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线性回归方程(1-4页为试题-5-6页为答案)

变量间的相关关系与线性回归方程训练

一、选择题

1.以下关于相关关系的说法正确的个数是()

①相关关系是函数关系；②函数关系是相关关系；③线性相关关系是一次函数关系；

④相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系.

A．0B．1 C．2D．3

2.下列关系属于线性负相关的是()

A．父母的身高与子女身高的关系B．农作物产量与施肥量的关系

C．吸烟与健康的关系D．数学成绩与物理成绩的关系

3.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是()

A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系

C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系

4.列两个变量之间的关系具有相关关系的是()

A．家庭的支出与收入B．某家庭用电量与水价间的关系

C．单位圆中角的度数与其所对孤长D．正方形的周长与其边长

5.下列关系中，是相关关系的有()

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；

③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭经济条件与学生学习成绩之间的关系．

A．①②B．①③C．②③D．②④

6.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，

若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝1

2x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数

为()

A．－1 B．0 C．1

2D．1

7.右图是变量x，y的散点图，那么如图所示的

两个变量具有相关关系的是()

A．(2) (3) B．(1) (2)

C．(2) (4) D．(3) (4)

8.在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；

②收集数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是()

A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①

对变量

有观测数据理力争得散点图1;对变量

有观测数据

,得散点图由这两个散点图可以判断（）

A . 变量与正相关,与正相关方

B . 变量与正相关,与负相关

C . 变量与负相关,与正相关

D . 变量与

负相关,与负相关

10.设有一个直线回归方程为 ,则变量增加一个单位时( )

A ．平均增加 1.5 个单位 B

．平均增加 2 个单位 C ．平均减少 1.5 个单位 D ．平均减少 2 个单位

11.甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表。则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（）

r m

甲 0.85 103 乙 0.78 106 丙 0.69 124

丁 0.82 115

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

12.变量与具有线性相关关系，当取值16,14,12,8时，通过观测得到的值分别为11，9，8，5，若在实际问题中，的预报最大取值是10，则的最大取值不能超过（）

A ．12

B ．15

C ．16

D ．17 二、填空题

13.有下列关系：

①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系； ④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；

⑤学生与其学号之间的关系． ⑥学生与其学校之间的关系．其中具有相关关系的是________．

14.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如右边的对照表．

由表中数据，得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，若b ^＝－2，则a ^

＝_____________．

气温x(℃) 18 13 10 -1 用电量y(度)

34 38

15.由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y^＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是________．

①直线y^＝bx ＋a 必经过点(x ，y)；

②直线y^＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；

③直线y^＝bx ＋a

的斜率为Σn

i ＝1x i y i

－nx y Σn i ＝1x 2i

－nx 2；

④直线y^＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的总偏差Σn

i ＝1[y i －(bx i ＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．

16.某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下，若回归方程的斜率是b ，则它的截距是__________．

玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间

三、解答题

17.某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表： (1)作散点图；

(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归线直线方程；

(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数．

18.某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为______cm ．

尿汞含量x 2 4 6 8 10 消光系数y

138

205

285

360

19．从某地成年男子中随机抽取n个人，测得平均身高为x＝172 cm，标准差为s x＝7.6 cm，

平均体重y＝72 kg，标准差s y＝15.2 kg，相关系数r＝l xy

l xx l yy

＝0.5，求由身高估计平均体

重的回归方程y＝β0＋β1x，以及由体重估计平均身高的回归方程x＝a＋by.

20．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

次数x 3033353739444650

成绩y 3034373942464851

(1)作出散点图；

(2)求出回归方程；

(3)计算相关系数并进行相关性检验；

(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．

变量间的相关关系与线性回归方程参考答案

一、选择题

1. B 解析：根据相关关系的概念可知，只有④正确，故选B.

2. C

3. C 解析：给出一组样本数据，总可以作出相应散点图，但不一定分析出两个变量的关系，更不一定符合

线性相关或有函数关系．

4.A 解析：C 、D 均为函数关系，B 用电量与水价间不具有函数关系，也不具有相关关系.

5.A 解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．

6.D 因为所有样本点所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)都在直线y ＝1

2x ＋1上，说明这组数据的样本完全

正相关，则相关系数达到最大值1．故选D ．

7.C 解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系.

8.D 解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(xi ，yi)，

然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.

9.C

10.C 解析：回归方程中当自变量增加1时，函数值增加的量是x 的系数，本题系数为-1.5，所以较少1.5 11.A 线性相关性的密切性主要看这r 值，r 值越接近1则两相关量之间越密切，现在甲同学所得试验数据

的r 值最接近1，所以反映这两变量A 与B 的相关性最强.数据m ，反映了根据这些试验数据所得回归公式计算结果与估计真值的偏差大小，所以其值越小，说明所用回归公式越好.综合以上两个方面,甲同学试验数据反映了两变量A 与B 的相关性最强.

12.B 解析：先求出回归方程，然后代入x 进行计算， x 14.90

二、填空题

13. ①③④.相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，（5）是两个非随机变

量之间的关系.

14. a ^＝60．解析：x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644

＝40，40＝－2×10＋a ^，∴a ^

＝60. 15．② 解析：回归直线一定过点(x ，y)，但不一定要过样本点．

16．22－11b ．解析：∵a ＝y －－b x －，而由表中数据可求得x －＝11，y －＝22，∴a ＝22－11b.

三、解答题

17．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量

(毫克/升)与消光系数如下表：

(1)作散点图；

(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归线直线方程；

(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数．

解析：(1)见右图．

尿汞含量

x 2 4 6 8 10 消光系数y

138

205

285

360

(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y^＝bx ＋a ，列表： ∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62

＝1 47840＝36.95.

∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y^＝36.95x －11.3.

(3)当x ＝9时，y^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321.

18. 185cm.

解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y ^

＝a ＋bx ，由表中的三组数据可求得

b ＝1，故a ＝y －bx ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^

＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.

19．解 ∵sx ＝

lxy

n ，sy ＝lxy n ，∴lxy n ＝r lxy n ·lyy

＝0.5×7.6×15.2＝57.76. ∴β1＝lxy

n lxy n

＝57.76

7.62＝1，β0＝y －β1x ＝72－1×172＝－100.

故由身高估计平均体重的回归方程为y ＝x －100.由x ，y 位置的对称性，得b ＝lxy

n lxy n ＝57.76

15.22＝0.25，

∴a ＝x －b y ＝172－0.25×72＝154. 故由体重估计平均身高的回归方程为x ＝0.25y ＋154.

20．解 (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如右图

所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系． (2)列表计算：

由上表可求得x ＝39.25，y ＝40.875，∑8i ＝1x2i ＝12 656，∑8

i ＝1y2i ＝13 731， ∑8

i ＝

1xiyi ＝13 180，∴b ＝∑8

i ＝1xiyi －8x y ∑8i ＝1x2i －8x 2≈1.041 5，a ＝y －b x ＝－0.003 88， ∴线性回归方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.

(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．

(4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程

y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57. 故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.

x i 2 4 6 8 10 y i 64 138 205 285 360 x i y i

128

552

1 230

2 280

3 600

x ＝6，y ＝210.4，

Σ5

i ＝1x i 2

＝220，Σ5

i ＝1x i y i ＝7 790 父亲身高 173 170 176 儿子身高

170

176

182

次数x i

成绩y i x 2i y 2i x i y i 30 30 900 900 900 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50

2 500

2 601

2 550

线性回归方程高考题

线性回归方程高考题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 3 4 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤（参考数值：） 2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ∑

(2) 估计使用10年时,维修费用是多少. 3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 3 4 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间（注： 4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：

excel一元及多元线性回归实例

野外实习资料的数理统计分析一元线性回归分析一元回归处理的是两个变量之间的关系，即两个变量X和Y之间如果存在一定的关系，则通过观测所得数据，找出两者之间的关系式。如果两个变量的关系大致是线性的，那就是一元线性回归问题。对两个现象X和Y进行观察或实验，得到两组数值：X1，X2,…，Xn和Y1，Y2，…，Yn,假如要找出一个函数Y=f(X),使它在 X=X1,X2, …,Xn时的数值f(X1),f(X2), …,f(Xn)与观察值Y1，Y2，…，Yn趋于接近。在一个平面直角坐标XOY中找出（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）各点，将其各点分布状况进行察看，即可以清楚地看出其各点分布状况接近一条直线。对于这种线性关系，可以用数学公式表示： Y = a + bX 这条直线所表示的关系，叫做变量Y对X的回归直线，也叫Y对X 的回归方程。其中a为常数，b为Y对于X的回归系数。对于任何具有线性关系的两组变量Y与X，只要求解出a与b的值，即可以写出回归方程。计算a与b值的公式为：

式中：为变量X的均值，Xi为第i个自变量的样本值，为因变量的均值，Yi为第i个因变量Y的样本值。n为样本数。当前一般计算机的Microsoft Excel中都有现成的回归程序，只要将所获得的数据录入就可自动得到回归方程。得到的回归方程是否有意义，其相关的程度有多大，可以根据相关系数的大小来决定。通常用r来表示两个变量X和Y之间的直线相关程度，r为X和Y的相关系数。r值的绝对值越大，两个变量之间的相关程度就越高。当r为正值时，叫做正相关，r为负值时叫做负相关。r 的计算公式如下：式中各符号的意义同上。在求得了回归方程与两个变量之间的相关系数后，可以利用F检验法、t检验法或r检验法来检验两个变量是否显著相关。具体的检验方法在后面介绍。

线性回归方程高考题讲解

线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：）

2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 ∑ (2) 估计使用10年时,维修费用是多少.

3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：

4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图： (2)求回归直线方程；

线性回归方程高考题

一元线性回归模型案例分析

一元线性回归模型案例分析一、研究的目的要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。改革开放以来随着中国经济的快速发展，人民生活水平不断提高，居民的消费水平也不断增长。但是在看到这个整体趋势的同时，还应看到全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。例如，2002年全国城市居民家庭平均每人每年消费支出为6029.88元, 最低的黑龙江省仅为人均4462.08元，最高的上海市达人均10464元，上海是黑龙江的2.35倍。为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，居民的收入水平、就业状况、零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。二、模型设定我们研究的对象是各地区居民消费的差异。居民消费可分为城市居民消费和农村居民消费，由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城市居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。所以模型的被解释变量Y 选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。因为研究的目的是各地区城市居民消费的差异，并不是城市居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城市居民的消费支出来建立模型。因此建立的是2002年截面数据模型。影响各地区城市居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况”、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。因此这些其他因素可以不列入模型，即便它们对居民消费有某些影响也可归入随即扰动项中。为了与“城市居民人均消费支出”相对应，选择在统计年鉴中可以获得的“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X。从2002年《中国统计年鉴》中得到表2.5的数据: 表2.52002年中国各地区城市居民人均年消费支出和可支配收入

高二线性回归方程试题及答案

回归直线方程 1、某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 .] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度; （2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值); （3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表: 由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程. 401 22 1???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑4x y y x

2、某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调（）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为选题与性别有关. （Ⅱ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望．附：，其中． ξξE ξ()()()()() 2 2n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++

案例分析一元线性回归模型

案例分析报告（2014——2015学年第一学期）课程名称：预测与决策专业班级：电子商务1202 学号： 2204120202 学生姓名：陈维维 2014 年 11月案例分析（一元线性回归模型）我国城镇居民家庭人均消费支出预测一、研究目的与要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。从理论角度讲，消费需求的具体内容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为11242.85元，?最低的青海省仅为人均8192.56元，最高的上海市达人均19397.89元，上海是黑龙江的2.37倍。为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。二、模型设定?

我研究的对象是各地区居民消费的差异。居民消费可分为城镇居民消费和农村居民消费，由于各地区的城镇与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城镇居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。所以模型的被解释变量Y选定为“城镇居民每人每年的平均消费支出”。因为研究的目的是各地区城镇居民消费的差异，并不是城镇居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城镇居民的消费支出来建立模型。因此建立的是2008年截面数据模型。影响各地区城镇居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况”、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。因此这些其他因素可以不列入模型，即便它们对居民消费有某些影响也可归入随即扰动项中。为了与“城镇居民人均消费支出”相对应，选择在统计年鉴中可以获得的“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X。以下是2008年各地区城镇居民人均年消费支出和可支配收入表

(完整)高中数学知识点：线性回归方程,推荐文档

高中数学知识点：线性回归方程 1.回归直线方程（1）回归直线：观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。 2．回归直线方程的求法设与n 个观测点（,i i x y ）()1,2,,i n =???最接近的直线方程为$ ,y bx a =+，其中a 、b 是待定系数. 则$,(1,2,,)i i y bx a i n =+=L .于是得到各个偏差 μ(),(1,2,,)i i i i y y y bx a i n -=-+=L . 显见，偏差$i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和. 2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=Λ 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度. 记21()n i i i Q y bx a ==--∑. 上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即 1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑， ∑==n i i x n x 11，∑==n i i y n y 11

相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。要点诠释： 1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程. 2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义.否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性. 3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误. 4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.

高中数学线性回归方程检测试题(附答案)

高中数学线性回归方程检测试题（附答案）高中苏教数学③ 2. 4线性回归方程测试题一、选择题 1．下列关系属于线性负相关的是（）Ａ．父母的身高与子女身高的关系Ｂ．身高与手长Ｃ．吸烟与健康的关系Ｄ．数学成绩与物理成绩的关系答案：Ｃ 2．由一组数据得到的回归直线方程，那么下面说法不正确的是（）Ａ．直线必经过点Ｂ．直线至少经过点中的一个点Ｃ．直线 a的斜率为Ｄ．直线和各点的总离差平方和是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线答案：Ｂ 3．实验测得四组的值为，则y与x之间的回归直线方程为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

答案：Ａ 4．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是，那么下列说法正确的是（）Ａ．直线和一定有公共点Ｂ．直线和相交，但交点不一定是Ｃ．必有直线Ｄ．和必定重合答案：Ａ二、填空题 5．有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系（3）苹果的产量与气候之间的关系（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系（5）学生与他（她）的学号之间的关系其中，具有相关关系的是．答案：（1）（3）（4） 6．对具有相关关系的两个变量进行的方法叫做回归分析．用直角坐标系中的坐标分别表示具有的两个变量，将数据表

中的各对数据在直角坐标系中描点得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做．答案：统计分析；相关关系；散点图 7．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数、方差分别为，则新数据的平均数是，方差是，标准差是．答案：；； 8．已知回归直线方程为，则可估计x与y增长速度之比约为．答案：三、解答题 9．某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据如下： 3 5 2 8 9 12 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程．解：，，回归直线方程为． 10．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下： 45 42 46 48 42 6.53 6.30 9.25 7.580 6.99 35 58 40 39 50

线性回归方程的求法(需要给每个人发)

耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法：（1）先求变量x 的平均值，既1231 ()n x x x x x n =+++???+ （2）求变量y 的平均值，既1231 ()n y y y y y n = +++???+ （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法法11 2 1 ()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222 12()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--= ??-+-++-?? （需理解并会代入数据）法21 2 1 ()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?= ??+++-?? （这个公式需要自己记忆，稍微简单些）（4）求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分）例．已知,x y 之间的一组数据：求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，既1 (0123) 1.54 x =+++= （2）求变量y 的平均值，既1 (1357)44 y = +++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法法1?b = [] 11223344222212342222 ()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--= ??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-??

(完整word版)多元线性回归模型案例分析

多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。二·模型设定为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）：表1 中国人口增长率及相关数据

设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。年份人口自然增长率（%。）国民总收入（亿元）居民消费价格指数增长率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024

线性回归练习题资料

线性回归练习一、选择题 1.下列两个变量之间的关系中，哪个是函数关系（） A.学生的性别与他的数学成绩 B.人的工作环境与健康状况 C.女儿的身高与父亲的身高 D. 正三角形的边长与面积 2．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x (cm)和体重y (kg)的回归方程为 ?0.84985.712y x =-，则身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重（） A.为6 0.316kg B. 约为6 0.316kg C.大于6 0.316kg D.小于6 0.316kg 3. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为?160180y x =+，下列判断正确的是（） A ．劳动生产率为1000元时，工资为340元 B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高180元 C ．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高180元 D.工资为520元时，劳动生产率为2000元 4．由右表可计算出变量,x y 的线性回归方程为（） A. ?0.350.15y x =-+ B. ?0.350.25y x =-+ C. ?0.350.15y x =+ D. ?0.350.25y x =+ 二、填空题 5．下列说法中正确的是（填序号） ①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数r ；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法. 6．三点()3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是三、解答 [2016高考新课标Ⅲ文数]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 x 5 4 3 2 1 y 2 1.5 1 1 0.5

高考线性回归方程总结

第二讲线性回归方程一、相关关系： 1、?? ?<=1 ||1||r r 不确定关系：相关关系确定关系：函数关系 2、相关系数：∑∑∑===-? ---= n i i n i i n i i i y y x x y y x x r 1 2 1 2 1 ) () () )((，其中：（1）?? ?<>负相关正相关0 0r r ；（2）相关性很弱；相关性很强；3 .0||75.0||<>r r 例题1：下列两个变量具有相关关系的是（） A.正方形的体积与棱长； B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间； C.人的身高和体重； D.人的身高与视力。例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i =都在直线12 1 +-=x y 上，则样本相关系数为（） 2 1.2 1. 1.1.- -D C B A 例题3：r 是相关系数，则下列命题正确的是：（1）]75.0,1[--∈r 时，两个变量负相关很强；（2）]1,75.0[∈r 时，两个变量正相关很强；（3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或--∈r 时，两个变量相关性一般；（4）（4）1.0=r 时，两个变量相关性很弱。 3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。

例题4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（） A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上； B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上； D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上；例题5：散点图在回归分析过程中的作用是（） A.查找个体个数 B.比较个体数据的大小 C.研究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相关二、线性回归方程： 1、回归方程：a x b y ???+= 其中2 1 2 1 1 21 )() )((?x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i --= ---=∑∑∑∑====，x b y a ??-=（代入样本点的中心）例题1：设),(),,(),,(2211n n y x y x y x 是变量n y x 的和个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（过一、二、四象限），以下结论正确的是（） A.直线l 过点),(y x B.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 C.的和y x 相关系数在0到1之间 D.的和y x 相关系数为直线l 的斜率例题2：工人月工资y （元）依劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为 x y 9060?+=，下列判断正确的是（） A.劳动生产率为1000元时，工资为150元； B.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高150元； C.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元；

高中数学《线性回归方程》教案

线性回归方程教学目标: （1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法；（2）掌握散点图的画法及在统计中的作用；（3）掌握回归直线方程的实际应用。教学重点: 线性回归方程的求解。教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。教学过程: 一、复习练习 1．下例说法不正确的是（ B ） A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量； B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定; C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系; D.相关关系是一种非确定性关系. 2．已知回归方程81.05.0?-=x y ,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是（ D ） A x y 75.175.1?-= B x y 75.575.1? += C x y 75.575.1?-= D x y 75.175.1?+= 4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下：模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46．（１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值；（２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19. (2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。二、典例分析例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：

高考线性回归方程地总结上课讲义

高考线性回归方程地总结

第二讲线性回归方程一、相关关系： 1、?? ?<=1 ||1||r r 不确定关系：相关关系确定关系：函数关系 2、相关系数：∑∑∑===-? ---= n i i n i i n i i i y y x x y y x x r 1 2 1 2 1 ) () () )((，其中：（1）?? ?<>负相关正相关00r r ；（2）相关性很弱；相关性很强；3 .0||75 .0||<>r r 例题1：下列两个变量具有相关关系的是（） A.正方形的体积与棱长； B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间； C.人的身高和体重； D.人的身高与视力。例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ΛΛ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i Λ=都在直线12 1 +-=x y 上，则样本相关系数为（） 2 1.2 1.1 .1 .- -D C B A 例题3：r 是相关系数，则下列命题正确的是：（1）]75.0,1[--∈r 时，两个变量负相关很强；（2）]1,75.0[∈r 时，两个变量正相关很强；（3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或--∈r 时，两个变量相关性一般；（4）（4）1.0=r 时，两个变量相关性很弱。 3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。例题4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（） A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上； B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上； D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上；

案例分析一元线性回归模型

案例分析一元线性回归模型 Revised as of 23 November 2020

案例分析报告（2014——2015学年第一学期）课程名称：预测与决策专业班级：电子商务1202 学号： 02 学生姓名：陈维维 2014 年 11月案例分析（一元线性回归模型）我国城镇居民家庭人均消费支出预测一、研究目的与要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。从理论角度讲，消费需求的具体内容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为元，最低的青海省仅为人均元，最高的上海市达人均元，上海是黑龙江的倍。为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。二、模型设定

高中数学选修3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^

其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距． 4．样本相关系数 r＝ ∑ i＝1 n (x i－x)(y i－y) ∑ i＝1 n (x i－x)2∑ i＝1 n (y i－y)2 ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型

(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差． (2)相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．规律 (1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．注意

高中数学线性回归方程讲解练习题

教学步骤及教学内容线性回归方程 (参考公式：b＝ ∑ i＝1 n x i y i－n x y ∑ i＝1 n x2i－n x2 ，a＝y－b x) 1．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为() A.y ^ ＝x＋1 B.y ^ ＝x＋2 C.y ^ ＝2x＋1 D.y ^ ＝x－1 2．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是() A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不确定 3．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑ 8 i＝1 x i＝52，∑ 8 i＝1 y i＝228，∑ 8 i＝1 x2i＝478，∑ 8 i＝1 x i y i＝1849，则其线性回归方程为() A.y ^ ＝11.47＋2.62x B.y ^ ＝－11.47＋2.62x C.y ^ ＝2.62＋11.47x D.y ^ ＝11.47－2.62x 4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x 123 4 用水量y 4.543 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^ ＝－0.7x＋a，则a等于______． 5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？作业布置家长意见家长签名： 2013 年＿月＿日（第＿次）审阅人：

线性回归方程题型

线性回归方程 1。【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表： (Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()() () 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ ==--= -∑∑，??a y bt =-

2。【2016年全国3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注:年份代码1–7分别对应年份2008–2014. (Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明；（Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0。01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。附注：参考数据： 7 1 9.32i i y ==∑,7 1 40.17i i i t y ==∑7 2 1 () 0.55i i y y =-=∑，≈2.646. 参考公式:1 2 2 1 1 ()() ()(y y)n i i i n n i i i i t t y y r t t ===--= --∑∑∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n i i i n i i t t y y b t t ==--= -∑∑， =.a y bt -

3。【2015全国1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y(单位:t)和年利润z （单位：千元)的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2, ,8i y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。（I)根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由)；（II ）根据(I)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；（III)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为0.2z y x =- ，根据(II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大?

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