数学实验的几个迭代方面例题
1．用图形放大法求解方程x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。
解：方程变换为y=x.*sin(x)-1。M文件：
x=-100:0.01:100;
y=x.*sin(x)-1;
plot(x,y),grid;
注：从图中可以看出有无数个根。再取一定范围：
x=-20:0.1:20;
y=x.*sin(x)-1;
plot(x,y,'r','linewidth',2),grid;
从图中可以看出，在区间[-20,20]内曲线f(x)=xsin(x)-1和X轴有 14个交点，即方程有14 个根
2.将方程将方程x 5
+5x
3
- 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是
否收敛，并给出解释。
解：方程可以变为三种不同形式迭代，（1）（a）x=(2*x-5*x^3-1)^(1/5) （b）y=(((-y)^5+2*y-1)/5)^(1/3) （c） z=(z^5+5*z^3+1)/2
程序：x=1;y=1;z=1;
for k=1:100
x=(2*x-5*x^3-1)^(1/5);
y=(((-y)^5+2*y-1)/5)^(1/3);
z=(z^5+5*z^3+1)/2
x,y,z;
end
最后结果为：x =2.0162 - 0.8223i
y =0.4004 + 0.2860i
z = Inf
函数x,y,z 分别对应方程（a ）（b ）（c ），从结果可以看出方程（ c ）不收敛，结果趋于无穷大，方程(a)(b)收敛。
3．求解下列方程组
直接使用MATLAB 命令：solve()和fsolve()对方程组求解。
(1)
[x1,x2]=solve('2*x1-x2-exp(-x1)','2*x2-x1-exp(-x2)')
x1 =
.56714329040978387299996866221036
x2 =
.56714329040978387299996866221036
（2）
[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12','3*x1*x2+x1*x3-11*x1','2*x2*x3+40*x 1');
double x1,double x2,double x3
ans =
120 49
ans =
120 50
ans =
120 51
（ 舍掉复根）
4．编写用二分法求方程根的函数M 文件。
求解方程: x-x^2+10=0
先建立M 文件1：
1
21212222123121312312(1)25712(2)3110
2400x x x x e x x e x x x x x x x x x x x --?-=??-+=???-+=-?+-=??+=?
function f=ex4_fun(x)
f=x-x^2+10;
再建立M文件2：
x1=0;x2=100;
for i=1:100
x=(x1+x2)/2;
if(ex4_fun(x)==0)
break
elseif(ex4_fun(x1)*ex4_fun(x1)<0) x1=x;
else
x2=x;
end
end
s=(x1+x2)/2
运行结果：
s =
3.9443e-029
MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
姓名 实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年 月 日 说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点 2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2a b x -=。否则，继续判断是否0)()(
+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(') (00x f x f 。取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。迭代公式为：=+1 k x -0x )(')(k k x f x f 。 三、 实验设备：MATLAB 软件 四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不超 过3105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1 k x -0x )(') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差不超过3105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差 不超过3105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end
计算方法上机实验报告
《计算方法》上机实验报告 班级：XXXXXX 小组成员：XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX 任课教师：XXX 二〇一八年五月二十五日
前言 通过进行多次的上机实验，我们结合课本上的内容以及老师对我们的指导，能够较为熟练地掌握Newton 迭代法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、Newton 插值法、Lagrange 插值法和Gauss 求积公式等六种算法的原理和使用方法，并参考课本例题进行了MATLAB 程序的编写。 以下为本次上机实验报告，按照实验内容共分为六部分。 实验一： 一、实验名称及题目： Newton 迭代法 例2.7(P38):应用Newton 迭代法求 在 附近的数值解 ，并使其满足 . 二、解题思路： 设'x 是0)(=x f 的根,选取0x 作为'x 初始近似值,过点())(,00x f x 做曲线)(x f y =的切线L ,L 的方程为))((')(000x x x f x f y -+=,求出L 与x 轴交点的横坐标) (') (0001x f x f x x - =,称1x 为'x 的一次近似值,过点))(,(11x f x 做曲线)(x f y =的切线,求该切线与x 轴的横坐标) (') (1112x f x f x x - =称2x 为'x
的二次近似值,重复以上过程,得'x 的近似值序列{}n x ,把 ) (') (1n n n n x f x f x x - =+称为'x 的1+n 次近似值，这种求解方法就是牛顿迭代法。 三、Matlab 程序代码： function newton_iteration(x0,tol) syms z %定义自变量 format long %定义精度 f=z*z*z-z-1; f1=diff(f);%求导 y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0);%向函数中代值 x1=x0-y/y1; k=1; while abs(x1-x0)>=tol x0=x1; y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0); x1=x0-y/y1;k=k+1; end x=double(x1) K 四、运行结果： 实验二：
二分法、简单迭代法的matlab代码实现教学文案
实验一非线性方程的数值解法（一）信息与计算科学金融崔振威201002034031 一、实验目的： 熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。 二、实验内容： 教材P40 2.1.5 三、实验要求 1 根据实验内容编写二分法和简单迭代法的算法实现 2 简单比较分析两种算法的误差 3 试构造不同的迭代格式，分析比较其收敛性 (一)、二分法程序： function ef=bisect(fx,xa,xb,n,delta) % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa 解区间上限 % xb 解区间下限 % n 最多循环步数，防止死循环。 %delta 为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); disp(' [ n xa xb xc fc ]'); for i=1:n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx); X=[i,xa,xb,xc,fc]; disp(X), if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa) k=0; while abs(x-x0)>eps & k 姓名实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年月日 说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点2a b x -= 判 断是否0)(=x f ；若是，则有根 2a b x -= 。否则，继续判断是否0)()( （1）11x =0.09033 （2）5x =0.09052 （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不 超过 3 105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1k x -0x ) (') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的 近似根。要求误差不超过 3 105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误 差不超过 3 105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件agui_bisect.m 如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end %如果fa*fb>0，则输出两端函数值为同号 k=0 x=(a+b)/2 while(b-a)>(2*e) %循环条件的限制 迭代法实验报告 一． 实验目的：掌握迭代方法的用处 二． 实验环境：Cfree5.0 三． 实验时间：2013年6月20日 四． 实验地点：电子信息楼1201教室 五． 实验内容：运用编程实现迭代方法可以更好的解线性方程组，得到线性方程的解。 六． 实验理论依据： 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x +，12k x +， ， 11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把 (1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--?=---+???=---+?????=---+?? 式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12 k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到 更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式， 高斯=赛德尔迭代法的分量形式： (1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--?=---+???=---+?????=---+?? 高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式： (1)(),(0,1,2,)k k x Bx f k +=+= 其中 1()B D L U -=- ，1()f D L b -=- B 称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量.. 七． 运行代码如下： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { bool pan1=true; int n,n1,n2=0,k=0; double num[100][100],L[100][100],U[100][100],x[100],y[100],num1=0,b[100],D[100][100],x1[200][200],x2[200][200]; printf("\n"); printf("*******************************高斯迭代法解如下********************************"); printf("输入要输入矩阵的阶数为(按Enter 输入矩阵数字)：");// 《数学实验》报告 题目：根据数值积分计算方法计 算山东省面积 学生姓名： 学号： 专业班级：机械工程17-1班 2019年4月15日 一、问题背景与提出 图1是从百度地图中截取的山东省地图，试根据前面数值积分计 算方法，计算山东省面积。 图 1 二、实验目的 1、 学会运用matlab 解决一些简单的数学应用问题。 2、 学会运用matlab 建立数学模型。 3、 学会运用一些常见的数值积分计算方法结算实际问题，并 了解其实际意义，建立积分模型。 三、实验原理与数学模型 将积分区间 [a , b] n 等分，每个区间宽度均为h = (b - a) / n , h 称 为积分步长。记 a = x 0 < x 1 < … < x k … < x n = b , 在小区间上用小矩形面积近似小曲边梯形的面积，若分别取左端点和右端点的函数值为小矩形的高，则分别得到两个曲边梯形的面积的近似公式： Ln = h ∑f (x k )n=1k=0 , h = b?a ? R n =?∑f (x k )n k=1 , h = b?a ? 如果将二者求平均值，则每个小区间上的小矩形变为小梯形，整 个区间上的值变为： Tn =?∑f (X k )n=1 k=1+?2[f (x 0)+f (x n )] 将山东省边界上的点反映在坐标化，运用梯形公式积分计算得山 东省的面积。 四、实验内容（要点） 1、将山东省的地图区域在matlab 中画出 。 2、在坐标系上运用积分方法将所求区域的面积求出。 3、通过比例尺将山东省的实际面积求出。 五、实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等） 1、 在百度地图中标识出山东省的区域范围，标明对应的比例： 图 2 2、 取出所截取图片中山东的边界的坐标，即将边界坐标化： （1） 运用imread 函数和imshow 函数导入山东省的区域 图片。 本科生实验报告 实验课程数值计算方法 学院名称信息科学与技术学院 专业名称计算机科学与技术 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年五月二〇一六年五月 实验一非线性方程求根 1.1问题描述 实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法，。 实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x5-3x3+x-1= 0 在区间 [-8,8]上的全部实根，误差限为10-6。 要求：讨论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优缺点等作分析及比较， 第2章算法思想 2.1二分法 思想：在函数的单调有根区间内，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。 步骤： 1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与 f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，否则在[mid,x1]之间。 3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。 2.2 简单迭代法 思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。 步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。 2.计算x1,x1=f(x0). 3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。 4．输出x1,即为方程的近似解。 开始 输入x0,e X1=f(x0)|x1-x0| 用牛顿迭代法求非线性方程的根 一、 实验题目 求方程()013=--=x x x f 在5.1附近的根。 二、 实验引言 （1）实验目的 1. 用牛顿迭代法求解方程的根 2. 了解迭代法的原理 3. 改进和修缮迭代法 （2）实验意义 牛顿迭代法就是众多解非线性方程迭代法中比较普遍的一种，求解方便实用。 三、 算法设计 （1）基本原理 给定初始值0x ，ε为根的容许误差，η为()x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。 1．如果()0='x f 或迭带次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行2. 2．计算()() 0001x f x f x x '-=. 3．若ε<-21x x 或()η<1x f ，则输出1x ，程序结束；否则执行4. 4．令10x x =，转向1. （2）流程图 四、程序设计program nndd01 implicit none real,parameter::e=0.005 real,parameter::n=9 real::x1 real::x0=1.5 integer::k real,external::f,y do k=1,9 if (y(x0)==0) then write(*,*)"失败" else x1=x0-f(x0)/y(x0) if (abs(x1-x0) else x0=x1 end if end if end do end function f(x) implicit none real::f real::x f=x*x*x-x-1 return end function function y(x) implicit none real::y real::x y=3*x*x-1 return end function 五、求解结果 3 1.324718 4 1.324718 5 1.324718 6 1.324718 7 1.324718 8 1.324718 9 1.324718 六、算法评价及讨论 1.在求解在1.5处附近的根，不难发现在输入区间左端值为1时 需要迭代6次，而输入区间左端值为1.5时，却只要4次。初 数学计算方法实验报告 习题二 2.估计用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内根的近似值，为使方程不超过10时所需的二分次数。f(x k) 程序过程： function two (tolerance) a=1;b=2;counter=0; while (abs(b-a)>tolerance) c=(a+b)/2; fa=a^3+4*a^2-10; fb=b^3+4*b^2-10; fc=c^3+4*c^2-10; if ((fa==0|fb==0)) disp(counter); elseif (fa*fc<0) b=c;counter=counter+1; elseif (fb*fc<0) a=c;counter=counter+1; elseif (fb==0) disp(counter); end end solution=(a+b)/2; disp(solution); disp(counter); 实验结果： 6.取x0=1.5,用牛顿迭代法求第三中的方程根.f(x)=x3+4x2-10=0的近似值（精确到||x k+1-x k|≦10-5,并将迭代次数与3题比较。 程序过程： function six (g) a=1.5; fa=a^3+4*a^2-10; ga=3*a^2+8*a; b=a-fa/ga; k=1; while(abs(b-a)>g) a=b; fa=a^3+4*a^2-10; ga=3*a^2+8*a; b=a-fa/ga; k=k+1; end format long; disp(a); disp(k); 实验结果：程序结果计算结果 8.用弦割法求方程f(x)=x3-3x2-x+9=0在区间[-2,-1]内的一个实根近似值x k,|f(x k)|≦10-5. 程序过程： function eight (t) a=-2; b=-1; fa=a^3-3*a^2-a+9; fb=b^3-3*b^2-b+9; c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); k=1; while(abs(c-b)>t) a=b; b=c; fa=a^3-3*a^2-a+9; fb=b^3-3*b^2-b+9; c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); k=k+1; end 实验报告 课程名称：数学软件姓名： 学院： 专业： 年级： 学号： 指导教师： 职称： 年月日 实验项目列表 附件三： 实验报告（二） 系：专业：年级：姓名学号：实验课程： 实验室号：_ 实验设备号：实验时间： 指导教师签字：成绩： 1. 实验项目名称：符号计算基础与符号微积分 2. 实验目的和要求 1.掌握定义符号对象的方法 2.掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算 3.掌握求符号函数极限及其导数的方法 4.掌握求符号函数定积分和不定积分的方法 3. 实验使用的主要仪器设备和软件 方正商祺N260微机；MATLAB7. 0或以上版本 4. 实验的基本理论和方法 （1）符号函数;sym(x)；syms a b …… （2）平方根：sqrt(x) （3）分解因式：factor（s） （4）符号表达式化简：simplify（s） （5）逆矩阵：inv(x) （6）下三角矩阵：tril（x） （7）矩阵行列式的值:det(x) （8）符号函数求极限：limit （f ，x ，a ）；limit （f ，x ，a ，‘right ’） （9）符号函数求导：diff （f ，v ，n ） （10）符号函数求不定积分：int （f ，v ） （11）符号函数求定积分：int （f ，v ，a ，b ） 5. 实验内容与步骤 （描述实验中应该做什么事情，如何做等，实验过程中记录发生的现象、中间结果、最终得到的结果，并进行分析说明） （包括：题目，写过程、答案） 题目： 1. 已知x=6，y=5，利用符号表达式求 y x x z -++= 31。 提示：定义符号常数)'5(')'6('sym y sym x ==，。 >> x=sym('6'); >> y=sym('5'); >> z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y)) z = 7/(3-5^(1/2)) 2. 分解因式：44y x - >> syms x y; >> A=x^4-y^4; >> factor(A) ans = (x-y)*(x+y)*(x^2+y^2) 3. 化简表达式 (1)2121sin cos cos sin ββββ- (2) 123842+++x x x (1) >> syms x y; >> f1=sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y); 牛顿迭代法实验报告 1．功能 本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程 f(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n=０（a n≠０）（1） 的在初始值x0附近的一个根。 2.使用说明 （1）函数语句 Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1) 调用M文件newton_1.m。 （2）参数说明 A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。 N整变量，输入参数，方程阶数。 X0 实变量，输入参数，初始迭代值。 NN整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。 EPS1实变量，输入参数，控制根的精度。 3．方法简介 解非线性议程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2 !2) (0x f'' +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有 f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0 设fˊ(x0)≠0则其解为 x1=x0－f(x0)/fˊ(x0) 再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得 x2=x1－f(x1)/fˊ(x1) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列 x n+1=x n－f(x n)/fˊ(x n) 4．newton_1.m程序 function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) x(1)=x0； b=1； i=1； while(abs(b)>eps1*x(i)) i=i+1； x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))； b=x(i)-x(i-1)； if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)； return； end end y=x(i)； i 5．程序附注 （1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m 是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。 （2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。 6．例题 用牛顿法求下面方程的根 f(x)=x3+2x2+10x-20 7．运行结果 >>a=[1,2,10,-20] ； >>n=3； >>x0=1； >>nn=1000； >>eps1=1e-8； >>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) 姓名 ______________ 实验报告成绩 ________________________ 评语： 指导教师(签名) ___________________ 年月日 说明：指导教师评分后，实验报告交院(系)办公室保存。 实验一方程求根 一、实验目的 用各种方法求任意实函数方程f(x)0在自变量区间［a，b］上,或某一点附 近的实根。并比较方法的优劣。 二、实验原理 (1)、二分法 b a x 对方程f(x)0在［a，b］内求根。将所给区间二分，在分点2判断 b a x --------- 是否f(x)0;若是，则有根2。否则，继续判断是否f(a)?f(x) 0,若是，则令b x,否 则令a x。否则令a x。重复此过程直至求出方程f(x) °在［a,b］中的近似根为止。 (2)、迭代法 将方程f(x) °等价变换为x=? ( x)形式，并建立相应的迭代公式xk 1 9( x)。 (3)、牛顿法 若已知方程的一个近似根x°，则函数在点x°附近可用一阶泰勒多项式 P l(x) f(X°) f'(X0)(X X。)来近似，因此方程f(x) °可近似表示为 if fa*fb>0 error(' 两端函数值为同号'); f (X k ) 3 不超过 0.5 10 。 六、实验步骤与实验程序 (1)二分法 第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现二分法的 MATLABS 数文件 agui_bisect.m 女口下： fun cti on x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); % 把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); % 把b 端点代入函数，求fb f (X k ) 根X1,然后将X1作为X 。代入上式。迭代公式为： X k 1 X 0 f'(X k ) o f (X o ) f(X o ) f ' (Xo)(X X )0设f'(X o ) 0,则x X o f '(X o )。取x 作为原方程新的近似 实验设备： MATLAB 7.0 软 件 三、 四、 结果预测 (1) x n=0.09033 (2) X5=0.09052 (3) X 2 =0,09052 五、 实验内容 (1)、 在区间[0,1] 上用二分法求方程 10X 2 0的近似根，要求误差不超 过 05 103 O (2)、 x ° 似根。 取初值X0 0 ，用迭代公式Xk 1 3 要求误差不超过0.5 10。 x ° f '(Xk) ，求方程e x 10x 2 0的近 (3)、 取初值X0 0 ，用牛顿迭代法求方程 e X 10x 2 0的近似根。要求误差 《离散数学》实验报告 专业网络工程 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月 目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系 实验三利用warshall算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现 实验一联结词的运算 一．实验目的 通过上机实验操作，将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中，一方面加强对命题连接词运算的理解，另一方面通过编程实现命题连接词运算，帮助学生复习和锻炼C语言知识，将理论知识与实际操作结合，让学生更加容易理解和记忆命题连接词运算。二．实验原理 (1) 非运算, 符号: ,当P=T时，P为F, 当P=F时，P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；否则，P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P和Q的真值不同时，命题P▽Q的真值才为真；否则，P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: →, 当且仅当P为T,Q为F时，命题P→Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ?, 当且仅当P,Q的真值不同时，命题P?Q的真值才为假；否则，P→Q的真值为真。 三．实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 #include 实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。 3算法描述 1.分段线性插值流程图 2.分段二次插值流程图 3.拉格朗日插值流程图 4程序代码及注释 1.分段线性插值 仿真平台与工具应用实践 Jacobi迭代法求解线性方程组 实验报告 院系： 专业班级： 姓名： 学号： 指导老师： 一、 实验目的 熟悉Jacobi 迭代法原理； 学习使用Jacobi 迭代法求解线性方程组； 编程实现该方法； 二、 实验内容 应用Jacobi 迭代法解如下线性方程组： ?? ???=++--=+-=+-1552218474321321321x x x x x x x x x ，要求计算精度为710- 三、 实验过程 （1）、算法理论 Jacobi 迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想：构造一个向量系列(){}n X ，使其收敛至某个极限*X ，则*X 就是要求的方程组的准确解。 Jacobi 迭代 将方程组： ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 )1( 在假设0≠ii a ，改写成()??? ????++++=++++=++++=--n n n n n n n n n n n g x b x b x b x g x b x b x b x g x b x b x b x 112211223231212113132121 )2( 如果引用系数矩阵 ??????????=nn n n a a a a A 1111，??????????=0011 n n b b B 及向量??????????=n x x X 1， ???? ??????=n b b b 1，??????????=n g g g 1， 方程组（1）和（2）分别可写为：b AX =及g BX X +=，这样就得到了jacobi 迭代格式01g BX X k k +=+用jacobi 迭代解方程组b AX =时，就可任意取初值0X 带入迭代可知式g BX X k k +=+1，然后求k k X ∞ →lim 。但是，n 比较大的时候，写方程组)1(和)2(是很麻烦的，如果直接由A ，b 能直接得到B ，g 就是矩阵与向量的运算了，那么如何得到B ，g 呢？实际上，如果引进非奇异对角矩阵 ()0≠ii a ???? ??????=nn a a D 00011 将A 分解成：,D D A A +-=要求b AX =的解，实质上就有,)(DX X D A AX +-=而D 是非奇异的，所以1-D 存在，,)(X A D AX DX -+=从而有,11b D AX D X --+=我们在这里不妨令,1A D I B --=b D g 1-=就得到jacobi 迭代格式：g BX X k k +=+1 《数值计算方法》实验报告 实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程 010423=-+x x 在 [1, 2] 内的一个实根. 实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法 1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(=x f 改写成等价方程：)(x x ρ= ，对此，从某个初始值x0开始，对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ，这样就可以确定序列 {}k x （k=0，1，2…）。如果 {}k x 有极限 *lim x x k k =∞→ ，由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ，可知 * x 为方程0)(=x f 的近似解。 2）Steffensen 迭代法的原理： 通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。 ()???? ?????+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2) ()(21ρρ []x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ 实验环境：操作系统：Windows 7； 实验平台：Turbo C++ 实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果 1）简单迭代法的算法： Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数N Output:近似解x 或失败信息 1. n ←1 2. While n ≤N do; 3. x ←f(x0); 4. if | x-x0| 实验名称： 牛顿法解非线性方程组 1 引言 我们已经知道，线性方程组我们可以采取Jacobi 迭代法，G-S 迭代法以及SOR 迭代方法求解。而在科学技术领域里常常提出求解非线性方程组的问题，例如，用非线性函数拟合实验数据问题、非线性网络问题，用差分法求解非线性微分方程问题等。 我们在解非线性方程组时，也考虑用迭代法求解，其思路和解非线性方程式一样，首先要将F(x)=0转化为等价的方程组 12(,,,),(1,2, )i i n x g x x x i n == 或者简记为x =g （x ），其中:,:n n n i g R R g R R →→ 112 2()()(),()n n n g x g x g R g x ???? ????????==∈???? ???????????? x x x x x 迭代法：首先从某个初始向量(0)x 开始，按下述逐次代入方法构造一向量序列(){}k x ： (1)()() 1(,,),(1,2,,)k k k i i n x g x x i n +== 其中，()()() ()12 (,,,)k k k k T n x x x =x 。 或写成向量形式：(1)()(),(0,1,2,)k k g k +==x x 如果()*lim k k →∞ ≡x x （存在），称(){}k x 为收敛。且当()i g x 为连续函数时，可得 *()*(lim )()k k g g →∞ ==x x x 说明*x 为方程组的解。又称为x =g （x ）的不动点。 本实验中采用牛顿迭代法来求解非线性方程组。 2 实验目的和要求 运用matlab 编写一个.m 文件，要求用牛顿法非线性方程组： 12(0)(1)()3211 cos 02,(取(0,0),要求10)1sin 0 2 T k k x x x x x x x +-∞ ?-=??=- 差值法实验日志 实验题目：插值法 实验目的： 1．掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。 2．对四种插值结果进行初步分析。 实验要求： （1）写出算法设计思想； （2）程序清单； （3）运行的结果； （4）所得图形； （5）四种插值的比较； （6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。 实验主要步骤： 1．已知函数) f满足： (x x0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 f(0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 x ） 0.35206 （1）用分段线性插值； 打开MATLAB，按以下程序输入： x0=-5:5; y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y=1./(1+x.^2); y1=lagr(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=spline(x0,y0,x); for k=1:11 xx(k)=x(46+5*k); yy(k)=y(46+5*k); yy1(k)=y1(46+5*k); yy2(k)=y2(46+5*k); yy3(k)=y3(46+5*k); end [xx;yy;yy2;yy3]' z=0*x; plot(x,z,x,y,'k--',x,y2,'r') plot(x,z,x,y,'k--',x,y1,'r') pause plot(x,z,x,y,'k--',x,y3,'r') 回车得以下图形: （2） 拉格朗日插值。 创建M 文件，建立lagr 函数： function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 新建一个M 文件，输入： x0=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5]; y0=[0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; x=0.0:0.01:0.5; y1=lagr1(x0,y0,x); 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组 专业：信息与计算科学 学号：1309302-24 姓名：谭孜 指导教师：郭兵 成绩： 二零一六年六月二十日 一 、前言：（目的和意义） 1.实验目的 ①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。 ②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。 2.实验意义 迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方 程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。 二、数学原理： 设有方程组 b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式 f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式 f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得 向量序列∞0)(}{k x ，若*) (lim x x k k =∞ →，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1.雅可比迭代法基本原理 设有方程组 ),,3,2,1(1 n i b x a j j n j ij ==∑= …① 矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠ 从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式 )(1 1 1j n j j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告分析
迭代法实验报告
数学实验报告
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
牛顿迭代法实验报告
数学计算方法实验报告
《数学软件》实验报告-符号计算基础与符号微积分
牛顿迭代法的实验报告
MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
离散数学实验报告()
计算方法实验报告 插值
Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告
非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法
牛顿法解非线性方程组实验报告
数值计算方法实验报告
迭代法解线性方程组-数值分析实验报告