大二整理好的数学题
8、求所有与A 可交换的矩阵
（1）????
??=1101A ； (2) ?
???
? ??=100110011A 。
解：（1）显然与A 可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X ，并令???
?
??=d c b a X ，
又 ???? ?
?++=d b c
a b a
AX ， ???
? ??++=d d c b b a XA ， 由可交换条件AX=XA ，可得 b=0,d a =（其中c d a ,,为任意常数），即???
?
??=a c a X 0。
（2）显然与A 可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X ，并令????
?
??=i h
g f e
d
c b a
X ， 又 ?????
?
?++++++=i h g i f h e g
d f c
e b d a AX ， ???
?
?
?
?++++++=i h h g g f e e d d
c b b
a a
XA ， 由可交换条件XA=AX ，可得 d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f 均为任意常数），
即 ???
?
?
??=a b a b a X 0000。
解：（1）3
1111???? ??--=???? ??0000。（2）n
???? ??1031=???
?
??1031n 。下面用数学归纳法证明。
当n=1时，当然成立。假定n=k 时成立，即
????
??=???? ??10311031k k
。再证n=k+1时也成立。 ???
?
??+=???? ?????? ??=???? ?????? ??=???
? ??+10)1(31103110311031103110311
k k k
k 。 （4）n
??
?
????
??0000100001000010
当n =1时，值为原矩阵；n =2时，????
??
?
?
?=???????
?
?00000000100
0010
0000010000100
0010
n
；
n =3时，???????
?
?=???????
?
?0000000
0000
0100
0000010000100
0010n ；4≥n 时，????
???
??=??????? ??00000000000000000000100001000010n
。 14、设B A ,为同阶矩阵，且满足)(2
1E B A +=。求证：A A =2
的充分必要条件是
E B =2.
证明：先证明必要性：由于)(21E B A +=，故)2(4
122
E B B A ++=
如果A 2=A ，即)2(4
1)(212
E B B E B ++=+由此得B 2=E
再证充分性：若B 2=E ，则由（1）式可知，A E B E B E A =+=++=)(2
1)2(412
。
所以，A A =2
的充分必要条件是E B =2
。
19解：（1）
y
x y x x y x y y x y x
+++=
y
x y x x y x y y x y x y x +++++)(2)(2)(2
=y x
y x x y x y y x +++1
11
)
(2=x
y
y x y x x y y x --+-+0
1
)(2=)(233y x +-。 （4）按第一列展开
a
b b
a b a b a
b a 000
0000000
00000=a b a b a b a
a
000
00
00
00+b
a b a b a b b 00000000
0=5
5b a +。 （5）按最后一列展开
b
a a
b a b a b a b 000
000000
00000=0000000
00
a
a b
a b a b a
+0
000000
00a b a b a b b b =5
5b a +。 24解：（1）AB =???? ?????? ??222
1211
22212
B E B B A A O E
=???
?
??
++222212212
22112112
2112B A B A E A B A B E B E
其中 E 2B 11=B 11，E 2B 12=B 12，A 22E 2=A 22 ， A 21B 11=???? ??--????
??-12231102=???? ??--3546， A 21B 12=???? ?????? ??-351102=?
??
?
??-210，
A 22
B 22=???? ??-???? ??121011=???? ??-11，所以 AB =??
???
?
? ??-----14593731
2523。 25解：（1）因为 231,2,A A A =231,,2A A A =321,,2A A A -。 所以 231,2,A A A =321,,2A A A -=4。
（2）因为 1213,3,2A A A A -=123,3,A A A －121,3,2A A A =321,,3A A A -。 所以 1213,3,2A A A A -=321,,3A A A -=6。
28解：（1）
????
? ??100321010021001001→????? ??--101320011020001001→????? ??--110300*********
001
→??
??????
?
?
--
313
1010002121
010001
001。所以，此矩阵的逆矩阵为 ???????
? ?
?--313
100212
1
00
1
。 （2）????? ??---100121010011001322 → ???
?
? ??---100121010322
001011 →???
?? ?
?---101110012340001011→?????
? ??----141234700012340001011
→??
?
?????
?
?
-747
17
6100737171010737178001，所以，其逆矩阵为 ???????
?
??-747
17
67371717371
78。 （3）???????
?
?10
001111010011100010110000011000→??????
?
??---11
000001
01100010001101000001100
→???????
?
?---00011000001101000110001011000001，所以，其逆矩阵为 ??????
?
?
?---0001001101101100。 （4）??
?????
??-10
001
10
0010021000010001200010025
→??????? ?
?---110030000100210000
15
2
00510
00
010
025 →??
???
?
??
?
?---110
3
0003231000100001520051000
1050005 →???????
?
?
?---313
10
1
00032310001000052
001000210001， 所以，其逆矩阵为 ???????
?
??---3131
00
3231
0005
200
21。 5）??????
??
?
?
??-1000000
000100000000010000000001000
000000100001
321
n n a a a a a
→??????
??
?
?
?
?-1000000
0010000
00000001000000000100001000000001
21
n n a a a a 所以，其逆矩阵为
????????????
? ?
?-12110
00
0000100000110000n n a a a a
。 29解：（1）因为???
?
??--=????
??1032142153X ， 所以，X =???? ??--???? ??-10321421531
=???? ??--3152????
?
?--103214=????
??--515927。 （2）因为????
??--=???? ??--????
??-163211
123212X ， 所以X =1
1
111216323212--???
? ??--???? ??--????
??-=?????
?
??-21418183
???? ??--1632???? ??--2111=???? ??4321。 （3）由???? ?
?-=????? ??600211521211501X ，故X=1
521211501600211-????
?
?????? ??-=???? ??--121010 （4）因为AX+B=X ，所以X= (E-A )-1B ，
又E －A =????? ??--201101011，因此X =1
201101011-????? ??--????? ??--350211=????
? ??--110213。 30、设A 为n 阶矩阵，O A ≠且存在正整数2≥k ，使O A k
=。求证：E-A 可逆，
且121
)
(--++++=-k A A A E A E .
证明：作以下乘法
)(A E -)(1
2-++++k A A A E
=k k k A A A A A
A A E -----++++--121
2 =k A E -=E
从而E －A 为可逆矩阵，而且121
)
(--++++=-k A A A E A E 。
31、已知n 阶矩阵A ，满足0232
=--E A A ，求证：A 可逆，并求1
-A .
证明：因为0232=--E A A ，即E A A 232
=-， 所以E E A A =-)232(
，从而，A 为可逆矩阵，而且E A A 2
3
21-=-。 8（1）β不能由1α，2α，3α的线性表出
（2）β可由1α，2α，3α的线性表出，并且表示方法唯一 （3）β可由1α，2α，3α的线性表出，并且表示方法不唯一
解： 设β=k 11α+k 22α+k 33α 则k 1,k 2,k 3是方程组???
??=+++=+++=+++2
321
321321)1()1(0
)1(λλλλλk k k k k k k k k 的解。
设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A
=
????
?
??+++2111111
0111λλλλλ
→
???
?
?
?
?+++21110111111
λλλ
λλ→
???
?
?
??--+--+-+)1(0)1()2(0111
λλλλλλλλλλλ→
???
?
?
??+--+---+)1()2(0)1(0
111
λλλλλλλλλλλ→
???
?
?
?
?-+-+---+)12()3(00)1(01
112λλλλλλλλλλλ。 （1）当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩不相等时 ，β不能由1α，2α，3
α的线性表出。则λ=－3。
（2） 当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩都为3时，β可由1α，2α，3α 的线性表出，并且表示方法唯一。则λ≠0且λ≠－3。
（3） 当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩相等且都小于3时，β可由1α，2α，
3α的线性表出，并且表示方法不唯一。 则λ=0。
9、判定下列各向量组是线性相关，还是线性无关： （1）1α=（3，2，0）T ，2α=（-1，2，1）T ； 解： 设k 11α+k 2
2α=0 ， 则k 1,k 2,是方程组
??
?
??==+=-0
022*******k k k k k 的解。显然 k 1=k 2=0，∴1α，2α线性无关。 （2）1α=（1，1，-1，1）T ，2α=（1，-1，2，-1）T ，3α=（3,1,0，1）T ； 解 设k 11α+k 22α+k 33α=0 则k 1,k 2,k 3是方程组
???????=+-=++-=+-=++0
00200
33213213
21321k k k k k k k k k k k k 的解 。
设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A =???????
?
?---01
11002101110311→???????
??----0220033002200311→??????
? ?
?00
0000000110031
1
。 由于方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于4，所以方程组有非零解，因此
1α，2α，3α线性相关。
（3）1α=（2，1，3）T ，2α=（-3，1，1，）T ，3α=（1,1,-2）T
。
解： 设k 11α+k 22α+k 33α=0 则k 1,k 2,k 3是方程组
???
??=-+=++=+-0
2300
32321
321321k k k k k k k k k 的解。
设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A =????? ??--0213011
10132→????? ??--021*********→???
?
? ??----05200150011
1→
?
????
?
??---0523000150011
1。 最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为
?
??
?
???
=-=+=++0523050332321k k k k k k ， 显然 k 1=k 2=k 3=0，所以1α，2α，3α线性无关。
10、 设向量组1α=（a ，2，1）T ，2α=（2，a ，0，）T ，3α=（1,-1,1）T ，试确定a 为何值时，向量组线性相关。
解： 设k 11α+k 22α+k 33α=0， 则k 1,k 2,k 3是方程组 ???
??=++=-+=++0
0020
2321
321321k k k k ak k k k ak 的
解。 则1α，2α，3α线性相关时，有：
det A =1
112
12
-a a =0。
即 （a +2）（a -3）=0，由此得 a =－2或3时
1α，2α，3α线性相关。
12、 设向量组1α，2α，…，s α线性无关（s >2）试证明下列各向量组线性无关。 （1）1α，1α+2α，…,1α+2α+…+s α；
证明： 设k 11α+k 2（1α+2α）+…+k s （1α+2α+…+s α）=0 , 则 ( k 1+k 2+…+k s )1α+ (k 2+ k 3+…+k s )2α+…+k s s α=0,
向量组1α，2α，…，s α线性无关 ,
∴ ???
????==++=++000
3221s s
s k k k k k k k
解得 k 1=k 2=…=k s =0， ∴1α，1α+2α，…,1α+2α 2
αs α线性无关。
（2）-1α+2α+…+s α,1α-2α+3α+…+s α,…, 1α+2α+…+1-s α-s α ；
证明： 设
k 1（-1α+2α+…+s α）+k
2
（1α-2α+3α…+s α）+…+k s （1α+2α+…
+1-s α-s α）=0 , 则
( -k 1+k 2+…+k s )1α+( k 1-k 2+…+k s )2α+ ( k 1+k 2+…+k 1-s -k s )s α=0。 向量组1α，2α，…s α线性无关，
∴ ??
????
?+++=++++=+++=-1
214312321s s s
s k k k k k k k k k k k k k ， ∴ ( k 1+k 2+…+k s )=s ( k 1+k 2+…+k s )， ∴ k 1+k 2+…+k s =0。
又 k i = k 1+k 2+k 1-i +k 1+i +…+k s (i =1,2, …,s )
∴ 2k i = k 1+k 2+k 1-i +k i +…+k s ， ∴ k i =0。
∴-1α+2α+…s α,1α-2α+3α…+s α,…, 1α+2α+…+1-s α-s α线性无关 。
13 、设向量组1α，2α，…，s α的秩为r ( r < s )，求证：1α，2α，…，s α中任意r 个线性无关的向量均可以成为该向量组的极大无关组。
证明： 设1α，2α，…，r α为r 个线性无关的向量。i α?（i =1，2，…，r ）显然可以由1α，2α，…，r α线性表示。i α?（i =r +1，r +2，…，s ） 假设i α不能由1α，2α，…，
r α线性表示则1α，2α，…，r α，i α线性无关。因此向量组1α，2α，…，s α秩至少为
r +1与向量组1α，2α，…，s α的秩为r 矛盾。
所以i α?（i =1，2，…，s ）都可由1α，2α，…，r α线性表示。所以 1α，2α，…，s α中任意r 个线性无关的向量均可以成为该向量组的
极大无关组。 30、下列各向量组的一个极大无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合。
（1）1α=（1，-2，5）T ，2α=（3，2，-1）T ，3α=（3,10,-17）T
；
解： 以1αT ，2αT ，3αT
为行，构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换
A =????? ??---110312
3521→????? ??---321601680521→???
?
? ??--000168052
1。 梯形矩阵非零的前两行对应的向量1αT ，2αT 就是该向量组的一个极大无关向量组，且
3α=-31α+22α。
（2）1α=（1，-1，0，4）T ，2α=（2，1，5，-6）T ，3α=（1,-1,-2，0）T ，
4α=（3,0,7，14）T ；
解： 以1αT ，2αT ，3αT ，4αT 为行，构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换
A =??????? ??---14703021165124011→??????? ??----4200420025304011→?????
?
? ??----00004
200253
04011。 梯形矩阵非零的前两行对应的向量1αT ，2αT ，3αT 就是该向量组的一个极大无关向量组，且 4α=21α+2α-3α。
（3）1α=（1，3，-5，1）T ，2α=（2，6，1，4）T ，3α=（3,9,7，10）T 。 解： 以1αT ，2αT ，3αT 为行，构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换
A =????? ??-1079341
621531→????? ??-72200211001531→???
?
? ??-3000211001531。 ∴ r （A ）=3， ∴
1α，2α，3α本身线性无关，1α，2α，3α即为一个极大无关组。
32、求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用此基础解系表示方程组的全部解。
（1）??
?
??=++=-+-=+-+0
30204214321432`1x x x x x x x x x x x
解：设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A =????? ??---010130121101111→????? ??-----023200232001111→???
?
? ??---000000232001111→
?
??????
?
?
--000
000232000
2101。 得到方程组的一般解 ?????-=-=4
3231
23
21x x x x x (其中x 3 ， x 4为自由未知量) 。 令 ???? ??43x x 分别取???? ??01和???? ??10 ，得到方程组的一个基础解系 ?????
??
?
??-=0123211η，?
?????? ??-=10102η， ∴方程组的全部解为 2211ηηηc c +=（c 1，c 2为任意常数）
。 （2）???
??=++-=++-=---0
111784035420
24321
43214321x x x x x x x x x x x x
解：设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A =????? ??-----0111784035
4201121→????? ??---01521000570001121→???
?
?
??---000000570001121→???
?? ?
?---000000570001121→???????
?
?
?
-
-00
000075100072
21。 得到方程组的一般解 ??
??
?
-=+=4
3421
75
722x x x x x (其中x 2， x 4为自由未知量) 。 令
???? ??42x x 分别取???? ??01和???? ??10， 得到方程组的一个基础解系 ??????
? ??=00121η ，??
?????
?
??-=1750722η，
∴ 方程组的全部解为 2211ηηηc c +=（c 1，c 2为任意常数）
。 （3）???????=+--+=+--+=-++-=+--+0
75554043333020
254321543215
432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
解：设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A
=
???????
?
?--------0755540433330211
11011112→
??????
?
??--------0755540433330111120211
11→
??????
?
?
?--------015999001066600533300211
11→???????
? ??
---00
00000003511100310
1。 得到方程组的一般解 ??
???
-+==5
4325135
31x x x x x x (其中x 3，x 4，x 5为自由未知量)。 令
????? ??543x x x 分别取????? ??001 ，????? ??010和???
?
?
??100 ，得到方程组的一个基础解系
???????? ??=001101η ，2η=????????
??01010 ， ?
?????
?
??
?
??-=10035313η。
∴方程组的全部解为2211ηηηc c +=+33ηc （c 1，c 2，c 3为任意常数）。
34、判断下列线性方程组是否有解，若有解，求其解（在有无穷多个解的情况下，用基础解系表示全部解）。
(1) ???????-=++=++=---=--3
33123424
42421432421321x x x x x x x x x x x x
解：设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A
=
??????
? ??------33013121304102140
142→
?
?
?
?
?
?
???
??
-----
-93237
01213061214020
2121→
????????
??
-----
-3213
01213061214020
2121→?
?
?
??
???
??
---
--
-40000121306121
4020
2121。
因为 r （A ）≠r （A ），所以方程组无解。
(2) ???????=-+=++-=-+-=-+-3
3771334
3424313214314321x x x x x x x x x x x x x
解： 设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A
=
??
?
??
?
?
??------3370710113311014341
2→
??????
? ??-----244000103210212103110
1→
??????? ?
?---244
00012200010321031101
→ ????
??
?
??---0000012200010321031101 。
则方程组的一般解??
?
??=+-=-+-=6103234432431x x x x x x x （其中3x 为自由未知量），由此可得一个特解
????
???
??-=60830γ。又导出组的一般解为?????=-=+-=0324432431x x x x x x x ，由此得到导出组的一个基础解系
????
??
? ??-=0121η 。所以方程组的全部解为 ηγγc +=0（c 为任意常数）
。 (3) ???????-=-+++=+++-=-+++-=++++7
33452622532315432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
解：设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A
=
??
?
??
?
?
??-----7133
45262210531123111111→
??????
? ??-----------26221026221026221011111
1→
??????? ?
?-000
00
0000000262210111111
→????
??
?
??----0000000
00000262210351101。 则方程组的一般解为???+---=-++=26223
55432
5431x x x x x x x x （其中3x ，54,x x 为自由未知量）。可得
到一个特解?????
??? ??-=000230γ。又导出组的一般解为???---=++=54325
4316225x x x x x x x x 。
令????? ??543x x x 分别取????? ??001，????? ??010和???
?
? ??100， 得到方程组的一 个基础解系
???????? ??-=001211η ，???????? ??-=010212η ，?????
??
? ??-=100653η 。
所以方程组的全部解为
3322110ηηηγγc c c +++=（321,,c c c 为任意常数）
。 (4) ???????=+++=+++-=+-+-=--+4
3235222
51324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
解： 设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换
A =???????
??-----43213511112112125132→??????? ??--------1101201273107021051111→
??
?
?
?
?
?
??-----035000
57100
70210
51111
。
则方程组的一般解为???
????=-=---=-=+++03557725
4433
24321x x x x x x x x x ，所以
???????===-=0
533
432
1x x x x 。 42、利用施密特正交化方法，将下列各向量组化为正交的单位向量组。
（1）,110T
1），，（=α,011T
2），，（=αT
3101）
，，（=α； 解： 令1β=T
1110），，（=α，
2β=T T
T T T )2
1
,21,1()
21
,21,0()0,1,1(11
1122-=-=-ββββαα，
3β=22
22
3111133ββββαββββααT T T T --，
=（1，0，1）T T T
)6`1,61,31()21,21,
0(---=（T )3
2
,32,32-， 再将向量组1β，
2β，3β单位化，即得到正交的单位向量组。
T
3T 2T 1)3
3,33,33(,)66,66,36(,)22,22,
0(-=-==γγγ。
（2）,221T 1），，（-=α,101T 2），，（--=αT
3735），，（--=α； 解： 令1β=T 1221）
，，（-=α， 2β=T T
T 11T 11T 22)3
1
,32,32()
32,32,31()1,0,1(---=-+--=-ββββαα
3β=22
T 22
T 311T 11T 33ββββαββββαα--
T T T )3
1
,32,32()32,32,31()7,3,5(-----+--==（T )6,3,6--。
再将向量组1β，2β，3β单位化，即得到正交的单位向量组。 T 3T 2T 1)3
2
,31,32(,)31,32,32(,)32,32,31
(--=---=-
=γγγ。 （3）,1,1111T
），，（=α,1,1332T
），，（--=αT
），，（8,6023-=α。 解： 令1β=T ）
，，（1,1111=α， 2β=T T
T T T )2,2,2,2()
1,1,1,1()1,1,3,3(1111
22--=---=-ββββαα，
3β=22
22
3111133ββββαββββααT T T T --
T T T )4,4,4,4()3,3,3,3()8,6,0,2(--+--==（T )1,1,1,1--。
再将向量组1β， 2β，3β单位化，即得到正交的单位向量组。
T T T )2
1
,21,21,21(,)21,21,21,21(,)21,21,21,
21(321--=--==γγγ。 43、设A 为正交矩阵，证明：det A = 1 或 – 1 。
证明 A 为正交矩阵， ∴A E A T
= ， 1==∴E A A T ，
即 12
=A ∴ det A = 1或 – 1 。
44、证明：如果A 为n 阶正交矩阵，则其逆矩阵A 1
-与其伴随矩阵A *
也都是正交矩
阵。
证明： A 为正交矩阵, ∴A E A T
= 。 A =T T
A A )()
(11
--=，
∴11)(--A A T =AA
1
-=E ，
∴（A *
）T
A *
=（A T
）*
A *
=**1)(A A -=E 。 ∴如果A 为n 阶正交矩阵，则其逆矩阵A
1
-与其伴随矩阵A *
也都是正交矩阵。
46、如果A ，B 为n 阶正交矩阵，求证AB 也是正交矩阵。 证明： （AB ）)(AB T =B AB A T
T
， 又 A E A T = ， B E B T
=。
∴（AB ）)(AB T =B AB A T T
= B E B T
=。
47、证明：上三角形的正交矩阵必为对角矩阵，并且主对角线上的元为1或-1。
证明： 设A =??
??
?
?
?
??nn n n a a a a a a 000
22211211 ， 且A 为正交矩阵， 则 =A A T ???????
??nn n
n
a a a a a a
212212
11000??
??
?
?
?
??nn n n a a a a a a 0
222112
11
=?
?
????
? ??++++++2222122212111122
21212
22212121111
111122
11nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
=??
??
?
?
?
?
?100010001 。 由此可得
??
????
?===========-1,0,,0,00
,,0,1,00,,0,12121
2232
2221112211nn nn n n n n a a a a a a a a a a a ∴上三角形的正交矩阵必为对角矩阵，并且主对角线上的元为1或-1。
1、求下列矩阵的特征值和特征向量 （1）A =?
??
?
??--3342
解： 矩阵A 的特征多项式为
det （）A E -λ=
3
34
2
--λλ=（）（）1*6+-λλ
由det （0=-）
A E λ可得A 的特征值1,621-==λλ 对于1λ=6，解齐次线性方程组（6E －A ）X=0，可得方程组的一个基础解系
T )1,1(1-=α 于是
A 的属于
1λ的全部特征向量为
零的任意常数）
为不等于l c c 111(α 对于2λ= 1-，解齐次线性方程组（A E --）X=0，可得方程组的一个基础解系
T )3,4(2=α，于是A 的属于2λ的全部特征向量为
22αc （为不等于零的常数）2c 。
（2） A ???
?
?
??-=110020112
解：矩阵A 的特征多项式为：
det （）A E -λ=
1
1
02
01
12
-----λλλ=)1()2(2--λλ
由det （0=-）
A E λ可得A 的特征值1,2321===λλλ 对于1λ=2λ=2，解齐次线性方程组（A E -2）X =0，可得方程组的一个基础解系
T )0,0,1(1=α，T )1,1,0(2-=α，于是A 的属于,1λ2λ的全部特征向量为2
211ααc c +（21,c c 为不全等于零的常数）
对于13=λ，解齐次线性方程组（A E -）X =0，可得方程 组的一个基础解系T )1,0,1(3-=α，于是A 的属于3λ的全部特征向量为3
3αc （为不等于零的常数）3c
（3） A =???
?
? ??---466353331
解： 矩阵A 的特征多项式为
det （）A E -λ=)4()2(4
6
6
35
3
3
31
2-+=---+---λλλλλ
由det （0=-）
A E λ可得A 的特征值4,2321=-==λλλ 对于1λ=2λ=-2，解齐次线性方程组（A E --2）X =0，可得方程组的一个基础解系T )0,1,1(1=α，T )1,1,0(2=α，于是A 的属于,1λ2λ的全部特征向量为2211ααc c +（21,c c 为不全等于零的常数）
对于43=λ，解齐次线性方程组（A E -4）X =0，可得方程组的一个基础解T )2,1,1(3=α于是A 的属于3λ的全部特征向量为33αc （为不等于零的常数）
3c （4）A =???
?
? ??001010100
解： 矩阵A 的特征多项式为
det （）A E -λ=)1()1(0
101
1
02+-=---λλλ
λλ
由det （0=-）
A E λ可得A 的特征值1,1321-===λλλ 对于1λ=2λ=1，解齐次线性方程组（A E -）X=0，可得方程组的一个基础解系T )0,1,0(1=α，T )1,0,1(2=α，于是A 的属于,1λ2λ的全部特征向量为2211ααc c +（21,c c 为不全等于零的常数）
对于13-=λ，解齐次线性方程组（A E --）X=0，可得方程组的一个基础解系T )1,0,1(3-=α，于是A 的属于3λ的全部特征向量为33αc （为不等于零的常数）3c 3、设三阶矩阵A 的特征值为λ1=1-（二重），2λ=4，试求det A 和tr A 。 解：detA=211λλλ=4 trA=212λλ+=2
5、设0λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，试证 （1） k 0λ是kA 的一个特征值（k 为常数）
证明： 设α是A 的属于0λ的特征向量，则 A αλα0= ∴ k A αλα0k = 即k A )(0αλαk =
∴ k 0λ是kA 的一个特征值。
（2）
m 0λ是A m
的一个特征值（m 为正整数）
； 证明： 设α是A 的属于0λ的特征向量，则 A αλα0= ∴A （ A )()0αλαA = 即αλα2
2=A
∴m =2时命题成立，假设m =k －1时命题成立，即αλα11
--=k k A
成立
则m=k 时，αλαλαλααK K K k k A A A A A ====---)()()(111 ∴m=k 时，命题成立。 ∴m 0λ是A m
的一个特征值。
（3） 若A 可逆，则0
1
λ是A
1
-的一个特征值；
证明： 设α是A 的属于0λ的特征向量，则 A αλα0= 又A 可逆 ∴)()(011αλα--=A A A ∴αλα0
1
1
=
-A
∴0
1λ是A
1
-的一个特征值。
（4） 若A 可逆，则
det λA
是A *
的一个特征值；
证明 ： 设α是A 的属于0λ的特征向量，则 A αλα0= 又 E A A A )(det *
= ∴ αλα*0*A A A = ∴ αλα*
0)(d e t A
E A =
初三数学(特殊值法)
专题一初中数学（特殊值法） (1)题目中没有出现具体的数据，只有倍数关系 （猜）（初一）1．一个圆柱的底面半径比一个圆锥的底面半径多3倍，高是原来的1/4，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（） A、3/4 B、27/4倍 C、12倍 D、4/3倍 （猜）（初三）2.AB=2/3AH，AG=2/3AM，三角形ACF的面积是四边形CIKE的（） （猜）（初三）3.圆O被A,B,C,D,E,F,G,H八等分，求 ①∠BEC=（）度 ②与线段AB相等的线段有（）条（不包括自己） ③BC( )1/2CE (填等于大于小于) ④八边形ABCDEFGH是圆O面积的（） （初二）4. 已知关于x的一次函数y=ax-a+1和y=(a-1)x-a+2，它们的图象交点是。 （初一）5.若a<-2，则3-│3-│a-3││化简的结果是（）
A、3-a B、3+a C、-3-a D、a-3 （初一）6.当m＜0时，m与m的大小关系为（） A、m＞m B、m＜m C、m=m D、无法确定 ★（初二）7. （初一）8.已知有理数a、b满足a＞b，则下列式子正确的是（） A．-a＜b B. a＞-b C. -a＜-b D. -a＞-b ★（初三）9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（－2，0），（，0），且。与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的下方，则下列结论①a＜b＜0；②2a＋c＞0；③4a＋c＜0；④2a－b＋1＞0中正确的是。（写出序号） （初二）10．若a、b满足，则的值为。 ★（初三）11. （初一）12.若x＞0，y＜0，且│x│＜│y│，则x+y 0。 若x<0 ，y<0，且│x│＞│y│，则x+y 0 。 ★（初二）13. A、a、b、c都不小于0 B、a、b、c都不大于0 C、a、b、c至少一个小于0 D、a、b、c至少一个大于0
小学一年级简单数学图文练习题
小学一年级简单数学图文练习题
一年级数学练习 1、想一想，连一连： 2、找规律，接着画，画满10个。 △○△○ □△○□△○ 3、（1）最短的画“√”，最长的画“○”。 （2）最轻的画“√”，最重的画“○”。 4、 ○○○○○○ 5、填一填： （1）在8、4、7、1、2、3、10中，把大于3的数写在下面。 （2）在5、9、4、2、1、6、8、中，把小于6的数写在下面。 6、在4、6、2、0、1、5、8中，一共有（ ）个数，最大的数是（ ），最小的数是（ ），左边起第3个数是（ ），右边起第2个数是（ ）。 △比○多( )，( )○( ) ○比△少( )，( )○( )
把这些数从小到大排一排：7、请你填上合适的数。 5 ＞（ ） （ ）＜8 （）＞7 2＜（）9＜（） 1＞（）（）＜（）（）＝（）8、用上、下、左、右填空。 9、看图填空： （1）第1盆开4朵，第4盆开( )朵花， （2）开3朵花的是第( )盆，它左面一盆开了( )朵，它右面一盆开了（ )朵。 10、数一数，涂一涂： 一共有（）只苹果。从左起涂第3个，从右起涂3个。 11、 在第（）层第（）间 在第（）层第（）间 在第（）层第（）间 在第（）层第（）间 1 2 3 1、小熊猫在小猴的( )面。 2、小鱼在布娃娃的( )面。 3 小马在熊猫的( )面。 4、小兔在熊猫的( )面。 5、小猴的( )面是小狗。 6、小猫的( )面是小鱼。
一年级数学（上）第五单元测试卷姓名班级成绩 一、 看图写数 二、看数画出缺少的珠子 三、按要求排顺序 1．把6、5、7、9、10、8从大到小排列。 2．把0、4、6、8、5、10、7从小到大排列。 四、在○里填上“>”、“<”或“=”。 3○5 7○9 10○8 6○5 2○8 8 4 10 9 6
简单又好玩的数学趣味练习100题汇总
1．修花坛要用94块砖，第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块(用两种方法计算) 2.王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米 3．食堂买来60棵大白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在还有多少棵大白菜 4、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元 5、二（1）班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本 6、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵 7、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（） 8、11+12+13+14+15+16+17+18+19=（） 9、按规律填数。 （1）1，3，5，7，9，（） （2）1，2，3，5，8，13（） （3）1，4，9，16，（），36 （4）10，1，8，2，6，4，4，7，2，() 10、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 （1）=1000 （2）44444=16 （3）1=22 11、用0、1、2、3能组成多少个不同的三位数 12.小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题 13、2，3，5，8，12，（），（） 14、1，3，7，15，（），63，()
15、1，5，2，10，3，15，4，（），() 16、○、△、☆分别代表什么数 （1）、○+○+○=18 （2）、△+○=14 （3）、☆+☆+☆+☆=20 ○=（）△=（）☆=（） 17、△+○=9△+△+○+○+○=25 △=（）○=（） 18、有35颗糖，按淘气—笑笑—丁丁—冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗 19、雪帆小同学有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，雪帆剩下的钱比原来少多少元 20、5个人5天吃了5个大馒头，照这个速度计算，20个人吃掉20个大馒头要用多少天 21、30名学生报名参加美术小组或者书法小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人 22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打（）个结。 23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下（）个。 24、围绕桌子一周放了一些苹果和梨，已知每2个苹果之间放有2个梨，一共有5个苹果，梨有多少个。 25、用1、2、3三个数字可以组成（）个不同的三位数。 26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是（）和（） 27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下（）盘。 28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里（三行三列的格子），使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。 29、15个小朋友排成一排报数，报双数的小朋友去打乒乓，队伍里留下（）人。
利用特殊值法巧解中考数学填空题
利用特殊值法巧解中考数学填空题利用特殊值法巧解中考数学填空题 解法二：取AE=AG的特殊位置(如图2-3)，则四边形AGPE、PFCH都是正方形。由矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍，得出PH=-PE ∵PA=-PE ∴PH=PA，易得PA=PH=PF，以P为圆心，PA为半径画圆，则∠HPF=90°∴∠HAF=45° [点评]：这道题若按常规做法解题，过程非常繁杂；针对填空题的特点，采用特殊值法，则非常方便。解法一，主要利用相似三角形的性质和勾股定理的知识，解法与学生的想法基本吻合；解法二，通过作圆的辅助线，由同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系，得出结论，具有思路新颖，解法简单的特点。 例4.如图3-1所示，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为____。(2019年辽宁省沈阳市中考题) [解析]：由题意可知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，M、N是在满足∠MDN=60°前提条件下AB、AC边上的动点，在移动过程中肯定存在MN∥BC的情况,取MN∥BC 的特殊位置，可以非常简单的求出△AMN的周长。 取MN∥BC的特殊位置，过D点作DH⊥MN垂足为H(如图3-2)，
可得△MDN也是等边三角形，∠BDM=∠HDM=30°， ∠MBD=∠MHD=90°，△MBD≌△MHD，∴MB=MH；同理可证，NC=NH，最后可得△AMN的周长=AB+AC=6。 [点评]：常规作法是延长NC到H点，使CH=BM，先证明 △DCH≌△DBM，得出∠BDM=∠CDH，∠NDH=∠NDM=60°，再证△NMD≌△NHD，得出NM=NH，最后得出△AMN的周长等于AB+AC=6。与常规作法相比，特殊值法的解法比较简单。 总之，利用特殊值法解决有关填空题，特别是对一些难度较大的题，会有很好的解题效果，这种解法充分体现了“特殊与一般”的辩证唯物主义的思想。 最后，提醒同学们两点： ①不是所有的填空题都适用特殊值法，所以一定要认真审题，要根据题的特点决定能否采用特殊值法。 ②采用特殊值法，设特殊的值或特殊的点时，一定要在允许的范围内。
人教版数学一年级下册5.2简单的计算练习题C卷
人教版数学一年级下册5.2简单的计算练习题C卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友，经过一段时间的学习，你们掌握了多少知识呢？今天就让我们来检测一下吧！一定要仔细哦！ 一、选择题 (共5题；共10分) 1. （2分） (2018一下·云南月考) 10个1角的硬币正好是1（）。 A . 元 B . 角 C . 分 2. （2分） 40角和40分比，（）。 A . 40角多 B . 40分多 C . 一样多 3. （2分）下列错误的是（） A . 4元2角＝40角 B . 7元2角比6元多1元2角 C . 1元5角比5元少3元5角 4. （2分）中国的钱币叫做（） A . 人民币 B . 美元 C . 日元
5. （2分）“1.8米 18分米”，比较大小，在里应填的符号是（） A . ＞ B . ＜ C . = D . × 二、判断题 (共5题；共10分) 6. （2分） 4.005米=4米5厘米． 7. （2分）计算605－（317＋188）时，先算加法，再算减法。 8. （2分）判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”． 42＋3＝(72) 9. （2分） 23＋16－27＝12 10. （2分） 65比45多20。 三、填空题 (共10题；共27分) 11. （1分） 0.65吨=________千克 12. （6分）填“元”“角”或“分”。 一支铅笔5________ 2瓶可乐5________ 一个气球9________ 一个书包20________ 一个铅笔盒15________ 一盒巧克力12________ 13. （5分） 6元4角＝________元 4.2元＝________角 9分米＝________米 5分＝________元 0.35元＝________分 14. （1分）填入“＞”“＜”或“＝”． 6角________1元
小学一年级数学比大小练习题
17-15__16-3 16-5__6+9 14+5__13-7 16-3__3+15 6+2__6+5 20-11__14+2 18-15__18-8 12+8__6-4 10+2__10-4 16+3__4-2 17-5__7-5 3+10__6+13 16-11__17-8 20-10__7+8 4+13__7+3 12+3__9+9 12+3__10+8 3+5__7+11 9-3__3+6 18-7__4+3 18-8__20-15 5+3__8+9 2+12__18-2 16-10__6+7 2+17__14+4 11+3__6+4 16-9__5+14 19-6__10-6 9+4__18-11 19-4__15-11 17-15__11-9 18-4__4+4 7+5__5+11 8+6__18-4 8-6__12-8 10-7__14+5 18-8__3+10 2+4__15-6 10+5__5+12 17-12__16+4 4+4__18-13 19-14__10+4 4+7__8-2 17-3__13-2 10+5__10-8 17-8__3+13 11-7__6+14 16-7__11+2 2+5__3+3 4+5__8+7 9+8__20-13 8-3__7+13 4+16__10+5 7-4__10-7 11+3__6+8 2+18__12-3 5+7__2+17 10-5__19-4 8+2__11-4 8+2__12+2 6-2__17+2 18-14__8+2 6+14__6+8 2+6__4+16 9-7__13-5 3+17__7+11 8+9__3+13 16-9__3+16 14+6__20-10 10+2__5+8 14+2__2+13 2+13__18-12 2+12__12+7 16-7__7+12 5+8__11+5 9+11__4+16 4+5__13-9 13-7__7+7 20-9__2+7 16-13__13-4 20-15__8+3 15-4__6+3 13-9__10+7 9+3__3+15 7+10__19-8 7-3__10+9 17-11__2+14 10-4__8+9 20-7__15-13 19-3__14-8 12-6__3+8 11+5__9-5 12-6__2+8 6+13__10+5 9-2__20-9 3+13__20-5 2+11__11-7 7+6__11+3 16-6__8+12 6+7__20-2 19-7__18-12 10-2__4+9 19-16__18-4 11+9__10+6 10+5__6-3 13-10__3+10 13+6__6+11 6+10__13-6 5-2__20-15 18-13__19-8 20-5__6+6 3+8__8-3 5+7__5+12 4+6__12-5 7+11__15-3 12-7__19-8 11+6__2+14 17-15__9+10 9+2__20-12 13-3__15-5 15-12__5+13 7+8__20-11 4+8__5-3 19-11__5+15 18-15__9+3 15-10__7+10 19-13__14+4 2+2__18-13 17-7__14-2 7+2__6+3 20-2__17-3 2+13__3+12 13+7__17-5 10-6__17-12 19-11__17-6 14-8__8+8 6+12__16-5 20-12__12-10 7+4__19-3 15-7__18-2 8-4__16-3 12+5__19-15 3+2__12+4 16-3__13+7 3+10__17-9 3+10__3+16 2+7__18-11 11-9__18-3 5+11__7-4 17-2__7+4 5+13__9+9 13-2__15-2 15-10__15-9 18-9__20-16 15+5__12-6 12-8__16-9 9+4__3+17 12-9__19-11 17+2__15+3 16-14__14-7 6+11__19-12 10+2__15+4 4+16__10+2 7+6__19-17 12-3__19-13 19-2__6+10 13-8__16-4 18-11__15-6 5+4__18-5 18-2__7+9 12-9__2+7 5+9__3+6 11+6__12-8 10-2__15-8 18-6__10-7 11+7__8-6 5+14__9+11 8+5__13-3 18-7__13+2 18-5__4-2 7+13__13+5 20-8__16-9 15-4__2+15 15-12__18-12 18-12__8+4 15-2__11+6 2+12__2+17 3+13__20-10 18-16__13-8 7+12__11+8 13-11__3+8 17-3__7-2 20-14__2+8 6+8__12+8 9+9__10+3 6-3__8+6 17-14__8+2 9+7__12+2 16-12__20-10 2+4__12+8 19-12__17-4 14+5__12-5 13-2__10-5 2+16__12-4 13+5__4+12 2+3__15+2 8-6__18-7 20-3__3+7 10+7__13-7 2+10__4+5 5-3__12+6 4+13__20-9 8-3__5+13 9+7__9+8 9-5__18-8 12+2__4+12 19-17__12+8 5+10__18+2 6-4__12-10 13-10__19-4
人教版二年级数学简单推理练习题
简单推理练习 例1 一只猫的重量大约是6千克，一只燕子的重量大约是（）千克 同步精练 1、1个菠萝的重量等于2个梨的重量，1个梨的重量等于3个香蕉的重量，1个菠萝的重量等于几个香蕉的重量？ 2、1只小猴重4千克，它等于2只小兔的重量，2只小兔和4只小猫重量相等，1只小兔和1只小猫共重多少千克？ 简单推理（二） 例2 小王、小徐、小刘三人中，一位是工人，一位是农民，一位是教师，已知：（1）小王比教师重；（2）小刘和教师体重不同；（3）小王和农民是朋友。谁是工人，谁是教师，谁是农民？ 同步精练 1、二年级举行数学竞赛，王非、周勇、李明取得了前三名。已知王非不是第一名，李明不 是第一名也不是第二名，请排出三人的名次。 2、佳佳、卉卉、娟娟、婷婷四人画鸡，每人画1只，有黑公鸡，黑母鸡，白公鸡，白母鸡。又知，娟娟和卉卉画的鸡都是黑色的，婷婷和娟娟画的都是母鸡。问：白公鸡是谁画的
3、盘子里有香蕉、苹果、桔子三种水果，小华说：“每人只吃一种水果，我不吃桔子。”小明说：“我既不吃苹果，也不吃桔子。”大伟问：“请你猜一猜我们三人各吃什么水果？” 4.甲、乙、丙三个人分别来自上海、南京和北京、已知：（1）甲从未在上海住过；（2）上海来的人不是乙；（3）乙不来自北京；问：这三个人分别来自哪儿？ 5、小鲁、小吕、小赵三人中，有一人在数学竞赛中获奖，老师问他们谁是获奖者时，小鲁说是小吕，小吕说不是我，小赵也说不是我，如果他们当中只有一人说了真话，那么谁是获奖者？ 课后作业 1.小明、小华和小刚都戴着太阳帽参加野炊活动，他们戴的帽子一个是红的，一个是黄的， 一个是蓝的。只知道小明没有戴黄帽子。请你判断小明、小华和小刚分别戴的是什么颜色的帽子？ 2..3个人从事不同的职业，其中只有一人是教师，他们每人说了一句话：小张说：“我 是教师。”小王说：“我不是教师。”小李说：“小张说了假话。”如果他们三人中只有一人说了真话，那么谁是教师？
小学四年级奥数题50道简单 的和答案
小学四年级奥数题50道简单的和答案 1，在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了10面。这条道路有多长？ 2，在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了18盆。这条走廊长多少米？ 3，在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球，一共可以挂多少个气球？ 4，在一条长32米的公路一侧插彩旗，从起点到终点共插了5面，相邻两面旗之间距离相等，相邻两面旗之间相距多少米？ 5，在公园一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子距离相等。相邻两把椅子之间相距多少米？ 6，有一根木头，要锯成8段，每锯开一段需要2分钟，全部锯完需要多少分钟？ 7，一根木料，要锯成4段，每锯开一处要5分钟，全部锯完要多少分钟？ 8，一根圆木锯成2米长的小段，一共花了15分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？ 9，小明爬楼梯，每上一层要走12级台阶，一级台阶需走2秒。小明从一楼到四楼共要走多少时间？
10，在一个周长是42米的长方形花园周围，每隔2米放一盆花，一共可放多少盆花？ 11，要在一个水池周围种树，已知这个水池周长为245米，计划要栽49棵树，相邻两树之间距离相等。相邻两树之间相距多少米？ 12，在一个边长为12米的正方形四周围篱笆，每隔4米打1根木桩，一共要准备多少根木桩？ 13、小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵。问第一棵和第九棵之间相距多少米？ 14、在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点一共插了10面。这条道路有多长？ 15、在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了18盆，这条走廊有多少米？ 16、在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球。一共挂了多少个气球？ 17、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到17楼，乙跑到多少楼？ 18、小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层，小红恰好跑到第5层，照这样计算，小明跑到第16层，小红跑到第几层？ 19、两名同学比赛爬楼梯，1号爬到第六层是4，2号爬到第9层，当1号爬到第十一层时，2号应爬到第几层？
一年级数学比大小题目
班别：________ 姓名：________ 学号：________ 成绩：________ 7 + 0 ○6 + 17 - 1 ○4 - 49 + 0 ○8 - 7 6 - 3 ○3 + 1 5 + 4 ○6 - 0 1 + 2 ○7 + 39 - 2 ○4 - 4 5 + 2 ○4 + 6 9 - 0 ○1 - 09 + 1 ○4 - 28 + 1 ○5 + 4 2 - 2 ○6 + 3 9 - 1 ○6 + 0 2 - 0 ○7 + 18 - 1 ○1 + 4 2 + 0 ○6 - 6 3 + 3 ○8 + 2 5 - 4 ○6 - 49 + 1 ○1 - 07 - 0 ○9 + 0 1 + 1 ○4 - 1 6 + 1 ○4 + 310 - 2 ○4 - 29 + 0 ○4 + 6 7 - 2 ○3 - 2 4 + 2 ○8 - 4 5 + 4 ○5 + 4 4 - 0 ○3 + 6 4 - 1 ○1 + 2 3 - 3 ○3 + 1 5 - 4 ○6 + 2 4 + 6 ○3 - 2 9 + 1 ○3 + 57 - 7 ○6 - 2 1 + 1 ○1 - 0 3 - 3 ○10 + 0 1 + 1 ○9 - 78 + 1 ○9 + 09 - 1 ○4 - 4 2 + 7 ○1 + 8 6 - 3 ○5 - 5 3 + 3 ○9 - 4 4 + 1 ○8 + 28 - 0 ○8 + 1 7 - 4 ○7 + 0 4 - 1 ○1 + 8 4 - 0 ○5 + 58 + 1 ○8 - 6 9 + 1 ○8 + 29 - 6 ○5 - 0 2 + 8 ○8 - 010 - 5 ○2 + 5 6 + 0 ○7 - 4 4 + 3 ○1 + 3 5 - 1 ○9 - 1 4 + 5 ○10 + 0 3 - 1 ○3 - 3 4 + 3 ○2 - 0 2 + 2 ○7 + 29 - 3 ○7 + 2 1 - 1 ○3 + 1 2 - 1 ○5 + 2 6 - 0 ○8 + 19 + 0 ○7 - 6 8 + 1 ○9 + 17 - 0 ○2 - 0 6 + 1 ○3 - 19 - 8 ○8 + 2 6 + 1 ○8 - 2 6 + 2 ○2 + 2 2 - 0 ○3 - 07 + 3 ○5 + 0 6 - 1 ○9 - 0 6 + 2 ○6 - 38 + 0 ○5 + 0 5 - 3 ○3 + 7 6 - 0 ○5 + 29 - 2 ○7 + 07 - 5 ○9 + 1 5 + 2 ○3 - 0 2 + 3 ○3 + 2 4 - 1 ○9 - 4 1 + 8 ○9 - 110 - 6 ○8 + 1 2 + 8 ○7 - 410 + 0 ○6 + 3 2 - 2 ○5 - 1 6 + 4 ○7 + 1 7 - 1 ○9 - 8 3 + 2 ○10 - 7 3 + 1 ○8 + 1 4 - 0 ○4 + 5 10 - 4 ○6 + 2 4 - 1 ○7 + 1 1 - 1 ○7 + 2 4 + 6 ○4 - 3 3 + 2 ○9 + 1 5 - 1 ○2 - 2 3 + 6 ○8 - 8 3 - 3 ○2 + 4
特殊值法解数学题
臧老师辅导课堂之 特殊值法专项训练 特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用． 1．解选择题： 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ] A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n 2．确定多项式的系数 已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值． 3．判断命题的真假 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假． 4．解证定值问题 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程 专项练习 1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] 2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？ 值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值． 4．已知a＋b＋c≠0，求证：不论a、b、c取何实数时，三 5、设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 6、如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是
[ ] A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b C．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a 巧取特殊值解选择题 山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅 我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例． 例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] （98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c， ∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）． 例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 （94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）； 再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）． （94年全国初中数学联赛题） 则[ ] A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N
二年级数学以下简单乘法练习题
二年级数学（1-5的乘法练习题） 班级姓名成绩 一、计算。 (1)3×2= (2)3×5= (3)1×2= (4)2×2+3 = (5)3×2= (6)4×2= （7)3×3= (8)3×1+2= (9)4×5+20= (10)3×5—6= (11)2×2= （12）1×4= (13)3×4= （14）4×2+3= （15）2×4-2= （16）2×3= 二、把下面的加法算式能改写成乘法算式的改写成乘法算式。 1. 2+2+2+2= ___________________ 2. 1+1+1+1= ___________________ 3. 4+4+4=___________________ 4. 3+3+3= ___________________ 三、(1)3乘5积是( )，再加上10，得( )。 (2)一个因数是4，另一个因数是4，积是( )。 (3)5乘3得( )。 四、判断，对的画“√”，错的画“×”。
(1) 3+3+3+3=4×3 ( ) (2) 5+5+5+4=5×4-1( ) (3) ○○○○○○写成乘法算式2×3或3×2( ) （4）3×2=6 读作：3×2等于6（），还是3乘2等于6（） 五、根据一句口诀写出两道乘法算式。 (1) 三五十五 (2) 四六二十四 (3) 五六三十 _____________ ______________ ______________ （（4）一三得三 (5) 二四得八 (6) 一二得二 ______________ ____________ ______________ 六、12.画一条长5厘米的线段，并标明5厘米。 13.画一个直角、一个比直角大的角、一个比直角小的角。 14.在下面的方格里，画一个直角三角形，标出直角符号。
一年级简单的奥数题(含答案)
一年级简单的奥数题（含答案） 一、填空题，共7 题，每题5分 1、1个苹果重量= 2个梨的重量 1个梨重量= 2个香蕉重量 1个苹果重量= （）个香蕉重量 【答案】4; 2、有21个小朋友排队，从前往后数小超排在第7位，从后往前数小伟也排在第7位，他们俩人之间有多少人？ 【答案】7; 3、有一组小朋友在玩捉迷藏的游戏，其中有8人已被捉住，还有4人没有捉住，问这组一共有多少人在玩游戏？ 【答案】13; 4、学校的门口挂了一排灯笼，是从第一个开始：红、黄、红、黄……，问第25个灯笼是什么颜色？ 【答案】红; 5、哥哥和弟弟手里都有一些铅笔，哥哥给弟弟5支笔后俩人的笔数才相同，那么原来哥哥比弟弟多几支铅笔？ 【答案】10; 6、有一个数比14小5，这个数是几？ 【答案】9; 7、有一个教室里的桌子上放着9支蜡烛，点着了3只，突然一阵风吹来，吹灭了2支，过了一天后教室里还有几支蜡烛？ 【答案】8; 二、解答题，共8 题，每题5分 1、比40少9的数是几？ 【答案】31; 2、13－11＋10－8＋7－5＋4－2=
【答案】8; 3、3＋18＋27＋2＋5＋15= 【答案】70; 4、外滩的钟6点钟的时候敲了6下用了5秒钟，那么12点钟的时候敲12下用几秒？ 【答案】11; 5、小刚比小明大2岁，小明比小强小4岁，那么小刚和小强谁大？大多少？ 【答案】小强，2; 6、有四个人一起玩牌，一共玩了30分钟，那么他们每人玩了（）分钟？ 【答案】30; 7、8和7的和减去9，得多少？ 【答案】6; 8、小明家养了4只白兔，2只黑兔，每只小黑兔生了4只小兔，小明家一共有几只兔？ 【答案】14;
特殊值法巧解数列题示例
特殊值法巧解数列题示例 特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用. 【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2 54252=?= a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=?=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C. 【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=?=a a ,所以 103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B. 如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！
小学一年级简单数学图文练习题
一年级数学练习 1、想一想，连一连： 2、找规律，接着画，画满10个。 △○△○ □△○□△○ 3、（1）最短的画“√”，最长的画“○”。（2）最轻的画“√”，最重的画“○”。 4、○○○○○○ △△△△△△△△△ 5、填一填： （1）在8、4、7、1、2、3、10中，把大于3的数写在下面。 （2）在5、9、4、2、1、6、8、中，把小于6的数写在下面。 6、在4、6、2、0、1、5、8中，一共有（）个数，最大的数是（）， 最小的数是（），左边起第3个数是（），右边起第2个数是（）。 把这些数从小到大排一排： 7、请你填上合适的数。 5＞（）（）＜8 （）＞7 2＜（） 9＜（） 1＞（）（）＜（）（）＝（）8、用上、下、左、右填空。 9、看图填空： （1）第1盆开4朵，第4盆开( )朵花， （2）开3朵花的是第( )盆，它左面一盆开了( )朵，它右面一盆开了（ )朵。 10、数一数，涂一涂： 一共有（）只苹果。从左起涂第3个，从右起涂3个。 11、 在 第 （ ）层 1、小熊猫在小猴的( )面。 2、小鱼在布娃娃的( )面。 3 小马在熊猫的( )面。 4、小兔在熊猫的( )面。 5、小猴的( )面是小狗。 6、小猫的( )面是小鱼。 △比○多( )，( )○( ) ○比△少( )，( )○( )
第（）间 在第（）层第（）间 在第（）层第（）间 在第（）层第（）间 1 2 3 一年级数学（上）第五单元测试卷 姓名班级成绩 一、看图写数 二、看数画出缺少的珠子 三、按要求排顺序 1．把6、5、7、9、10、8从大到小排列。 2．把0、4、6、8、5、10、7从小到大排列。 四、在○里填上“>”、“<”或“=”。 3○5 7○9 10○8 6○5 2○8 4○3 6○6 10○1 0○1 6○4 五、请你接着画△ △△△△△ 8 4 10 9 6 9 10 7
数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用
数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用 摘要：文章谈了特殊值法在高考数学解题中的应用。在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特殊值，以达到简化题目、减少思维量的效果。 主题词：数学高考特殊值法简化应用 随着高考的日益临近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。 第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，比如你平时刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。如果实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的暗示，这样你就一定能在考场上发挥出平时的水平，甚至超常发挥。 第二，在最后一个月内要准确掌握书本上的知识点，掌握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最后一题，也能保证较高的分数。 第三，在掌握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的
应试技巧来取得成功，这些技巧很多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特殊值法，等等。这里着重介绍特殊值法在数学高考中的应用。 特殊值法的定义：解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先考察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特殊值法”。［１］ 特殊值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊值成立时一般性的结果不一定成立。这是很简单的一个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。 如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 证：先证相邻对换的情形。 设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b 与排列a…abab…b的奇偶性不同。
简单的趣味数学题
简单的趣味数学题 1．哥哥今年12岁，小明7岁，哥哥比小明大几岁？两年前，小明比哥哥小几岁？5 ,5 2．妈妈今年30岁，爸爸今年35岁，妈妈比爸爸小几岁？10年后，爸爸比妈妈大几岁？5,5 3．妹妹今年6岁，两年后，妹妹比姐姐小3岁。请问姐姐今年多大了？9 4．同学们排队做操，王红前边有9个同学，后边有5个同学，这队一共有多少个同学？15 5．小红和5个同学修桌椅，后来又来了6个，现在一共有多少个同学？12 6．小明家门前有一排小树苗，柳树左边有6棵杨树，它的右边有10棵松树，这排小树苗一共有多少棵？17 7．景山公园举办恐龙展览，王老师带着15个男生，12个女生来参观，王老师应该买几张票？28
8．两位老爷爷原来各养了20只鸽子，张爷爷丢了1只鸽子，孙爷爷又养了1只鸽子。请问：现在谁养的鸽子多？多几只鸽子？孙爷爷,2 9．篮子里有100个苹果，上午卖了20个，下午又卖了40个，篮子里的苹果少了几个？60 10．笼子里鸡和鸭各有50只，后来被黄鼠狼叼走了3只小鸡，妈妈就又买了4只鸡和4只鸭，现在笼子里是鸡多？还是鸭多？多几只？鸭多,3 11．月月家养了两株美人蕉，早晨红美人蕉开了3朵花，可黄美人蕉凋谢了1朵，这时，红花和黄花的朵数同样多都是12朵，请问，原来哪株美人蕉开的花多？多几朵？黄美人蕉,4 12．王府公寓里新搬进5户居民，现在一共有42户居民，王府公寓原来有多少户居民？37 13．新学年开学后，三年级一班转来一位新同学，现在三（1）班共有50人，请问，三（1）班原来有几位同学？49 14．任老师用去了15支粉笔，粉笔盒里还剩20支，原来粉笔盒里有
趣味数学---简单的倍数关系练习题
倍数问题是指已知一个数或几个数和的和（差）及相互之间的倍数关系，求其中一个数或者几个数的问题。它包括求1倍数或几倍数问题、和倍差、差倍问题等。现在我们就来学习这三类比较简单的倍数问题。 （一）求一倍数或几倍数，公式如下： 一倍数=（几倍数±多余的数）÷倍数 几倍数=一倍数×倍数±多余的数 （二）和倍问题，公式： 一倍数=两数和÷倍数和 （三）差倍问题，公式： 一倍数=两数差÷倍数差 一、求1倍数或几倍数 1.果园有苹果1200棵，梨树的棵树比苹果树的2倍多80棵。梨树有多少 棵 2.果园有梨树2480棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。苹果树有多 少棵 二、和倍问题 3、学校图书馆有科技书和文艺书共2400本，文艺书的本数是科技书的4倍。两种书各有多少本 三、差倍问题 4．某养鸡专业户养的母鸡比公鸡多246只，养的母鸡是公鸡的4倍。养的公鸡和母鸡各多少只 课堂练习
1．园林小学二年级有学生200人，三年级的人数比二年级的2掊少18人。 两个年级共有学生多少人 2．一个长方形的长是宽的2倍少2分米。已知长是18分米，长方形的周长是多少 3．甲、乙两数的和是306，甲数是乙数的2倍。甲、乙两数各是多少 4．少先队员种杨树和柳树共248棵，其中杨树的棵树是柳树的3倍。种杨树、柳树各多少棵种杨树比柳树多多少棵 5．长江路小学开展兴趣小组活动，其中合唱队的人数是舞蹈队的4倍，合唱队比舞蹈队多72人。合唱队、舞蹈队各多少人 6．甲厂六月份生产的化肥是乙厂的3倍，比乙厂多生产化肥428吨。甲、乙两厂六月份共生产化肥多少吨 7．今年，爸爸的年龄是小强的6倍，爸爸比小强大25岁。今年爸爸和小强各多少岁 课后练习
又叫特值法,即通过设题中某个未知量为特殊值,从而通过简单的运算,得出最终答案的一种方法.
第11讲特殊值法 一、方法技巧 特殊值法 （一）定义 又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响； （二）使用条件 有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单． （三）专题目标 通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题． （四）解题思路 1．一定要按照题目所给的具体条件取值 2．所取的数值一般最大不超过5，最小不超过5-这样的整数，例如1、1-、0最常用3．将所取的特殊值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案 （四）应用类型 类型一已知中具体数量关系较少的问题 类型二化简与求值的问题 类型三恒等式问题 类型四解以“不论k为何值时”为条件的问题 类型五验证结论的正确性的问题 类型六比较大小的问题 类型七几何问题 二、应用举例 类型一已知中具体数量关系较少的问题 【例题1】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水．先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问此时甲桶内糖水
多还是乙桶内的牛奶多？ A ．甲桶多 B ．乙桶多 C ．一样多 D ．无法判断 【答案】C 【解析】 题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法． 解：令甲桶牛奶量=乙桶牛奶量=1L ，空杯子体积为1L ， 第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合， 此时乙桶内牛奶和糖水的比例为1：1，乙桶有2L ，甲桶0L ， 又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量=乙桶溶液量=1L ，且牛奶和糖水各 占一半．即甲桶内糖水=乙桶内糖水．故选C ． 【难度】一般 类型二 化简与求值的问题 【例题2】已知a 、b 满足2b a a b +=，则22224a ab b a ab b ++=++ ． A ．1 B ． 12 C ．34 D ．14 【答案】B 【解析】 满足题干条件的a 、b 的数据很多，但结果是唯一的，所以可以对a 、b 特殊化，令1a b ==，则222231462 a a b b a ab b ++==++，故选择B ． 【难度】一般 类型三 恒等式问题 【例题3】若实数x 、y 、z 满足()()()2 40x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A ．0x y z ++= B ．20x y z +-= C ．20y z x +-= D ．20z x y +-= 【答案】D 【解析】 本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答． 取特殊值：1x =，2y =，3z =，满足()()()240x z x y y z ----=， A ．12360x y z ++=++=≠, B ．2122330x y z +-=+-?=-≠
人教版数学一年级下册5.2简单的计算练习题D卷
人教版数学一年级下册5.2简单的计算练习题D卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友，经过一段时间的学习，你们掌握了多少知识呢？今天就让我们来检测一下吧！一定要仔细哦！ 一、选择题 (共5题；共10分) 1. （2分）妈妈买苹果用去7元4角，买梨用去4元7角，一共用去多少元钱？（） A . 12元1角 B . 3元7角 C . 11元 2. （2分） 30角和3元比，（）。 A . 30角多 B . 3元多 C . 一样多 3. （2分） 2元5分写出小数是（）元。 A . 2.05 B . 2.50 C . 2.5 4. （2分）中国的钱币叫做（） A . 人民币 B . 美元 C . 日元
5. （2分）下列错误的是（）。 A . 一角等于十分 B . 一元等于十角 C . 一元等于十分 二、判断题 (共5题；共10分) 6. （2分） 4元6角7分是4.67元。 7. （2分）判断对错． 0＋10得0． 8. （2分）判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”． 76－40＝(72) 9. （2分）一个加数等于和减另一个加数。 10. （2分）飞机场刚才飞走了9架飞机，还剩下26架飞机，那么原来有35架飞机（） 三、填空题 (共10题；共30分) 11. （1分）兑换钱币． 1张2元=________张5角 12. （2分）最大面值的人民币是________，最小面值的人民币是________。 13. （3分）根据题意填空： （1） 2元=________分 （2） 4角=________分 （3） 9角=________分 14. （5分）比较大小． 1元________9角 5角________5分 12角________2元