二次函数的图像,性质与常规题型的归纳
北辰教育学科老师辅导讲义
学员姓名： 刘海明 年级： 初三 辅导科目： 数学 学科教师：陆军 授课日期 3.20
授课时段
17：30—19：30
授课主题
二次函数的图像，性质及常规题型的归纳，填空题18题关于平移，旋转，翻折的训练
教学内容
知识梳理
一．二次函数的概念：解析式形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，且a ≠0),称为二次函数。一般情况定义域x 的范围为实数，在实际情况中注意其范围。
二．二次函数涉及的三个重要的特征：开口方向，对称轴，顶点。及其与a,b,c 的关系。
a>0,开口向上，a<0开口向下。对称轴x=—a b 2顶点坐标（—a
b
2，a b ac 442-)
三．二次函数间平移的位置关系：抛物线y=a(x+m)2+k 是由抛物线y=ax 2向左平移m 个单位，向上平移k 个单位得到。左加右减，上加下减。
四．抛物线y=a(x+m)2+k 的对称轴为x=-m,顶点为（-m,k)
五．抛物线的升降情况，最值与a 的关系，a<0先升后降，有最大值a b ac 442-。a>0先降后升，有最小值a
b a
c 442
-。
（注意：当定义域为实数时，二次函数的最值始终是其顶点的y 坐标）
例题讲解（常见题型归纳）
一．已知某确定二次函数，经平移后求函数解析式或相关对应点。
1.直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A.(0，0)
B.(1，－2)
C.(0，－1)
D.(－2，1)
2.把抛物线y=x 2
+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2
-3x+5,则有( ).
A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21
（此类问题方法总结：根据平移法则左加右减，上加下减，图像的平移应同时注意相关对应点的平移）
二，待定系数法求抛物线解析式
1.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为
2.对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．
3.已知抛物线y=- x 2+(6-m )x+m-3与x 轴有A 、B 两个交点,且A 、B 两点关于y 轴对称. (1)求m 的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;
（此类问题方法总结：通过题目给出条件灵活设二次函数解析式，y=ax 2关于y 轴对称顶点在原点,y=ax 2+bx 图像过原点,y=ax 2+bx+c 所有都可设,y=a(x+m)2+n 告诉了你顶点坐标（-m,n)）
三．二次函数里面的最值问题
1.已知二次函数232)1(2
-++-=m mx x m y ，则当=m 时，其最大值为0．
2.二次函数y ＝x 2－2x ＋3的最小值为 ．
3.二次函数c bx ax y ++=2
的值永远为负值的条件是a 0，ac b 42
- 0．
4.不论自变量x 取什么实数，二次函数y=2x 2-6x+m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2-6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”)。
（此类问题方法总结：二次函数在定义域为实数的范围内，最值都在顶点处，表示出顶点的纵坐标，根据a 的大小判断为最大还是最小值,注意结合函数图像解题）
四．判断二次函数解析式y=ax 2+bx+c 中a,b,c 与0的数量关系。
1． 1、知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④
D. ①②
.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ). A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac ≤0
（此类问题方法总结:a,b,c 的大小关系往往通过开口方向，对称轴y=-a
b
2,顶点为（—a b 2，a b ac 442-)，c 为图像
与y 轴的交点，结合图像写不等式）
五．填空题最后一题：有关图形平移，翻折，旋转类题型
18．如图，在Rt △ACB 中，90ACB ∠=?，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3
CAB ∠=，若将△ACB 绕点A
顺时针旋转得到Rt △''AC B ，且'C 落在CO 的延长线上，联结'BB 交CO 的延长线于点F ，则BF =
18. 在Rt △ABC 中，90C ∠=，4BC = ，3AC =，将△ABC 绕着点B 旋转后点A 落 在直线BC 上的点A '，点C 落在点C '处，那么'
tan AAC ∠的值是 18．如图，在△ABC 中，∠90C =，点D 为AB 的中点，3BC =，13
cosB =
，△DBC 沿着
CD 翻折后，点B 落到点E ，那么AE 的长为 ．
C A B
O
F '
C '
B A
D
C
B
18．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，那么四边形BCEF 的面积等于
18. 如图，在△ACB 中，∠CAB=90°,AC=AB ＝3,将△ABC 沿直线BC 平移，顶点A 、C 、B 平移后分别记为A 1、
C 1、B 1，若△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积2，则CB 1= .
巩固练习：
1.．在直角坐标平面内，如果抛物线2
)1(--=x y 经过平移可以与抛物线2
x y -=互相重合，那么这个平移是
（ ）
（A ）向上平移1个单位； （B ）向下平移1个单位； （C ）向左平移1个单位 ；
（D ）向右平移1个单位．
2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
（A ）ab>0； （B ）当x ≤1时，y 随x 的增大而增大； （C ）ac>0；； （D ）方程ax 2+bx+c=0有两个正实数根．
3.二次函数2
365y x x =-+的图像的顶点坐标是
4.抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交于A (1,0),B (－3，0)两点，则二次函数解析式是 . 5.下列函数中，是二次函数的为（ ）
（A ）21y x =+ ； （B ）2
2
(2)y x x =--； （C ）22
y x
=
； （D ）2(1)y x x =+ 第4题
O
y
x x=1
H
G F
C
D E
B A
C B
A
-1
1
x
y
O
6.抛物线()2
43y x =-+的顶点坐标是（ ）
（A ）()4,3-； （B ）()4,3-- ； （C ）()4,3； （D ）()4,3-. 7.下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) （A ）2)1(21-=
x y ；
（B ）321
2+=x y ； （C ）3)1(212++=x y ； （D ）3)1(2
1
2+-=x y .
9．把抛物线2
)2(3+-=x y 平移后得到抛物线2
3x y -=,平移的方法可以是 ( ) （A ）沿x 轴向右平移2个单位 （B ）沿x 轴向左平移2个单位 （C ）沿y 轴向上平移2个单位 （D ）沿y 轴向下平移2个单位 10．抛物线2
3x y -=向左平移2个单位后得到的抛物线为（ ）
（A ）232+-=x y ； （B ）232--=x y ； （C ）2)2(3+-=x y ； （D ）2)2(3--=x y ．
11．抛物线c bx ax y ++=2中，a b 4=，它的图象如图，有以下结论：①0>c ；②0>++c b a ；
③0>+-c b a ④042
<-ac b ⑤0 12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么①abc ，②ac b 42 -，③b a +2，④c b a ++ 这四个代数式中，值为正数的有( ) 13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =1 2 ，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式 归纳总结 解二次函数问题往往要结合图像，用图形来理解其最值，运动变化情况。 课后作业 1．关于二次函数2)2(--=x y 的图像，下列说法正确的是（ ）． （A ）是中心对称图形； （B ）开口向上； （C ）对称轴是直线2-=x ； （D ）最高点是)0,2(． 2．抛物线542 +-=x x y 的顶点坐标为（ ）． （A ）（2，1） （B ）（–2，1） （C ）（4，5） （D ）（–4，5） 3．二次函数122--=x x y 图像的对称轴是直线（ ） （A ）1=x （B ）2=x （C ）1-=x （D ）2-=x 4．对于抛物线2 3y x =-，下列说法中正确的是（ ） （A ）抛物线的开口向下 ； （B ）顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ； （C ）顶点（0，－3）是抛物线的最高点； （D ）抛物线在直线0x =右侧的部分下降的． 5．抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ． 6.若二次函数2y ax bx c =++的图像经过两点()0,0、()4,0，则对称轴方程为（ ） （A ）0x =； （B ）1x =； （C ）2x =； （D ）无法确定 7.如果)21y A ，（-，)1 2y B ，（-为二次函数c x x y +-=42 的图像上的两点，1y 与2y 的大小为（ ） （A ）21y y = ； （B ）21y y >； （C ）21y y <； （D ）无法判断1y 与2y 的大小. 8．已知抛物线x x y 62 +=，点A （1，m ）与点B （n ，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m +n 的值等于 ． 9.已知：如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，以3为半径的⊙B 与y 轴相切，直线l 过点()2,0A -,且和⊙B 相切，与y 轴相交于点C ． （1）求直线l 的解析式； （2）若抛物线2 (0)y ax bx c a =++>经过点O 和Ｂ，顶点在⊙B 上，求抛物线的解析式； l y x O C A B 10．直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛 物线2 y ax bx c =++经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标； (2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？ 若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。 1 2 3 4 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 -1-2-3-4 O