【K12教育学习资料】春九年级数学下册 1.2 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的图象与性质
要点感知1 二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a 、h 、k 是常数，a ≠0)的图象与二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)的图象形状相同，
位置不同．二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可由二次函数y ＝ax 2
的图象先向左或向右平移 个单位，再向上或向下平移 个单位而得到．
预习练习1－1 (成都中考)将抛物线y ＝x 2
向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A ．y ＝(x ＋2)2－3
B ．y ＝(x ＋2)2＋3
C ．y ＝(x －2)2＋3
D ．y ＝(x －2)2
－3
要点感知2 通过画图象、观察、归纳，可以知道二次函数y ＝a(x －h)2
＋k(a ，h ，k 是常数，a ≠0)具有如下性质：
预习练习2－1 (郴州中考)抛物线y ＝(x －1)＋2的顶点坐标是( ) A ．(－1，2) B ．(－1，－2) C ．(1，－2) D ．(1，2)
知识点1 二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 的图象的平移
1．(宿迁中考)若将抛物线y ＝x 2
向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( )
A ．y ＝(x ＋2)2＋3
B ．y ＝(x －2)2＋3
C ．y ＝(x ＋2)2－3
D ．y ＝(x －2)2
－3
2．抛物线y ＝－3(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝－3x 2
平移得到，则下列平移过程正确的是( ) A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
知识点2 二次函数y ＝a(x －h)2
＋k 的图象与性质
3．(益阳中考)若抛物线y ＝(x －m)2
＋(m ＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为( ) A ．m ＞1 B ．m ＞0 C ．m ＞－1 D ．－1＜m ＜0 4．对于抛物线y ＝－12x 2
－3，下列说法错误的是( )
A ．抛物线的开口向下
B ．对称轴为直线x ＝－3
C ．顶点坐标为(0，－3)
D ．抛物线y ＝－12x 2－3与y ＝12(x ＋1)2
＋1开口大小相同
5．画出函数y ＝(x －1)2
－1的图象．
知识点3 利用顶点式求二次函数的表达式
6．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．求该二次函数的解析式．
7．(台州中考)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( ) A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)
8．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
视频讲解
9．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是( )
A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
10．(长沙中考)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是．
11．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1 y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
12．已知二次函数y＝2(x－3)2－8.
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值；
(4)函数图象可由函数y＝2x2的图象经过怎样的平移得到？
13．已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2，－3)，且图象经过点(－3，－2)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)x取什么值时，函数值y随x的增大而减小？
挑战自我
14．(齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当PA ＋PB 的值最小时，求点P 的坐标． 参考答案
要点感知1 形状 |h| |k| 预习练习1－1 A
要点感知2 上 下 h (h ，k) 预习练习2－1 D
1．B 2.B 3.B 4.B 5.图略． 6.∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，∴设二次函数解析式为y ＝a(x －1)2
－
4.把点B(3，0)代入二次函数解析式，得0＝4a －4，解得a ＝1.∴二次函数解析式为y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2
－2x －3.
B 8.D 9.
C 10.(2，5) 11.＞ 12.(1)抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标是(3，－8)．(2)当x ＞3时，y 随x 的增大而增大；当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．(3)当x ＝3时，y 有最小值，最小值是－8.(4)该函
数图象可由y ＝2x 2的图象先向右平移3个单位，再向下平移8个单位得到． 13.(1)y ＝(x ＋2)2
－3.(2)略．(3)x ＜－2.
挑战自我
14.(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)，∴设y ＝a(x －1)2＋4.由于抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2
＋4.解得a
＝－1.∴解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2
＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴
于点P ，连接PB.设AE 解析式为y ＝kx ＋b ，则?????k ＋b ＝4，b ＝－3. 解得?????k ＝7，b ＝－3.
∴y AE ＝7x －3.当y ＝0时，x ＝3
7.∴点P 坐
标为(3
7
，0)．
初中数学九年级上下册知识点总结
[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 2 2 c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F
最新沪科版九年级数学下册全册教案
最新沪科版九年级数学下册全册教案 24.1 旋转 第1课时旋转的概念和性质 1 ．了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质 ( 重点 ) ； 2 ．了解旋转对称图形的有关概念及特点 ( 难点 ) ． 一、情境导入 飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？ 二、合作探究 探究点一：旋转的概念和性质 【类型一】旋转的概念 下列事件中，属于旋转运动的是 ( ) A ．小明向北走了 4 米 B ．小朋友们在荡秋千时做的运动 C ．电梯从 1 楼上升到 12 楼 D ．一物体从高空坠下 解析： A. 是平移运动； B. 是旋转运动； C. 是平移运动； D. 是平移运动．故选 B .
方法总结：本题考查了旋转的概念，图形的旋转即是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变 . 变式训练：见《学练优》本课时练习“ 课堂达标训练” 第 1 题 【类型二】旋转的性质 如图，△ ABC 绕点 A 顺时针旋转 80 °得到△ AEF ，若∠ B ＝ 100 °，∠ F ＝50 °，则∠ α 的度数是 ( ) A ． 40 ° B ． 50 ° C ． 60 ° D ． 70 ° 解析：∵△ ABC 绕点 A 顺时针旋转 80 °得到△ AEF ，∴△ ABC ≌△ AEF ，∠ C ＝∠ F ＝ 50 °，∠ BAE ＝ 80 ° . 又∵∠ B ＝ 100 °，∴∠ BAC ＝ 30 °，∴∠ α ＝∠ BAE －∠ BAC ＝ 50 ° . 故选 B. 方法总结：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：① 定点——旋转中心；② 旋转方向；③ 旋转角度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“ 课堂达标训练” 第 4 题 【类型三】与旋转有关的作图 在图中，将大写字母 A 绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转 90 °，作出旋转后的图案，同时作出字母 A 向左平移 5 个单位的图案． 解：
九年级数学_二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ? 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 例 6 如图1， 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ，
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
九年级数学《二次函数》综合练习题及答案
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为 ，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
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第二十六章反比例函数 17．1．1反比例函数的意义 一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。
四、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析 例1．见教材P47 分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y = ，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x k y = （k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式 例2．（补充）当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？ 分析：反比例函数x k y =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。 解得m ＝－2
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第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些
初三数学 二次函数的大题
二次函数与四边形 一．二次函数与四边形的形状 例 1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点（A点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P 是线段AC上的一个动点，过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；A （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 例 1.解：（1）令y=0，解得x =-1或x = 3 ∴A（-1，0）B（3，0）； 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3，∴ C（2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（（x, x -2x -3）∵P 点在E 点的上方，PE= （-x -1）- （x - 2x - 3）= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时，PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F，分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7，0),F4(4- 7,0) 7 练习1.（河南省实验区） 23．如图，对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E x= A(6,0) x
(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
人教版九年级数学下册单元测试题及答案全套
人教版九年级数学下册单元测试题及答案全套 人教版数学九年级下册 第二十六章 反比例函数 单元测试卷 一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分) 1．若反比例函数y ＝k x 的图象经过点(2，－6)，则k 值为( ) A ．－12 B ．12 C ．－3 D ．3 2．对于函数y ＝4 x ，下列说法错误是( ) A ．这个函数的图象位于第一、第三象限 B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 3．在反比例函数y ＝k －3 x 图象的任一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞3 B ．k ＞0 C ．k ＜3 D ．k ＜0 4．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝k x 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上， O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 5．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k x (k≠0)的图象 大致是( )
6．某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为( ) A ．180千米/时 B ．144千米/时 C ．50千米/时 D ．40千米/时 7．反比例函数y 1＝m x (x ＞0)的图象与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象交于A ，B 两点， 其中A(1，2)．当y 2＞y 1时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ．x ＜1或x ＞2 8．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4 x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
人教版九年级数学二次函数应用题(含答案)
人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案） 一、单选题 2+2t，则当t=4t（米）与时间（秒）的关系式为s=5t时，该物体所经1.在一定条件下，若物体运动的路程s过的路程为][ A．28米 B．48米 C. 68米 米．88 D2 +bx+c的图象过点(1，0)……2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax 求证这个二次函数的，题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称．][ A．过点(3，0) B．顶点是(2，-1) C．在x轴上截得的线段的长是3 3)(0，D．与y轴的交点是3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m，离地面m，则水流落地点BM垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙 A．2m B．3m C .4 m m5 D． 之间的函数关系式是，则该运与水平距离4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是
][ A．6 m B．8m C. 10 m m．12 D 2，若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s)：4s，则此人下降的高度为坡底的时间为][ A．72 m 36 ．m BC．36 m m．18D2 +50x-500，则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元获得最大利润，销售单价为][ A．25元 B．20元 C．30元 元40D．7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入2 +bx+c所示，则下列结论正确的是网．若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a0 第26章二次函数 1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a≠0)。 2．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式---待定系数法。 3．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h和函数的最值 y最值= k。 4．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式。 5. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： 6. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系： (1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下。 (2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过； c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过。 (3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧； b=0 <=> 对称轴是y轴。 (4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）； b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点。 7．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上。 第27章 相似形 2．比例的基本性质： a:b=c:d d c b a = ad=b c ； 2019年春最新人教九年级下册全册教案 第二十六章反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点)2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入二、合作探究 三、板书设计 1．反比例函数的定义： 形如y＝ k x(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的形式： (1)y＝ k x(k为常数，k≠0)；(2)xy＝k(k为常数，k≠0)；(3)y＝kx －1(k为常数，k≠0)． 3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．4．建立反比例函数模型． 让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义. 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点) 2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点) 一、情境导入 已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？ 二、合作探究 三、板书设计 1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大． 通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性. 第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点) 2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点) 3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点) 1．图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B 为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C， 构成△ABC，设AB=x． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ 2．如图，抛物线y=1 3 x2+bx+c经过A(－3，0)，B（0，－3）两点，此抛物线的对称轴为 直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）连接BC，求证：BC=CD． 2．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请 求出点P的坐标； （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重 合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 4．如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这 里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是_________秒； （2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形 时x的值 是________秒； （3）求y与x之间的函数关系式． 5．正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx－4过A、D、F三点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线 交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=3 2 S△FQN，则 判断四边形AFQM的形状； （3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，请给予严格证明；若不存 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 第二十七章 相似全章测试 一、选择题 1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则 BC DE 的值为( ) 第1题图 A ． 32 B ．41 C ．3 1 D ．21 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) 第2题图 A ． 2 1 =BC DE B ． 2 1 =??的周长的周长ABC ADE C ． 的面积的面积ABC ADE ??3 1 = D ． 的周长的周长ABC ADE ??3 1 = 3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( ) 第3题图 A ．△AED ∽△AC B B ．△AEB ∽△ACD C ．△BAE ∽△ACE D ．△AEC ∽△DAC 4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6= BC ，AC ＝3， 则CD 长为( ) 第4题图 A ．1 B ． 23 C ．2 D ．2 5 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( ) 第6题图 A ． BC DE DB AD = B ．AD EF B C BF = C ．FC BF EC AE = D ．BC DE AB EF = 7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( ) 第7题图 A ．P A ·A B ＝P C ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·P D C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件 第8题图 第25章：概率统计 25.1.1随机事件(第一课时) 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 重点：随机事件的特点 难点：对生活中的随机事件作出准确判断 教学程序设计 一、创设情境，引入课题 1．问题情境 下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)； (4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。 【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考 我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 【设计意图：“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件，它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望】 活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： （1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？ （2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？ （3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 【设计意图：随机事件对学生来说是陌生的，它不同于其他数学概念，因此要理解随机事件的含义，由学生来描述随机事件的概念，进行活动2很有必要，便于学生透过随机事件的表象，概括出随机事件的本质特性，从而自主描述随机事件这一概念】提出问题，探索概念 （1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？ （2）怎样的事件称为随机事件呢？ 【设计意图：教师让学生充分发表意见，相互补充，相互交流，然后引导学生建构随机事件的定义，充分发挥学生的主观能动性。】 三、应用练习，巩固新知 练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。 （1）两直线平行，内错角相等； （2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录； （3）打靶命中靶心； （4）掷一次骰子，向上一面是3点； （5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯； （7）在装有3个球的布袋里摸出4个球初三数学下册知识点总结
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