高等数学不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)

思路:52

x

-

=，由积分表中的公式（2）可解。

解：

53

2

2

23x dx x C --==-+?

★(2)

dx

-

?

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1

14111

33322

23

()2

4dx x x dx x dx x dx x x C -

-

-=-=-=-+????

★(3)22

x

x dx +?

（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2

2

3

2122ln 23

x x

x

x dx dx x dx x C +=+=++?

??（）

★(4)

3)x dx -

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

3153

22

222

3)325

x dx x dx x dx x x C -=-=-+??

★★(5)4223311x x dx x +++?

思路:观察到422

22

3311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422

32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2

21x dx x +?

思路:注意到

22222

111

1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x

=-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式

加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ?

34

134（

-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x

x x --=-+-?

????34134（

-+-）2 ★

(8)

23(1dx x -+?

思路:分项积分。 解

：2231(

323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?

? ★★

(9)

思路

=？

1117248

8

x

x

++==，直接积分。

解

：

7

15

8

88

.15x dx x C ==+?

★★(10)

221

(1)dx x x +?

思路:裂项分项积分。 解：

222222

111111

()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x

x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21

1

x x

e dx e --? 解：21(1)(1)

(1).11

x x x x x x

x

e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)

3x x e dx ?

思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然3

3x

x x

e e =（）。

解：333.ln(3)

x

x

x

x

e e dx e dx C e ==+??

（）

（） ★★(13)

2cot xdx ?

思路:应用三角恒等式“2

2cot csc 1x x =-”。

解：

22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+??

★★(14)23523x x

x dx ?-??

思路:被积函数

235222533

x x x

x ?-?=-（），积分没困难。 解：2

()2352232525.33ln 2ln 3

x

x

x

x x dx dx x C ?-?=-=-+-??（（）） ★★(15)2cos 2x dx ?

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：

2

1cos 11cos sin .2222x x d dx x x C +==++?

? ★★(16)1

1cos 2dx x +?

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：

2

21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++??? ★(17)cos 2cos sin x

dx x x -?

思路:不难，关键知道“2

2

cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。

解：

cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x

dx x x dx x x C x x =+=-+-??

★(18)22cos 2cos sin x

dx x x ??

思路:同上题方法，应用“2

2cos 2cos

sin x x x =-”，分项积分。

解：22222222cos 2cos sin 11

cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x

x x x x -==-??????

★★(19

)dx +? 思路:

==，应用公式(5)即可。

解

：

22arcsin .dx x C +==+?

★★(20)21cos 1cos 2x

dx x ++?

思路:注意到被积函数222

2

1cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++，则积分易得。 解：221cos 11tan sec .1cos 2222

x x x dx xdx dx C x ++=+=++?

?? ★2、设

()arccos xf x dx x C =+?，求()f x 。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d

f x dx f x dx =?

即可。 解：等式两边对x 求导数得：

★3、设

()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，

1()sin cos f x xdx x C ==-+?

所以

()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++?（）。

★4、证明函数21,2

x x e e shx 和x

e chx 都是s x e chx hx -的原函数

知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。

解：2x x e e chx shx =-Q

，而22[][][]x x x x d d d

e e shx e chx e dx dx dx

===1()2 ★5、一曲线通过点2

(,3)e

，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：

1

[()]d f x dx x

=，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2

(,3)e

在曲线上，适合方程，有23ln(),1e C C =+∴=，

所以曲线的方程为

()ln || 1.f x x =+

★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是2

3(/)t m s ，问：

（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y

f t =，

则由速度和位移的关系可得：

23[()]3()f t t f t t C =?=+d

dt

， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。

(1)3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；

(2)令3

360t

t =?=秒。

习题4-2

★1、填空是下列等式成立。

知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：234111

(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212

dx

d x xdx d x x dx d x =

-=--=- 2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体

变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！

★（1）

3t e dt ?

思路:凑微分。 解：

33311(3)33

t

t t

e dt e d t e C =

=+?? ★(2)

3

(35)x dx -?

思路:凑微分。

解：3

3411

(35)(35)(35)(35)520

x dx x x x C -=---=--+??d

★(3)1

32dx x -?

思路:凑微分。 解：

1111

(32)ln |32|.322322

dx d x x C x x =--=--+--?? ★(4)

思路:凑微分。

解：12

33

111

(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+? ★(5)

(sin )x b

ax e

dx -?

思路:凑微分。

解：11

(sin )sin ()()cos x

x x

b

b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a

-=-=--+???

★★(6)

思路:如果你能看到t

d d =，凑出d 易解。

解：

2C

==?

★(7)

102tan sec x xdx ?

思路:凑微分。 解：

10210

111

tan sec tan (tan )tan .11

x xdx xd x x C ==

+?? ★★(8)

ln ln ln dx

x x x ?

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：

(ln ||)(ln |ln |)

ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???

★★(9)

?

思路:

是什么，是什么呢？就是

解：tan ln |C ==-+?

?

★★(10)

sin cos dx

x x ?

思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =。

方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。 方法三：三角公式2

2sin

cos 1x x +=，然后凑微分。

★★(11)

x x dx e e -+?

思路:凑微分：222

111()x x x

x x x x x dx e dx de de e e e e e -===

++++。

解：22

arctan 11()

x x

x x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++??? ★(12)

2cos()x x dx ?

思路:凑微分。 解：

2222

11cos()cos sin 22

x x dx x dx x C ==+?

? ★★(13

)

?

思路:

22==凑微分易解。 解

：

1

2222

11(23)(23)66x d x C -=-=---=?

★★(14)

2

cos ()sin()t t dt ωω?

思路:凑微分。 解：

22

2

1

1

cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω

ω

=

=-

???

★★(15)3

431x dx x -?

思路:凑微分。

解：33444

444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x

x x x ===--=--+----???? ★(16)

3sin cos x dx x ?

思路:凑微分。 解：

332sin 111

cos .2cos cos cos x dx d x C x x x

=-=+?? ★★(17

)

9

思路:经过两步凑微分即可。 解

：

9

10

10

10111010C ===+

★★(18

)

?

思路:分项后分别凑微分即可。

解：

=-?

★★(19)

221dx x -?

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

21212dx dx x ==-?? ★(20)

2(45)xdx

x -?

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

2221454111

4(45)(45)5(45)2545(45)

xdx x dx d x x x x x --=-=------???（）（） ★(21)2100(1)x dx

x -?

思路:分项后分别凑微分即可。

解：222100100

100100100(11)(1)(1)1

(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x x dx x x x x x -+--==++-----???

★★(22)

81xdx x -?

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

2

8444444111111()()241(1)(1)1111

xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+???? ★(23)

3

cos xdx ?

思路:凑微分。cos sin xdx d x =。 解：

3

222cos

cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =?==-????

★★(24)

2

cos

()t dt ω?+?

思路:降幂后分项凑微分。 解：

2

1cos 2()11

cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω

+++==+++??

?? ★★★(25)

sin 2cos3x xdx ?

思路:积化和差后分项凑微分。 解：

111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102

x xdx x x dx xd x xdx =-=-????

★★★(26)

sin5sin 7x xdx ?

思路:积化和差后分项凑微分。 解：

111

sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424

x xdx x x dx xd x xd x =-=-???? ★★★(27)

3

tan sec x xdx ?

思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。 解：

3

222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-????

★★(28

)

arccos x

思路:

(arccos )d x =-。

解

：

arccos arccos arccos 1010

arccos .ln10

x x

x

d x C =-=-+?

★★(29

)

思路:

(arcsin )d x =。

解

：

2

arcsin 1

arcsin (arcsin )

d x C x x ==-+?

★★★★(30

)

dx

思路:

(arctan ==。

解

：

==?

★★★★(31)

ln tan cos sin x

dx x x ?

思路:被积函数中间变量为tan x ，故须在微分中凑出tan x ，即被积函数中凑出2

sec x ，

解：

2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x

dx dx d x xd x x x x x x ===????

★★★★(32)

21ln (ln )x

dx x x +?

思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+

解：

22

1ln 11

(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x

x x x x +==-+?? ★★★★(33)

1x dx e -?

解：方法一：

思路:将被积函数的分子分母同时除以x

e ，则凑微分易得。 方法二： 思路:分项后凑微分 方法三：

思路:将被积函数的分子分母同时乘以x

e ，裂项后凑微分。

★★★★(34)

6(4)dx

x x +?

解：方法一: 思路：分项后凑积分。

方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x

t =，则21

dx dt t

=-。 ★★★★(35)

82(1)dx

x x -?

解：方法一: 思路：分项后凑积分。

方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x

t =，则21

dx dt t

=-。 642642

275375

1111(1)(

)(1)()2111

11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定

积分。

知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。

思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的

作用。

为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。

★★★(1

)

思路:令sin ,2x t t π

=<

，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。

解：令sin ,2

x

t t π

=<

，则cos dx tdt =。

tan arcsin .2t t C x C =-+=（或arcsin x C =+）

（万能公式sin 1cos tan

21cos sin t t t t t

-==

+，又sin t x =时，cos t =） ★★★(2)

dx x

?

思路:令3sec ,(0,)2

x t t π

=∈，三角换元。

解：令3sec ,(0,)2

x

t t π

=∈，则3sec tan dx t tdt =。

（3sec x x =时，3

cos ,sin tan x x x x

==

=） ★★★(3)

思路:令tan ,2x t t π

=<

，三角换元。

解：令tan ,2

x

t t π

=<

，则2

sec dx tdt =。

★★★(4)

思路:令a tan ,2x t t π

=<

，三角换元。

解：令tan ,2

x

a t t π

=<

，则2

a sec dx tdt =。

★★★★(5)

2

思路:先令2

u x =，进行第一次换元；然后令tan ,2

u t t π

=<

，进行第二次换元。

解：222

12=Q ，令2u x =得：

2

12=，令tan ,2

u t t π=<，则2

sec du tdt =， （与课本后答案不同）

★★★(6)

思路:三角换元，关键配方要正确。

解：2

2

549(2)x x x --=-+Q ，令23sin ,

2

x t t π

+=<

，则3cos dx tdt =。

★★4、求一个函数

()f x ,满足'()

f x =

(0)1f =。

思路:

(0)1f =确定出常数C 的值即可。

解：(1).

x C =+=Q

令()f x C =+，又(0)1f =，可知1C

=-，

★★★5、设tan ,n n

I xdx =?，求证：1-21

tan 1

n n n I x I n -=

--，并求5tan xdx ?。 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan

n

x 分开成22tan tan n x x -，进而写成：

22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-，分项积分即可。

证明：222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-????

习题4-3

1、 求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。

思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分

的练习。

★（1）

arcsin xdx ?

思路:被积函数的形式看作0

arcsin x

x ，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数0x 优先纳入到微分号下，凑微分

后仍为dx 。

解：2

1arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+

-??

★★（2）

2

ln(1)x dx +?

思路：同上题。

解：22

2

2

22

22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x

+=+-=+-++??? ★（3）

arctan xdx ?

思路：同上题。

解：222

(1)

arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x

+=-=-++???1 ★★(4)

2sin 2

x

x e dx -? 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：22221111sin sin ()sin cos 22222222

x x x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+???Q

★★(5)

2

arctan x

xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：32

332

111

arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x

dx x ==-+??? ★(6)

cos 2

x

x dx ? 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2222222

x x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-???? ★★(7)

2tan x xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-?????d ★★(8)

2ln xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

222211ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x

x =-??=-=-+?????

★★(9)

ln(1)x x dx -?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：22

211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x d

x x dx x -=-=---??? ★★(10)22ln x

dx x ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：22

2222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x

=-=-+?=-+????

★★(11)

cosln xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：1

cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x =+?=+???Q

★★(12)2ln x

dx x ?

思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。

★★(13)

ln (1)n

x xdx

n ≠-?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：111111

ln ln ln 111n n

n n x x xdx xd

x x x dx n n n x

+++==-?+++??? ★★(14)

2x

x e dx -?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

222222x

x x x x x x e

dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+???

★★(15)

32(ln )x x dx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln 444x x dx x d x x x x x dx x ==-????? ★★(16)ln ln x

dx x ?

思路：将积分表达式ln ln x

dx x

写成ln ln (ln )xd x ，将ln x 看作一个整体变量积分即可。

解：ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x

==-??=-????

★★★(17)

sin cos x x xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：

11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244

x x xdx x xdx xd x x x xdx ==-=-+???? ★★(18)22cos 2

x x dx ? 思路：先将2cos 2x 降幂得1cos 2

x +，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即

可。

解：

22

22221111

cos (cos )cos 22222

x x dx x x x dx x dx x xdx =+=+?

??? ★★(19)

2

(1)sin 2x

xdx -?

思路：分项后对第一个积分分部积分。 解：

222

11(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222

x xdx x xdx xdx x d x x -=-=-+????

★★★(20

)

?

思路：首先换元，后分部积分。 解：

令t =

，则32,3,x

t dx t dt ==

★★★(21)

2(arcsin )x dx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解

：22

(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-?

?

222(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.

x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+?★★★

(22)

2sin x

e

xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一： 方法二：

★★★(23

)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解

：

ln(1))1x d x dx x =++-+??

令t =2,dx tdt =

所以原积分

)x C =+-。

★★★(24)ln(1)

x x e dx e +?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：ln(1)ln(1)()ln(1)1x x x x x x x

x x

e e dx e d e e e e dx e e ---+=+-=-+++??? 注：该题中

1

1x dx e +?的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）。

★★★(25)1ln 1x

x dx x +-?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：2222

111111111ln

ln ()ln 1122121(1)

x x x x x x

x dx d x x x dx x x x x x +++--++==-?---+-?

?? 注：该题也可以化为

1ln

[ln(1)ln(1)]1x

x dx x x x dx x

+=+---??再利用分部积分法计算。 ★★★(26)

sin 2cos dx

x x ?

思路：将被积表达式sin 2cos dx

x x 写成22

sec tan 2sin 2sin 2sin cos dx xdx d x x x x x ==，然后分部积分即可。 解：22sec tan sin 2cos 2sin 2sin 2sin cos dx dx xdx d x

x x x

x x x ===????

2、 用列表法求下列不定积分。

知识点：仍是分部积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解

出，不用列表法。

★(1)

3x xe dx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

33333331111111()3().3333933

x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e d x x e C ==-=-=-+???? ★(2)

(1)x x e dx +?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

(1)(1)(1)x x x x x x e dx x de x e e dx xe C +=+=+-=+???

。 ★(3)

2

cos x

xdx ?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

2222cos sin sin 2sin sin 2cos x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+???? ★(4)

2(1)x x e dx -+?

思路：分项后分部积分即可。 解：

2

22(1)()x x x x x x

e dx x e dx e dx x d e e dx -----+=+=-+?????

★(5)

ln(1)x x dx +?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：2

22111ln(1)ln(1)()ln(1)-2221

x x x dx x d x x x dx x +=+=++???

★(6)

cos x

e xdx -?

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：cos cos ()cos sin x

x x x e

xdx xd e e x e xdx ----=-=--???Q

★3、已知

sin x

x

是()f x 的原函数，求()xf x dx '?。 知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。 思路分析：积分

()xf x dx '?中出现了()f x '，应马上知道积分应使用分部积分，条件告诉你

sin x

x

是()f x 的原函数，应该知道

sin ().x

f x dx C x

=

+?

解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx '=-???Q

d()=

又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x x

f x dx C f x xf x x x x

--=

+∴=∴=?

Q

★★4、已知

()x

e f x x

=

，求

()xf x dx ''?。

知识点：仍然是分部积分法的练习。 思路分析：积分()xf x dx ''?中出现了(f x '')，应马上知道积分应使用分部积分。

解：()(())()()()().xf x dx xd f x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+???Q

又22(1)(1)(,(),();x x x x x e xe e e x e x f x f x xf x x x x x

---''∴=∴Q )=== ★★★★5、设n

I =

sin n dx x ?，(2)n ≥；证明：211cos 2

1sin 1

n n n x n I I n x n ---=-?+--。 知识点：仍然是分部积分法的练习。 思路分析：要证明的目标表达式中出现了n I ，

1cos sin n x x -和2

n I -提示我们如何在被积函数的表达式1

sin n x

中变出1cos sin n x x -和21

sin n x -呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的介绍，这里1可变为

22sin cos x x +。

证明：2

2sin

cos x x +Q 1=

2222222221222-1sin cos cos sin cos 1

sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n n n n n dx x x x x x I dx dx dx dx dx x x x x x x

x x dx I d x I x x x x x n x x x x dx I x x x I x -----+∴===+=+=+=+-?-=-?+=+?????????22

222212222112.

1cos cos 1sin sin sin sin cos cos (2)sin sin 1cos 2

1sin 1

n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x n dx I I n dx I x x x x x I nI nI I nI n I x x

x n I I n x n --------------++=+++=++-+=+---∴=-?+--??★★★★6、设

f x ()为单调连续函数，f x -1()为其反函数，且()()f x dx F x C =+?，

求：

1

f

x x -?()d 。

知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白1

(())x f f x -=这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。

解：f

x x x f x x f x ??Q

-1

-1-1()d =()-d(())

又1(())x f f x -=Q

又()()f x dx F x C =+?Q

习题4-4

1、 求下列不定积分

知识点：有理函数积分法的练习。

思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函

数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。

★(1)3

3x dx x +?

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

解：33272727

39333x x x x x x x +-==-+-+++Q 2 ★★★(2)5438x x dx x x +--?

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

解：545342323338()()()881,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

+--+-+-++-+-==+++---Q

22

而3

(1)(1),x

x x x x -=+-

令23811

x x A B C

x x x x x +-=++-+-，等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

118A B C C B A ++=??-=??=?解此方程组得：843A B C =??=-??=-?

★★★(3)

33

1dx x +?

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：3

2

1(1)(1)x x x x +=+-+Q ，令

32

3111

A Bx C

x x x x +=+++-+等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

?????A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得：112A B C =??

=-??=?

★★★(4)

31

(1)x dx x +-?

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

323

11(1)(1)(1)x A B C

x x x x +=++

----，等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

0,21,

1A B A A B C =-=-+=，解此方程组得：0,1,2A B C ===。

★★★(5)

332

(1)x dx x x ++?

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：3333232(1)(1)(1)x x x x x x +=++++Q

，令

323

21(1)(1)(1)A B C D

x x x x x x =+++++++

等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：

0320302A B A B C A B C D A +=??++=??+++=??=?解此方程组得：2222

A B C D =??=-?

?

=-??=-?。

★★★(6)

2(2)(3)xdx

x x ++?

思路：将被积函数裂项后分项积分。

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所

示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2

高等数学不定积分习题

第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。

48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec

15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]

同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节不定积分的概念与性质 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 =， s s t () 则质点在时刻t的瞬时速度表示为 =． () v s t' 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度 v v t =， () 求出质点的位移函数 =． s s t () 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．

1.1.1原函数 定义 1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以 sin x 是 cos x 在 (,) -∞+∞上的一个原函 数．1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是1x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x

高等数学不定积分练习题

作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。

作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222

(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案

不定积分 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则 ()f x dx =? 。 2. 若()2cos 2 x f x dx C =+?，则()f x = 。 3. 设1 ()f x x =，则()f x dx '=? 。 4. ()()f x df x =? 。 5. sin cos x xdx =? 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设3 ()ln sin 44 f x dx x C =+?，则()f x =（ ）。 A . cot 4x B . cot 4x - C . 3cos4x D . 3cot 4x 2. ln x dx x =?（ ） 。 A . 2 1ln 2x x C + B . 2 1ln 2 x C + C . ln x C x + D . 221ln x C x x -+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。 A . ()()f x dx f x ' ??=?? ? B . ()()d f x dx f x ??=?? ? C . ()()f x dx f x '=? D . ()()df x f x =? 4. 下列凑微分式中（ ）是正确的。 A . 2 sin 2(sin )xdx d x = B . d = C . 1ln ()x dx d x = D . 2 1 arctan ()1xdx d x =+ 5. 若 2()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=?（ ） 。 A . 22 2(1)x C ++ B . 22 2(1)x C --+ C . 221(1)2x C ++ D . 221 (1)2 x C --+ 三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 21 94dx x -? 2. 3. dx x ? 4. arcsin xdx ? 5. dx x x x ?++21arctan 6. .) 1(212 2 2 dx x x x ?++ 四、综合题（本大题共2小题, 总计22分） 1.（10分）求?'''?-'dx x f x f x f x f x f ]) () ()()()([3 2的值。 2.（12分）设()F x 为()f x 的一个原函数，当0x ≥时有2 ()()sin (0)0,()0f x F x x F F x ==≥且,求()f x 。

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2，则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x，则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30

高等数学不定积分讲义

第3、4 次课 4 学时

不定积分的概念与性质 1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念. （1）定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ，都有 ()'()F x f x =或()dF x =?dx x f )(， 那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数. （2）原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数 ()F x , 使对任一x I 都有F (x ) ()f x . 注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数. ()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数) ; 2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果 (x )和()F x 都是()f x 的原函 数,则 ()()x F x C Φ-=(C 为某个常数). 简单地说就是,连续函数一定有原函数. 定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或?dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ?dx x f )(, 其中记号? 称为积分号, ()f x 称为被积函数, ?dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量. 3、例题讲解. 例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?2 1. 例 2. 求函数x x f 1 )(=的不定积分 解：当0x >时，(ln x ) x 1=，C x dx x +=?ln 1(0x >). 、