273 参数方程
27.3 参数方程
【知识网络】
1. 参数方程的概念.
2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.
3. 利用曲线的参数方程解决有关问题. 【典型例题】
例1.（1）3．将参数方程2
2
2sin (sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数)化为普通方程为 （C ）
A ．2y x =-
B ．2y x =+
C ．2(23)y x x =-≤≤
D ．2(01)y x y =+≤≤ 提示：将2
sin y θ=代入22sin x θ=+即可，但是2
0sin 1θ≤≤.
（2）参数方程为1(2x t t t y ?=+?
??=?
为参数)表示的曲线是 （D ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线 提示：2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线
（3
）直线112(2
x t t y ?
=+??
?
?=-??为参数)和圆2216x y +=交于,A B 两点，则A B 的中点坐 标为 （D ）
A ．(3,3)- B
．(3) C
．3)- D
．(3,
提示：2
21(1)()162
2
t +
+-=，得2
880t t --=，12
128,
42
t t t t ++==
中点为114324
2
x x y y ?=+??=???
???=???=-??（4）直线34(45x t t y t =+??
=-?为参数)的斜率为______________________. 54
-
提示：4553
44
y t k x t
--=
=
=-
-
（5）抛物线2
414x t
y t =??=-?
（t 为参数）在x 轴上截得的弦长为 .
提示：令0y =，得12
t =±.
当12
t =
时，2x =；当12
t =-
时，2x =-，∴抛物线与x 轴交于点(2,0),(2,0)-.
例2.分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t
t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程：
（1）θ为参数，t 为常数； （2）t 为参数，θ为常数；
解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即||1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()
()
2
2
t
t
t
t
x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
sin cos 1θθ+=，即
2
2
2
2
111()()
4
4
t
t
t
t
x y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2
t t
x e e -=±
+，即||1,0x y ≥=且； 当,2
k k Z π
θπ=+
∈时，0x =，1()2
t
t
y e e -=±
-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθ
θθ-?=+????=-
??
得222222(
)(
)cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θ
θ
θ
θ
-?=+
-
即
222
2
1cos sin x
y
θ
θ
-
=。
例3.求经过点000(,)M x y 倾斜角为α的直线l 的参数方程.
解：设点(,)M x y 为直线l 上的任意一点，过点M 作y 轴的平行线，过点0M 作x 轴的平行线， 两直线相交于点Q .规定直线l 向上的方向为正方向.
当0M M 与l 同方向或0,M M 重合时,因00||M M M M =,由三角函数定义, 有000cos ,sin M Q M M Q M M M αα==;
当0M M 与l 反方向时, 00,,M M M Q Q M 同时改变符号,上式依然成立. 设0M M t =,取t 为参数, ∵000,M Q x x Q M y y =-=-,
∴00cos ,sin x x t y y t αα-=-=, 即00cos ,sin x x t y y t αα=+=+,
∴直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α=+??=+?
.
例4.已知点(,)P x y 是圆2
2
2x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ
=??
=+?，
22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=
++
∵1)11θ?≤++≤
∴121x y ≤+≤,即2x y +
的取值范围为[1].
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
∴(cos sin )1)114
a π
θθθ≥-+-=+
-≥,
∴实数a
的取值范围为[1,)+∞.
【课内练习】
1.
与参数方程为x t y ?=??
=??为参数)等价的普通方程为 （D ） A ．2
14y
+
=2
x B ．2
1(01)4y
x +
=≤≤2
x
C ．2
1(02)4
y
y +
=≤≤2
x D ．2
1(01,02)4
y
x y +
=≤≤≤≤2
x
提示：2
2
2
22
,
11,1,4
4
y
y
x t t x x ==-=-+
=而0,011,t t ≥≤-≤得02y ≤≤
2.若曲线C 的参数方程为2
1cos 2sin x y θ
θ=+??=?
（θ为参数），则曲线C 上的点的轨迹是 （D ）
A ．直线220x y +-=
B ．以(2,0)为端点的射线
C ．圆2
2
(1)1x y -+= D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段 提示：将曲线的参数方程化为普通方程得220(02,01)x y x y +-=≤≤≤≤
3.曲线25(12x t t y t
=-+??
=-?为参数)与坐标轴的交点是 （B ）
A ．2
1(0,
)(,0)52、 B ．11
(0,)(,0)52
、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5
(0,)(8,0)9
、 提示：令0x =，得25
t =，此时1125
y t =-=
， ∴曲线与y 轴的交点为1(0,
)5
；
令0y =，得12
t =
，此时1252
x t =-+=
， 曲线与x 轴的交点为1(
,0)2
.
4.直线2(1x t t y t
=-+??
=-?为参数)被圆22
(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为 （C ）
A
B ．140
4
C
D
提示：222
112
x x t y t y ?=-+??=-+?????
=-??
=-???，把直线21x t y t =-+??=-?代入 2
2
(3)(1)25x y -++=得2
2
2
(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
12t t -=
=
12t -=
5.直线3(14x at t y t
=+??
=-+?为参数)恒过定点_____________. (3,1)-
提示：将参数方程化为乭方程得4(3)(1)0x a y -++=，当3x =且1y =-时，此方程对于任 何a 都成立，所以直线恒过定点(3,1)-.
6. 直线122(112
x t t y t ?
=-????=-+??为参数)被圆22
4x y +=截得的弦长为______________.
提示：直线为10x y +-=
，圆心到直线的距离2
d ==，
2
=
7. 已知曲线2
2(2x pt t y pt
?=?
=?为参数，p 为正常数)上的两点,M N 对应的参数分别为1t 和2t ，且120t t +=，那么M N =_______________. 14||p t
提示：参数方程2
22x pt y pt
?=?=?表示的曲线为抛物线2
2y px =，线段M N 垂直于抛物线的对称轴，
∴ 121||2||2|2|M N p t t p t =-=
8. 选取适当参数，把直线方程23y x =+化为参数方程.
解：选t x =，则23y t =+， 由此得直线的参数方程为23
x t
y t =??
=+?.
也可选1t x =+，则21y t =+， 由此得直线的参数方程为1
21x t y t =-??=+?
.
可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.
9.已知弹道曲线的参数方程为020cos 1sin 2
x v t y v t gt αα=?
?
?=-??.
（1）求发射角3
π
α=
时，弹道曲线的普通方程和射程；
（2）设0v 是定值，α可以变动，求证：当4
π
α=
时射程最大.
解：（1）发射角3πα=
时，弹道曲线的参数方程为02012122
x v t y t gt
?
=??
??=-??，
由012
x v t =
，得0
2x t v =
，
代入2
012
2
y t gt =
-
并化简，得2
2
2g y x v =-
+
.
令0y =
，得2x g
=
0x =
2g
.
∴弹道曲线的普通方程为2
2
2g y x v =-
+
2g
.
（2）证明：由弹道曲线的参数方程020cos 1sin 2
x v t y v t gt αα=??
?=-??消去t ，
得到它的普通方程为22
2
01tan 2
cos x
y x g v αα
=-
?
，由（1）知，射程为
2
0sin 2v g
α
，
∵02
π
α≤<
， ∴02απ≤<，∴当4
π
α=
时射程最大，为
2
0v g
.
10.在椭圆
2
2
116
12
x
y
+
=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值.
解：设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=???=??
，d =
o s s i n 2c o s ()3
3
π
θθθ=
-+- 当cos()13
π
θ+
=，即53
πθ=
时，min 5
d =
，此时所求点为(2,3)-.
作业本
1.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 （D ）
A ．1
21
2x t y t -
?=???=?
B ．sin 1sin x t y t =???=??
C ．cos 1cos x t y t =???=??
D ．tan 1tan x t y t =???=??
提示：1xy =，x 可取一切非零实数，而A ，B ，C 中的x 都取不到一切非零实数.
2. 直线：3490x y --=与圆：2cos 2sin x y θθ
=??
=?（其中θ为参数）的位置关系是 （D ）
A ．相切
B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆心 提示：圆的普通方程为2
2
4x y
+=，圆心(0,0)O 到直线3490x y --=的距离为
9,5
9025
<
<.
3.椭圆42cos 15sin x y θθ
=+??
=+?（θ为参数）的焦距为 （B ）
A
B ．
C
D ．
提示：椭圆的普通方程为
2
2
(4)
(1)1425x y --+
=，
椭圆可通过平移将其方程化为
22
14
25
x y '
'
+
=
，5,a c ==.
4.直线l 的参数方程为(x a t t y b t
=+??
=+?为参数)，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b
之间的距离是 .
1||
t
提示：11|||P P t =
=
=
1=
.
5.直线cos sin x t y t θθ
=??
=?与圆42cos 2sin x y αα
=+??
=?相切，则θ=_______________.
6
π
，或
56
π
提示：直线为tan 0x y θ-=，圆为22
(4)4x y
-+=，圆心为(4,0)，
由
sin |4|
cos |4sin |21
|
|
cos θθθθ
===， ∴1sin 2
θ=或1sin 2
θ=-
，
∴6
π
θ=
或56
πθ=
.
6. 动点M 作等速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于(1,1)A ，求点M 的轨迹的参数方程.
解：设动点运动的时间为t ，点M 的坐标为(,)x y ，
由题设知，19,112(0)x t y t t =+=+≥，
∴点M 的轨迹的参数方程为19112x t y t
=+??
=+?（0t ≥）.
7.设直线的参数方程为11x t y t
=+??=-?，求直线被圆22
4x y +=截得的弦长.
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得2
2
(1)(1)4t t ++-=，得2
1t =， ∴1t =或1t =-，
分别代入直线方程，得121202
,20
x x y y ==???
?==??， ∴直线与圆的交点为(0,2)A 和(2,0)B ，
||A B =
8. 设直线:38720l x y ++=，椭圆2
2
:1100
25
x
y
C +
=.求椭圆C 到直线l 的最小距离（即椭圆
上任意一点M 到直线l 的距离的最小值）.
解：把椭圆方程化为参数方程10cos (5sin x y θ
θθ=??
=?
为参数)，则椭圆上任意一点(,)M x y 为 (10cos ,5cos )θθ，它到直线l
的距离为d =
=
，
∴73
d ≥
=
， ∴椭圆C 到直线l
73