女生相邻,有多少种排法?

15.从数字0、1、2、3、4、5中任取三个,组成没有重复数字的三位数,求:(1)这个三位数是偶数的概率;(2)这个三位数小于450的概率.

16.将4个不同的小球,放入编号为1、2、3、4的盒子内,

(1)共有多少种不同的放法;(2)求1号盒子内有两个球的不同放法;

(3)求没有空盒子的不同放法;(4)求有两个空盒子的放法

高中数学排列组合训练含答案

排列组合训练 一、单选题(共32题;共64分) 1.完成一项工作,有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选1个人完成这项工作,则不同的选法共有() A. 5种 B. 4种 C. 9种 D. 20种 2.如图所示十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有不同的行车路线有( ) A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 10种 3.甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是,没有平局.若采用三局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于() A. B. C. D. 4.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法的种数为() A. 3 B. 5 C. 9 D. 12 5.学校将位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试,则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为() A. B. C. D. 6.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有()种. A. 8 B. 15 C. 18 D. 30 7.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是() A. B. C. D. 8.从6名男生和4名女生中选出3名志愿者,其中恰有1名女生的选法共有() A. 28种 B. 36种 C. 52种 D. 60种 9.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆汽车最多坐4人,则不同的乘车方法种数为() A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 10.一个教室有五盏灯,一个开关控制一盏灯,每盏灯都能正常照明,那么这个教室能照明的方法有种() A. 24 B. 25 C. 31 D. 32 11.某技术学院安排5个班到3个工厂实习,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,则不同的安排方法共有()

高中排列组合基础题

排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中,总觉得抽象,解法灵活,不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法. 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排,如果甲、乙必须站在一起,不同的排法共有几种? 分析:先把甲、乙当作一个人,相当于三个人全排列,有33A =6种,然后再将甲、乙二人全排列有22A =2种,所以共有6×2=12种排法. 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中(注意两端). 例2 7个同学并排站成一排,其中只有A 、B 是女同学,如果要求A 、B 不相邻,且不站在两端,不同的排法有多少种?. 分析:先将其余5个同学先全排列,排列故是55A =120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位(不包括两端)中,(如图0×0×0×0×0“×”表示空位,“0”表示5个同学)有24A =2 种方法.则共有52 54A A =440种排法. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排(或不排)在某位置,可优先排这个元素,后排其他元素. 例3 6个好友其中只有一个女的,为了照像留念,若女的不站在两端,则不同的排法有 种. 分析:优先排女的(元素优先).在中间四个位置上选一个,有14A 种排法.然后将其余5个 排在余下的5个位置上,有55A 种方法.则共15 45A A =480种排法.还可以优先排两端 (位置优先). 四、同元问题“隔板法” 例4 10本完全相同的书,分给4个同学,每个同学至少要有一本书,共有多少种分法? 分析:在排列成一列的10本书之间,有九个空位插入三块“隔板”.如图: ×× × ××× ×××× 一种插法对应于一种分法,则共有39C =84种分法. 五、先分组后排列 对于元素较多,情形较复杂的问题,可根据结果要求,先分为不同类型的几组,然后对每一组分别进行排列,最后求和. 例5 由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) (A )210个 (B )300个 (C )464个 (D )600个 分析:由题意知,个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13 33A A 个,合计300个,所以选B 例6 用0,1,2,3,…,9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 【解法1】考虑0的特殊要求,如果对0不加限制,应有325555C C A 种, 其中0居首位的有314 544C C A 种,故符合条件的五位数共有325314 555544C C A C C A =11040个. 【解法2】按元素分类:奇数字有1,3,5,7,9;偶数字有0,2,4,6,8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:①不含0的;②含0的. ①不含0的:由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325 545C C A 个; ②含0的,这时0只能排在除首位以外的四个数位上,有14A 种排法, 再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有3141 5444C C A A 种排法. 综合①和②,由分类计数原理,符合条件的五位数共有325545C C A +3141 5444C C A A =11040个. 例8 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字,比20000大,且百位数字不是3

排列组合培优训练

排列组合强化训练 1.5人排一个5天的值日表,每天排一人值日,每人可以排多天或不排,但相邻两天不能排同一人,值日表排法的总数为( ) A.120 B.324 C.720 D.1280 2.一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数是( ) A.40 B.74 C.84 D.200 3.以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有( ) A.18个B.15个C.12个D.9个 4.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择3个,4个,5个,…,10个键同时按下,可发出和弦,若有一个音键不同,则发出不同的和弦,则这样的不同的和弦种数是( ) A.512 B.968 C.1013 D.1024 5.用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位数的个数是( ) A.36 B.32 C.24 D.20 6.现有一个碱基A,2个碱基C,3个碱基G,由这6个碱基组成的不同的碱基序列有( ) A.20个B.60个C.120个D.90个 7.现有男女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人,分别参加数理化三科竞赛,共有90种不同方案,则男、女生人数可能是( ) A.2男6女B.3男5女C.5男3女D.6男2女 8.已知集合A={1,2,3},B={4,5,6},从A到B的映射f(x),B中有且仅有2个元素有原象,则这样的映射个数为( ) A.18 B.9 C.24 D.27 9.有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,而不同的站法有( ) A.24种B.36种C.60种D.66种10.等腰三角形的三边均为正数,它们周长不大于10,这样不同形状的三角形的个数为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 11.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有( ) A.36种B.42种C.50种D.72种 12.设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子, 现将这五个球投放到五个盒子内,要求每个盒内放1个球,并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则这样的投放方法总数为( ) A 60 B 48 C 30 D 20 13.一栋7层的楼房备有电梯,在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯,则满足有且仅有一人要上7楼,且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有_______. 14. 将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中,每个盒子都不空,共有

高中排列组合练习题[1]

高二数学排列与组合练习题 黎岗 排列练习 1、将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有() A、81 B、64 C、12 D、14 2、n∈N且n<55,则乘积(55-n)(56-n)……(69-n)等于() A、 B、 C、 D、 3、用1,2,3,4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数() A、64 B、60 C、24 D、256 4、3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是() A、2160 B、120 C、240 D、720 5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表,如果合唱节目不能排在第一个,并且 合唱节目不能相邻,则不同排法的种数是() A、 B、 C、 D、 6、5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有() A、 B、 C、 D、 7、用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数有()

A、24 B、36 C、46 D、60 8、某班委会五人分工,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中甲不能担任正班长,乙不能担任学习委员,则不同的分工方案的种数是() A、B、 C、D、 答案: 1-8 BBADCCBA 一、填空题 1、(1)(4P 84+2P 8 5)÷(P 8 6-P 9 5)×0!=___________ (2)若P 2n 3=10P n 3,则n=___________ 2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中,取出三个不同元素的排列为 __________________________________________________________________ 3、4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有_________种不同排法。 4、有一角的人民币3张,5角的人民币1张,1元的人民币4张,用这些人民币可以组成 _________种不同币值。 二、解答题 5、用0,1,2,3,4,5这六个数字,组成没有重复数字的五位数, (1)在下列情况,各有多少个?

排列组合练习题及答案精选

排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题: 1. 从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法? 2. 从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学的人数是( ) A.男同学2人,女同学6人 B. 男同学3人,女同学5人 C.男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4. 一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58 种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有() A.12个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 答案:1、 2 2 72 3 、选 B. 设男生n 2 1 3 2 2 9 9 n 8 n3 。、mn m C 362、A 人,则有C C A 904 A A58 选 C. 二、相邻问题: 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法? 2. 有8本不同的书,其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这 些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为() A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案:1. 2 4 3 2 5 2 4 3 2 5 AA 48(2)选BAAA1440 三、不相邻问题: 1. 要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法? 1

完整版排列组合练习题及答案

排列组合》 一、排列与组合 1. 从9 人中选派2 人参加某一活动,有多少种不同选法? 2. 从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1 名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有90 种不同的方案,那么男、女同学的人数是 A.男同学2人,女同学6人 B.男同学3人,女同学5人 C. 男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4. 一条铁路原有m个车站,为了适应客运需要新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了58 种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有 A.12 个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 5.用0,1 ,2,3,4,5 这六个数字, (1 )可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000 的自然数? (5)可以组成多少个大于3000,小于5421 的数字不重复的四位数? 二、注意附加条件 1.6 人排成一列(1 )甲乙必须站两端,有多少种不同排法? (2)甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法? 2. 由1 、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复数字且是6 的倍数的五位数? 3. 由数字1 ,2,3,4,5,6,7 所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来,第379 个数是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157 4. 设有编号为1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在

排列组合基本知识

有关排列组合的基本知识 排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合. (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法. (2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法. 这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理. 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来. (二)排列和排列数 (1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法. (2)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m=n时,为全排列Pnn=n(n-1)(n-1)…3·2·1=n!

(三)组合和组合数 (1)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 这里要注意排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的. 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力 (2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解; (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大; (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1.已知(1+a x )(1+x)5的展开式中x 2 的系数为5,则a = (A )-4 (B )-3 (C )-2 (D )-1 2.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则:等于() A .55 B .-l C .52 D .52- 3,则的值为 A . B .C 4.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有() A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 5.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 6.()()8 x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.(用数字填写答案) 7.(x-2)6的展开式中3x 的系数为.(用数字作答) 8.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8,则a 1+a 2+a 3+…+a 8=________. 9.有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人. 10.7个人排成一排,按下列要求各有多少种排法? (1)其中甲不站排头,乙不站排尾; (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻; (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻; (4)其中甲、乙中间有且只有1人; (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列. 2312420)()(a a a a a +-++16-16

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合. (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法. (2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1 种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理. 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来. (二)排列和排列数 (1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法. (2)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m=n时,为全排列Pnn=n(n-1)(n-2)…3·2·1=n! (三)组合和组合数 (1)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素:我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺.... 序.排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.... 。 说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列(与位置有关) (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号m n A 表示 议一议:“排列”和“排列数”有什么区别和联系? 4、排列数公式推导 探究:从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少?3n A 呢?m A n 呢? )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n (,,m n N m n *∈≤) 说明:公式特征:(1)第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个 因数是1n m -+,共有m 个因数; (2),,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1)410A ; (2)25A ;(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???,那么m = 3.,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A .5079k k A -- B .2979k A - C .3079k A - D .3050k A - 例1. 计算从c b a ,,这三个元素中,取出3个元素的排列数,并写出所有的排列。 5 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中, m = n 全排列数:(1)(2)21!n n A n n n n =--?=(叫做n 的阶乘). 即学即练:口答(用阶乘表示):(1)334A (2)44A (3))!1(-?n n 排列数公式的另一种形式: )! (!m n n A m n -= 另外,我们规定 0! =1 .

高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1.从中选个不同数字,从中选个不同数字排成一个五位数,则这些五位数中偶数的个数为() A. B. C. D. 2.五个同学排成一排照相,其中甲、乙两人不排两端,则不同的排法种数为()A.33 B.36 C.40 D.48 3.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有() A.900种 B.600种 C.300种 D.150种 4.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有__________种(用数字作答). 5.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能站在最左端,而乙必须站在丙的左侧(不一定相邻),则不同的站法种数为__________.(用数字作答) 6.有个座位连成一排,现有人就坐,则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________. 7.现有个大人,个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人,则不同的合影方法有__________种.(用数字作答) 8.(2018年浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9.由0,1,2,3,4,5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数. 10.将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

高中排列组合知识点汇总及典型例题

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2.规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !!10 =n C 规定: 组合数性质:.2n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ① ;②;③;④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意: 分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。

奥数:排列组合的基本理论及公式.docx

一、排列合的基本理和公式,排列与元素的序有关,合与序无关。如 231 与 213 是两个排列, 2+ 3+ 1 的和与 2+ 1+3 的和是一个合。 (一 )两个基本原理是排列和合的基: (1)加法原理:做一件事,完成它可以有 n 法,在第一法中有 m1种不同的方法,在第二法中有 m2种不同的方法,??,在第n 法中有 m n种不同的方法,那么完成件事共有 N= m1+ m2+m3+?+ m n种不同方法。 (2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n 个步,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,??,做第 n 步有 m n种不同的方法,那么完成件事共 有N=m1×m2×m3×?×m n种不同的方法。 里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有 n法,是分,第一中的方法都是独立的,因此 用加法原理;做一件事,需要分n 个步,步与步之是 的,只有将分成的若干个互相系的步,依次相完成, 件事才算完成,因此用乘法原理。 完成一件事的分“ ”和“步”是有本区的,因此 也将两个原理区分开来。 C53表示从5 个元素中取出 3 个,共有多少种不同的取

法。这是组合的运算。例如:从 5 个人中任选三个人去参加 比赛,共有几种选法这就是从 5 个元素中取出 3 个的组合运算。可表示为C53。其计算过程是C53=5!/[3!× (5-3)!]叹号代表阶乘, 5!=5 ×4×3×2×1=120,3!=3 ×2×1=6,( 5-3)! =2! =2 ×,所以 C53=5!/[3! × (5-3)!]=120/(6 ×针2)=10对上 面 1=2 例子,就是从 5 个人中任选三个人去参加比赛,共有10 几种选法。 排列组合公式: 公式 P 是指排列,从N 个元素取 R 个进行排列。 公式 C 是指组合,从N 个元素取 R 个,不进行排列。 n—元素的总个数;r—参与选择的元素个数。 !—阶乘,如9!= 9×8×7×6×5×4×3。×2×1 举例: Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多

【选修2-3】《排列组合综合》练习(含答案) 3

【选修2-3】《排列组合》练习(含答案) 班级: 姓名: 1、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( ) A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 2、从5种不同的水果和4种不同的糖果各选出3种,放入如图所示的六个不同区(用数字且水果不能放在有公共得相邻区域内,在不同的放法有 A 、720种 B 、1440种 C 、2160种 D 、2880种 3.从9名学生中选出4人参加辨论比赛,其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为 A .36 B .96 C .63 D .51 4.空间有10个点,其中5点在同一平面上,其余没有4点共面,则10个点可以确定不同平面的个数是( )A 、206 B 、205 C 、111 D 、110 5、2010年上海世博会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作,每一项工作至少分一人,且甲、乙两人不能同时做同一项工作,则不同的分配种数是 A .24 B .30 C .36 D .48 6、现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元,50元人民币各一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是( ) (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 7、(1)有4封不同的信随机投到3个信箱中,共有__81____种不同的投法; (2)有4名同学争夺3个比赛项目的冠军,冠军获得者共有__64____种不同的报名方法; (3)集合{}d c b a A ,,,=,{}g n m B ,,= ①从集合A 到集合B 可以建立___81___个不同的映射; ②从集合B 到集合A 可以建立__64____个不同的映射; ③以集合A 为定义域,集合B 为值域可以建立_30_____个不同的函数; 特殊元素优先(位置分析法) 1、0、1、 2、 3、4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有_30___个; 2、将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果 元件A 不排在始端,元件B 不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ 504 插空法( “不相邻”问题,先排其它元素,再排不相邻元素) 1、三男四女坐成一排照相,男生不相邻,有__256_____种坐法。

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式! 35C =(5×4×3)/(3×2×1) 26 C =(6×5)/(2×1) 通过这2个例子 看出 n m C 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 35P =5×4×3 66P =6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P =从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N =M 时 即M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”; 其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分 类:“做一件事,完成它可以有n 类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个 标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成n 个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n 个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后,这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法.

高中排列组合知识点汇总及典型例题全

一. 基本原理 1 ?加法原理:做一件事有 n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2 ?乘法原理:做一件事分 n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二. 排列:从 n 个不同元素中,任取 m ( m < n ) 个元素,按照一定的顺序排成 列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,所 n! n m! 若C :1 C :2则 m^m ?或 m 1+m 2 n 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2 .解排列、组合题的基本策略 (1) 两种思路:①直接法; ② 间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2) 分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得岀结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所 有各类的并集为全集。 (3) 分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时, 常常分成若干步,再由分步计数原理解决。 在处理排列组合问题时, 常常既要分类, 又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4) 两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3 .排列应用题: (1) 穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举岀来; (2)、 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3) .相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4) 、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法 .即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接 元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5) 、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列, 然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选岀定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右 到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有 2种排法; (6) “小团体”排列问题一一采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体"时,可先将“小团体"看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体"内部的排列。 (7) 分排问题用“直排法"把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8) .数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被 2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被 3整除的 数的特征:各位数字之和是 3的倍数; ③ 能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5. ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是 25, 50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是 3的倍数的偶数。 4 .组合应用题:(1). “至少"“至多"问题用间接排除法或分类法 : (2). “含"与“不含" 用间接排除法或分类法: 3 .分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4. 分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。 随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5. 隔板法: 不可分辨的球即相同元素分组问题 例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告, 则共有 ___________ 种不同的 播放方式(结果用数值表示) 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A 2种;中间4个为不同的商业广告有 A 44种,从而应当填 A] 48.从而应填48. 例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法? 1.公式:1. A m n n 1 n 2 有排列的个数记为A m . 2 £?创鼻月曲)(同-2)*■ ? 2 1 (1) n! n ⑶ 2 . (n 1)! 三?组合:从 (n 1)!,( n 1) n! n 1 1 n 1 1.公式: 规定:0! (n 1)! 1 (nF m (m K n ) 1…… n n! [(n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)! n!; 1 n! 个元素并组成一组, n m 1 (n 1)! (n 1)! n 个不同元素中任取 Al A m c m (n 1)! 叫做从 n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 c m 2?组合数性质: ①''--'■: 注: C : C n! __ ■■ - -i ‘ m! n m ! n m Q m m 1 m 厂 0 厂1 , , m! c n 2n 趨二;③- ■-;④「匚、■■■- 1 C ::2 L C ; ! C n : C :: ; C : ! C ::2 L c ; 处 N 规定:c o 1 c n c :1 c :: 2 L c 爲 c n c n;

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