正方形弦图讲解及应用讲

正方形弦图讲解及应

正方形弦图

【例1】

⑴如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，则△EDG的面积为_______cm2

⑵如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积为()

【例2】

如图，正方形ABCD的边长为5，直线l1∥l2∥l3∥l4，且直线l2和直线l3之间的距离为1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，

⑴证明：△AED≌△CFB

⑵求直线l1与l2之间的距离h。

【例3】

已知：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE连结AE，CE。

⑴当α＝45°时，求△EAD的面积；

⑵当α＝30°时，求△EAD的面积；

⑶当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有何关系?若有关，写出△EAD的面积S与α的关系；若无关，请证明结论。

【例4】

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP⊥l于P，求证：2EP＋AD＝2CD。

【例5】

已知△ABC ，∠ABC =90°，以AB 、AC 为边向三角形外作正方形ABDE 和ACFG 延长BA 交EG 于H ，

求证：⑴S △AEG ＝S △ABC ⑵BC ＝2AH 。

【例6】

⑴已知：如图1，△ABC ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作正方形ABGE 和ACHF 直线AN 垂直BC 于N ，若EP ⊥AN 于P ，FQ ⊥AN 于Q ，判断线段EP 、FQ 的数量关系，并证明；

⑵如图2，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以AB 、CD 为一边向梯形ABCD 外作正方形ABGE 和DCHF 线段AD 的垂直平分线交线段AD 于M ，交BC 于N 若EP ⊥MN 于P ，FQ ⊥MN 于Q ，⑴中结论还成立吗？请说明理由。

【例7】

如图向△ABC 外作正方形ABDE 、正方形ACFG 过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 与EG 交于P ，求证：BC ＝2AP

勾股定理与弦图练习题

勾股定理与弦图练习题 选择题（12×3′=36′） 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14 C、7 D、7或25 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（） A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169 6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56 B、48 C、40 D、32 9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 1．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、2cm2 2．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△A BC=________。 2．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 3．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

简单又漂亮的思维导图是这样绘制的!

简单又漂亮的思维导图是这样绘制的！ 导语： 思维导图成为一门课程之后，很多人希望通过课程学习思维导图的知识。但实际上，思维导图并不难学，每个人都能自学或者很快学会。一来看下漂亮思维导图是怎么绘制的。 用什么软件可以制作漂亮的思维导图？ 许多新手学习思维导图，觉得自己制作的思维导图就是没有别人的漂亮，要制作漂亮的思维导图不妨试试MindMaster思维导图软件。MindMaster思维导图内置海量剪贴画素材，还有大量的模板，精美的配色与样式，想要不漂亮都难。它还可以一键分享到微信、微博、Facebook等社交平台供好友直接网页打开阅读，也可以导出JPG、PNG、PDF、office等多种格式进行保存。 免费获取MindMaster思维导图软件：https://www.wendangku.net/doc/8814845921.html,/mindmaster/ 零基础如何用MindMaster画出好看的思维导图？ 1、首先打开百度，搜索“亿图MindMaster”进入亿图官网，然后找到MindMaster

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正方形弦图讲解及应用讲

正方形弦图 【例1】 ⑴如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，则△EDG的面积为_______cm2 ⑵如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1 与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积为() 【例2】 如图，正方形ABCD的边长为5，直线l1∥l2∥l3∥l4，且直线l2和直线l3之间的距离为1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上， ⑴证明：△AED≌△CFB ⑵求直线l1与l2之间的距离h。

【例3】 已知：直角梯形ABCD中，AD ∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE连结AE，CE。 ⑴当α＝45°时，求△EAD的面积； ⑵当α＝30°时，求△EAD的面积； ⑶当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有何关系?若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系；若无关，请证明结论。 【例4】 如图，直角梯形ABCD中，AD ∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边做正方形ABFE，EP⊥l于P，求证：2EP＋AD＝2CD。 【例5】

已知△ABC，∠ABC=90°，以AB、AC为边向三角形外作正方形ABDE和ACFG 延长BA交EG于H， 求证：⑴S△AEG＝S△ABC ⑵BC＝2AH。 【例6】 ⑴已知：如图1，△ABC，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF 直 线AN垂直BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q，判断线段EP、FQ的数量关系，并证明； ⑵如图2，直角梯形ABCD中，AD ∥BC，分别以AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF 线段AD的垂直平分线交线段AD于M，交BC于N若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q，⑴中结论还成立吗？请说明理由。 【例7】 如图向△ABC外作正方形ABDE、正方形ACFG过A作AH⊥BC于H，AH与EG交于P，求证：BC＝2AP

勾股定理及弦图题库

勾股定理及弦图题库Last revision on 21 December 2020

勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。 【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多少 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ的面积是多少cm2 【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，APB的面积是90cm2，CPB的面积是48cm2。请你回答：正方形 ABCD的面积是多少cm2 【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为

【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S1； 【例】（2009安顺）下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是—— 【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：① x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形．请回答： （ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长； （ 2）求正方形MNPQ的面积．

平面几何中的旋转与弦图问题讲义

题型切片（两个） 对应题目 题型目标 正方形弦图 例1，例2，练习1，练习2； 特殊图形中的旋转 例3，练习3；例4，练习4；例5，练习5；例6． 正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中有我们以前学过的数学模型“三垂直模型”． 知识互联网 题型切片 特殊图形中的旋转与正方形弦图 题型一：旋转的构造

①外弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH 结论：△ABF 、△BCG 、△CDH 、△DAE 两两全等 ②内弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH 结论：△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 两两全等 【例1】 如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离 为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25． ⑴ 连接EF ，证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等． ⑵ 求h 的值． G l 2l 1l 3l 4 l 4 l 3l 1l 2B H G A B C D E F F E D C B A 【例2】 如图，向ABC △的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H ，AH 的反向延长线与EG 交于P ． 求证：2BC AP =． 典题精练 G A B D E F H P

等腰直角三角形（旋转90°），等边三角形旋转（旋转60°），正方形旋转（旋转90°） E D B ② ①F D C B A P F E D C B A G F E D C B A 【例3】 已知：在ABC △中，90BAC ∠=?，AB AC =，过点C 作CE BC ⊥于C ，D 为BC 边 上一点，且BD CE =，连结AD 、DE ．求证：BAD CDE ∠=∠． 【例4】 ⑴如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且3PA =，4PB =，5PC =．求APB ∠的度数． 典题精练 思路导航 题型二： 特殊图形中的旋转 A B C D E C A B P

勾股定理及弦图题库

勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。 【例】.20XX年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是 多少？ 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ 的面积是多少cm2? 【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，?APB的面积是90cm2， ?CPB的面积是48cm2。请你回答：正方形ABCD的面积是多少 cm2？

【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶 点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD 的面积为 【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、 D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S ； 表示四边形EFGH的面积S 1 【例】（2009?安顺）下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是——

正方形弦图讲解及应用

正方形弦图讲解及应用 [例1] 如图，321l l l 、、是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两 条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上， 正方形ABCD 的面积是25. （1） 连接EF,证明△ABE 、△FBE 、△ED 、△CDF 的面积相等 （2） 求h 的值 [例2] 已知，在直角梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BDC=α,以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE,连接AE,CE. (1) 当α =45°时，求△EDA 的面积 (2) 当α =30°时，求△EDA 的面积 (3) 当0°＜α＜90°时，猜想△EDA 的面积与α大小有何关系？若有关系写出△EDA 的面积S 与α的关系式；若无关系，请证明结论

[例3] 如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG。过A做AH⊥BC与H，AH的反向延长线与EG交与P，求证：BC=2AP [例4] 如图，已知正方形ABCD边长为a，对角线AC、BD相交于点O，将另一边长为A的正方形OEFG的一个顶点放在O处，其相邻两边与正方形ABCD的相邻两边相交于M、N两点，当正方形OEFG绕着O点旋转任意角度时，请探索：在旋转过程中，两个正方形重叠部分图形的周长与面积是否发生变化，若变化，请求出其变化范围；若不变，请求出相应的定值 [例5]E、F分别是正方形ADCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，求证：AH=AB

[例6]如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√5，BP=√2，PC=1，求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长

五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(B级)学生版

MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数. 几何.勾股定理与弦图（B 级）.学生版 Page 1 of 16 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2 课前预习 勾股定理与弦图

(完整版)中考数学压轴题破解策略专题18《弦图模型》

专题18《弦图模型》 破解策略 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．证明因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FC B． 又因为AB＝B C．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． D C 2．外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NM C． 又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． N Q D A 3．括展 （1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以 △A BE≌△BHE≌△AH B． （2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK．

证明因为∠BLK＝90°，QM⊥BK， 所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝90° 所以∠QMB＝∠K， 又因为QB＝BL． 所以△QBM≌△BLK． 例题讲解 例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE ＝1，求BF的长． G 解如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H， 延长FH交BC的延长线于点K． 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD≌△FEH，所以FH＝ED＝AD－AE＝3，EH＝CD＝4．因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1． 所以FK＝FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝． 5． 所以BF

第八讲、相似图

第八讲、相似图 相似图是图论中一类著名的图，它与区间图有着密切联系。边定向后的相似图称为部分序，许多NP难题在部分序上存在有效算法。本讲中我们将在部分序上解决一些NP问题，并讨论相似图、区间图、弦图之间的联系。 1．介绍 无向图G是相似图，如果它能无环传递地定向；如果G的补图是相似图，G称为伴相似图。我们已知区间图是伴相似图，但反之却不一定。图1显示了一个不是区间图的伴相似图。 一个相似图可能由多种无环传递定向方式，每种方式对应于一个部分序。 下一节中我们将介绍在部分序上有效地解决一些NP问题；第4节中将讨论相似图、区间图、弦图之间的联系。 2．一些算法 2．1最大团 部分序是有向无环图（DAG），因此它存在一个确定的H函数（见上讲）。我们能用线性时间计算出那个函数。如果在H函数中有K种值，则存在一条长为K的有向路径。由于定向具有传递性，这条路径上的点构成一个团。（图2）这就是一个最大团，因为一个团中不会有H值相同的顶点。显然这种算法用时是线性的。 同时我们就用K中颜色对顶点染色，易知W（Ｇ）＝X（G）＝K。 2．2权最大团 如果我们赋予顶点权函数W，定义包含顶点V1..Vm的团的权值为W（V1）＋…＋W （Vm），权最大团问题就是要寻找一个权值最大的团，权可以为负。 在部分序上，我们可以使用动态规划解决这个问题。假定部分序G的顶点V1..Vn是一

个拓扑序列。定义C（V）为包含V且最“大”顶点为V的权最大团的权。我们可以如下计算C： 最终权最大团的权为MAX{C（V1）…C（Vn）}。 结论1：这个算法确实找到了权最大团。 证明：假设以Vi为最大顶点的权最大团是Vi1..Vik，其中Vik＝Vi。如果K＝1，显然算法 ≥ 是正确的；如果K2，由于定向具有传递性，Vi1…Vik－1必定是最大顶点为Vik－1的权最大团（否则那个权最大团替换Vi1…Vik－1，加上Vi将形成一个权更大的团，矛盾），它的权是C（Vik－1），因此原团的值就是W（Vi）＋C（Vik－1），这在算法中被计算过。即证。▊ 很容易知道算法用时是线性的。另外我们可以记录决策，从而构造出一个权最大团。2．3最大独立集 假设H函数值共有K种。所有具有相同H值的顶点形成一个独立集。我们也许会猜测独立数A（G）就是具有各H值的顶点数的最大值。但图3显示了一个反例。不过，我们任可以用多项式的时间找到部分序上的最大独立集。 定义（1）：令P是一个部分序，P上的一个链是一个两两可比的顶点集（即一个全序）。 定义（2）：令P是一个部分序，P上的一个反链是一个两两不可比的顶点集。 【定理1：用最少数量的链覆盖一个部分序所需的链的数目等于该部分序上的反链的势的最大值。】 这个定理是Dilworth在1950年提出的，这里暂不加证明地使用：P。 定义（3）：一个图的团覆盖是用该图中的若干团覆盖所有的顶点。图G的团覆盖数是对G 进行团覆盖所需的最少团数。记为K（G）。 不妨加一个限制：团覆盖中的各个团两两没有交集。显然这不会改变K（G）的值。 定理（1）：对于任何部分序G，都有I（G）＝K（G）。I为独立数。 证明：由于G是部分序，因此W（G）＝X（G），即G是完美图（见第十讲）。根基完美图定理，G是伴完美图，因此I（G）＝K（G）。▊ 定义（3）：一个图G的广独立集是G的一个两两不连通的顶点子集。G的广独立集数是它最大广独立集的顶点个数，记为I’（G）。 定理（2）：对于任意有向无环图G，它的广独立数等于其简单有向路径覆盖数C’（G）（这里的路径覆盖允许顶点被重复覆盖）。 证明：构造图G’，V（G’）＝V（G），（A，B）∈E（G’），当且仅当G中从A可以到达B。

第1讲 巧解“弦图”与面积(解析)

第一讲巧解“弦图”与面积 “弦图”是由八个完全一样的直角三角形组拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形，如图所示。 “弦图”的特点：(1)小长方形长宽之和＝大正方形边长； (2)小长方形长宽之差＝小正方形边长。 根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。 (1) 一张5×5的方格纸，每个方格都编了号码（如下图）。挖去一个方格后，可以剪成8个1×3的长方形，那么应挖去的方格的编号是几？ 答案：挖去13号 解析：利用弦图的方法，画一画，便很容易看出，挖去的方格的编号应为13。 剪成的8个长方形分别是：

（1）1号、6号、11号；（2）2号、7号、12号； （3）3号、4号、5号；（4）8号、9号、10号； （5）14号、19号、24号；（6）15号、20号、25号； （7）16号、17号、18号；（8）21号、22号、23号。 结果如右上图。 (2)用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框（见下图）。边框的外周长为264厘米，里面小正方形的面积为900平方厘米。问：每块长方形条砖的长与宽各是多少厘米？ 答案：长：24；宽：18 解析：由题中信息可以先求到大正方形与小正方形的边长。 （1）900＝30×30 →小正方形的边长为30厘米 （2）大正方形的边长：264÷4＝66（厘米） （3）观察图形可知： 2长＋1宽＝66→① 2长－1宽＝30→② （4）利用消去法将①、②相加可得： 长为：（66＋30）÷4＝24（厘米） 宽为：66－24×2＝18厘米 (3)大、小两个长方形摆成如下图所示的形状，小长方形的长是宽是2倍。如果大、小两个长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间那部分图形的面积是40平方厘米，那么大、小长方形的面积各是多少平方厘米？

【初数】几何专业题材课程(共9讲)第07讲正方形与弦图

一、正方形的弦图 早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，下图（左）就是赵爽证题时用到的图形，史称“弦图”；此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”： 易知△AEF 、△RFE 、△D F G 、△OGF 、△BHE 、△QEH 、△PHG 、△CGH 都全等． 其中我们把正方形的弦图分为内弦图和外弦图（见下图）．通常情况下，弦图中垂直往往对应着全等，由全等得出对应边相等，对应角相等． 由三角形全等，可知他们的面积相等，设它们的面积都为a ，则=4EFGH OPRQ S a S +正方形正方形，=8+ABCD OPQR S a S 正方形正方形，于是可得出如下结论：() 1 = +2 EFGH ABCD OPQR S S S 正方形正方形正方形 正方形的弦图可以推广延伸到矩形和平行四边形中去，见（右）图： 易知() 1 = +2 ABCD OPQR EFGH S S S 矩形矩形四边形 第七讲：正方形与弦图 知识点睛 F G H A B D E C O P R Q F G H A B D E C O P R Q

例题精讲 【例1】正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接AP，分别过B、D两点作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足为E、F，如图① （1）请你通过观察或测量BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之间的数量关系．若点P在 DC的延长线上，如图②，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向 延长线上，如图③，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论． （2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明．

中考数学压轴题专项汇编专题弦图模型

专题18 弦图模型 破解策略 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．证明因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FC B． 又因为AB＝B C．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． D C 2．外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NM C． 又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． N Q D A 3．括展 （1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以 △A BE≌△BHE≌△AH B． （2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK．

E H B A 证明 因为∠BLK ＝90°，QM ⊥BK ， 所以∠KBL ＋∠QMB ＝∠KBI 十∠K ＝ 90° 所以∠QMB ＝∠K ， 又因为QB ＝ BL ． 所以△QBM ≌△BLK ． K Q E 例题讲解 例1 四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点D ，F 在直线CE 的同侧），连结BF ．当点E 在线段AD 上时，AE ＝1，求BF 的长． G F E D 解 如图，过点F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， 延长FH 交BC 的延长线于点K ． 因为四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH ，所以FH ＝ED ＝AD －AE ＝3，EH ＝ CD ＝4． 因为CDHK 为矩形，所以HK ＝CD ＝4，CK ＝DH ＝EH －ED ＝1． 所以FK ＝ FH 十HK ＝7，BK ＝BC ＋CK ＝．5． 所以BF 22 FK BK 74

勾股定理与弦图练习(含答案)

勾股定理与弦图练习（含答案） 判断题 ⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角． ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题． ⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形． ⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形． 答案：对，错，错，对； △ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（） A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形． B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°． C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形． D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形． 答案：D 1、下列四条线段不能组成直角三角形的是（） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= ，b= ，c= D．a：b：c= 2：3：4 答案：D 2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a= ，b= ，c= ；⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b= ，c= ；⑷a=5，b= ，c=1． 答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A． 叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确． ⑴如果a3＞0，那么a2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等． 答案：⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题． ⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题． ⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题． ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题． 1、填空题． ⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有． ⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是． ⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是． ⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形． 答案：⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．

超级简单的思维导图可简单漂亮画法

超级简单的思维导图可简单漂亮画法 导语： 想要思维导图最简单漂亮的画法，无疑是希望自己的绘图效率更实用。本文为你推荐一款好用的是思维导图软件，帮你绘出理想的导图。 使用什么软件绘制思维导图？ 对于初学者来说，面对市面上众多的思维导图软件，一定不知道该选哪一款。如果你想选免费的思维导图软件，那一定要选MindMaster思维导图软件；如果你要选操作简单的，那也要选MindMaster思维导图；如果你需要素材多，模板多的，那还是要选MindMaster思维导图软件。 当然MindMaster优势还不只这些，它可以跨平台使用，Windows、Mac、Linux 都不是问题，支持导出多种格式，图片格式、Office、PDF和MindManager等通用文档格式等。 免费获取MindMaster思维导图软件：https://www.wendangku.net/doc/8814845921.html,/mindmaster/ MindMaster绘制思维导图超详细新手教程 1、首先打开百度，搜索“亿图MindMaster”进入亿图官网，然后找到MindMaster进行下载安装。

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“弦图”巧解题

“弦图”巧解题 【摘要】充分运用“弦图”解题，发挥几何图形形象直观、简洁、明快、构图优美等特有的功能，提高学生机智、敏捷、创造性地思考、分析和解决问题的能力，增强对数学学习的兴趣。 【关键词】基本图形；弦图；解题 在学习空间与图形的过程中，我们经常会发现有一些图形对解决相关的问题起着重要的作用。基本的图形所呈现的数学语言具有确定性、简洁性及抽象性等特点，具有其它语言不可替代的优越性。它们不仅跟文字一样具有记录作用，有利于形象记忆，也有思想交流的功能。丰富的表象，往往有助于我们清楚地分析题中的数量关系，起到化繁为简、化难为易的良好效果，给我们解题提供一种有效思路。 2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽就是我国古代数学家赵爽画的“弦图”。图中包含的四个全等的直角三角形，一大一小两正方形，我们曾借助正方形边长与直角三角形三边的关系来证明勾股定理。作为学生十分熟悉的基本图形，在解决许多习题时，却往往被忽视它的作用，不少几何题直接运用条件去推导往往比较复杂，若将图形进行适当的拼补，构造成一幅美丽而巧妙的“弦图”，其解答就

在图中直接或间接地显示出来了。 下面我们就通过几个案例来看看“弦图”是如何发挥巧妙的作用的。 【案例一】――“以形助数”： 如图，一直角三角形的面积为6平方米，两条直角边的差为1米，问：直角三角形的斜边长多少米？ 设两未知数列出一个二元二次方程组，是大部分学生会采取的方法，这样的解法思路是比较简单，但解方程的过程中运算量还是较大的。这里我们若用上“弦图”，“以形助数”，斜边就能很快地被求出来。构造“弦图”后，直角三角形被补成一个大正方形，而大正方形的边长显然就是这个直角三角形斜边的长，只要求出该大正方形的面积，所求的问题也就迎刃而解了。通过观察，我们可以发现拼成的“弦图”中间部分恰好是一个小正方形，这个小正方形的边长正好是一直角三角形两条直角边之差，所以大正方形的面积为四个直角三角形的面积加上小正方形的面积，即S=6×4+1=25平方米，所以大正方形边长为5米，即直角三角形的斜边就是5米。与之前的列方程组相比较，这种构图法既直观又简单，深得学生的喜欢。 【案例二】――“巧设坐标”： 如图，正方形的A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x>0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴

五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(C级).学生版

华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的 Rt △ ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2 课前预习 勾股定理与弦图

点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实． 汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦。 勾股定理的证明：

思维导图简单画法全攻略

思维导图简单画法全攻略 导语： 新手也想了解和掌握如何才能把思维导图画的又漂亮又实用，这一点看起来似乎很难，但是如果有使用过专业的思维导图软件的话，相信面对这个问题，一定会觉得特别容易回答。新手要画好看，一定要挑选对的软件。那么挑对了又该如何进入下一步？ 什么思维导图软件适合新手？ 新手制作思维导图，可以选择一款专业的思维导图软件制作，MindMaster 思维导图软件就是一个不错的选择。这是一款国产的专业的思维导图软件，符合国人的使用习惯，软件内置海量思维导图模板及剪贴画素材，软件支持导出JPG、PDF、Word、PPT等格式，还支持跨平台使用，无论你是Windows还是Mac、Linux，都可以操作。 免费获取MindMaster思维导图软件：https://www.wendangku.net/doc/8814845921.html,/mindmaster/ 新手如何使用MindMaster绘制思维导图 1、首先打开百度，搜索“亿图MindMaster”进入亿图官网，然后找到MindMaster进行下载安装。

2、然后打开MindMaster思维导图软件，点击“新建”，选择任意模板开启绘图之旅，也可以点击右侧“创建”一个空白模板进入画布。 3、进入之后会出现一个中心主题，双击即可进行编辑，之后便是添加子主题了。你可以点击菜单栏上的插入子主题进行添加，也可以点击中心主题右侧的+进行添加，还可以使用超级方便的快捷键Ctrl+Enter进行添加。注意的是，如果你想添加同级主体的话，只需要按Enter即可。

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算法图论

算法图论（Graph Theoretic Algorithms） 第一部分：区间图、弦图、相似图、完美图 本书英文版共29讲，第一部分共12讲，系译者学习的同时为备以后查阅复习之便作的翻译，内容基本忠实于原著，且大部分是直译，同时加入了译者的少许想法，并补上了少部分略去的证明过程（限于译者的水平只能证明一些力所能及的证明）。 第1讲是概论导读；第2到10讲比较详细地介绍了区间图、弦图及其相关的性质、算法（包括证明）以及延伸内容，其中第7到9讲涉及相似图的一些内容，部分定理尚未证明；第11、12讲介绍完美图、相交图及其部分特例，侧重于介绍性，概念结论较多但证明较少，可以作为知识性的阅读。 《尚为解决的问题》是译者翻译学习过程中遇到的一些不懂的问题，原文中未给出详细证明，而译者目前还无法自己证明的，这些在译文中将用粗括号扩出。各路高手如有知道方法的情与译者联系，不胜感激！ 复旦附中葛潇

第一讲、概论 本讲对这门课程的主要议题进行了大致的介绍。 1．概念 这门课程涉及了一些特殊的图以及这些图上某些已经得到改进及仍未解决的问题。 为了解我们所说的内容，我们必须回顾一些特殊图中的概念、算法、复杂度分析及NP —HARD问题。在这门课中对些将不作深入，我们假设读者以对这些有所了解。 2．一些图的分类 下面我们将给出这门课程中将涉及的一些图的形式。在以后的各讲中将进行深入的分析。 z区间图（Interval graphs）：如果一个图能用一些区间的intersection graph表示，那么这个图称为区间图。更准确地说，给定一系列区间，将其中每个区间看作一个顶点，两个顶点间有边，当且仅当这两个点所代表的区间相交。一个图是区间图，当且仅当它能通过以上方法构造出来。（见图1） 图1：一些区间及它们所构成的区间图 我们同时学习各种相关的图，例如弦图和完美图。这部分的主要参考是[Gol80]。 z树（Trees）：一个图是一颗树，当且仅当它是连通的，并且没有环。我们将同样学习有关的图，例如partial k-trees. 这部分的主要参考是[Bod93]。 z平面图（Planar graphs）：一个图如果能画在二维平面上，且各边没有交点，则该图称为平面图。注意每个树都是平面图，但反之却不一定。我们将同样学习有关的图，例如outer-planar graphs 和 series-parallel graphs（混联图）。这部分的主要参考是[NC88]。 本课程中除特别说明，一般所指的图都是简单的、连通的，且至少有两个顶点（或是图有意义的最少顶点）。显然这不会影响大多数算法的适用性。 同时，一般给出的图都是无向图，虽然有时我们为了设计算法人为地加上方向。 3．一些问题 下面是我们将学习的一些问题，以及它们在一些特殊图上的复杂度。 z最大独立集（Maximum Independent Set）：这是著名的NP难题。但在区间图中，最大独立集问题能够在O（N＋M）时间内解决，同时在树上可以在线性时间内解决，但对于平面图这仍是NP难题。 z最大割(Maximum Cut)：图G＝（V，E）上的一个割将该图的顶点分成两个子集：V＝A＋B。更准确地说，给定一种顶点划分，一个割是哪些一个端点在A中，另一个在B 中的边组成的集合。最大割问题是寻找一种顶点划分方式，使得对应割集中的边数最多。 同样也有最小割问题。最小割问题用最大流的方法可以在多项式时间内解决，但最大割问题是NP难题。但在平面图上最大割问题是多项式级的；在树上，最大割问题是平凡