数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为
x 2cos 。则其定解条件是
2. 方程
03=??-??x
u t u 的通解为 3.已知边值问题???===+0
)()0(0
)()('"πλX X x X x X ，则其固有函数)(x X n =
4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为
二.单项选择题（每小题5分，共15分）
1. 拉普拉斯方程02222=??+??y
u
x u 的一个解是（ ）
（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=
（C ）2
21),(y x y x u +=
（D ）22ln
),(y x y x u +=
2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( )
（A ）ρc t x F x u a t u
),(222
22+??=?? （B ）ρc t x F x
u a t u ),(222+??=?? (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+??=?? (D) ρc t x u x
F a t F ),(22
2+??=?? (其中ρc k a =2) 3. 理想传输线上电压问题???
???
?=??=??=??=x
aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0
2
2
222
( 其中C
L a
1
2
=
)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω
三. 解下列问题
1.
( 本题8分) 求问题 ???
??==??+??x e
x u y
u x u 38)0,(03的解 2.
( 本题8分)???
????=-==???222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u
3 . ( 本题8分) 求问题 ???
???
?=??=??=??=2
222223,2sin )0,(x t u x x u x u
a t u t 的解
四. 用适当的方法解下列问题
1.
( 本题8分) 解问题 ??
?
??+-=??=??22
2
2321)0,(x x x u x u a t u 2.
( 本题8分) 解问题 ???
????=??+=??+??+??=??==20
22
0222222
2226,32)(y t u xz y u z
u y u x u a t u t t 五． ( 本题10分)解混合问题： ????
?????===??=??x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(2
2
2 六．( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：
?
???
?
????=??-===??=??=x
t u x x x u t u t u x u a t
u t 2sin 3,
)(2)0,(0),(),0(0
2222
2ππ
一. 单项选择题（每小题4分，共20分） 1.（D ） 2.（B ） 3. （D ） 4. （D ） 二. 填空题（每空4分，共24分）
1. 12,2x y C x y C +=+=
2.0(0,)(2,)0(,0),2t u t u t u x x x t π===??
?
?==???
, 3. (,)(32)u x t x f x y =++ ，
4.)(x X n =cos
,(0,1,2,3,)2
n n x
B n π= 5.通解为22
3(,)()()2
u x t x y f x g y =
++ 三. 解下列问题 ( 本题7分)
1．求问题 ??
?
??==??+??x e x u y
u x u 38)0,(03的解 解：设3(,)8x m y u x t e += （2分）
代入方程，33(8)33(8)0x m y
x m y e
e m ++?+??=
330,1m m +==- （6分）
所以解为
3(,)8x y u x t e -= （7分）
2．
( 本题7分) 求问题 ???
???
?=??=??=??=2
222223,2sin )0,(x t u x x u x u a t u t 的解
解：由达朗贝尔公式，得
2
11(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d a
ξξ+-=++-+?（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）
四. 用适当的方法解下列问题
1. ( 本题7分) 解问题 ??
?
??+-=??=??22
2
2321)0,(x x x u x u a t u 解：设2(,)
123u x t x x At =-++
代入方程，
2[006]6A a A t x ''=-+++
令 2
066A A a x
''=??=+? 显然成立 解为
22(,)12366u x t x x a t xt =-+++
2.
( 本题7分) 解问题 ???
?
??
?=??++=??+??+??=??==2
2
2
0222222
2226,32)(y t u yz y x u z
u y u x u a t u t t 解：设22223[23][6]u
x y yz At x t Bt =+++++ （2分）
代入方程
22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++?++? （4分）
令 ，2
612B B a ?=??=?
显然成立，解为 322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=
五． ( 本题7分)解混合问题：
????
???
??===??=??x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(22
2 解1(,){(,)}u x t L U x s -=
22
2sin a t e x ππ-=
六．( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：
????
?
????=??-===??=??=x
t u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,
)(2)0,(0),(),0(0
2
2222ππ
解：设 (,)()()u x t X x T t = 代入方程及边界
20
0(0)()0
T a T X X X X λλπ''?+=?
''+=??==?
22(),sin n
n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+
1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞
==+∑
其中 30
2
8[1(1)]
()sin n n C x x nxdx n π
ππ
π
--=
-=?
0(2)2
3sin 2sin 3
(2)n n D x nxdx n a
π
π
≠??
=
=?=???
所以解为3
1
38[1(1)]
(,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞
=--=+∑
2009-2010学年第一学期数学物理方程试题
一、 填空题（每小题4分，共24分）
1. 方程)sin(232222222y x y
u
y x u x u +=??+???-?? 的特征线为
2. 长为l 的弦做微小的横振动，0x =、x l =两端固定，且在初始时刻处于水平状态，初始速度为x 2, 则其定解条件是
3. 方程
x y
u x u 23=??+??的通解为 4. 已知边值问题 ???='='=+0
)2()0(0
)()("X X x X x X λ , 则其固有函数
)(x X n =
5. 方程0)6425(2
'
"
2
=-++y x xy y x 的通解为 6.
=?dx x J x )(12
.
二．单项选择题（每小题4分，共20分）
1. 微分方程)1ln(sin 2x u u u xyy xxx +=-+ 是（ ）
（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程 （C ）三阶线性齐次常微分方程 （D ）三阶非线性常微分方程
2. 拉普拉斯方程02222=??+??y
u
x u 的一个解是（ ）
（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=
（C ）2
21),(y x y x u +=
（D ）22ln
),(y x y x u +=
3. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( )
（A ）ρc t x F x u a t u
),(222
22+??=?? （B ）ρc t x F x
u a t u ),(222+??=?? (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+??=?? (D) ρc t x u x
F a t F ),(22
2+??=?? (其中ρc k a =2) 4. 理想传输线上电压问题???
???
?=??=??=??=x
aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0
2
2
222
（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω 5. 单位半径的圆板的热传导混合问题
??
???=<=
2ρρρρρ
ρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。 （A ）∑∞
=-=
1sin ),(2
2n n t
a n n e
A t x u ρββ.（
B ）∑∞
=-=1cos ),(2
2n n t a n n e A t x u ρββ
（C ）)(),(1
022∑∞
=-=
n n t
a n J e
A t x u n ρββ（D ）∑∞
=-=1
)(),(2
2n n n t a n J e A t x u n ρββ
三．求下列问题的解：（每小题6分，共12分）
1.求问题 ???
???
?=??=??=??=2
22
2222,3sin )0,(x t u
x x u x u a t u t 的解
2.求解下列问题：???
????=??==??+???-??=x y x e y u e x u y u
y x u x u 3032222
25,3)0,(034
四．用适当的方法解下列问题（每小题6分，共18分）
1.
解问题 ??
?
??-=+??=??22
2
2)2(3)0,(6x x u t x u a t u 2 .
解问题???
????=??+=??+??+??=??==20320222222
2225,3)(z x t u y x u z u y u x u a t u t t
3.解问题?????+==??+??+??=θ
θθ3sin 2cos 60
1122222R R u u
r r u r r u R r
五．解答题（每小题6分，共12分）
1. 求方程320xx
xy yy x y u u u u u -++-=的通解 2. 计算?dx x xJ )(2
六．( 本题14分) 用分离变量法解下列混合问题：
????
?
????-=??===??=??=)
(6,
3sin 2)0,(0),(),0(0
2
2
222x x t u x x u t u t u x u a t u t ππ
2009/2010学年第一学期数学物理方程期末试题(A)答案
一. 填空题 1. 212,C y x C y x =+=+ 2. ??
?
??=??====x t u
x u t l u t u t 2,0)0,(0
),(),0(0 3. )3(2
y x f x u -+= 4. 固有函数 2,1,0,2
cos
)(==n x
n C x X n n π 5. 通解为)5()5(88x N D x J C y += 6. C x J x +)(22
.
二. 单项选择题 1. （B ） 2. （D ） 3. （B ） 4. （D ） 5. （C ） 三. 解下列问题 ( 本题7分) 1．解：由达朗贝尔公式，得
?+-+-++=at x at
x d a at x at x t x u ξξ2
221)](3sin )(3[sin 21),(
3223
2
23c o s 3s i n
),(t a t x at x t x u ++= 四. 用适当的方法解下列问题（每小题7分，共21分）
1. 解：设
223)2(3),(t At x t x u ++-= , 代入方程t At a t A 6)6(62+?+=+
令 ???==?2
60a
A A 显然成立 , 解为22236)2(3),(t t a x t x u ++-= 2.解：设]5[]3[)
,,,(32232t B t xz t A y x t z y x u ++++=
代入方程 )]10[]182{[62322t B xt t A y a Bt A ?++?++=+
令 ???+==?)182(202y a A A ，?
???==?x a B B 10602
显然成立，解为 32222323
5
5)91(3),,,(t a t xz t a y y x t z y x u +++++=
3. 解：设方程解为
θθ3sin cos ),(3r B r A t r u +=
又θθθθ3sin 2cos 63sin cos ),(3
R R BR AR t R u +=+= ,
因此 R BR R AR 2,63
==??
???==226R B A
解为 θθ3sin 2cos 6),(23
R
r r t r u +=
五．解答题
1．解：方程化为 0)12)((=+--u D D D D y x y x 通解是 x
e y x g y x
f y x u -+++=)2()(),( 2解：
])([)(1122??--=x J x d x dx x xJ })()]([{211112?----=dx x J x x J x x
})(2)]([{11112?----=dx x xJ x x J x x C x J x xJ ++-=)(2)(01
六．解： 设 (,)()()u x t X x T t = 代入方程及边界??
?
??='='=+=+0)()0(00)()("2"πλλX X X X t T a t T
,3,2,1,sin )(,2
==??
? ??=n nx x X n n n ππλ
一簇解nx ant D ant C t x u n n n sin )sin cos (),(+= 叠加解nx t an D t an C
t x u n n n
sin )sin cos (),(1
+=
∑∞
=
其中23=C ,)3(0≠=n C n
π
πππ
π
430
]
)1(1[24])1(1[212sin )(62an n an nxdx x x an D n n n --=--??=-=
?
所以解为 nx t an an x at t x u n n sin sin ]
)1(1[243sin 3cos 2),(1
4
∑∞
=--+=π
成都理工大学数学物理方程试题
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u
最新数学物理方程期末试卷
最新数学物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进 入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2x l x -，试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：
???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
数学物理方法综合试题及答案
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -
数学物理方程第二版答案解析(平时课后知识题作业任务)
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)
数学物理方法期末考试规范标准答案
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
数学物理方程期末考试试题(A)答案
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解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’)
解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’)
最新数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得：
21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x
数学物理方法试卷(全答案).doc
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
数学物理方程期末试卷
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：
???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案
成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===><
2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:
【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
数学物理方程期末试卷
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 、长度为 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。 分 、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为 度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是 ()2 x l x -，试写出其定解问题。 分 、试用分离变量法求定解问题 分 ： ?????????===><
222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 分 ： ???????==??=??=+=-). ()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（ 分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 、用积分变换法求解定解问题（ 分）： ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 、用积分变换法求解定解问题 分 ：
数学物理方程习题解答案
数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -=
其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-??
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为 x 2cos 。则其定解条件是 2. 方程 03=??-??x u t u 的通解为 3.已知边值问题???===+0 )()0(0 )()('"πλX X x X x X ，则其固有函数)(x X n = 4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分，共15分） 1. 拉普拉斯方程02222=??+??y u x u 的一个解是（ ） （A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u += （C ）2 21),(y x y x u += （D ）22ln ),(y x y x u += 2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( ) （A ）ρc t x F x u a t u ),(222 22+??=?? （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+??=?? (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+??=?? (D) ρc t x u x F a t F ),(22 2+??=?? (其中ρc k a =2) 3. 理想传输线上电压问题??? ??? ?=??=??=??=x aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0 2 2 222 ( 其中C L a 1 2 = )的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω
数学物理方程期末考试
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2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入， 设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出 其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?=
6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
《数学物理方程》试卷A
华南理工大学 广州汽车学院 2009——2010学年度第二学期期末考试 《数学物理方程》试卷A 考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚； 2．本试卷共六个大题，满分100分，考试时间120分钟； 一．单项选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1．下列关于x 的函数，对于不同的正整数n ，所形成的函数系列不是正交为 （ ） A ．cos , 0
4．下列哪个不是关于u 的齐次方程 （ ） A . 2222u u a u x t ??=+?? B . 2211()0u u ρρρρρθ???+=??? C . 22211()(sin )()sin u u r r r r r θδρθθθ ????+=-???? D . 22u u a xu x t ??=+?? 5．下列哪个方程是勒让德方程 （ ） A . '''22 ()0xy xy x n y ++-= B . 2''' (1)2(1)0x y xy n n y --++= C . 22211()(sin )0sin u u r r r r θρθθθ????+=???? D . 21(1)d dR r n n R dr dr ?? =+ ??? 二、（15分）若(),()F z G z 是任意两个二次连续可微函数，证明 ()()u F x at G x at =++- 满足方程2222u u a t x ??=??。
数学物理方程试题
考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试题单上的答题一律无效（本题单不参与阅卷）。 一、（本题20分）。 设细杆因外界原因而产生纵振动，以(,)u x t 表示其静止时x 点处在时刻t 离开原位置的偏移，并假设振动过程中所发生的张力服从虎克定律，即x 处单位面积受到的张力(,)(,)u x t p x t E x ?=?，其中E 为细杆的杨氏模量．令()x ρ为细杆的密度，试写出该振动所满足的偏微分方程． 二、（本题20分）。 判定方程 0623222222=??+??+??-???+??y u x u y y x u x u 的类型并化简． 三、（本题10分）。 设有圆域r R <上的Laplace 方程的第二边值问题 0sin [0,2]4r R u u n θθπ=?=????=∈??? 请讨论此方程是否有解（其中，（r ，θ）是该园域所在的二维空间的极坐标表示）. 四、（本题10分）。 试用齐次化原理导出平面非齐次波动方程2()(,,)tt xx yy u a u u f x y t -+=在齐次初
始条件0000 t t t u u ==?=??=??下的求解公式． 五、（本题10分）。 求解热传导方程的初值问题 0(,0)sin t xx u u u x x -=??=? 六、（本题20分）。 求解下列弦振动方程的定解问题 ()200,0(,0)0,(,0)()(0,)(,)0tt xx t u a u x l t u x u x x l x u t u l t ?-=<<
《数学物理方程》习题精练
《数学物理方程》习题精练5 (椭圆型方程的边值问题) 内容 1.分离变量法 2.调和函数的性质与极值原理 3.Dirichlet 问题的Green 函数法 1. 分离变量法 (1)Poisson 方程边值问题的“特解法” Poisson 方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson 方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel 原理，但若能找到Poisson 方程的一个特解，常可把它转化成Laplace 方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”. 今有边值问题 (*)??????∈=∈=+?D y x y x u D y x y x f u u D yy xx ),( ),,(),( ),,(? 设),(y x w 是Poisson 方程的一个解(特解)，),(y x u 是所给边值问题的解.令 ),(),(),(y x w y x v y x u +=， 则),(y x v 满足如下的边值问题 (**)??????∈-=∈=+??D y x w y x v D y x v v D D yy xx ),( ,),(),( ,0? 亦即),(y x v 是域D 上的调和函数.这样，就把Poisson 方程的边值问题(*)转化成Laplace 方程的边值问题(**).对于特殊的区域D ，我们还可以用分离变量法来求解(**). 例1 求解Poisson 方程的边值问题 ?????=<+-=+=+.0)( ,2 22222a y x yy xx u a y x xy u u 解 ①先寻求Poisson 方程的一个特解),(y x w . 显然，xy xy y x -=+- ?)](12 1[33，于是得到一个特解为 θθρcos sin 12 1)(121)(121),(42233-=+-=+-=xy y x xy y x y x w . 令 θθθρ2sin 24 1cos sin 1214-=-=+=v v w v u ， 则新的未知函数v 满足如下的定解问题：