大学微积分l知识点总结(一)

大学微积分l 知识点总结

【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式：

ab 2b

a ≥+

ab

2b a 22≥+

3abc 3c b a ≥++()n n 21n 21...a a a n a ...a a ≥+++ abc

3c b a 333≥++

2b a 2b a ab b 1a 12

2

2+≤+≤≤+ b

a b a b -a +≤±≤

()n

n 21n 21n 21n x ...x x y p p x ...x x x ...x x y ?

?

? ??+++=+++???=的最大值为：则为常数，且扩展：若有

柯西不等式：设a 1、a 2、...a n ，b 1、b 2、...b n 均是实数，则有：

()()()()()()()()()

22221222212n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++

()时取等号

为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ

2、函数周期性和对称性的常用结论

1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），

则f （x ）具有对称性。

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性

（1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a

（4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a （5）若f （x+a ）=【1+f （x ）】/【1-f （x ）】，则T=4a 3、对称性

（1）若f （a+x ）=f （b-x ），则f （x ）的对称轴为x=（a+b ）/2

（2）若f （a+x ）=-f （b-x ）+c ，则f （x ）的图像关于（（a+b ）/2，c/2）对称

引申()n n

2...1n 21a

a a n

a ...a a ≥+++双向不等式： 两侧均在a

b ?0或ab ?0时取等号

4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。

（1）若f （x ）的图像有两条对称轴x=a 和x=b ，则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。

（2）若f （x ）的图像有两个对称中心（a ，0）和（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。

（3）若f （x ）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|。

3、三角函数

l n sin =

?正弦l m cos =?余弦m n tan =?正切 n m cot =?余切m l sec =?正割n l

csc =

?余割

倒数关系：

?=?cot 1tan ?=?csc 1sin ?=

?sec 1

cos 商的关系： ??=?=??csc sec tan cos sin ??

=?=??sec csc cot sin cos 平方关系：

1

cot 11

tan 11

cos sin 2222=?+=?+=?+?

平常针对不同条件的两个常用公式：

1cot tan 1cos sin 22=???=?+?

一个特殊公式：

()()()()

θθθθ-sin sin sin -sin sin sin ?+?=?+?

二倍角公式：

A

A

A A

A A A A

A A 2222tan -1tan 22tan sin 2-1sin -cos 2cos cos sin 22sin =

==?= L m

n

α

半角公式：

()()sina cosa 1cosa

-1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 12

1

2a cos cosa -12

1

2a sin 22+=

=???

??=

+=???

??+=??? ??=??? ?? 三倍角公式：

?

?

?

?????? ??+?=?

??

?????? ??+?=?

??

?????? ??+?=a -3tan a 3tan tana a 3tan a -3cos a 3cos cosa 4a 3cos a -3sin a 3sin sina 4a 3sin ππππππ 万能公式：

?

?

? ???

?? ??=

??? ??+?

?? ??=

?

?? ??+?

?? ??=

2a tan -12a tan 2tana 2a tan 12a tan -1cosa 2a tan 12a tan 2sina 2222

两角和公式：

()()()()()()β

β

βββββ

βββββββββββtan tan 1tan -tan -tan tan tan -1tan tan tan sin sin cos cos -cos sin sin -cos cos cos sin cos -cos sin -sin sin cos cos sin sin ??+?=

???+?=

+???+??=?????=+?????=???+??=+? 和差化积公式：

()()?

???????????

+=+21-cos 21sin 2sin sin ?θ?θ?θ ()()?

???????????

+=21-sin 21cos 2sin -sin ?θ?θ?θ ()()?

???????????

+=+21-cos 21cos 2cos cos ?θ?θ?θ ()()()?

???????????

+=21-sin 21sin 2-cos -cos ?θ?θ?θ ()()B A B A B A B A B A tan tan 1tan cos cos sin tan tan ?-+=

?+=

+ ()()tanB tanA 1B -A tan cos cosA -sin tan -tan ?+=

?=B B A B A

积化和差公式： ()()[]()()[]

()()[]

21

-sin sin cos sin 21

-cos cos cos cos 21-cos -cos -sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβα++=?++=?+=? 口诀：奇变偶不变，符号看象限

()()原式得证

，，由题，证：设，其中证明：222

2

22b a x x b cos x a sin 1x b x a sin x b cos x a x bsin acos sin x bsin acos b

a

tan sin b a bsin acoa +=∴=

==???

??+??? ???

??

??+=+∴+?=+=++=+M M A A A A M A A A M M A A A

4、数学归纳法

数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

例如：前n 个奇数的总和是n 2，那么前n 个偶数的总和是：n 2+n

最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n 属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法由下面两步组成：

①递推的基础：证明当n=1时表达式成立

②递推的依据：证明如果当n=m 时成立，那么当n=m+1时同样成立 （1）第一数学归纳法

①证明当n 取第一个值n 0时命题成立，n 0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况

②假设n=k （k ?n 0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 （2）第二数学归纳法

对于某个与自然数有关的命题P （n ） ①验证n=n 0时P （n ）成立

②假设n 0?n ＜k 时P （n ）成立，并在此基础上，推出P （k+1）成立 （3）倒推归纳法

①验证对于无穷多个自然数n 命题P （n ）成立

②假设P （k+1）成立，并在此基础上，推出P （n ）成立 （4）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题 ①验证n=n 0时P （n ）成立

②假设P （k ）（k ＞n 0）成立，能推出Q （k ）成立，假设Q （k ）成立，能推出P （k ）

成立。

5、初等函数的含义

概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】

【基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】

6、二项式定理：即二项展开式，即（a+b ）n 的展开式

()n

n n k k -n k n 1-n 1n n 0n n b ...b a ...b a a C b a C C C ++?++?+=+

称为二次项系数

其中k

n C

表示

项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1k k k -n k

n 1k b a ++?T C

()()[]()k 1k -n k 1-k 1-k -n ...1-n n 1

-k n k

n +?

=???=

C C ！其中，

7、高等数学中代换法运用技巧

①倒代换

把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法 ②增量代换

若题目中已知x ＞m ，则引入辅助元x=m+a （a ＞0），再将辅助元代入题中解题。

此种代换方法称为“增量代换法” ③三角代换

222222a x x a a x +--、、

④双代换

n n n y

x ∞→lim

8、其他一些知识点

（1）0不是正数，不是负数。是自然数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶数和0

（2）正偶数称为“双数” （3）正常数：常数中的正数

（4）质数：又称“素数”。一个大于1的自然数，如果除了1和它自身以外，不能被其他自然数整除的数，否则称为“合数”。最小的质（素）数是2。1既不是素数，也不是合数。

（5）exp ：高等数学中，以自然对数e 为底的指数函数 （6）在数学符号中，sup 表示上界；inf 表示下界 （7）≡：表示恒等于

（8）0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n ！=n （n-1）！因为1的阶乘为1，即1！=1×0！，故0！=1

【第二部分】函数与极限

常用结论（等价无穷小很重要）

()nx

1x 1n +≥+

()

x n 11x 1n

1+

≤+

x

1e x +≥

()时成立＜1x x 1e x -11

x +≥≥ ()x ln x 1x

x 1≤≤++

e n 11n ＜??? ??+e 1n 1-1n

＜??? ??

：引入两个辅助元进行代换

其中，e

n 11n

→???

??+，e 为初等函数，又称“幂指函数”，e 即根据此公式得到，e ≈2.718

1n 1-1n

2→???

??

()()

61n 21n n n ...21222++=

+++

()2

33321n n n ...21???

?

??+=+++ ()1

-a a

-a s a ...a a s 1n n 2+=

+++=

()()()()

()

1-n 2-n 1-n n n b ...b a a b -a b -a +++=

1-m 2-m 1-m m

1m

1b ...b a a b

-a b

-a ++?+=

()()()()

()

b

x v x x x x x x a x u lim b a b x v lim 0a x u lim 0

===→→→，则为常数、，＞若

()[]

()

e x

f 1x f 1

→+

一些重要数列的极限：

()x ln x 1→+x 1-e x →xlna 1-a x →

()x 1-x 1?→+?x arcsinx

→x arctanx →

另一些重要的数列极限：

()0k 0n 1

lim k n ＞=∞→()为常数＜1q 0q lim n n =∞→()1a 1a lim n n ＞=∞

→ ()为常数！

a 0n a lim n

n =∞→1n lim n n =∞→ x sinx 0x →→时，x tanx →2

x 2

1cosx -1→

列举一些趋向于0的函数：

()

0lnn

10

n a 1a 0c -n b

0b 0a 0q 1q b n

a

n →→→→④，＞③，＞，＞②，＜①

柯西极限存在准则：

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在这样的正整数N ，使得当m ＞N ，n ＞N 时就有|x n -x m |＜ε。这个准则的几何意义表示，数列｛X n }收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

夹逼定理的两个条件：①左右极限存在；②左右极限相等 【极限计算的技巧总结（不包含教材介绍的方法以及公式）：】 （1）洛比达法则

设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ①x →a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;

②在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ③x →a 时，lim (f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大 则 x →a 时，lim (f(x)/F(x))=lim (f'(x)/F'(x)) （2）等价无穷小

一般要将变量的取值变为趋向于0的代数式，如x —∞，令t=1/x 无穷小的概念：

①高阶无穷小：当A lim =0时，如果lim （B/A)=0,就说B 是比A 高阶的无穷小 ②低阶无穷小：当A lim =0时，如果lim （B/A)=∞,就说B 是比A 低阶的无穷小 ③如果lim （B/A)=K （K ≠0,1），就说B 是A 的同阶非等价无穷小 ④等价无穷小：lim （B/A ）=1，就说B 为A 的等价无穷小 （3）斯托尔茨定理

设数列n y 单调增加到无穷大，则

1

1lim lim

--∞→∞

→--=n n n n n n n n y y x x y x ()[]()a x g f x g f x f x x x x =??

????=→→00lim lim )().4(是连续函数：

（5）求两个数列之商的极限，在两数列都具有高次项的情况下，可以直接比较最高次项而忽略较低次项，该原理仅仅限于无穷数列，对于有穷数列不能直取。 （6）分母趋近于0，而分子不为0，其极限不存在或无穷

2

c

411lim lim ,lim (lim lim ,2

411lim ,...7111++=

+=+===+=++=

+++=-∞

→∞

→∞

→-∞

→∞

→-∞→A A C A x c x A x x x x c x c

x c c c x n n n n n n n n n n n n n n n ，所以，知对（☆）两侧求极限可设☆）

所以证明：）（

（8）在计算极限题目中，若题目中同时出现x sin 、x arcsin 、或者x cos 、arcsosx 时，令t=x sin 或x cos

（9）在求极限的过程中如果遇到n 次项等高次项而无法解题时，一般可以通过

借助x e 进行消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。

（10）计算极限时出现出现)tan(tan x 或者)sin(sin x 的形式，应用泰勒公式计算。 （11）三个重要的结果

a

a a a a n a a

a a a a a a a

n

a a a a a n n n n

n n n n n n n n n n

n n n ====?==+++=∞

→+∞→∞

→∞

→∞→∞→lim ,lim

,...,3,2,10...lim ),0(lim ...lim ,lim 1

2121则，＞③若则＞②若则①若

（12）有的题目涉及递推公式、数列问题

如：n

n n S S n S --++++=

-22

32 (2523211)

32n 解题思路： 函数的连续性和间断点问题

（1）如何讨论并确定函数的连续性？

①若该函数是初等函数，则该函数在其定义域区间均连续 ②若是一元函数，则可对其求导，其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续（可导必连续）

③求助极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，计算时注意左右极限 （2）间断点问题 间断点的分类：

[][]段连续

上按在区间断点，则函数上仅有有限个第一类间在区间如果函数断点

的第二类间称为函数不存在时，的左右极限至少有一个在③若存在

左右极限均第一类间断点的特点是点统称第一类间断点。可去间断点和跳跃间断称为跳跃度

的跳跃间断点，为函数则称。但②若已经不是原函数。

处连续，此时在的函数值，使在充定义或改变的可去间断点，只需补为函数可去间断点。若的

，则称为但处没有定义或者有定义在而①若b a x f b a x f x f x x x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x x f x f x x x f A x f x x x f A x f x x x x x x ,)(,)()()()()()

(),()()()(lim ),()(lim )()()()()()()(,)(lim 000000000000000

==-=≠=====≠==-

++

+

-

→+

→→-+（3）一致连续与不一致连续

0)''()'(''''''00x )('''x x )()''()'(''''''0.0x )(εδδεεδεδε≥----∈??x f x f x x x x x f x x x f x f x f x x x x x x f ，但是＜，尽管、存在，总＞，无论对多么小的＞上，存在定义在集合不一致连续：设函数小。的绝对值就可以任意地分靠近，相应函数值差

位置怎样，只要二者充和中的两点定义表明，无论上一致连续。在，则称＜时，就有＜且满足、当）＞（＞上，若定义在集合：设函数一致连续（均匀连续）

?????==???→?=-

+→→→A x f A

x f A x f x x x x x x )(lim )(lim )(lim 00

0充要条件 【第三部分】导数与微分

法线斜率和切线斜率相乘等于-1（切线与法线垂直）

()'u ...'u 'u 'u ...u u n 21n 21+++=+++

()'u ...u u ...u '...u u u ...u 'u 'u ...u u n 21n 21n 21n 21?++?+=???

反函数求导：反函数导数×原函数导数=1 或写成：

y y x x dy

dx 1dx

dy

===

常见的函数的导数（基础函数求导）：

()()为常数c 0'c =()1-x 'x ααα?=()lna a 'a x x ?=

()x

x

e 'e =()lna x 1'log x

a ?=()x

1'lnx = ()x

1'ln x

=()cosx 'sinx =()-sinx 'cosx =

()x sec x tan 1'tan 22=+=x ()x -csc 'cotx 2= ()tanx secx 'secx ?=()cotx -cscx 'cscx ?= ()2

x

-11'arcsinex =()2

x

-11-

'arccosx =

()2x 11'arctanx +=

()2

x 11

-'arccotx +=

()的求导方法特殊复合函数：）（x v

x u y =：

()()

??? ?

?

+?=→=→→?u vu'ln v u 'y e

y u v ln v x u

x 转化

y=f （x ）亦称为“零阶导数”（函数的零阶导数就是其本身）

隐函数：F （x ，y ）=0，y=f （x ）带入即可得到F 【x ，f （x ）】=0，满足该恒等式即为隐函数

国际数学通用标记：

[]()()[]{}[]()()[]{}

[]()()[]{}[]()()[]{}内二次可导

、在、的区间上连续、的二阶导数在

、上可导、在、上的连续函数

、是、b a x f x f b a b a x f x f b a b a x f x f b a b a x f x f b a 2

2====D C D C

易错点：求导时，不能将y 与f （x ）等同。二者导数未必一致

【带有绝对值的函数该如何求导？】

带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数，应当分段求导。特别应注意的是，分段点的导数严格来讲，应当按定义来求。 【经典题型总结】

（1）设函数f （x ）在x ≠0时可导，且对任何非零数x ，y 均有f(x ·y)=f(x)+f(y),又f(1)存在。证明当x ≠0时，f(x)可导。

证：令x=1，由f(x ·y)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0 对任何x ≠0，由题设及导数定义知，

()[]x

)(-)1()(lim x )(1lim x )()(lim 0x 0x 0x △△△△△△△△△x f x x f x f x f x x f x f x x f ??????

++=-+=-+→→→

的时候处处可导不等于所以函数在△）△△0)()1('1x

x )1(-x 1(x 1lim

0x x f f x

f f =+?=→

)1(,,(0221221

212112

22

=+-+==+?+?+y a dt

dy

a dt y d e x a a y a dx

dy

x a dx dy x a dx y d x t 方程化成如下的形式：证明可将为常数）中令）在方程（ t

t t e e dt dy dt

dx dt dy dx dt dt dy dx y d e dt dy dx dt dt dy dx dy ---???? ???=?=?=?=?='1'';22证：

t t t t t e dt

dy e dt y d e e dt dy e dt y d 222222)(-----?-?=??-?=

)1(0

)(2122

2122222=+-+=++-=---y a dt

dy

a dt y d y a e dx

dy e a e dx dy e dx y d e t t t t t

所以：原式

???

?

???????? ??-1

3dy dx dx d ）化简：（ dx dy dy dx dy d dy dx dx d ????

????????? ???=???????

?????

??=--11

解：原式 223

1

222

dy x

d dy dx dy dx dy x d dy dx ????

? ??-=???? ???????? ??-=--- 高阶导数：

（1）高阶导数的运算法则

()()

()()

()()

()

()

()

()

()()()()()

()()

()()

k k -n n

k k

n n 0n

n 11-n 1

n 0n 0

n n n n n n n v u v

u ...v u

v

u uv c u c u c v u v u ∑==+++=?=?+=+C C C C ③为常数其中②①

（2）【浅谈高阶导数的求法】

高阶导数求法一般包括6种方法，即①根据高阶导数定义求之；②利用高阶导数公式求之；③利用莱布尼茨公式求之；④用复合函数的求导法则求之；⑤用泰勒公式求之；⑥交叉法，等等。

①定义法：运用求导公式，求导法则求导，n 阶导数一般比较其规律性 ②高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和，分别求之 ③莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时，宜用莱布尼茨公式求之。特别地，当其中一个函数的高阶导数为0，可以用此公式求之；两个因子中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以用此公式。 ④复合函数求导法：复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。在求导时，能从外层向内层逐层求导，一直求到对自变量求导数为止。若存在单值反函数，常用复合函数求导法则，求其反函数的高阶导数。

【名词释义】单值反函数：若对定义域每一个自变量x ，其对应的函数值f （x ）是唯一的，则称f （x ）是单值函数。反过来，对于任何一个函数值y ，都有唯一的一个自变量x 与之相对应，则此时称y=f （x ）为单值反函数。 ⑤泰勒公式求导法

()()()()()()()()120

-0f 31-60f ...

7x -5x 3x -x x f 0f sinx x x f 6610864

63==∴++==，！

！！

！！解：，利用泰勒公式求

证明题：

①证明一函数（隐函数）处处可导：则应先根据题意找出几个关键的点，然后根

据导数的基本公式：x

x f -x x f lim 0x △）

（）△（△+→进行判定

②证明f （x ）=a ，即证F （x ）=f （x ）-a=0

（3）部分初等函数的高阶导数

()()()()[]()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()?

?

? ?

??+=?

?? ?

??+=??=+??==?=??=+2n x cos cosx 2n x sin sinx x 1-n 1-lnx x 11-n 1-ln e

e lna a a 1-n -...1-x x n n n

-1-n n n

-1-n n

x

1x

n

x

n

x n

x

n

-n

ππααααα

！！

()[]()

()()b ax f a b ax f n n n +?=+线性复合公式：

一阶导数：切线斜率 二阶导数：曲线曲率

关于曲线凹凸性的两个定理及应用

[][])

(')

()()(',)()2()(')

()()(',)(1b

x a 21

212121

212121x f x x x f x f x f b a x f x f x x x f x f x f b a x f x ＜＜上是凹的，则的图形在若＞＞上是凸的，则的图形在）若（＜＜＜设----

【经典题型总结】

（1）设 f ’’’（t ）存在且f ’’（t ）≠0，求33dx

y

d

()()()()()()

()()[]()()()[]()()[]32233

2222

t ''f t ''''t 'f 't ''f 1dt

dx y d dt d dx y d t ''f 1't 'f 't dt

dx dx y d dt d dx

y d t

t ''f t ''f t t ''f t 'f -t ''f t t 'f dx dy f -=??????=

???? ??=∴==

???

? ??=∴=?=?+=

解答：

（2）函数的二阶导数等于原函数，求该函数表达式

X=f ’（t ） Y=t ·f ’（t ）-f （t ）

()

[]

()()()()x

-x x

-x x -x x -x x

-x x -x 21x

-2x 121x x -x

-2x -x x

2

x

222

22222e

-e e e cthx e e e -e thx 2e e chx 2e -e shx chx

c shx c y e c e c y ,b

2a

-c 2b c b

2e a -2e b y e b a y y b

2e a -2e b y e b a y y e b a y y b lnb tx a y y ln dx t a y dy

dx a y dy a

y dx

dy

a y p a 2

a

y 21p 21dy

y dp p y ''y dy

dp p ,dy dp p dx dy dy dp dx dp 'y'y 'y'p 'y +=+=+==+=+===??=?=++??=?=++?=+++=++?=+±±=+±+±=+±=+=?=?==?∴?=?==

==±????双曲余切，双曲正切双曲余弦，

双曲正弦其中，

亦可写为：得通解：，令，可得②，可得①通解为：是任意常数）（其中，即，即则是任意常数展开：，解：设

（3）f （x ）、g （x ）都可导，且满足：①f （x ）=g ’（x ）、f ’（x ）=g （x ） ②f （0）=0；

g （0）=1。证明：g 2（x ）-f 2（x ）=1 证：由上可知，f ’’（x ）=f （x ）

()()()()()()()1

x f -x g e 2

1e 21x g e 2

1-e 21x f 10'f e c -e c x f 0c c 00f c c e c e c x f 22x

-x x

-x x -1x 12121-x

2x 1=∴+=

=∴===+∴=+=同理，，又，，为任意常数）

、（其中）（设

【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分

导数又称“微商”。

()()dx x f'dy dx x 'f dx x dy x dx ?=∴?=?=?=→=A A △△

微分四则运算：

设u=u （x ）、v=v （x ）在点x 处均可微，则u ±v 、u×v 、u/v （v ≠0）在x 处都可微，且： ()()()()()()

0v v dv -v 1d 0v v dv u -du v u d 3c du c u c d dv

u du v duv 2dv du v u d 122

≠=??

?

??≠??==??

? ???=??+?=±=±特别地，是常数特别地，）（）（v

截距的性质：截距不是距离，所以截距是有正负的

()()()

x ''f dx y

d dx dy dx d dx 'dy ''y ''y x 'f''y'22==??? ??====：证明

拐点：在数学上，拐点是指改变曲线向上或者向下方向的点。直观地说，拐点是

使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线的图形函数在拐点有二阶导数，则二阶导数必为零或者不存在 驻点：函数的导数为0的点称为函数的驻点 可导、可微、连续、极限之间的关系？ 可导 <==> 可微

可导(可微） ==> 连续 ==> 极限存在 <==> 左极限、右极限都存在且相等 （箭头反方向的话不一定成立）

可导 ==> 左导数、右导数都存在且相等

连续 ==> 左连续且右连续 + 极限值等于函数值 连续 <==> 极限存在且等于函数值

极限存在 <==> 左极限、右极限都存在且相等

在某点处（左、右）极限是否存在与该点处函数是否有定义无关

【第四部分】微分中值定理及导数的应用

（1）费马定理

设f （x ）在点x 0处取到极值，且f ’（x 0）存在，则f （x 0）=0。 （2）罗尔定理

如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

（3）拉格朗日中值定理

如果函数 f(x) 满足:（1）闭区间[a,b]上连续（2）开区间(a,b)内可导。那么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

如果函数f(x)及F(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)内可

导;（3）对任一x ∈(a,b)，F'(x)≠0。那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 （5）泰勒公式与麦克劳林公式

泰勒公式：若函数f(x)在开区间(a ，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x 和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

麦克劳林公式：若函数f(x)在开区间(a ，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x 多项式和一个余项的和: f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1. 两个重要且特殊的麦克劳林公式：

()()()n x ...x x 1x -1x

-11n x 1-...x -x x -1x 1x

11n 21

-n n

321-R R +++++==+?+++=+=+

（6）函数的单调区间与极值

单调区间：

设f （x ）在区间I （I 可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间）上连续，在区间I 内部可导

①若x ∈I 内部，f ’（x ）?0，则f （x ）在区间I 上递增 ②若x ∈I 内部，f ’（x ）?0，则f （x ）在区间I 上递减

③若x ∈I 内部，f ’（x ）≡0，则f （x ）在区间I 上是一个常值函数 极限与极值： 判定极限的方法：

f ’（x ）=0，f ’’（x ）≠0，则f （x ）一定是极限 ①f ’（x ）=0，f ’’（x ）＜0，则f （x ）取极大值 ②f ’（x ）=0，f ’’（x ）＞0，则f （x ）取极小值

【误点解析】：使用洛必达法则之后极限不存在，不能直接说原极限不存在

双阶乘：相隔的两个数相乘：如5！！=5×3×1 不动点：g （t ）=t 的点叫做不动点 f （x ） g （x ） f （x ） = g （x ）

f ’（x ） =

g ’（x ） f ’’（x ） = g ’’（x ） ...

f (n)（x ）=

g (n)（x ）

曲率：

满足此条件，即可证明f （x ）、g （x ）在x 0处n 阶相切

()

2

3

2'y 1'

'y k 1+=

）曲率公式为：（

()

???

?

???++=+=''y 'y 1y ''y 'y 1'y -x 22

2ηξ）曲率的中心坐标为：（

(

)

'

''1k 1)3(2

3

2y y R +==

曲率半径

（4）圆的各个位置的曲率是相同的，都是半径的倒数

反函数：如果函数的导数不为0，那么该函数在定义域区间上有反函数 ☆【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】☆

辅助函数是解决许多数学问题的有效工具，中值定理及推导过程中用到了演绎、分析分类等数理逻辑方法和一些具体的方法。如构造辅助函数等等，下面就介绍几种重要的构造辅助函数的方法。

（1）凑导数法

例如：设函数f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）内可导，证明：存在ξ∈（a 、b ），使得2ξ【f （b ）-f （a ）】=（b 2-a 2）·f ’（ξ）

证明：令F （x ）=x 2【f （b ）-f （a ）】-（b 2-a 2）·f （x ）即可 （2）几何直观法

例如：如果f （x ）在【0、1】上可导，且0＜f （x ）＜1，对于任何x ∈（0,1）都有f ’（x ）≠1，试证在（0,1）有且仅有一点ξ，使得f （ξ）=ξ

证：①令g （x ）=f （x ）-x

②再用反证法证明其唯一性 （3）常数值法（K ）

在构造函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数K 值法来构造辅助函数。这种方法一般选取所政等式中含ξ的部分作为K ，即将常数部分分离出来令其得K ，恒等式变形，令一端为a 与f （a ）的代数式，另一端为b 与f （b ）的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数F （x ）。再用中值定理，待定系数法等方法确定K 。一般来说，当问题涉及到高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑运用泰勒公式。

例如：设f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）上可导。0＜a ＜b 。试证明 ）

（）（）（），使等式、（存在一点ξξξ'f ln a f -b f b a a

b

??=∈

证：）。故得证

（，所以）（，）（）（）（，得辅助函数：令）（）

（）（令ξξξ

ξξ'f 'f 0'lnx

-x f x x b lna

-a ln )(,ln ln a f -b f ?===∴?==?=?--=

K K

F K F K f b K b f a

b K （4）倒推法

这种证明方法从要证的结论出发，借助与逻辑关系导出已知的条件和结论。 例如：设f （x ）在【a 、b 】（0＜a ＜b ）上连续，在（a ，b ）内可导，且

ξ

ξξξ）

（）（，使）内至少存在一点，。证明：在（）（，）（f -'f b a a b f b a f ===

证：构造函数：f ’（ξ）·ξ+f （ξ）=0即可 （5）乘积因子法

对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。直接构造函数往往比较困难，将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负的函数，证明的结论往往不受影响。

因子是常数）是一个很好的（λλx e

例如：若f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）内可导，且f （a ）=f （b ）

）（）（），使，（证明：ξλξξf 'f b a .0?=∈?=

）（）（）（，然后令证：结论两侧同时乘以x f e -x 'f e x e x -x -x -??=λλλλF

（6）介值法

证明中，引入辅助函数g （x ）=f （x ）-η·x 。将原问题转化为【a 、b 】内可导函数g （x ）的最大值或最小值至少有1个必在内点达到，从而可通过g （x ）在【a ，b 】上的可导条件，直接运用费马定理完成证明。

例如：证明若f （x ）在【a ，b 】上可导，则f （x ）可取到f （a ）与f （b ）之间的一切值

[][]。得证

）（）（，使得所以一定存在一点）也不是

（））的最大值。同理，，（）（（）不是（即）（）＞（）时，（使得当＞由极限性质知，＞）

（）（，即）＞（不妨设）＜（）（的性质，有由）（）（上可导，且、）在（）的性质，（由）（）（，令）（），（证明：ηηηηη=∴=∈∈?==∈?+

→+

000s a x x 'f .0x 'f x b g b a x x g a g a g x g a x .00

a

-x a g -x g lim 0a 'g .

0b '穏a 'g -x 'f x 'g b a x g x f x

-x f x g b 'f a 'f 1U S

（7）分离变量法

拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题。以两个中值的情况为例说明如下：

若要证明存在ξ、η∈（a ，b ），使得f （a ，b ，ξ，η）=0.则通常应将

函数f （a ，b ，ξ，η）=0改写成“变量分离”的形式，即h （a ，b ）=δ（ξ）·δ（η）或者h （a ，b ）=δ（ξ）+δ（η）的形式，然后观察δ（ξ）、δ（η）是否分别拉格朗日公式的右侧。

[]故得证

又即使应用拉格朗日定理得：和对令）（变为：证明：将待证明结论转使得：），（），则存在。（，）＞（例如：设)

()(')('ln ln )

()()

(')(1ln ln ),(')()(),()()(),(')(1

)('ln )(,)()(')

(')()()(-b f ln

)()()()('g b a b x a 0)('g 0x g )()()()()

()

()

(ξξξξξξξξξξξξξg g f a

b a b a f b f g g a b f a b a f b f b a x g x f x g x g x G x g g g f a g b g m a f g a f b f x a g b g a g b g x g a g b g ?=

----?=--=--∈??===??

?

???=-∈≤≤≠

☆【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】☆

（1）使用罗尔定理时用“积分法”或“解微分方程法”构造辅助函数。使用“积分法”构造辅助函数的基本步骤：①将结论等式中的ξ换成x ；②对第一步的结果进行变形，使两边求积分；③两边求不定积分；④把第三步的结果化成C=F （x ）的形式，其中C 为任意常数，且f （x ）中不含有C ；⑤最后的F （x ）就是所要构造的辅助函数。

[][][])

(')(0

)(')()()()('0)(),(),(0)(),(,x ),()()()

()()(),()()

(ln ln )ln(a -,)

()

('a )

(')(x )(')()

(')(),(0)('1a ,,x f 1ξξ

ξξξξξξξξξξξξξξ

ξξf a

b f f b f b a F F b a b F a F b a b a F x f x b x F x f x b x F x f x b

c x f c x b x f x f x b x f a

x

b x f f a b f f a

b f b a a f b a b a a a a a a -==?-+?-?-==∈==?-=?-=?-=∴=+-=-?-=?-=?-==-所以：所以：，使得在所以由罗尔定理知，存且内可导，上连续，在）在（因为证：设求得辅助函数为：两边积分得：再变形为，得到都换成的分析：将结论等式中，使内至少存在一点证明在，且＞内可导，其中上连续，在

）在（例如：设

（2）使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。所谓的单边积分法就是：

大学微积分l知识点总结 二

【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8

释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有 界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、 高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

微积分知识点小结

第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞ ∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；

⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．

微积分2方法总结

第七章 矢量代数与空间解析几何 ★类型（一） 向量的运算 解题策略 1. a a a ?=，2.},,{321a a a a = ， .||232221a a a a ++= 3. 利用 点积、叉积、混合积的性质及几何意义. ★类型（二） 求直线方程 解题策略 首先考虑直线方程的点向式与一般式，否则再用其它形式. 类型（三） 直线点向式与参数式转化 类型（四） 异面直线 ★类型（五） 点到直线的距离、两直线的夹角 ★类型（六） 求平面方程 解题策略 平面方程的点法式、一般式、平面束. 类型（七） 直线与平面的位置 类型（八）求曲线与曲面方程 解题对策 一般用定义求曲线与曲面方程 疑难问题点拨 一般参数方程?? ???===Γ)()()(:t h z t g y t f x 绕Oz 轴旋转所成旋转曲面∑的方程 .)]}([{)]}([{212122z h g z h f y x --+=+ 证如图4-7， 设),,(z y x M 是曲面 上任意一点，而M 是由曲线Γ上某点),,(1111z y x M （对应的参数为t 1）绕Oz 轴旋转所得到。因此有).(),(),(111111t h z t g y t f x === ,1z z =,2 12122y x y x +=+),()(111z h t t h z -=?=? )]([)],([1111z h g y z h f x --==， 故所求旋转曲面方程为.)]}([{)]}([{212122z h g z h f y x --+=+ 特别地，若Γ绕Oz 轴旋转时，且Γ参数方程表示为???==). (),(z g y z f x 则 ).()(2222z g z f y x +=+ 事实上，由前面的证明过程可知),(),(1111z g y z f x ==1z z =，212122y x y x +=+ ),(),(11z g y z f x ==? 故).()(2222z g z f y x +=+ 图4-7

一元微积分多元微积分高等数学复习提纲(同济大学版)

（1） 1，补集的记号 2，什么是笛卡尔乘积 3，什么是邻域，记号，中心，半径 4，去心邻域，记号，左邻域，右邻域 5，两个闭区间的直积 6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数 8，逆映射，复合映射 9，多值函数，单值分支 10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，有界，无界的定义 12，奇偶性、周期性 13，初等函数，基本初等函数 （2） 1，数列极限的定义，用符号语言 2，收敛数列的四个性质 3 (3) 1,函数在某点的极限定义，符号语言 2，函数在无穷大处的极限，符号语言 3，函数极限的性质 （4） 1，无穷小的定义 2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大 4，无穷大和无穷小的定义 （5） 1，有限个无穷小的和 2，有界函数与无穷小的乘积 3，极限的四则运算 4，函数y1始终大于y2，那么极限的关系是 （6） 1，极限存在的夹逼准则 2，单调有界的数列是否存在极限 3，（1+1/x）^x的极限 4，柯西审敛准则

1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小 2，等价无穷小的充要条件 3，两组等价无穷小之间的比例关系 （8） 1，函数连续性的定义，左连续，右连续 2，什么是连续函数 3，间断点的三种情况 4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点 （9） 1，连续函数的四则运算后的连续性 2，反函数和复合函数的连续性 3，初等函数的连续性 （10） 1，有界性与最大最小值定理 2，零点定理 3，介值定理和推论 第二章 （1） 1，导数的定义 2，函数在一点可导的充要条件，用等式表示 3，可导和连续的关系 （2） 1，函数的和差积商如何求导 2，tanx、secx的导数，cscx和cotx 3，反函数的求导法则是什么 4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx, areccotx的导数 5，复合函数求导法则 （3） 1，二阶导数的微分表示法 2，莱布尼兹公式 3，a^x\sinkx\coskx\x^a\lnx\1/x\的n阶导 4，隐函数的求导 5，对数求导法的应用 6，参数所表示的函数怎样求导 7，什么是相关变化率

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

大学微积分l知识点总结(一)

大学微积分l 知识点总结 【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式： ab 2b a ≥+ ab 2b a 22≥+ 3abc 3c b a ≥++ ()n n 21n 21...a a a n a ...a a ≥+++ abc 3c b a 333≥++ 2b a 2b a ab b 1a 12 2 2+≤+≤≤+ b a b a b -a +≤±≤ () n n 21n 21n 21n x ...x x y p p x ...x x x ...x x y ? ? ? ??+++=+++???=的最大值为：则为常数，且扩展：若有 柯西不等式：设a 1、a 2、...a n ，b 1、b 2、...b n 均是实数，则有： ()()()()()()()()() 22221222212n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++ ()时取等号 为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ 2、函数周期性和对称性的常用结论 1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），则f （x ）具有对称性。 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性 （1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| 引申双向不等式： 两侧均在ab ≥0或ab ≤0时取等号

（3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a （4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a （5）若f （x+a ）=【1+f （x ）】/【1-f （x ）】，则T=4a 3、对称性 （1）若f （a+x ）=f （b-x ），则f （x ）的对称轴为x=（a+b ）/2 （2）若f （a+x ）=-f （b-x ）+c ，则f （x ）的图像关于（（a+b ）/2，c/2）对称 4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。 （1）若f （x ）的图像有两条对称轴x=a 和x=b ，则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。 （2）若f （x ）的图像有两个对称中心（a ，0）和（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。 （3）若f （x ）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0），（a ≠b ），则f （x ）必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|。 3、三角函数 l n sin = ?正弦 l m cos =?余弦 m n tan = ?正切 n m cot =?余切 m l sec =?正割 n l csc = ?余割 倒数关系： ?= ?cot 1tan ?=?csc 1sin ?= ?sec 1 cos L m n α

微积分——多元函数及二重积分知识点(教学内容)

教育类别+ 241 第四章 矢量代数与空间解析几何 微积分二大纲要求 了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图 形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影. 会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、 垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程. 理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法， 平面方程和直线方程及其求法. 第一节 矢量代数 一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念 定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。 定义4.2两个矢量a 与b ，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a . 换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。 k a j a i a a 3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a 称为坐标式。 .||2 32221a a a a 若,0 a 记| |0a a a 。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a 。 因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a 方向一致的单位矢量0 a ，则 .||0a a a 若},{321a a a a ，知 },cos ,cos ,{cos }, , { 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 2 3 2 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a 其中 ..是a 分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而 ,cos ,cos ,cos 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 3 3 22211 a a a a a a a a a a a a 且.1cos cos cos 2 2 2 2.矢量间的运算 设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a

高数微积分公式大全总结的比较好

高数微积分公式大全总 结的比较好 Last revised by LE LE in 2021

高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()() n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ????? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ? +?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x =

大一上微积分知识点重点(供参考)

大一（上） 微积分 知识点 第一章 函数 一、A ?B=?,则A 、B 是分离的。 二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。 A-B={x|x ∈A 且x ?B}（属于前者，不属于后者） 三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。 四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对?x ∈A,?y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。 五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同 六、求反函数：反解互换 七、关于函数的奇偶性，要注意： 1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数； 2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； 3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。 第二章 极限与连续 一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。 二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。 三、无穷小量的几个性质： 1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f 3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0= 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系： ①若 y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。

专升本高等数学知识点汇总情况

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

微积分心得范文

微积分心得范文 微积分学习心得 学号11120472 姓名吴心怡班级七班学号11120471 姓名吴亚男班级七班时间，如同轨道上疾驰的列车，匆匆行驶，不留一点痕迹的我们的寒假就这样over掉了了。恍惚之间，我们就要开始正式上课了。我们依稀还记得，放假前，老师们说让好好复习，来学校不久便是冬季学期的期末考试了，可是，嘿嘿~~自己却不得不承认有很大一部分的时间是被荒废了的。但早早来学校，我们好好静下心来思考了一下学习的经验和方法。突然有了要好好学习的冲动，可能以前真的是我们对学习不够上心的缘故吧。 对于学习方面，以前我总觉得数学一直处于主心骨的位置，它是我从小的梦想、我的骄傲。可是自从大学以来的第一个学期，微积分却着实让我们倍受打击。成绩的不再拔尖，沉痛的打击了我的自信心。但是，通过和老师交流，与同学讨论，让我明白强中自有强中手，而自己，并不是笨，只是有些方面自己做的不够，只要深切去思考自己的学习方法，自己依旧有很大的进步空间。 首先我们觉得大学里的学习课后巩固很重要，光靠一周两次大课的学习，远远不够。并且，课上老师可能会因为进度问题而降得很快，很多时候我们会跟不上老师的速度，这时，如果课后不再看老师局的

例题，课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。 然而课后的巩固应该从两方面着手，一方面是教学大纲上要求必须掌握的内容，这些是考试必考内容，或许看似很简单的内容，确实解题目的最基本的基础。秋季学期的期末考正是由于自己对基本知识忽略，在一些很简单的题目丢了分，惨痛的教训给了哦我们深刻的教训，夯实基础知识，才能维纳最重要的考试打下良好的基础。 另一方面。是自己认为在内容掌握上的盲点和误区，这些事最容易忘记的，也是应用熟练程度最差的。而考试不会因为这是自己认为的难点就会不考，所以认真钻研这些题目便可为自己在分数上的突破起决定性作用。 同时，复习一定要有耐心，要持之以恒。学习上最大的忌讳便是三天打鱼两天晒网，这样的学习不会有任何收获。知识既然学习了，我们就要好好消化，不 能让它成为大脑中的脂肪。周期性的复习才不会使大脑一片空白，一周一次或两周一次，可以根据自己的记忆力而定，以适合自己的为基准便可以。

大学高数学习方法总结

2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思

微积分基础知识总结以及泰勒公式

§3.3 泰勒公式 常用近似公式 ，将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当 较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数 ，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导 数值；我们还关心 的形式如何确定； 近似 所产生的误差 。 【问题一】 设 在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于 的 次多项式 近似 ? e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小 x f x ()p x n ()p x n () f x ()p x n () p x n () f x ()R x f x p x n n ()()() =-f x ()x 0n +1() x x -0n ) ,,1,0()()() 1()()()()(0)(0) (0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n n n ==-++-+-+=且f x ()

【问题二】 若问题一的解存在，其误差 的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数 。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： R x f x p x n n ()()() =-a a a n 01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00() '=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴ ='a p x n 10() ''=??+???-+???-++?-??--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴ ??=''2120a p x n () '''=???+????-+????-++?-?-??--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴???='''32130a p x n ()

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程

大学微积分1方法总结

第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：