09真题考研数学真题解析--数三修订版

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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

1. (09年,4分)函数()3

sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为 ( )

(A ) 1. (B ) 2. (C ) 3. (D ) 无穷多个.

【考查分析】本题考查间断点的定义和分类,属于间断点计算与判别的基本题型 【详解】

由于()3

sin x x f x x

π-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义,故()f x 的间断点有无

穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是3

0x x -=的解1,2,30,1x =±.

320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ

ππππ

→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即1,2,30,1x =±.选C

【评注】此题有相当多的考生选择(D ),认为使sin 0x π=成立的点有无穷多个,同时审题不细,没有利用()f x 的极限值以确定可去间断点的个数,故错误率较高。

2.(09年,4分)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2

ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )

(A ) 11,6a b ==-

. (B ) 1

1,6a b ==. (C ) 11,6a b =-=-. (D ) 1

1,6

a b =-=.

【考查分析】本题考查等价无穷小替换,洛比达法则的计算极限,属于极限计算基本题型 【详解】方法1:()sin f x x ax =-与()()2

ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则

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22

0023200033

0()sin sin lim

lim lim ()ln(1)()

sin 1cos sin lim lim lim

36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x ax

g x x bx x bx x ax a ax a ax

bx bx bx a ax a b ax b →→→→→→→--=-?---=---??=-=-= ???

等洛洛 即3

6a b =-,故排除(B ),(C ).

另外,201cos lim

3x a ax

bx

→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选(A ).

方法2:由泰勒公式33

31sin () (0)6

ax ax a x x x ο=-

+→ 3333001

(1)()

()6lim lim 1()11

1, 1 1, .

66

x x a x a x x f x g x bx a a b b ο→→-++?==-?=-=?==-

因此选(A ).

【评注】求极限的问题是考试的热点和重点,洛比达法则和等价无穷小替换是常用的计算和简化的方法。另外,泰勒公式是利用极限和无穷小的关系表示函数,计算极限的另一种直接的方法。 3. (09年,4分)使不等式1

sin ln x

t

dt x t

>?

成立的x 的范围是 ( ) (A ) (0,1).

(B ) (1,

)2

π

.

(C ) (

,)2

π

π. (D ) (,)π+∞.

【考查分析】本题主要考查函数的单调性的判别方法,变上限定积分函数的求导运算符. 【详解】

原问题可转化为求1

sin ()ln 0x

t

f x dt x t

=

->?

成立时x 的取值范围. 11111sin sin 1()ln sin 11sin 0.x

x x x x t

t f x dt x dt dt t t

t t t dt dt t t =-=---==>?

????

由()0,1t ∈时,

1sin 0t

t

->,知当()0,1x ∈时,()0f x >.故应选(A). 【评注】不少考生错误的选择了(B ),这可能是因为这部分考生对利用导数研究函数变化的方法掌握的不牢,混

淆了一些概念和计算方法造成的. 4. (09年,4分)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

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则函数()()0

x

F x f t dt =

?的图形为 ( )

(A) (B)

(C) (D)

【考查分析】本题考查对原函数的性质、定积分的几何意义和变上限积分()0

x

f t dt ?的理解.

【详解】

方法1:由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从

而可得出下面几个方面的特征:

① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增; ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减; ③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增; ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数; ⑤ ()F x 为连续函数.

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结合这些特点,可见正确选项为(D).

方法2:()f x 在[]-1,3有界,只有两个间断点0,2))x f x =?((在[]-1,3可积()0

x

f t dt ??在[]-1,3连续,

且(0)0F =.() (0)0C F ?≠被排除,() ()B F x 在2x = 处不连续,被排除;(A )与(D )中的()F x 在[]-1,0上不相同, 由0

()1 ([-1,0])x

F x dt x x =

=∈?可知,应选(D ).

【评注】有一部分考生选择B ,原因是未考虑()F x 为连续的.

5. (09年,4分) 设,A B 均为2阶矩阵,*

*

,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵

O A B O ?? ???

的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ?? ???.

(B) **

23O

B A

O ??

???. (C) **32O A B

O ?? ???.

(D) **

23O

A B

O ??

???

. 【考查分析】本题是考察线性代数行列式的拉普拉斯展开式;伴随矩阵的重要公式;分块矩阵求逆公式,属于基本题型. 【详解】分块矩阵O A B O ??

???的行列式

22

1236O

A

A B B O

?=-=?=(),

即分块矩阵可逆,且

1

11

6112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B

A O

A O A O A *---***

*

**

????

??== ? ? ???????

???? ? ??? ?=== ? ? ? ???

? ?

????

故答案为(B).

【评注】伴随矩阵的基本关系式*

*

AA A A A E ==是常考的知识点,一定要熟记!

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6.(09年,4分)设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002T

P AP ?? ?= ? ???

.

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+,则T

Q AQ 为 ( )

(A) 210110002??

? ? ???.

(B) 110120002??

?

? ???.

(C) 200010002?? ? ? ???

.

(D) 100020002?? ?

? ???

.

【考查分析】本题考查矩阵的基本运算,涉及初等矩阵、转置,属于基本题型.

【详解】

1223123100100(,,)(,,)110110001001Q P ααααααα???? ? ?

=+== ? ? ? ?????

,

1

001

001

101

100010011101001

00210010010110110.

0010

02001002T

T Q AQ P A P ??

??

????????

? ?=???? ? ? ? ?????????????????????

????? ?== ????? ? ????? ?????????

【评注】对于本矩阵要熟练地反应出它是矩阵P 与初等矩阵的乘积,这是解题的突破口.

7.(09年,4分)设事件A 与事件B 互不相容,则 ( ) (A ) ()0P AB =.

(B ) ()()()P AB P A P B =. (C ) ()1()P A P B =-.

(D ) ()1P A

B =.

【考查分析】 本题考查的是事件不相容的概念 【详解】

因为,A B 互不相容,所以()0P AB =. (A)()()1()P AB P A

B P A B ==-,因为()P A B 不一定等于1,所以(A)不正确;

(B)当(),()P A P B 不为0时,()B 不成立,故排除;

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(C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立,故排除; (D)()()1()1P A B P AB P AB ==-=,故()D 正确.

8. (09年,4分)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为

{}{}1

012

P Y P Y ====

.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( )

(A ) 0. (B ) 1. (C ) 2. (D ) 3. 【考查分析】标准正态分布,随机变量的独立性,条件概率,全概率公式. 【详解】

(){}

{0}{0}{1}{1}11

{0}{1}2211

{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===

≤=+≤==?≤=+≤=

由于,X Y 相互独立,所以

11

(){0}{}22Z F z P X z P X z =

?≤+≤. (1) 当0z <时,1

()()2Z F z z =Φ;

(2) 当0z ≥时,11

()()22

Z F z z =+Φ,

因此,0z =为间断点,故选(B).

【评注】如果将时间“0Y =”和“1Y =”看成一完备事件组,则由全概率公式

()()(0)(|0)(1)(|1)z F z P XY z P Y P XY z Y P Y P XY z Y =≤==≤=+=≤=不难计算出()z F z .从而可

判断其间断点.这种方法常用于两独立随机变量其中一个为离散型的情况. 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9. (09年,4

分)cos 0x x →= .

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【考查分析】考查了极限的运算. 【详解】

cos cos 10

x x x x -→→=

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2

00221(1cos )3

2lim lim 11233

x x e x e x e x x

→→?-===.

【评注】本题若用洛比达法则,则运算非常麻烦,读者不妨试一试.

10. (09年,4分)设()y x

z x e =+,则

(1,0)

z

x ?=? _______ .

【考查分析】给出具体函数关系的复合函数求一阶偏导数. 【详解】

方法1:由于(

)x

y z x e

=+,故()(),01x

z x x =+,

()ln(1)ln(1)0

1ln(1)1x x x x x y z x x e e x x

x ++=?'??'????=+==++???????+?

?, 代入1x =,得

ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ??

?=+=+ ???

?.

方法2:由于

ln()()()ln()y

x x e y x

y x y y e x e z x x e x e x

x

x x e +??

????+????

???===+?++?????+??

,

故 000(1,0)1(1)ln(1)2ln 211z e e x e ??

?=+?++=+???+?

?.

11.(09年,4分)幂级数2

1

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 ______. 【考查分析】考查幂级数的收敛半径

【详解】

由题意知,()

2

10n

n n e a n

--=>, ()

()

()

()1

1

212

11

2

21lim lim 1111lim ,111n n n n

n n n n

n n n n n e a

n a n e e e n e n e e +++→∞→∞

++→∞

--=?

+--??

??--??

???????=?=??

+??--??

???????

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所以,该幂级数的收敛半径为1

e -.

12. (09年,4分) 设某产品的需求函数为()Q Q p =,其对价格p 的弹性0.2p ε=,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元.

【考查分析】考查导数在经济学中的应用以及弹性和微分的经济意义. 【详解】

所求即为()Qp Q p Q ''=+. 因为0.2p Q p

Q

ε'=-

=,所以0.2Q p Q '=-,所以()0.20.8Qp Q Q Q '=-+=. 将10000Q =代入有()8000Qp '=.

【评注】部分考生填“1200”,这是因为错将需求弹性认为是”

p dp

Q dQ

”,少了一个负号.事实上,由于题目给的需求弹性0.2p ε=是正的,而0dp dQ

<,所以此题中的需求弹性公式应是”p dp Q dQ -”.

13. (09年,4分)设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=.若矩阵T

αβ相似于300000000?? ? ? ???

,则k = ____ .

【考查分析】考查相似矩阵的性质.

【详解】

T αβ相似于300000000??

? ?

???

,根据相似矩阵有相同的特征值,得到T

αβ的特征值为 3,0,0.而T

αβ为矩阵T

αβ的对角元素之和,1300k ∴+=++,2k ∴=. 【评注】相似矩阵具有相同的迹.

14.(09年,4分) 设12,,

,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和

样本方差,记统计量2

T X S =-,则ET = _____. 【考查分析】 考查二项分布的样本均值和样本方差. 【详解】

222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=

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【评注】如果知道样本方差是总体方差的无偏估计量,则即得22

(1)ES DX np p σ===-.

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分9分)

求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 【考查分析】求二元显函数的极值. 【详解】

2(,)2(2)x f x y x y '=+,

2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.

令(,)0,(,)0,

x y f x y f x y ?'=??'=??解得唯一驻点1(0,)e .

由于

212(0,)1(0,)21(0,)

11

(0,)2(2)2(2),1

(0,)40,11(0,)(2),

xx

e

xy e yy e

A f y e e

B f xy e

C f x e e y ''==+=+''===''==+=

所以 2

21

2(2)0,B AC e e

-=-+

<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值,极小值为11

(0,)f e e

=-.

16.(本题满分10 分) 计算不定积分1ln 1x dx x ?++

??

(0)x >. 【考查分析】考查不定积分

【详解】 方法1

t =,则21

,1

x t =-

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()()2221ln 1ln 11ln 111111

dx t d t t dt t t t ???+=+ ? -???+=-?--+???

()()()()()()

2211112411111111ln 1ln 1,4421dt dt t t t t t t t C t ??

=--??-+-++????

=--++++??

所以

()()22ln 11111

ln 1ln 141211111ln 141112111

1ln 1ln 12211111ln 1ln 1.222

t x t dx C x t t t x

x x x C x x x x x x x

x x x C

x x x x x x x x x x C x ?++++=+-+ --+?++?+=+++ ??++?-+ ????+=+++-+ ++??+=++++

+ ?

?

方法2 1

1111ln 1ln 11x x x x dx x x dx x x x x -'

???++++=-+ ????? 11ln 1121x x

x dx x x ???+=+- ? ?+??? 111ln 1221x x x x dx x x ?+=++- +?

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(

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2ln ln

udu u

u C C

=++=+?

分部

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)11

ln 1ln 1ln

22dx x x C ??+=+-+ ???

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x

y

1

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2-

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O 2

D

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(2,2)

1

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1ln 1ln 211ln 1ln .22x C

x x C ?=++++ ?

?=+++

- ?

17.(本题满分10 分) 计算二重积分

()D

x y dxdy -??,其中()()()

{}

2

2

,112,D x y x y y x =

-+-≤≥.

【考查分析】考查二重积分.

【详解】

方法1 如右图所示,区域D 的极坐标表示为

302(sin cos ),

4

4

r π

πθθθ≤≤+≤≤

. 32(sin cos )

4

42(sin cos )

33

4

043344

3

344

3444

()(cos sin )1(cos sin )38(cos sin )(sin cos )38(sin cos )(sin cos )381

8(sin cos ).

34

3

D

r r x y dxdy d r r rdr

r d d d θθππθθππππππππ

θθθθθθ

θθθθθθθθθθθ+=+=-=-??=-???????=-+=++=?+=-????

??? 方法2 将区域D 分成12,D D 两部分(如右图),其中

(){}(){}2

2

12

2

,12(1)12(1),120,

,12(1),02.

D x y x y x x D x y x y x x =

---≤≤--≤≤=≤≤+--≤≤

由二重积分的性质知

()()()1

2

D

D D x y dxdy

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x y dxdy x y

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dxdy -=-+

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-??????,

()1

111)D x y dxdy

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x y dy

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-=-???

?

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103122,

3

3

x =-=-

=-?

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(

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)2

2

10

20230)122(2

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12

42,

23x

D x y dxdy dx x y dy

x dx -=-?=-

--???=-+=-?????????

?

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? 所以

()()()12

28

233D D D x y dxdy x y dxdy x y dxdy -=-+-=--=-??????. 【评注】本题也可用直角坐标计算,读者不妨一试,但较麻烦,可见应抓住D 的特点选取较快的方法.

18.(本题满分11 分)

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得

()()()()f b f a f b

a ξ'-=-. (Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0

lim x f x A +

→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.

【考查分析】考查拉格朗日和左导,右导的定义.

【详解】

(Ⅰ)取()()

()()()f b f a F x f x x a b a

-=-

--,

由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且

()()

()()()(),

()()

()()()().

f b f a F a f a a a f a b a

f b f a F b f b b a f a b a -=-

-=--=--=-

根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()

()()0f b f a F f b a

ξξ-''=-

=-,即

()()()()f b f a f b a ξ'-=-.

(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理

()()0

00()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f t

f f t t

ξξ+

++

+→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +

→时,0ξ+

→,所以0

lim ()t f A ξ+

→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.

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【评注】(1)题(II)改成下述命题亦成立:“设()f x 在0x x =处连续,在0x x =的某去心领域内可导,且

lim

()f x A x x '=→,则()f x '亦存在且等于A .”其证明了是类似的,只要分左,右区间讨论就可.

(2)若(I)中以条件“()f x 在0x =的某领域内有定义”代替条件“()f x 在0x =处连续”,其它条件不变,则“

lim

()0

f x x '→存在=A ”与“()f x '存在=A ”可以各不相关干.

(3)从2008年开始,考题中要考生证明考科书上的某些重要而基本的定理,这就要求考生重视基础,不要片面追求技巧.

19.(本题满分10 分)

设曲线()y f x =,其中()f x 是可导函数,且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程. 【考查分析】求曲边梯形面积与旋转体体积并建立微分方程,求此微分方程的解. 【详解】

方法1 由题意知

21

1

()()t t

f x dx t f x dx ππ=??,

两边对t 求导得

21

()()()t

f t f x dx tf t =+?,

代入1t =得 (1)1f =或(1)0f = (舍去). 再求导得 2()()2()()f t f t f t tf t ''=+,

记()f t y =,则

112dt t dy y

+=, 因此, 1

1

1222

()()dy

dy

y y t e

e

dy C y ydy C -

-

??=+=+?

132

222()33y y C y -

=+=+.

09真题考研数学真题解析--数三修订版

代入1,1t y ==得1

3C =,

从而23t y =.

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故所求曲线方程为23x y =+方法2 同解法1,得

2()()2()(),(1)1f t f t f t tf t f ''=+=.

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整理得

22dy y dt y t

=-. 令

y u t =,则 dy du

u t

dt dt

=+, 原方程变成 2

3221

du u u t dt u -=-, 分离变量得

211

(32)u du dt u u t -=-,

即 114332dt

du u u t

-??+=

?-??, 积分得 2

1ln (32)ln 3

u u Ct --=, 即 1

23

3

(32)

u u Ct ---=.

代入1,1t u ==,得1C =,所以2

3

1(32)u u t -=

. 代入y u t =

化简得2

(32)1y t y -=,即233t y y =.故所求曲线方程为233x y y

=+

20.(本题满分11 分)

111111042A --?? ?=- ? ?--??,1112ξ-?? ?= ? ?-??

(Ⅰ)求满足2

2131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ;

(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明:123,,ξξξ线性无关.

【考查分析】考查了向量的线性无关性和利用矩阵和向量的关系式求未知向量. 【详解】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ施以初等行变换

()1111022111

111111

101

2204220000A ξ?

?-- ?---??

? ?

?

=-→ ? ? ?---

??

? ? ??

?

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可求得 2122122k k

k ξ??-+ ? ? ?=- ? ?

? ???

,其中k 为任意常数.

又2

220220440A ?? ?=-- ? ???

,对矩阵21()A ξ施以初等行变换

()211110

22012220

1000

044020000A ξ?

?- ?-??

? ?=--→ ? ? ? ?-?

? ???

, 可求得 312a a b ξ??-- ? ?

= ? ? ???

,其中,a b 为任意常数.

(Ⅱ)方法1 由(Ⅰ)知

12311

122211

,,10222

2k

a k

a k

b

ξξξ--+

--=-

=-

≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.

方法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得

1122330k k k ξξξ++=, ①

等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即

21330k k A ξξ+=, ②

等式两端再左乘A ,得2

330k A ξ=,即310k ξ=.

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由于10ξ≠,于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.

21.(本题满分11 分)

设二次型

()()222

1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-

(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值;

(Ⅱ)若二次型f 的规范形为22

12y y +,求a 的值.

【考查分析】考查了二次型对应的矩阵的特征值和它的规范形. 【详解】(Ⅰ)二次型f 的矩阵

101111a A a a ?? ?=- ? ?--??

.

由于

01||01

()((1))((2))1

1

1

a

E A a

a a a a λλλλλλλ---=

-=--+----+,

所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.

(Ⅱ)方法1 由于f 的规范形为22

12y y +,所以A 合同于100010000??

? ? ???

,其秩为2,故

1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.

当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为22

12y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为22

12y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为22

12y y +.

综上可知,2a =.

方法2 由于f 的规范形为22

12y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零.

又21a a a -<<+,所以2a =.

22.(本题满分11 分)

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设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

,0,

(,)0,

x e y x f x y -?<<=?

?其他. (I) 求条件概率密度()Y X f y x ; (II) 求条件概率{}

11P X Y ≤≤.

【考查分析】二维连续型随机变量的概率密度,边缘概率密度,条件概率密度.条件概率.

【详解】(I)X 的概率密度

0,0,,0,

()(,)0,0.0,

0x

x x X e dy x xe x f x f x y dy x x --+∞

-∞

??>>?===??

≤??≤???

当0x >时,Y 的条件概率密度

|1

,0,

(,)(|)()0,

Y X X y x f x y f y x x f x ?<

?其他.

(II)Y 的概率密度

,

0,

()(,)0,

0.

y Y e y f y f x y dx y -+∞

-∞

?>==?

≤??

{}{}

{}

1

11

11

1,11|11(,)2

.11

x

x y P X Y P X Y P Y dx e dy

f x y dxdy

e e e e dy

--∞-∞

--≤≤≤≤=

≤-=

=

=

--?

???

?

【评注】本题涉及定义和公式有: |(,)

(|),()0.()

Y X x x f x y f y x f x f x =

>

()(,).x f x f x y dy +∞

-∞

=?

11

1(,){1,1}

{1|1}{1}

(,)f x y dxdy P X Y P X Y P Y f x y dx

-∞-∞+∞-∞-∞

≤≤≤≤==

≤????

为定积分范围,画出(,)f x y 的非零区域会带来的

方便.

23.(本题满分11分)

袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取

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球所取得的红球、黑球与白球的个数. (Ⅰ)求{}

10P X Z ==;

(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.

【考查分析】古典型概率,条件概率,二维概率分布.

【详解】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2

C P X Z P X Z P Z ?

======

==. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.

()()()()()()()()()1111332311116666111

2231111

6666112211661122116611

0,0,1,0,

46111

2,0,0,1,3631

1,1,2,10,

91

0,2,

9

1,20,2,20,

C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ??========????========???=======??====?======

故(,)X Y 的概率分布为

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【评注】有放回地取两次,每次一个,总共取到两个,每次可能有6种,总共有36种可能,求概率只能把符合条件的可能性列出就可以了.

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