大学高等数学知识点介绍
大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一. 数列函数: 1. 类型:
(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:
(3)分段函数: *0102
()(),
()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0
0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y =
(6)参式(数一,二): ()
()x x t y y t =??=?
(7)变限积分函数: ()(,)x
a
F x f x t dt =
?
(8)级数和函数(数一,三): 0
(),n n n S x a x x ∞
==∈Ω∑
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: 1
1()()()y f x x f y y f x --=?=?=
二. 极限性质:
1. 类型: *lim n n a →∞
; *lim ()x f x →∞
(含x →±∞); *0
lim ()x x f x →(含0x x ±→)
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型:
000,,1,,0,0,0∞
∞∞-∞?∞∞∞
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:
11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n
n
n n
a b c a b c ++→, ()00!
n
a a n >→
1(0)x x →→∞, 0lim 1x
x x +→=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim
0n x x x
→+∞=, 0l i m l n 0n
x x x +
→=, 0,
x
x e x →-∞
?→?+∞→+∞
? 四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当()0u x →时,
s i n
()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 2
11cos ()
()2
u x u x -; ()1
()u x e u x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;
a r c s i
n ()(u x u x ; arctan ()()u x u x
2. 泰勒公式:
(1)2
211()2!x
e x x o x =++
+; (2)22
1ln(1)()2x x x o x +=-+;
(3)34
1sin ()3!
x x x o x =-+;
(4)245
11cos 1()2!4!
x x x o x =-++;
(5)22(1)(1)1()2!
x x x o x α
ααα-+=++
+. 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞?∞∞); (2)变量代换(如:1
t x
=) 1. 抓大弃小(
)∞∞
, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α?) (注:1
sin
1,x x
≤→∞) 3. 1∞
处理(其它如:00
0,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):
(1)1(0)x x
→; (2)()x
e x →∞; 1
(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(
00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x
→-)
(2)幂指型处理: ()
()ln ()
()
v x v x u x u x e
=(如: 111111
1(1)x x x x x
e
e e e
-++-=-)
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞
=(?分段函数)
六. 非常手段 1. 收敛准则:
(1)()lim ()n x a f n f x →+∞
=?
(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →
(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >
2. 导数定义(洛必达?): 00l i m
'()x f
f x x
→= 3. 积分和: 10112l i m [()()()]()
n n
f f f f x d x n n n n
→∞+++=?, 4. 中值定理: lim [()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞
→+∞
+-=
5. 级数和(数一三):
(1)1
n n a ∞
=∑收敛lim 0n n a →∞?=, (如2!
lim n n n n n →∞) (2)121
lim()n n n n a a a a ∞
→∞
=++
+=∑,
(3){}n a 与
11
()n
n n a
a ∞
-=-∑同敛散
七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →
(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====?()()!
!
n
n n
a a f x x x x n n α=
+ (2)
()x
x
n f t dt
kt dt ?
?
2. 渐近线(含斜):
(1)()
lim
,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞→∞==-()
f x ax b α?++
(2)()f x ax b α=++,(1
0x
→)
3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质
1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ?<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ?=(根的个数); (2)()0(
())'0x
a
f x f x dx =?=?
.
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数: '()f x =0
()()lim
x f x x f x x →+-; 0'()f x =000
()()
lim x x f x f x x x →--
(1)0
()(0)'(0)lim
x f x f f x →-= (注:0()
lim
(x f x A f x
→=连续)(0)0,'(0)f f A ?==) (2)左右导: ''00(),()f x f x -+;
(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:
()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+?=
(1)可微?可导; (2)比较,f df ?与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1
'
dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):
1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
(注: 0
()(),
x x F x f x x x a ≠?=?=?, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):
(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()x
a
F x f t dt =?
, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b b
a
a
a
f x t dt f x t dt f t dt ???)
(3)0
10
2(),()x x f x y x x f x
≥?,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)
3. 隐式((,)0f x y =)导: 22
,dy d y dx dx (1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.
4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =??=?
, 求:22,dy d y
dx dx 5. 高阶导()()n f x 公式: ()
()
ax n n ax e a e =; ()1
1!
()()
n n n b n a bx a bx +=--; ()
(sin )
sin()2
n n ax a ax n π
=+
?; ()(cos )cos()2
n n ax a ax n π
=+
?
()()1(1)2(2)
()'"n n n n n n uv u v C u v C u v --=++
+
注: ()
(0)n f
与泰勒展式: 2012()n
n f x a a x a x a x =+++++
()(0)
!
n n f a n ?=
四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)
2. 物理: (相对)变化率-速度;
3. 曲率(数一二):
ρ=
曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥?; '()0()
f x f x ≤?;
(2)分段函数的单调性
(3)'()0f x >?零点唯一; "()0f x >?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:
(1)表格('()f x 变号); (由0
002'()'()''()
lim
0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x
→→→≠≠≠?=的特点)
(2)二阶导(0'()0f x =)
注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);
(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)
(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥
*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤?=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值
六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ?表格; (0"()0f x =)
2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=?== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ?()()x
a
F x f t dt =
?
(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=?= (3)()
'()()()'()0()()f x f g f g F x g x ξξξξ-=?= (4)'()()()0f f ξλξξ+=?()()()x dx
F x e f x λ?=;
3. ()
()0()n f
f x ξ=?有1n +个零点(1)()n f x -?有2个零点
4. 特例: 证明()
()n f
a ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)
5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)
6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ?∈,[,]a b ξ?∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理
1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ??ξ?ξ)
2. 估计:
'()f f x ξ=
九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011
()()'()()"()()"'()()2!3!
f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+
-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计
十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学
一. 基本概念: 1. 原函数()F x :
(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+?
注(1)()()x
a
F x f t dt =?
(连续不一定可导);
(2)
()()()()x
x a
a
x t f t dt f t dt f x -???
? (()f x 连续)
2. 不定积分性质:
(1)(())'()f x dx f x =?; (())()d f x dx f x dx =?
(2)
'()()f x dx f x c =+?; (
)()d f x f x c
=+? 二. 不定积分常规方法
1. 熟悉基本积分公式
2. 基本方法: 拆(线性性)
1
21
2(()())()()k
f x k g
x d x k f x d x k g x d x
+=+???
3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(2
2
1sin cos x x =+)
如: 211(),,ln ,
2dx
dx d ax b xdx dx d x a x
=
+==2=
(1ln )(ln )x dx d x x =+=
4. 变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,
,x t t t t x
====
(2)作用与引伸(化简):
x t =
5. 分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()x
a
x x f t dt ?
);
(2)“反对幂三指”: ,
ln ,n ax
n
x e
dx x
xdx ??
(3)特别:
()xf x dx ? (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)
6. 特例: (1)
11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++?; (2)(),()sin kx
p x e dx p x axdx ??快速法; (3)()()n v x dx u x ?
三. 定积分:
1. 概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*20
(0)8
a a π
>=
?
; *()02
b
a
a b
x dx +-
=? (3)附:
()()b
a
f x dx M b a ≤-?
,
()()()b
b
a
a
f x
g x dx M g x dx ≤?
?)
(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重
2: 变限积分()()x
a
x f t dt Φ=
?
的处理(重点)
(1)f 可积?Φ连续, f 连续?Φ可导 (2)(
())'x
a
f t dt ?
()f x =; (()())'()x x
a
a
x t f t dt f t dt -=??;
()()()x
a
f x dt x a f x =-?
(3)由函数()()x
a
F x f t dt =?
参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题
3. N L -公式:
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
(()F x 在[,]a b 上必须连续!)
注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含
()b
a
f t dt ?
的方程.
4. 变量代换: ()(())'()b
a
f x d x f u t u t d t
β
α
=?
?
(1)
00
()()()a
a f x dx f a x dx x a t =-=-?
?,
(2)
()()()[()()]a
a
a
a
a
f x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-?
?? (如:44
1
1sin dx x π
π
-+?)
(3)2
20
1
sin n n n n I xdx I n
π
--=
=
?
,
(4)220
0(sin )(cos )f x dx f x dx ππ
=?
?;
20
(sin )2(sin )f x dx f x dx π
π
=?
?,
(5)
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
?
?
,
5. 分部积分
(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()x
a
f x =
?
时, 求
()b
a
f x dx ?
6. 附: 三角函数系的正交性: 2220
s i n c o s s i n c o s 0
n x d x n x d x n x m x d x π
π
π
=
==?
?
?
2200
sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m π
π=≠=??
222
20
sin cos nxdx nxdx π
π
π==?
?
四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),
(),
()a
a f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
?
?
?
(()f x 连续)
(2)
()b
a
f x dx ?
: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)
2. 敛散;
3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)
4. 特例: (1)
1
1
p dx x +∞
?
; (2)101p dx x
? 五. 应用: (柱体侧面积除外)
1. 面积, (1)[()()];b a
S f x g x dx =-? (2)1()d
c
S f y dy -=?
;
(3)21()2
S r d βαθθ=?; (4)侧面积:2(b a S f x π=? 2. 体积: (1)22[()()]b
x a
V f x g x dx π
=-?
; (2)12[()]2()d b
y c
a
V f y dy xf x dx ππ-==??
(3)0x x V =与0y y V =
3. 弧长: ds =
(1)(),[,]y f x x a b =∈ )a
s d x
=?
(2)12()
,[,]()
x x t t t t y y t =?∈?
=? 21
t t s =?
(3)(),[,]r r θθαβ=∈:
s β
α
θ=
?
4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,
5. 平均值(中值定理):
(1)1[,]()b
a
f a b f x dx b a =
-?; (2)0
()[0)lim
x
x f t dt f x
→+∞
+∞=?, (f 以T 为周期:0
()T
f t dt f
T
=
?)
第四讲: 微分方程
一. 基本概念
1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)
2. 变换方程:
(1)令()'""x x t y Dy =?=(如欧拉方程)
(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =?=?(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:
1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =
2. 变量分离型: '()()y f x g y =
(1)解法:
()()()()dy
f x dx G y F x C
g y =?=+??
(2)“偏”微分方程:
(,)z
f x y x
?=?; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=
(1)解法(积分因子法): 00
()01
()[()()]()x
x p x dx
x x M x e y M x q x dx y M x ?=?=
+? (2)变化: '()()x p y x q y +=;
(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α
+= 4. 齐次方程: '()y y x
=Φ (1)解法: '(),()y
du dx
u u xu u x u u x =
?+=Φ=Φ-??
(2)特例:
111
222
a x
b y
c dy dx a x b y c ++=
++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且
N M
x y
??=
?? dU Mdx Ndy U C =+?=
6. 一阶差分方程(数三): 1*
()()x x x x x n x
x y ca y ay b p x y x Q x b
+=?-=??=? 三. 二阶降阶方程
1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++
2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dp
y p x y f x p dx
=?=
= 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dp
y p y y p
f y p dy
=?== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:
(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+
(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 2
0a b c λλ++=
(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()ax
f x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.
3. 欧拉方程(数一): 2
"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2
"(1),'t
x e x y D D y xy Dy =?=-= 五. 应用(注意初始条件):
1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距
2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设
()(),()0x
a
f x dx F x F a ==?
3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=
的方程
4. 变化率(速度)
5. 22
dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q P
x y
??=
?? 7. 级数与方程:
(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==
8. 弹性问题(数三)
第五讲: 多元微分与二重积分
一. 二元微分学概念
1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ?=++?=+?=+ (2)lim ,lim
,lim y x x y f f
f f f x y
???==??
(3),lim
x y f x f y
df + (判别可微性)
注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 0
0(,0)(0,0)(0,)(0,0)
(0,0)lim
,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y
→→--==
2. 特例:
(1)22
(0,0)(,)0,(0,0)xy
x y f x y ?≠
?+=??=?
: (0,0)点处可导不连续;
(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==?
: (0,0)点处连续可导不可微;
二. 偏导数与全微分的计算:
1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)y
x 型; (2)00(,)
x
x y z ; (3)含变限积分
2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =
熟练掌握记号''"""
12111222
,,,,f f f f f 的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0
(,,)0
F x y z
G x y z =??
=? (存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);
1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)
2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)
(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ?=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).
(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ?=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题
四. 二重积分计算:
1. 概念与性质(“积”前工作): (1)
D
d σ??,
(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *1
2D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶
2. 计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 2
2
()f x y +
附: 2
2
2
:()()D x a y b R -+-≤; 22
22:1x y D a b
+≤;
双纽线222222
()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:
(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型
1
2
()D
k x k y dxdy +??, 且已知D 的面积D
S
与重心(,)x y
5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ
?ΩΩΓ∑?):
1. “尺寸”: (1)
D D
d S
σ???;
(2)曲面面积(除柱体侧面);
2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;
3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.
第六讲: 无穷级数(数一,三)
一. 级数概念
1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞
(如1(1)!
n n
n ∞
=+∑
)
注: (1)lim n n a →∞
; (2)
n q ∑(或1
n
a ∑
); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ?收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞
=;
(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→; 二. 正项级数
1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: n
S ; (3)收敛n S M ?≤(有界)
2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n
n
α∑, (3)1ln k n n ∑
3. 审敛方法: (注:2
2
2ab a b ≤+,ln ln b
a a
b =)
(1)比较法(原理):n
p k
a n
(估计), 如1
0()n f x dx ?; ()
()P n Q n ∑
(2)比值与根值: *1
lim
n n n
u u +→∞
*n (应用: 幂级数收敛半径计算)
三. 交错级数(含一般项):
1
(1)
n n a +-∑(0n a >)
1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?
注: 若1
lim
1n n n
a a ρ+→∞=>,则n u ∑发散
2. 标准级数: (1)
1
1(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)1
1(1)ln n p
n
+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:
n
a
∑发散; (2)条件: ,0n n a a →; (3)结论:
1
(1)
n n a +-∑条件收敛.
4. 补充方法:
(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→. 5. 注意事项: 对比 n
a
∑;
(1)n n
a
-∑;
n
a
∑;
2n
a
∑之间的敛散关系
四. 幂级数:
1. 常见形式: (1)
n
n
a x
∑, (2)
()
n
n
a x x -∑, (3)
20
()
n
n
a x x -∑
2. 阿贝尔定理:
(1)结论: *x x =敛*0R x x ?≥-; *
x x =散*0R x x ?≤- (2)注: 当*
x x =条件收敛时*R x x ?=-
3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n
n n a na x x n
∑∑
与n n a x ∑同收敛半径 (2)
n
n
a x
∑与
20
()
n
n
a x x -∑之间的转换
4. 幂级数展开法:
(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23
111,2!3!
x
e x x x R =++++Ω= 24111
()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111
(),23!5!
x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411
cos 1,2!4!
x x x R =-++Ω=;
211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x
=-+-∈-+ 2311
ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-
2311
ln(1),[1,1)23
x x x x x -=----∈-
3511arctan ,[1,1]35
x x x x x =-
+-∈-
(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 02
1
,x x ax bx c
=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0
()()(0)x
f x
g x dx f ?=+?
(4)考察原函数: 0
()
()x
g x f x dx ?
()'()f x g x ?=
5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =
+∑∑
(2)'()S x =,(注意首项变化)
(3)()(
)'S x =∑,
(4)()"()"S x S x ?的微分方程 (5)应用:
()(1)n n
n n a
a x S x a S ?=?=∑∑∑.
6. 方程的幂级数解法
7. 经济应用(数三):
(1)复利: (1)n
A p +; (2)现值: (1)n
A p -+
五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)
1. 傅氏级数(三角级数): 01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ?(和函数) (2)1
()[()()]2
S x f x f x =
-++ 3. 系数公式: 01()cos 1
(),,1,2,3,
1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx ππ
π
π
ππππ
π--
-?=??=
=??=??
??
?
4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=
∈-(分段表示)
(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =
6. 附产品: ()f x ?01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
00001
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
=?=++∑001[()()]2f x f x =-++
第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)
一. 向量基本运算
1. 12k a k b +; (平行b a λ?=)
2. a ; (单位向量(方向余弦) 0
1(c o s ,c o s ,c o s )
a a a
αβγ=
) 3. a b ?; (投影:()a a b b a
?=
; 垂直:0a b a b ⊥??=; 夹角:(,)a b a b a b
?=
)
4. a b ?; (法向:,n a b a b =?⊥; 面积:S a b =?) 二. 平面与直线
1.平面∏
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕= (2)方程(点法式): 000:()()()00
A x x
B y y
C z z A x B y
C z
D π-+-+-=?+++= (3)其它: *截距式1x y z
a b c
++=; *三点式
2.直线L
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000
:
x x y y z z L m n p
---== (3)一般方程(交面式): 111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??
+++=?
(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t
=+-??
=+-∈??=+-?
)
3. 实用方法: (1)平面束方程:
11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++=
(2)距离公式: 如点000(,)M x y
到平面的距离d =
(3)对称问题;
(4)投影问题.
三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面
(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=? (或(,1)x y n z z =--)
2. 曲线
(1)形式()
:()()
x x t y y t z z t =??
Γ=??=?
, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?;
(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =?)
3. 应用
(1)交线, 投影柱面与投影曲线;
(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;
(3)锥面计算.
四. 常用二次曲面
1. 圆柱面: 2
2
2
x y R += 2. 球面: 2
2
2
2
x y z R ++=
变形: 2222
x y R z +=-,
z =
2
2
2
2x y z az ++=, 2
2
2
2
000()()()x x y y z z R -+-+-=
3. 锥面: z =
变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,
变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =
五. 偏导几何应用 1. 曲面
(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =?=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =?=- (2)切平面与法线:
2. 曲线
(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===?= (2)切线与法平面
3. 综合: :Γ0
0F G =??
=?
, 12s n n =?
六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):
(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=? (2)计算(充分条件:可微):
cos cos cos x y z u
u u u l
αβγ?=++? 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y z
f f l
θθ??
=+? (3)附: 222
2cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f l
θθθθ?=++?
2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :
(1)计算:
()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =?==; ()(,,)(
,,
x y
z b u f x y z G g r a d u u u u =?=
= (2)结论 ()
a u
l
??0G l =?; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.
第八讲: 三重积分与线面积分(数一)
一. 三重积分(
fdV Ω
???)
1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):
(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心
(2)投影法: 222
12{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222
(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤
(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:
(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222
()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++
3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *
dv Ω
???; *利用对称性(重点)
(2)截面法(旋转体): ()
b
a
D z I dz fdxdy =
?
??(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)
(3)投影法(直柱体): 21(,)
(,)
xy
z x y z x y D I dxdy fdz =
???
(4)球坐标(球或锥体): 220
sin ()R
I d d f d π
α
θ??ρρ=
????
??,
(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:
(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
大学微积分l知识点总结 二
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
大学高等数学下考试题库(附答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
高一数学知识点归纳
集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
大学高等数学知识点
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞ (含x →±∞);*0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
大学高等数学第一册考试试题+答案
一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 .
高等数学考试知识点
《高等数学》考试知识点 一、函数、极限、连续 考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；
10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 二、一元函数微分学 考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径； 考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数；
大一高数上复习重点
大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020
高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数
三.微分中值定理与导数的应用：
洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质
2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换
高中数学：选修1-1知识点总结
高中数学：选修1-1知识点总结 第一章简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、原命题：“若p，则q”逆命题：“若q，则p” 否命题：“若p?，则q?”逆否命题：“若q?，则p?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 5、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 若p q A?，则A是B的充分条件或B是A的必要条件； 利用集合间的包含关系：例如：若B 若A=B，则A是B的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∨； ∧；⑵或（or）：命题形式p q ⑶非（not）：命题形式p?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p：)( M x? p ∈ ?。 M ,x p x∈ ?；全称命题p的否定?p：)( ,x
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<
关于大学高等数学期末考试试题与答案
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
高中数学必修1-5知识点归纳
必修1数学知识点 第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记 作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。 其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： ⑴m n m n a a = () 1,,,0* >∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质：
同济大学___高数上册知识点
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=
)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
小学1—6年级数学知识点归纳
数和数的运算 一、概念 （一）整数 1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a 的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如把28分解质因数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。 公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
大一高等数学试题及答案
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为
大一上学期高数复习要点
大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数
洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！