双曲线教案
2.3.1双曲线及其标准方程
一、教学目标
1.掌握双曲线定义、标准方程；
2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；
3.认识双曲线的变化规律.
二、教材分析
1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
2．难点：双曲线的标准方程的推导．
三、教学过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．
2．椭圆的标准方程是什么？(
学生口答，教师板书)
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
1．简单实验(边演示、边说明)
如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出
另一支．
注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．
2．设问
问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．
问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．
问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．
问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？
请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．
3．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记． (三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴(
如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c ＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF 1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}． (3)
代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：
化简两边再平方，整理得：
(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2)．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0． 设c 2-a 2=b 2(b ＞0)，代入上式得： b 2
x 2
-a 2
y 2
=a 2
b 2
．
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)
：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a ＞0，b ＞0，但a 不一定大于b ；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
(四)练习与例题
1．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
由教师讲解：
按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42
．
因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．
(五)小结1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)
的点的轨迹．3．图形(见图2-25)
：
4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．
5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作业
1．课本p55练习题1,2,3 2.习题2.3A组第1,2题
六、板书设计
2.3.2双曲线的简单几何性质（一）
一.教学目标
1.掌握双曲线的几何性质
2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. 二 教学重点，难点
重点： 双曲线的几何性质 难点：双曲线的渐近线 三教学过程
I.复习回顾：
师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略） II.讲授新课： 1.范围：
双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内. 2.对称性：
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心. 3.顶点：
双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点.
线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线
①我们把两条直线y=±
x a
b 叫做双曲线的渐近线；
②从图8—16可以看出，双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的各支向外延伸时，与直线
y =±x a
b 逐渐接近.
③“渐近”的证明：
先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y =
x a x a
b (2
2
->a ).
设M (x ,y )是它上面的点，N (x ,y )是直线y=
x a
b 上与M 有相同横坐标的点，则Y =
x a
b .
∵y =Y x a
b
x a x a b
a
x a
b =-=
- 22
2)(1 ∴)(2
2
a x
x a
b y Y MN --=
-=
2
2
2
22
2
)
)((a
x x a x x a x x a b -+
-+--
?=
2
2a
x x ab
-+
=
设MQ 是点M 到直线y =x a
b 的距离，则MQ 无限增大，MN 接近于O ，MQ 也接近于O .就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON . 在其他象限内，也可证明类似的情况. （上述内容用幻灯片给出）. ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 5.离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e = a c ，叫双曲线的离心率. 说明：①由c >a >0可得e >1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔. 师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题. 例1 求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程. 13 4 2 22 2=- x y . 由此可知，实半轴长a =4，虚半轴长b =3. 53 42 22 2 =+=+= b a c . 焦点的坐标是（0，－5），（0，5）. 离心率4 5== a c e . 渐近线方程为 y x 4 3± =，即x y 34± =. 说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）. III.课堂练习： （1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质. （2）课本P 113练习1. 四 课堂小结 师：通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质. 五 课后作业 习题8.4 1、5、6. 六 板书设计 §8.4.1 …… 1.范围 4.渐近线 5.离心率 练习1 ①… … （1）… 2.对称性 ②… ③… 例1… （2）… ④ 3.顶点 ⑤ (3)… 2.3.2双曲线的简单几何性质（二） 一 教学目标 1.掌握双曲线的准线方程. 2.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程； 3.应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 二 教学重点，难点 重点：双曲线的准线与几何性质的应用 难点：双曲线离心率、准线方程与双曲线关系. 三 教学过程 I.复习回顾： 师：上一节，我们利用双曲线的标准方程推导了双曲线的几何性质，下面我们作一简要的回顾（略），这一节我们将继续研究双曲线的几何性质及其应用. II.讲授新课： 例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m). 设双曲线的方程为 12 22 2=- b y a x （a >0,b >0） 令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以 ,1) 55(12252 2 2 2=-- b y .112 132 22 2=-b y 解方程组???????=-=--(2) 112 13(1) 1) 55(122522 222 2 22b y b y 由方程（2）得 b y 12 5= （负值舍去）. 代入方程（1）得 ,1) 5512 5( 1225 2 2 2 2=--b b 化简得 19b 2 +275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m). 所以所求双曲线方程为： .1625 144 2 2 =- y x 说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 例3 点M （x ,y ）与定点F (c ,o )的距离和它到定直线l :x = c a 2 的距离的比是常数 ),0(>>a c a c 求 点M 的轨迹. 解：设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意，所求轨迹是集合 p =?? ? ???????=a c d MF M , 由此得 a c c a x y c x = - +-22 2 )(. 化简得 (c 2 －a 2 )x 2 -a 2y 2 =a 2 (c 2 －a 2 ). 设c 2－a 2=b 2，就可化为： 0).b 0,(a 12 22 2>>=- b y a x 这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a 、2b 的双曲线.（图8—18） 说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤. 6.双曲线的准线： 由例3可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e = a c (e >1)时，这 个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率. 准线方程：x =.2 c a ± 其中x = c a 2 相应于双曲线 12 22 2=- b y a x 的右焦点F (c ,0);x =－ c a 2 相应于左焦点F ′(－c ,0). 师：下面我们通过练习来进一步熟悉双曲线几何性质的应用. III.课堂练习： 课本P 113 2、3、4、5. 要求学生注意离心率、准线方程与双曲线的关系的应用. ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家熟练掌握双曲线几何性质的应用，并注意利用离心率、准线方程与双曲线的关系确定双曲线方程的方法，并了解双曲线在实际中的应用问题. ●课后作业 习题8.4 2，3，4，7 ●板书设计 §8.4.2… 例2… 例3… 6.双曲线的 学生 准线 练习 ●教学后记 2.3.1双曲线及其标准方程 教学目标： 1.知识与技能 掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点:双曲线标准方程的推导 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程: 一.情境设置 1.复习提问： (由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ 2.探究新知: (1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。 (2)设问：①|MF 1|与|MF 2 |哪个大？ ②点M到F 1与F 2 两点的距离的差怎样表示？ ③||MF 1|-|MF 2 ||与|F 1 F 2 |有何关系？ （请学生回答：应小于|F 1F 2 | 且大于零，当常数等于|F 1 F 2 | 时，轨迹是以 F 1、F 2 为端点的两条射线；当常数大于|F 1 F 2 | 时，无轨迹） 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导学生概括出双曲线的定义： 定义:平面内与两个定点F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F 1 F 2 |） 的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影） 概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示） （1）建系 取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）. （3）列式 由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即: （4）化简方程 由学生板演，教师巡视。化简，整理得： 移项，两边平方得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦 ()(), 22 22 2a y c x y c x =+-- ++()()a y c x y c x 22 22 2±=+-- ++()2 22y c x a a cx +-±=-()() 2 2222222 a c a y a x a c -=--) 0,0(1)0(,0,2222 2222222>>=->=->-∴>>b a b y a x b b a c a c a c a c 代入上式整理得设即 双曲线及其标准方程 教学目标：1、熟练地掌握双曲线的定义、标准方程； 2、了解双曲线标准方程的推导方法。 教学重点：双曲线方程的推导； 教学难点：求双曲线的标准方程 教学过程： 复习引入 提问：椭圆的定义是什么？ 思考：如果将椭圆定义中的“和”改为“差”，又可以得到什么样的轨迹？ 讲授新知 一、双曲线的定义： 平面内，与两定点21,F F 的距离之差 等于 的点的轨迹叫双曲线。 符号语言为： 其中：① 两定点21,F F ——双曲线的焦点； ② c F F 221=——双曲线的焦距。 注意：c a 220<< 讨论：（1）若a a MF MF 2221-=-或，则点M 的轨迹是什么？ （2）若c a 22=，则点M 的轨迹是什么？ （3）若c a 22>，则点M 的轨迹是什么？ （4）若02=a ，则点M 的轨迹是什么？ 二、双曲线的标准方程 提问：1、求曲线的方程有哪些步骤？ 2、需要注意哪些问题？ 3、建系时，焦点在x 轴上和焦点在y 上，双曲线的标准方程有什么不同？ 4、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 例1、如果方程11 22 2=+-+m y m x 表示焦点在x 轴上的双曲线，求m 的取值范围。 变式1：如果方程 11 22 2=+-+m y m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，求m 的取值范围。 变式2：如果方程 11 22 2=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围 练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）3,4==b a ，焦点在x 轴上； （2）焦点为()()6,,5,0,5021的距离差的绝对值为到双曲线上一点， F F P -； 思考：如何求经过两点()() 3,72,627--， 的双曲线方程. 小结：1、本节课我们主要学习了哪些内容？ 2、有哪些需要注意的内容？ 作业：P54：A 组2、5 双曲线及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 1.掌握双曲线定义、标准方程； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系； 3.认识双曲线的变化规律. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 二、教材分析 1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 2．难点：双曲线的标准方程的推导． (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．) 3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ (解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．) 三、活动设计 教学方法启发引导式 教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数； (3)常数2a＞|F1F2|． 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书) (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？ 1．简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支． 注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．强调“在平面内”． 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？ 2．3．1双曲线及其标准方程第一课时 《双曲线及其标准方程》 一．教学目标 ?知识与技能目标 了解双曲线的定义，几何图形，标准方程 ?过程与方法目标 类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较 ?情感与态度目标 体会运动变化的观点，数形结合的思想方法 二．教材分析： 1、教学分析：学生已经掌握曲线与方程的基础，通过实例给出双曲线的定义，进而去推导双曲线的标准方程，由于前面学习了椭圆的相关知识，这一块对于学生来说是比较熟悉的内容，可让他们自行推导，课本的例1很好的结合了双曲线的定义来考察学生对概念理解的程度，例2将双曲线应用在实际生活当中，后面的探究内容可以充分发挥出学生的主导地位，分析和发现轨迹方程的求法。 2．教学重点：双曲线的定义，标准方程 3．教学难点：双曲线标准方程的推导 三、教学过程： （一）导入新课 1．回顾椭圆的定义，标准方程 2．提出问题： 平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？ 3．实验探究上述问题 学生动手实验 P ．52拉链演示 4．多媒体演示 （二）推进新课 1．双曲线的定义： 平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 即以曲线上的点M 满足：a MF MF 221=-（a 为定值，a F F 221>） 思考：（1）若a F F 221=，点M 的轨迹是什么？ （2）若a F F 221<，点M 的轨迹是什么？ 2．双曲线标准方程的推导 以焦点在x 轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。 得到双曲线的标准方程为12222=-b y a x 说明： （1）12222=-b y a x 或12222=-b x a y 均称为双曲线的标准方程； （2）c b a ,,三者的关系：222b a c +=，注意与椭圆中c b a ,,三者关 双曲线 教学目标： 1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。 2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。 【教学内容】 1、引入: 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3 ；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的 1/4+1/5 ;花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全 体黑牛数的1/3+1/4 ;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5 ;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6 ;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？(阿基米德分牛问题) 2、双曲线的基本概念 1. 双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点 F1, F2的距离之差的绝对值等于常 数2a(a 0,且2a RF?)的动点P的轨迹叫作双曲线?这两个定点斤丁2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距? 注意：1?双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：PF2|| 2a F1F2，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支； 3.若常数a满足约束条件：［PR PF2| 2a F1F2，则动点轨迹是以F2为端点的 两条射线(包括端点)； 4?若常数a满足约束条件：|| PR PF2| 2a F1F2，则动点轨迹不存在; 5?若常数a 0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 2.双曲线的标准方程： 2 2 冷爲1(a 0,b 0)，其中c1 2 a b 2 2 每~2 1(a 0, b 0)，其中c2 a b 对称轴为坐标轴建立直角坐标系时 双曲线的标准方程; 1当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程: 2当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程: 2 ,2 a b ; 2 ,2 a b . ,才能得到 最新整理初三数学教案九年级数学竞赛双曲线专题 教案 2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在》0时函数的图象关于直线轴对称；在《0时函数的图象关于直线轴对称． 3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 例题求解 例1已知反比例函数的图象与直线和过同一点，则当时，这个反比例函数的函数值随的增大而(填增大或减小)． 思路点拨确定的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可． 注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性． (2)一个常用命题： 如图，设点A是反比例函数()的图象上一点，过A作AB⊥轴于B，过A作AC⊥轴于C，则 ①S△AOB=； ②S矩形OBAC=． 例2如图，正比例函数()与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作AB ⊥轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则() A．S=1B．S=2C．S=D．S= 思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系． 例3如图，已知一次函数和反比例函数()的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B． (1)求实数的取值范围； (2)若△AOB面积S＝24，求的值． ( 荆门市中考题) 思路点拨(1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解； (2)S△AOB=S△COBS-S△COA，建立的方程． 例4如图，直线分别交、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，S△ABP=9． (1)求点P的坐标； (2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标． 思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．例5如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C 在轴上，点B在函数(，)的图象上，点P(，)是函数(，)的图象上的任意一点，过点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC 不重合部分的面积为S． (1)求B点坐标和的值； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数关系式． 思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密． 注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程 《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。 （3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。 圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程． 2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力． 3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点． 教学过程 师：椭圆的定义是什么椭圆的标准方程是什么 (学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．) 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数 2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响 生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系． 师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样它的方程又是怎样的呢 (师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线边画、边操作、边说明．) 师：做法是：适当选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之 《双曲线》教学设计 教学目标： 1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程. 2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化. 数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想. 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法 教学用具：CAI课件、演示教具 课时安排：一课时 教学过程： 一、课题导入 师：椭圆的定义是什么? (学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1 ｜+｜ PF 2｜=2a(常数)（2a>｜F 1 F 2 ｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一 个实验： （同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题） 师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题） 二、定义探究 师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2 ｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭 圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？ （引导学生从刚才的演示实验中寻找答案： ｜PF 1｜-｜PF 2 ｜=2a或｜PF 2 ｜-｜PF 1 ｜=2a） 师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下. (播放双曲线flash生成动画，验证几何条件) 师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2 ｜,则得到曲线的右支，如果｜PF 2 ｜＞｜PF 1 ｜则得到曲线的 左支. 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？ （引导学生思考，此时只需在|PF 1|-|PF 2 |=2a 左边加上绝对值 师：作为此时差的绝对值2a与|F 1F 2 |大小关系怎样？ （结合图像，学生分析：应该有2a（|F 1F 2 |) (在上述讨论的基础上引导引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书） 三、方程推导 师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？ （学生口述教师板书椭圆的标准方程） 师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程. (学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程) 建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x、y),｜F 1F 2 ｜=2c，并 设F 1(-c,0),F 2 (c,0). 由两点间距离公式，得 ｜PF 1 ｜=2 2 ) (y c x+ +,｜PF2｜=2 2 ) (y c x+ - 由双曲线定义，得 §2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分； 双曲线的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． (二)能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题． 二、教材分析 1．重点：双曲线的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证． (解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．) 3．疑点：双曲线的渐近线的证明． (解决办法：通过详细讲解．) 三、活动设计 提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的． 2．双曲线的两种标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(性质1～3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页> (三)问题之中导出渐近线(性质4) 在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计 仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想． 接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？ 下面，我们来证明它： 《 2.2.1 双曲线及其标准方程》 教学设计 《2.2.1 双曲线及其标准方程》 教学设计 教学目标： （1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程. （2）通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力. （3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏陶. 教学重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程. 教学难点：双曲线标准方程的推导与化简. 教学方法：启发式与探究式相结合. 教学过程与操作设计： （一）创设情景，引入课题 1、知识回顾 问题1：椭圆的定义是什么？ 问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？ 也就是：平面内与两定点 F、2F距离的差等于一个非零常数的点的轨迹是 1 什么图形？ 【设计意图】 通过一个知识冲突的教学情景，由和到差，不仅加强新旧知识的联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望． 2、观察动画、动手作图 取出生活中常见的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系．通过播放这个拉链的演示实验，让学生观察动画，了解双曲线的画法，再由学生画另一支曲线．最后教师给出这两条曲线合起来叫双曲线，其中每一条叫双曲线的一支，顺利引入课题． 【设计意图】 通过观察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际变化．这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培养了学生观察、归纳能力． （二）探究发现，挖掘新知 1、定义的归纳 （1）提出问题1：这条曲线上的点满足的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满足的条件． 提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满足的条件． 根据讨论总结出：1、（1）|MF1|-|MF2|=|F2F|= 2a (2)|MF2|-|MF1|=|F1F|= 2a 2、| |MF1|-|MF2| | = 2a 2a是定值, 2a< |F1F2|. 通过以上分析，由学生归纳双曲线定义． 【设计意图】 通过自主探究，体会双曲线任一点所满足的条件，提高学生分析问题、归纳问题的能力． （2）通过椭圆和双曲线的定义的学习,知道它们是满足一定条件的点的轨迹,让学生发现两个定义的区别.教师总结学习定义的作用,可以用来判断曲线的形状． 【设计意图】 通过师生、生生的交流合作，使学生理解双曲线定义．学会利用定义判断曲线形状． 2、标准方程的推导 （1）学习了双曲线定义后给出两组图片,一组是学生熟悉的热电厂冷却塔和广州新电视塔,它们的外形与轴截面的交线是双曲线.另一组是飞机导航的双曲线定位法和创建的双曲线型交通结构. 【设计意图】 这些图片使学生感受到数学美，体会数学的实用性，对双曲线进一步形成清晰的感性认知，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础．（2）了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么（请学生回答教师给予点评） 【设计意图】 2.2.1《双曲线及标准方程》教学案 教学目标： 1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程. 2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想. 教学重点与难点： 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a 与c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学过程： 一、课题导入 师：椭圆的定义是什么？ (学生口述椭圆的定义，教师利用CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)(2a >｜F 1F 2｜)的动点P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： (同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题) 师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题) 二、定义探究 师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)的动点P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P 满足什么几何条件的轨迹呢？ (引导学生从刚才的演示实验中寻找答案： ｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a ) 师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下. (播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件) 师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？ （引导学生思考，此时只需在|1PF |-|2PF |=2a 左边加上绝对值） 《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条 件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思维 能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归 纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生对 客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施应 重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的难 题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内容 的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技术 来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果， 也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行， 所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多 几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时，圆 锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的 一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由易到难的教学要求。 双曲线可以与椭圆类比学习，主要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双曲线概念；③推导双曲线标准方程；④学习标准方程的简单求法，在学习过程中应注 意双曲线与椭圆的区别与联系。 二、教学目标： 1.知识与技能： （1）能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距； （2）能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。 （3）能根据已知条件求双曲线的标准方程。 2.过程与方法： （1）经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。 （2）在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。 3.情感、态度与价值观： 课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O 《双曲线及其标准方程》 [教案] 常德市一中王第教学目标： 1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程. 2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想. 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法 教学用具：CAI课件、演示教具 课时安排：一课时 教学过程： 一、课题导入 师：椭圆的定义是什么? (学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)（2a>｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： （同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题） 师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题） 二、定义探究 师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？ （引导学生从刚才的演示实验中寻找答案： ｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a ） 师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下. (播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件) 师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜,则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？ （引导学生思考，此时只需在｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 左边加上绝对值） 师：作为此时差的绝对值2a 与｜F 1F 2｜大小关系怎样？ （结合图象，学生分析：应该有2a 〈｜F 1F 2｜） （在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书） 三、方程推导 师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？ （学生口述教师板书椭圆的标准方程） 师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程. (学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程) 建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x 、y),｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c,0),F 2(c,0). 由两点间距离公式，得 ｜PF 1｜=22)(y c x ++,｜PF 2｜=22)(y c x +- 由双曲线定义，得 ｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即 《双曲线及其标准方程》教学设计 《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生 对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施 应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内 容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技 术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§ 3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的 几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有 着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双 曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分 考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主 要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双曲线概念；③推导双曲线标准 双曲线 一 基本概念 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ||21F F ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：当P 在右支时a PF PF 2||||21=-，当P 在左支时a PF PF 2||||12=- 2. 双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程 )0，0(1-22 22>>=b a b y a x )0,(1-22 22>=b a b x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c += 离心率 )1(a >= e c e 渐近线 b y x a =± a y x b =± x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 x O F 1 P B 2 B 1 F 2 椭圆和双曲线比较： 椭 圆 双 曲 线 定 义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=> 1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=< 方程 22221x y a b += 22221x y b a += 22221x y a b -= 22 2 21y x a b -= 焦 点 (,0)F c ± (0,)F c ± (,0)F c ± (0,)F c ± （2）双曲线的性质 ①、范围：从标准方程122 22=-b y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 a x ±=的外侧。即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。 ②、对称性：双曲线122 22=-b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是 双曲线的对称轴，原点是双曲线122 22=-b y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心。 ③、顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122 22=-b y a x 的方程里， 对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点 )0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122 22=-b y a x 的顶点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2） 实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长 ④、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线 即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线122 22=-b y a x 的各支向外延伸时， 与这两条直线逐渐接近。 ⑤、等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直 注意：以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为： )0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上双曲线教案完整篇
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