线性方程组练习
线性方程组练习
A 组1、用消元法解下列线性方程组：
①12312312312323=335=04=3
313=-6
x x x x x x x x x x x x -+??+-??-+??+-?②1234123412342+=12-=-12-5=5x x x x x x x x x x x x -+??-+??-+?③123412341234=1=022=-1/2x x x x x x x x x x x x -+-??--+??--+?
④12341234123412344-2=0+2=037-2=0312+6=0x x x x x x x x x x x x x x x x -+??--??++??--?⑤123123123123=035=032=0223=0x x x x x x x x x x x x -+??-+??--??-++?⑥124512341
23451234423=02=0426+34=0242+47=0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--??-+-??-+-??+--? 2、确定a,b 的值使下列线性方程组有解，并求其解：
①123412341
2342+=124=27411=a x x x x x x x x x x x x -+??+-+??+-+?②1231232
1231ax x x x ax x a x x ax a ++=??++=??++=?
③12342341234123
4222=2=13=a
5=b x x x x x x x x x x x x x x x +-+??--??+-+??-++?④12312312311x x x a ax x x x x ax ++=??++=??++=?
3、已知向量1α=（1,2,3,）2α=（3,2,1），3α=（-2,0,2），4α=（1,2,4），求：
① 31α+22α-53α+44α②51α+22α-3α-4α
4、已知向量α=（3,5,7,9），β=（-1,5,2,0），①若α+ξ=β，求ξ②若3α-2η=5β，求η。
5、已知向量1α=（2,5,1,3），2α=（10,1,5,10），3α=（4,1，-1,1）。若3（1α-ξ）+2（2α+ξ）=5（3α+ξ），求ξ。
6、将下列各题中向量β表示为其他向量的线性组合。
①β=（3,5，-6），1α=（1,0,1），2α=（1,1,1），3α=（0，-1，-1）
②β=（2，-1,5,1），1α=（1,0,0,0），2α=（0,1,0,0，），3α=（0,0,1,0），4α=（0,0,0,1）
7、设向量1α=()1,4,0,2T 2α=()2,7,1,3T ，3α=()0,1,-1,a T ，β=()3,10,,4T
b ① 当a,b 取何值时，β不能由1α，2α，3α线性表示？②当a,b 取何值时，β可由1α，
2α，3α线性表示？并求出相应的表示式。
8、已知向量1γ，2γ由向量123,,βββ的线性表示式为1123=3-+γβββ，2123=+2+4γβββ；向量123,,βββ由向量1α2α3α的线性表示式为1β=21α+2α-53α，2β=1α+32α+3α， =-1α+42α-3α，求向量1γ2γ由向量1α2
α3α的线性表示式。 9、已知向量组(B): 1β,2β,3β 由向量组(A): 1α,2α,3α的线性表示式为：1β=1α-2α+3α，2β=1α+2α-3α，3β=-1α+2α+3α，试验证向量组 (A)与向量组(B)等价。
10、判定下列向量组是线性相关还是线性无关（其中0ii a ≠，i =1,2，n ）
①111=(,0,0,,0,0)a a ，222=(0,,0,,0,0)a a ，=(0,0,0,,0,)n nn a a
②1112131-111=(,,,,,)n n a a a a a a ，22232-122=(0,,,,,)n n a a a a a ，=(0,0,0,,0,)n nn a a
11、设1β=21α-2α，2β=1α+2α，3β=-1α+32α。验证1β2β3β线性相关。
13、如果下列组1α2α s α线性相关，试证：向量组1α，1α+2α， 1α+2α+ +s α线性无关。
14、已知向量组1α=(k ,2,1),2α=(2, k ,0),3α=(1,-1,1),试求k 为何值时，向量组1α2α3α线性相关？线性无关？
15、设1α=(6,k +1,3),2α=(k ,2, -2),3α=(k ,1,0),4α=(0,1,k )。试问：①k 为何值时，1α2α线性相关？线性无关？②k 为何值时，1α2α3α线性相关？线性无关？③k 为何值时，1α2α3α4α线性相关？线性无关？
16、下列各题给定向量组1α2α3α4α，试判定1α2α3α是一个极大无关组，并将4α由1α2α3α线性表示。①1α=(1,0,0,1),2α=(0,1,0,-1),3α=(0,0,1,-1),4α=(2,-1,3,0)
②1α=(1,0,1,0,1),2α=(0,1,1,0,1),3α=(1,1,0,0,1),4α=(-3,-2,3,0,-1)
17、求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。 ①1α=(1,1,3,1),2α=(-1,1,-1,3),3α=(5,-2,8,-9),4α=(-1,3,1,7)
②1α=(1,1,2,3),2α=(1,-1,1,1),3α=(1,3,3,5),4α=(4,-2,5,6),5α=(-3,-1,-5,-7)
18、设A,B 均为m n ?矩阵，证明：r (A+B) ≤r (A)+r (B)。
19、设A 为n 阶矩阵，满足2
=A A 。证明：()+-)=r A r A I n （.
20、求下列齐次线性方程组的一个基础解系。
①12341234123424-7=02+-2+=0322-4=0x x x x x x x x x x x x -+????-+?②123451234512345123442+=02++23=032+2=025+2+2=0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-??--??---??--?③12345123451
2345123442+=02++=0+755+5=032+=0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-??--??--??---? 21、设矩阵Ａ＝()ij m n a ?，Ｂ＝()ij n s b ?。证明：ＡＢ＝Ｏ的充要条件是矩阵Ｂ的每一列下列
都是齐次方程组Ａｘ＝０的解。
22、设矩阵A 均为m n ?矩阵，B 为n 阶矩阵，已知r (A)=n ，试证：
①若ＡＢ＝Ｏ，则B=Ｏ。 ②若ＡＢ＝A ，则B=I 。
23、求下列线性方程组的全部解。并用对应导出组的基础解系表示。
①123412423412342=023=036=0222+5=0x x x x x x x x x x x x x x -+-??--??+-??--?②1234512345234512344+++=73+2++3=-2+2+2+6=235+43+3=12x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +??-????--?③123412345123451234512345+354=1+322+=-12=34+=3+2+=-1
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-??+-??-+--??-+-?+-??
24、设线性方程组12312312
3-3-2-2x x x x x x x x x λλλλ++=??++=??++=?，讨论λ取何值时，方程组无解？有唯一解？有无
穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示其全部解。
25、证明线性方程组12123234345
4515
x x a x x a x x a x x a x x a -=??-=??-=??-=?-=??有解的充分必要条件是123450a a a a a ++++=，并在
有解的情况下，求它的全部解。
26、设线性方程组12312321
2302040x x x x x x x x x λλ++=??++=??++=?与方程12321x x x λ++=-有公共解，求λ的值及
所有公共解。
27、证明：设12,t ηηη 是某一非齐次线性方程组的解，则1122t t c c c ηηη+++ 也是它的一个解，其中121t c c c +++= 。
B 组1、如果线性方程组12323331223(1)(1)(3)
x x x x x x x λλλλλλ++=-??-=-??=-??-=---?有唯一解，则λ=（ ）
Ａ.1或2 Ｂ.-1或3 Ｃ.1或3 Ｄ.-1或-3
2、如果线性方程组1232323
2132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-??-=-??-=--+-?有无穷多解，则λ=：Ａ3Ｂ2Ｃ1Ｄ0
3、如果线性方程组12323324+221)(2)(3)(4)x x x x x x λλλλ+-=??=??--=--?
（无解，则λ=( )
Ａ.3或4 Ｂ.1或2 Ｃ.1或3 Ｄ.2或4
4、设1α=(1,0,1), 2α=(0,1,0), 3α=(0,0,1).向量β=(-1,-1,0)可表示为1α，2α，3α的
线性组合：β=a 1α+b 2α+c 3α，则a ，b ，c 分别为（ ）
Ａ.-1,-1,-1 Ｂ.1,-1,-1 Ｃ.-1,1,-1 Ｄ.-1,-1,1 5、设向量组1α=（1,3,6,2)T ,2α=(2,1,2,-1)T ,3α=(1,-1,a ,-2)T 线性相关，则a 应满足条件（ ）
Ａ.等于2 Ｂ.不等于2 Ｃ.等于-2 Ｄ.不等于-2
6、向量组1α=(3,1,a )T , 2α=(4,a ,0)T , 3α=(1,0,a )T 线性相关，则（ ）
Ａ.a =0或2 Ｂ.a ≠1且a ≠-2 Ｃ.a =1或-2 Ｄ.
a ≠0且a ≠2 7、设向量组12,,,s ααα 线性无关，则下列各结论中不正确的是（ ）Ａ.
12,,,s ααα 都不是零向量 Ｂ. 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 Ｃ. 12,,,s ααα 中任意两个向量都不成比例 Ｄ. 12,,,s ααα 中任一部分组线性无关。
8、向量组12,,,s ααα ()2s ≥线性相关的充分必要条件是（ ）
Ａ.12,,,s ααα 中至少有一个零向量
Ｂ.12,,,s ααα 中任意一个向量可由其余向量线性表示
Ｃ.12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余向量线性表示
Ｄ.12,,,s ααα 中任意一个部分组线性相关。
9、向量组12,,,s ααα 线性无关的充分条件是（ ）Ａ. 12,,,s ααα 均不是零向量 Ｂ. 12,,,s ααα 中任意两个向示量都不成比例 Ｃ.12,,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余向量线性表 Ｄ.12,,,s ααα 中有一个部分组线性无关。
10、已知向量组1α=(1,2,-1,1),2α=(2,0,a ,0),3α=(0,-4,5,-2)的秩为2，则a =（ ）
Ａ.3 Ｂ.-3 Ｃ.2 Ｄ.-2
11、向量组12,,,s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）
Ａ.12,,,s ααα 中至少有一个非零向量 Ｂ.12,,,s ααα 全是非零向量 Ｃ.12,,,s ααα 线性无关 Ｄ.12,,,s ααα 线性相关
12、向量组12,,,s ααα 的秩为r ，则下列四个结论①12,,,s ααα 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关②12,,,s ααα 中任意含r 个向量的线性无关部分组与12,,,s ααα 可互相线性表示③12,,,s ααα 中任意含r 个向量的部分组皆线性无关④12,,,s ααα 中任意含r +1个向量的部分组皆线性相关，正确的是：Ａ①②③Ｂ①②④Ｃ①③④Ｄ②③④
13、设A 为n 阶矩阵，且A =0，则（ ）Ａ.A 的列秩为零 Ｂ.A 的秩为零 Ｃ.A 的任一列向量可由其他列向量线性表示 Ｄ.A 中必有一列向量可由其他列向量线性表示
14、设A 为n 阶矩阵，下列结论中不正确的是（ ）Ａ.A 可逆的充要条件是A 的秩为n Ｂ.A 可逆的充要条件是A 的列秩为n Ｃ.A 可逆的充要条件是A 的每一行向量都是非零向量 Ｄ.A 可逆的充要条件是当x ≠O 时，A x ≠O,其中x =(12,,,n x x x )T 。
15、设矩阵m n A ?的秩为r （0r n ≤<），则下列结论中不正确的是（ ）
Ａ.齐次线性方程组A x =0的任何一个基础解系中都含有n -r 个线性无关的解向量 Ｂ.若X 为n s ?矩形，且A X =O ，则r （X ）≤n -r
Ｃ.β为一m 维列向量，r (A ,β)=r ,则β可由A 的列向量组线性表示
Ｄ.非齐次方程组A x =b 必有无穷多解
16、设m n A ?，线性方程组A x =b 对应的导出组为A x =0，则下列结论中正确的是（ ） Ａ.若A x =0仅有零解，则A x =b 有唯一解
Ｂ. 若A x =0有非零解，则A x =b 有无穷多解
Ｃ. 若A x = b 有无穷多解，则A x = 0有非零解
Ｄ. 若A x = b 有无穷多解，则A x = 0仅有零解
17、设矩阵A =()ij m n a ?，A x =0仅有零解的充要条件是（ ）Ａ.A 的列向量组线性无关 Ｂ.
A 的列向量组线性相关 Ｃ.A 的行向量组线性无关 Ｄ.A 的行向量组线性相关
18、四元线性方程组13214
000x x x x x +=??=??-=?的基础解系是（ ）
Ａ.(0,0,0,0)T Ｂ.(0,0,2,0)T Ｃ.(1,0,-1)T Ｄ.(0,0,2,0)T 和(0,0,0,1)T
19、设齐次线性方程组A x =0，其中m n A ?，且r （A ）=n -3。123,,ξξξ是方程组的三个
线性无关的解向量，则A x =0的基础解系为（ ） Ａ.123,ξξξ+ Ｂ.112123,,ξξξξξξ+++ Ｃ.122331,,ξξξξξξ--- Ｄ.1231233,,2ξξξξξξξ--+++- 参考答案：A 组
1、 ①123121x x x =??=??=?②无解③112132421212x c x c x c x c ?=+??=???=+??=?④12340000x x x x =??=??=??=?⑤123000x x x =??=??=?⑥112212314252765613x c c x c c x c x c x c ?=-+???=+???=??=??=??
2、①当a =5时，有无穷多解112
2123142416555337555x c c x c c x c x c ?=--???=+-??=??=?
②当a =1时，有无穷多解11221321x c c x c x c =--??=??=?当a ≠1且a ≠-2时，有唯一解122
31212(1)2a x a x a a x a +?=-?+??=?+??+=?+?
，当a =-2时，方程组无解 ③当a ≠1或b ≠-1时，方程组无解，当a =1且b =-1时，方程组有无穷多解
112123142
41x c x c c x c x c =-??=++??=??=? ④当a ≠1时，方程组有唯一解123121x x a x =-??=+??=-?，当a =1时11221321x c c x c x c =--??=??=? 3、①(23,18,17) ②(12,12,11) 4、①(-4,0,-5,-9) ②(7,-5,11/2,27/2)
5、(1,2,3,4)
6、①β=-111α+142α+93α ②β=21α-2α+53α+4α
7、①a 为任意实数，b ≠2 ②a 为任意实数，b =2
8、1γ=41α+42α-173α，2γ=232α-73α 10、①线性相关②线性无关
11、①线性无关②线性无关
14、k =3或k =-2时，1α2α3α线性相关；k ≠3且k ≠-2时，1α2α3α线性无关
15、①当a =-4时，1α2α线性相关；a ≠-4时，1α2α线性无关
②当a =-4或3/2时，1α2
α3α线性相关；当a ≠-4且a ≠3/2时，1α2α3α线性无关 ③对任意的a ，1α2α3α4α线性相关
16、①4α=21α-2α+33α②4α=1α+22α-43α
17、①秩为2；1α2α；3α=3/21α-7/22α,4α=1α+22α
②秩为2；1α2α；3α=21α-2α，4α=1α+32α，5α=-21α-2α
20、①10210ξ?? ? ?= ? ???②112121210ξ??- ? ? ?- ?= ? ? ? ? ? ???，278585801ξ?? ? ? ? ?= ? ?- ? ? ? ???
③100011ξ?? ? ? ?= ? ? ??? 23、①152442x c ?? ? ?= ?- ???②1216152326000010001x c c -?????? ? ? ?-- ? ? ? ? ? ?=++ ? ? ? ? ? ? ? ? ???????③0111001102x c -???? ? ?-- ? ? ? ?=+ ? ?-- ? ? ? ?????
24、①当λ=-2时，方程组无解 ②当λ≠-2且λ≠1时，方程组有唯一解
③当λ=1时，方程组有无穷多解12211010001x c c ---?????? ? ? ?=++ ? ? ? ? ? ???????
25、152234334445x c a x c a a a x c a a x c a x c =-??=+++??=++??=+?=??
26、当a =1时，101x k -?? ?= ? ???，当a =2时，011x ?? ?= ? ?-??
B 组：1C2A3B4D5
C 6D7B8C9C10A 11A12B13D14C15
D 16C17A18B19B
线性方程组典型习题及解答
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数练习题集--线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组 系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法 一．选择题： 1．设A 是n m ?矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ?矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解 3．设A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题： 设????? ??-+=21232121a a A ，???? ? ??=031b ，????? ??=321x x x x （1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题： 1． 求解非齐次线性方程组?? ? ??=--+=+-+=+-+122241 2w z y x w z y x w z y x 21 3122211112111121001421120011000110211110002000020121122000 .2000r r r r r r y x x y y x z w z z w w w --+--?????? ? ? ?-???→-???→- ? ? ? ? ? ?----?????? -?=?+==-????? -=∴==??????-===??? ? 或
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
线性方程组的解法
线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =
有限元法复习题
1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。 2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。 3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。 4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。 5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。 7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。 8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。 9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。 10、平面刚架有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）、（？？？）。 11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。 12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。 13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。 15h、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。 16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。 17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。 18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（1）。 20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。 21、节点编号时，同一单元相邻节点的（编号）尽量小。 25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。矩形单元边界上位移是（线性）变化的。 从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（ C ）。 力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法 下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（ D ）。可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。 解题步骤可以系统化，标准化。 容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。 需要适用于整个结构的插值函数。 几何方程研究的是（ A ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 物理方研究的是（ D ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 平衡方程研究的是（ C ）之间关系的方程式。
线性方程组测试题
课程名称： 工程数学 考试章节： 线性方程组 考生姓名： 一、单选（每题3分，共30分） 1. 1、向量组 ， ， 线性相关，且秩为 ，则（ ） A.s r = B ．s r ≤ C.r s ≤ D ．r s < 2. 已知向量T T )0,3,4, 1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（ ） A ．T )1,1,2,0(-- B ．T )1,1,0,2(-- C ．T )0,2,1,1(-- D ．T )1,5,6,2(--- 3. 下列命题中错误的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4. 设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A. 21α+α B. 21α-α C. 21α+α+β D. 213 231α+α+β 5. 对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组 ()和齐次线性方程组, 下列说法中正确的是( ) A. 无非零解时, 无解 B.有无穷多解时,有无穷多解 C.无解时, 无非零解 D. 有唯一解时, 只有零解 6. 设21,αα是? ? ?=-=-+021 21321x x x x x 的二个解，则__________。 A. 21αα-是???=-=-+02021321x x x x x 的解 B. 21αα+是???=-=-+0 20 21321x x x x x 的解 C. 12α是?? ?=-=-+02121321x x x x x 的解 D. 22α是? ??=-=-+021 21321x x x x x 的解 二、填空(35分) 1.设()0,2,11 =α,()3,0,12-=α,()4,3,23=α，则32132ααα-+=______________ 2. 设 ()0,0,11=α,()0,1,12=α,()1,1,13=α,()3,2,1=β，且有 332211αααβx x x ++=，则=1x ______，=2x ______，=3x ______ 3. 对于m 个方程n 个未知量的方程组0=AX ，若有r A r =)(，则方程组的基础解系中有 ________个解向量。 4. 已知A 是4×3矩阵，且线性方程组B AX =有唯一解，则增广矩阵A 的秩是_________。 三. 计算(20分) 1.(10分) 已知向量组[][][] 123= 1 01,=035,=237T T T ααα，则求该向量 组的秩和一个极大线性无关组。 2. (5分) 设1α=（1，2，4），2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关，则求y 的值 A =Ax b ≠0b =0Ax =0Ax =Ax b =0Ax =Ax b =Ax b =0Ax =Ax b =0Ax
行列式检验测试题(有规范标准答案)
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
线性方程组-练习
1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:
线性方程组的解法及其应用
线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105
摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。
Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
线性方程组练习题(免费下载)
《线性代数》第三章练习题 一、思考题 1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解； （2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ?矩阵。 （1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解； （2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。 3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。 4、判断下列命题是否正确？ （1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得 02211=+++m m k k k ααα ； （2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则 m k k k ,,,21 必不全为零； (3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关； （6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组 m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题 1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。 2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。 3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ） （A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；
有限元习题3
第一章 1.有限单元法求得的解为：[ ]3 A.精确解 B.解析解 C.近似解 D.整数解 2.弹性力学问题的基本解法有：[ ] ABD A.按位移求解 B.按应力求解 C.按单元刚度求解 D. 混合求解 E.按整体刚度求解 23.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，按应力求解和[ ]3 A. 按单元刚度求解 B. 按整体刚度求解 C. 混合求解 D.按平衡方程求解 24.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，混合求解和[]4 A. 按平衡方程求解 B. 按单元刚度求解 C. 按整体刚度求解 D. 按应力求解 25.弹性力学问题的基本解法有：按应力求解，混合求解和[ ]2 A. 按整体刚度求解 B. 按位移求解 C. 按单元刚度求解 D. 按平衡方程求解 3.用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于：[ ]4 A.对弹性体离散化的复杂性 B.刚度矩阵求解的困难性 C.受力分析的复杂性 D.求解偏微分方程的复杂性 4.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的：[ ]BDE A.弯矩 B.应变 C.扭矩 D.应力 E.结点力 26.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，应力和[ ]3 A. 扭矩 B. 弯矩 C. 结点力 D.外力 27.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，结点力和[ ]4 A.弯矩 B. 外力 C. 扭矩 D. 应力 28. 用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应力，结点力和[ ]4， A. 外力 B. 扭矩 C. 弯矩 D. 应变 5.将各个单元集合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解[ ]。2 A.结点位移 B. 以结点位移为未知量的线性方程组 C.整体刚度矩阵 D.单元刚度矩阵 6.对于三角形三结点单元，其结点按照[]顺序进行排列。3 A.从左至右 B. 顺时针 C. 逆时针 D.以上均可 7.对于三角形三结点单元，每个结点位移在单元平面内有[ ]个分量 2 A.1 B.2 C.3 D.4 8.对于三角形三结点单元，共有[ ]个位移分量。4 A.3 B.4 C.5 D.6 9.形函数 N在结点i上的值等于[ ]。2 i A.0 B.1 C. -1 D.2 10.在单元中任意一点，三个形函数之和等于[ ]2 A.0 B.1 C.2 D.3 11.有了单元的位移模式，就可以应用[ ]求得单元的应变3 A.平衡微分方程 B.物理方程 C. 几何方程 D.积分方程 12.单元应力矩阵[S]与弹性矩阵[D]和单元应变矩阵[B]的关系是：[ ]C A. [S]= [D]+ [B] B. [S]= [D]—[B] C. [S]= [D] [B] D. [S]= [D]/ [B] 13.三角形三结点单元中，单元应力矩阵[S]是一个[ ]4 A.对称矩阵 B.零矩阵 C.非常数矩阵 D.常数矩阵 14.三角形三结点单元的应力分量为[ ]1 A.常量 B.变量 C.零 D.不确定
解线性方程组
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 目录 摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。 线性方程组的求解方法 学生：指导教师： 摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。 关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法 一、判断题 10’ 1. 可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E 。 （ ） 2. 若A 可逆，则对矩阵)(E A 施行若干次初等行变换和初等列变换，当A 变为E 时，相应地E 变为1 -A ，故求得A 的逆矩阵。 （ ） 3. 对于矩阵A ，总可以只经过初等行变换把它化为标准形。 （ ） 4. 若A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则A 总可以经过初等行变换化为B 。 （ ） 5. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零。 （ ） 6. 若A ，B 均为n 阶非零方阵且O AB =, 则A 的秩n A R <)(。 （ ） 7 从矩阵n m A ?（1>n ）中划去一列得到矩阵B ，则)()(B R A R >。 ( ) 8. 设B A ,均为n m ?矩阵，若)()(B R A R =，则A 与B 必有相同的标准形。（ ） 9. 在秩为r 的矩阵A 中，有可能存在值为零的r 阶子式。 （ ） 10.设A 为n m ?矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。 （ ） 二、 单项选择题30’ 1. 设A ? ??? ??=333231 232221 131211 a a a a a a a a a ，B =????? ??---=323332 31 12131221222322 11222a a a a a a a a a a a a , 1P ????? ??=100001010,2P ???? ? ??=100210001, 则B =（ ） (A) A P P 21 (B) 1211--AP P (C) 21P AP (D) 1 112--AP P 。 2. 若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（ ）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D)()max{(),()}R R R ≥A B C 3. 设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得矩阵B ，再把B 的第2列加到第3列得矩阵C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为（ ） (A) ????? ??101001010 (B) ????? ??100101010 (C) ????? ??110001010 (D) ???? ? ??100001110 4. 下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（ ） 第三章 线性方程组 习题 姓名 学号 一、 填空题 1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩为__________. 2. 非齐次线性方程组1212222n n x x x a x x x b +++=??+++=? 有解的充要条件是__________. 3. 齐次线性方程组12340x x x x +++=的基础解系是____________________. 4. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则()R A __________. 5. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则参数k =__________. 6. 齐次线性方程组111122121122221122000 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=? （*）只有零解的充要条件有 ______________________________________________________ _（至少写两个）. 二、 判断题 1. 如果当12n k k k === 时，11220n n k k k ααα+++= ，则向量组12,,,n ααα 线性相关. （ ） 2. 若12(,,,),1,2,,i i i in a a a i s α== 线性相关，则向量组1212(,,,,,,,),i i i in i i im a a a b b b β= 1,2,,i s = 也线性相关. （ ） 3. 任意3n +个n 维向量必线性相关. ( ) 4. 若向量12,,,s ααα 和向量组12,,,t βββ 都线性无关，则向量组1212,,,,,,,s t αααβββ 线性无关.（ ） 5. 若向量12,,,s ααα 线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（ ） 6. 非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ ） 7. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.（ ） 8. 设12,αα线性相关，12,ββ也线性相关，则1122,αβαβ++线性相关.（ ） 三、计算与证明 1. 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3),(4,3,1,3)αααα==--=-=--的秩和极大线性无关组，并用极大无关组表示其余向量 2．λ取何值时，线性方程组12312312 3322x x x x x x x x x λλλλ++=-??++=-??++=-?有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求通解.3线性方程组典型习题解析
浅析线性方程组的解法
线性代数-第三单元测试
第三章 线性方程组习题