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高数重修试题

一

（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=

，问λ和μ有什么的关系，能使得

b a

μλ+与z 轴垂直？

（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的面积。

（3）已知23,3,2,1,,3

A a b

B a b a b a b π=+=-===

求,B

A B prj A ?

（4）设向经,522k j i M O ++=

从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向

量Q P

和长度。

（5）分别画出2

23y

x z +-=,2

211y x z ---=方程所表示的曲

面。

（6）求上半球2

220y

x a z --≤

≤与圆柱体)0(22>≤+a ax

y x 的公共

部分在xoy 坐标面上的投影。

（7）求两平面012=+-+z y x 和012=-++-z y x 角平分面的方程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直

（8）求过点)1,2,1(-，并且平行直线

线方程。（9）求直线

2-+=-=+z y x 与平面08332=-++z y x 的交点和夹角。

（10）求点)0,2,1(-在平面012=+-+z y x 上的投影。（11）求点)1,3,2(在直线

7+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线

（13）求直线22x y z

=??

=?绕z 轴旋转一周的曲面方程并画出它的大致图形。

（14）求过直线026

x y x y z +=??-+=?且切于球面2229x y z ++=的平面方程。

（15）设122112:

x y z x y z L L -++-=

（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平面π；（2）在平面π上求一过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹角相同。二：（1）求

)sin(1lim

)

0,0(),(--→xy xy y x 。

（2）设2

()

y z f x y =

-，求

x z

????,

，f 可导。

（3）设(32,)z f x y xy =-，(,)f u v 二阶偏导连续，求

z x z ????,， 2

x x y ????? （4）设)(y x y z φ=，求y z x z ????,

，2

2,z

x x y ?????

（5）求由22

222

2320

z x y

x y z ?=+??++=??所确定的隐函数的导数：,dy dz dx dx

（6）设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定

的函数),(y x f z =满足c y

z b x

z a =??+??。

（7）

21)

(,,)xyz

y f x y z y

+=（,则=)1,1,1(x f ,(0,1,1)yy f = ，

(1,1,1)zzz f = 。

（8）设函数()y x z z ,=由方程()()0sin 1ln =-+-xy z z 确定，则

=dz .

（9）若二元函数),(y x f 满足()xy x y x f x 2cos ,+=，()y

y e x y x f +=2

,且

()10,0=f

，则

=),(y x f .

（10）设()()(),,sin sin sin f x y z x y z =，则z f =_____________________.

（11）设2u x y =-，3v x y =+，变换方程2

60z z z x

x y

???+

=????

三：

（1）求曲线

sin ,1cos ,112

4sin ,2

x t t y t t z π

?=-?

=--???=?在（

，的切线方程和法平面方程。

4532032

22=-+-=-++z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线及法平面方程。

（2）求曲线

（3）椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程。（4）设(),,0F u v w =，其中函数(),,F u v w 具有连续偏导数，在()1,1,1处法向量()1,2,3n =

，求曲面()23,,0F x y z =在()1,1,1处的切平面方程。

（5）求函数222z y x u ++=在曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处，沿曲线在该点的切线正方向的方向导数。

（6）设(),z z x y =是由方程30z xz y +-=所确定隐函数，问在

()(),0,1x y =处，

1. 沿什么方向z 的增长率最大？

2. 函数在该点沿此方向的方向导数是多少？

（7）设曲面∑是由曲线2

x y =绕着x 轴旋转而得，求∑上点???

? ??22,

22,1处的一个单位法向量。

（8）

1.0),(,0),(0000==y x f y x f y x 是),(y x f 在),(00y x 取得极值的条件，A:充分， B 必要， C 充分必要， D 无关

2.),(y x f 在),(00y x 点有极限是),(y x f 在),(00y x 有偏导数的条件，A:充分， B 必要， C 充分必要， D 无关

3.),,(z y x f 在),,(000z y x 点沿任意方向有方向导数是),,(z y x f 在),,(000z y x 的条件，A:充分， B 必要， C 充分必要， D 无关（9）曲面∑满足方程1y z x

x y z ++=，求曲面∑在(1,2,1)点

的切平面方程。

（10）

求函数ln[u x y z =+++在(1,1,1)点的最大方

向导数，并求出取得该最大方向导数的方向向量在方向(1,2,1)上的投影。 (11) 设函数()y x f ,y y ax x a 22++-=定义在区域0>x ，如果()y x f ,在点()00,y x 处取得极值，试指出实数a 的取值范围并问()00,y x f 是极大值还是极小值？

（12）求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离。（13）设长方体三个面在坐标面上，其中一个顶点在平面

1x y z a b c

++=，且

0,0,0a b c >>>.问：长方体的边长为多少时，其体积最大.

四：

（1）化下列二重积分为二次积分：

σd y x f D

),( D 1.是由x y x y ==2

2,所围；2是由0,1,===x y x y 所围；

3. 是由2,1,==

=x x

y x y 所围；4. 是由x y x y =-=2

,2所围；

（2）计算二重积分： 1.1

sin()x

dx y dy ??

2. ()??+=

yd x x I σ

||，其中D ：y y x y 222≤+≤.

3.32(D

y x y x σ++??，其中22{(,)|2}D x y x y x =+≤。

4.cos()d D

x y σ+??，其中:,0,2

D y x y x π

===

所围。

（3）改换二次积分??

--2

222

),(x

x x dy y x f dx 的积分次序。

（4）把积分??

-+a y

a dx y x dy 0

2)(化为极坐标形式，并计算积分值。

（5）

2sin 2

(3sin 2)d d π

?ρ?ρρ-?

（6）设立体Ω由曲面z =及2

2z x y =--所围，试计算该立体的

体积.

（7）设一密度为μ的匀质立体Ω由曲面222y x z +=以及平面1=z 与

2=z 所围成，求Ω关于z 轴的转动惯量z I ，22

()z I x y dv Ω

+???

（8）设(){}

1|,,2

≤++=

z y x

z y x Ω，求()???Ω

++dV z y x 2

（9）利用三重积分计算由曲面22,4z x y z =+=所围立体的质心（设密度1=ρ）。五：

（1）计算对弧长的曲线积分： 1.

?+L

x ds e

2其中L 为圆周2

22a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内

所围成的扇形的整个边界。 2.

?Γ

yzds x

，其中Γ为折线ABC ，这里A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、)2,0,0(、

)2,1,1(；

（2）计算对坐标的曲线积分：

?-++

dy x y dx y x )()( 其中L ：抛物线

x y =2

上从点)1,1(到点)2,4(的直线段。

（3）利用格林公式计算：1.

?-+-L

dy xy y dx xy x

)2()(2

，其中L 是四个

顶点分别为)0,0(、)0,2(、)2,2(和)2,0(的正方形区域的正向边界。

2.?+-++-l

dy x xy x dx y xy )4()32(3

24，其中L 为上半圆x y x =+2

2从点

)0,1(到点)0,0(

3222

(2cos )(12sin 3)l

xy y x dx y x x y dy -+-+?，其中L 为摆线

sin ;1cos x t t y t =-=-上从点)0,0(到点(,2)π的一段弧。

（4）计算曲线积分y d y

x y

dx x

y x

I L

=arctan

1arctan

1.L 为点???

??21,

23A 到点B (

)

1,3的有向直线段；

2.L 为由圆弧42

=+y x ，12

=+y x ，直线x y 3

3=，x y 3=围成的

在第一象限的逆时针方向的闭曲线.

（5）验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u ：

1. dy y x dx y x )2()2(+++；

2. y e x x ye e x y x y d )e (d )(+++

（6）求

ydx xdy x y

-+?

,其中L 是逆时针方向运行的椭圆1342

=+y

。

（7）求摆线)0()cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 的质心，其中密度为常数。

六：

（1）计算对面积的曲面积分：??∑

+--dS z x x xy )22(2

其中∑为平面

622=++z y x 在第一卦限的部分。

（2

）求球冠0z h z a =≤≤≤的曲面面积。

（3）计算对面积的曲面积分：??∑

+dS z y )(其中∑为锥面2

2y x z +=

被柱

面x z 22=所割下部分的曲面面积（4）求积分

dS z y x )(2

22++??

∑

，∑是圆柱面;422=+y x

.40≤≤z

（5）计算对坐标的曲面积分：??∑

dxdy z x 2

2，其中∑为球面2

222R

z y x =++的下半部分下侧。

（6）计算对坐标的曲面积分：

??∑

++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz

)2()(2

322

，其中∑为上半部分球面

,0a y x y x a z ≤+--≤≤的表面外侧。

（7）计算对坐标的曲面积分：

332

(2sin )(cos 3)(22)xy y z dydz x yx z dzdx x y z dxdy

∑

+++-+++-??其中∑是曲面122

-+=y x

z ；位于1≤z 的下侧。

（8）求力F y i z j x k =++

沿闭曲线Γ作的功，其中Γ为平面

1x y z ++=被三坐标平面所截成的三角形的整个边界，

从

轴正向看，取逆时针方向．

七：

1. 判定下列级数的收敛性：（1） ++

+++

1()3

（2）)1

32(

1∑∞

=++n n n （3）n

n n

n )1(

∑∞

=+ （4）∑

∞

=??

??+0

1131n n

（5）∑∞

=-+-2

)

1(n n n n （6）

∑

∞

=-0

)1(n n

n （7）∑

∞

ln )

(ln 1n n

2求下列幂级数的收敛区域：

（1）∑

∞

=+1

32n n

n x n

(2)2

(1)n n x n

∞

=-∑

(3)21

(1)

n n

n x

n +∞

=-+∑

3. 求下列级数的和函数：

（1）∑

∞

=+1

n n

n x

（2）∑

∞

=++0

12(!1n n x

n n （3）∑

∞

=--1

12n n n

4.将函数2

x xe y =展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间。 5. 将函数6522

+-=x x x y 展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间。

6. 将函数x

y 1=

展开成2-x 的幂级数，并求展开式成立的区间。

7.将函数x y 2ln =展开成1-x 的幂级数，并求展开式成立的区间。

8.设()f x 是以2π为周期的函数，0()0

0x x f x x ππ

-≤

≤

∑∞

=++

10)

sin cos (2n n n

nx b nx a

a ，求系数

22,,

a b 以及级数

∑∞

=++

0)sin cos (2

n n n

nx b nx a

a 在ππ3,2-==x x 的值。

9. 将函数)0(2

)(ππ≤≤-=x x

x f 展开成的正弦级数和余弦级数.

高等数学1试卷(附答案)

一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2．设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3．函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5．函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +

暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名：学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）

高等数学重修下B试题

上海应用技术学院2010—2011学年第 2 学期《高等数学工（2）》期（末）（B ）试卷课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 100 分钟课程序号: 1028835 1028833 1029591 班级：学号：姓名: 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。试卷共 5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。一．填空题（每空格2分，共计30分）（1）设)ln(),(2 2 y x y x f +=，则：=),(kx x f 。（2）设函数),(y x f z =在),(00y x 处可导，且a y x f x =),(00，b y x f y =),(00 则：=?-?+→?y y x f y y x f y ) ,(),(lim 00000 ， =??--?+→?x y x x f y x x f x ) ,(),(lim 00000 。（3）设3 2y x e z =，则：=dz 。（4）函数2 2 2 z y x u ++=在点)1,1,1(沿→ → → → ++=k j i l 32的方向导数 =??) 1,1,1(l u ，=)1,1,1(gradu 。（5）二次积分 ? ? -x dy y x f dx 10 10 ),(在直角坐标系下的另一种积分次序是，在极坐标系下的二次积分式是。（6）将三重积分 ???Ω dv z y x f ),,(化成直角坐标系下的三次积分，其中Ω是平面 1=++z y x 与坐标平面所围成的位于第一挂限的立体区域。

=???Ω dv z y x f ),,( 。（7）L 是平面上任意一条闭曲线，则：? =+L ydy x dx xy 22 。（8）曲线?????==-012 222z b y a x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程。（9）级数∑∞ =?? ? ??132n n 的和是。（10）正项级数 ∑∞=1 n n u ，∑∞ =1 n n v 如果满足l v u n n n =∞→lim ，（+∞<

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'，当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ．通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

大学高数考试挂科检讨书范文精选五篇

大学高数考试挂科检讨书范文精选五篇考试是检查我们学习情况的一种方式，而我们考试成绩不理想的话就说明我们没有很好的掌握知识，那么就需要加倍努力了。下面是 ___网的收集的关于大学高数考试挂科检讨书范文，欢迎借鉴参考。尊敬的老师：关于此次高数考试挂科的问题，我在此递交考试挂科的检讨书，由此来深刻反省我的错误，向您做出如实保证，并且提出诚恳改正措施，最大程度地弥补错误。回顾错误经过，我在上一阶段数学学习过程当中出现了严重的厌学问题，一度数学课几乎没有认真地听，导致多门课程的知识点没有掌握。最终导致了此次单元数学考试不及格，得到了全班最低分。面对错误，我感到羞愧万分，此次错误充分地暴露出我思想上存在着放松、懈怠自己的诸多问题。林林总总的问题，归根结底还是我不够成熟，没有充分意识到学习数学的重要性。特此，我向您保证：

1、我今后一定提高自己对于数学这门学科的充分认识，努力提高自身学习素质，做到不偏学不偏科，不懈怠学习。 2、我一定努力进去，认真学习数学，提高数学成绩，争取在下阶段数学考试当中取得好成绩。 3、我必须充分地以此次错误为戒，反省自己，重新定位自身，争取早日成为一名德智体美劳全面发展的好学生。总结，我愿意接受大家的监督! 检讨人：xx 20xx年xx月xx日尊敬的导员：您好!

这次高数考试我考的非常差，没有及格，原因在我平时上课没有认真学习，快要考试了才知道复习，自己高数底子差，上课时不努力下课后不练习，成绩提不上去。这次挂科让我明白了学习需要勤奋，不能在大学期间浪费时间，而且如果我补考不能过，就得重修，我可不想在花时间重新学一遍高数。过去我上高数课，不是看手机，就是看课外书籍，从来就没有一天认真学习过。高数本来就比较难，我自己还不努力。我进入大学后认为上大学不需要如同高中时那么努力。拿个文凭很简单，可是如果我连续多次考试不合格，想毕业都难。在高中时我的成绩不错，到了大学，我就开始不重视学习，而每天都在浪费青春，浪费上课时间，学习不知道努力。如果不是这次挂科，我还沾沾自喜，可能会一直这样学习下去，这不但不能学到任何东西，反而会错过了大学提升自己的机会。高数成绩差，我会从今以后好好努力，会加油赶上，不浪费时间，也不去做其他与学习无关的东西，努力提升自己的学习成绩，在大学也争取进入全校前十。进入大学后，总认为大学可 ___安排，但我忘记一点，那就是大学需要靠我们自己积极学习，在大学靠的的是自主学习，不会有老师逼迫你学习，我不知道珍惜时间，只因为自己不喜欢学习高数，

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

同济大学大一高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。，在处连续。 13.解：，四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明：故有：证毕。

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]

《高等数学》试卷（同济六版上）一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（）. A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________.

三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .

高等数学练习答案1-10

习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高数重修1习题详解

第1章函数与极限 1.用区间表达函数)4arcsin() 3ln(-+-= x x x y 的自然定义域]5,4()4,3(?. 解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(?. 3.已知1)1(2++=+x x x e e e f ,求)(x f 的表达式. 解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x x x e e e e e f ，所以1)(2+-=x x x f . 解法2：令1+=x e u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x x x e e e f ，得 11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0 . 6.=+ →x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为不存在 . 解：在极限x x x +→0lim 中，+ →0x ，此时0>x ，所以11lim lim lim 000===+++ →→→x x x x x x x ，在极限x x x -→0lim 中，- →0x ，此时0

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二）一、填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

高等数学习题解答1-9

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题 1、A 2、D 3、C 二．填空题 1、2 2)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解函数要有意义，必须满足 ???≥-≠0102 x x 即? ??≤≤-≠110 x x 定义域为]1,0()0,1(?- （2）解函数要有意义，必须满足 ??? ? ??? ≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解由11+-= x x y 得 y y x -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112 >+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11≤≤-x ，此时12 1 -=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2 -====x w w v v u e y u (2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u e y w u 2) sin(3 2==+=== 6．解 ?? ???-≤+≤<-+->-=1 101) 1(0)]([2 2x x x x x x x f g 7．解设c bx ax x f ++=2 )( 所以?? ? ??==++=++41242c c b a c b a 解得 2 521 4 -== =b a c

习题二一．单项选择题 1、A 2、B 3、D 二．填空题 1、>1 2、单调增加三．计算题 1、（1）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数（2）解因为)()1ln(11ln )1ln()(222 x f x x x x x x x f -=-+-=-+=++=- 所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000) 1(0100 01)(x f x x x x x x x x x x x f -=?? ? ??>+-=<--=?????<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解因为 x x y 2cos 2 1 21sin 2 -= = 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解由h r V 231π= 得23r v h π= 表面积： )0(919221226224222 222≥++=++=+?+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ 四证明 )() 1() 1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=--- 习题三一．单项选择题 1、C 2、C 3、B 4、C 二．填空题 1、1 2、a 3、≥ 4、2，0 5、1 三．判断正误 1、对； 2、对； 3、错四．（1）证明令1 2 +=n n x n ε<=<+=-n n n n n x n 1 1022 只要ε1> n ，取]1 [ε =N 当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01 lim 2=+∞→n n n

高等数学期末试题(含答案)

高等数学检测试题一 .选择题（每题4分，共20分） 1. =?-dx x 11（） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 （B ） 2，极限242 (,)(0,0)2lim x y x y x y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在（D ） 3.积分=-?dx x 11 ( ) A.c x x +--1ln B. c x x +--)1ln (2 C.c x x +-+1ln D. -c x x +-+)1ln (2 （D ） 4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a ()lim 2f x x a →'=-，则（） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点 C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点 D.x=a 不是f(x)的极值点 (A) 5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=，则?=0 x (t)dt xF'd （） A. (x)dx xF'- B. (x)dx xF' C. (x)dx]xF'[F(x)+- D. (x)]dx xF'[F(x)+-

（D ）二．填空：（每题4分，共20分） 1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=??dxdy y x D （ 21 ） 2、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ； 3．设由方程0=-xyz e z 确定的隐函数()=??=x z y x f z 则 ,,（ ()1-z x z ） 4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0，常数），若23D π=，则a= (-1) 5 数列极限 lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππ ππ . 2 π 三．解答题（每题5分，共20分）

高等数学习题及解答 (1)

普通班高数作业（上）第一章函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题）（2）)sin(arcsin x y =与x y =；（4）x y = 与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =；（8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2）（2）x x x y -+=2；（3）x y x -+=1ln arcsin 21；（7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第三版P12:1）（2）24x x y -= ；（4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2）（2）x x x x f tan 1)(2+-=；（3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=；（7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1）（1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ；（6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ；（2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7）