2013-2014学年高一数学人教B版必修一学案 2.2 一次函数和二次函数

2.2 一次函数和二次函数

1．一次函数的性质与图象 (1)一次函数的概念

函数y ＝kx ＋b (k ≠0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为R ，值域为R .

一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距．

对一次函数的概念要注意以下三点：

①k ≠0.若k ＝0，则函数就成为常数函数．

②x 的最高次项次数为1.否则，也不是一次函数． ③b 为任意常数． R

R

y R

R

在(－∞，＋∞)上递增在(－∞，＋∞)上递减

b ＝0时为奇函数，b ≠时既不是奇函数也不是偶函数

因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可． (4)图象的特点

①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线．

②一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (5)画法技巧

①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0,0)，(1，k )两点，然后连线．

②画一次函数y ＝kx ＋b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )，???

?－b

k ，0，然后连线．原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于－b

k

多数情况下是分数，故在描点时，我

们也可以取x 和y 都是整数的点．

谈重点 对截距b 含义的理解 (1)b 的取值范围：b ∈R .

(2)b 的几何意义：直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点的纵坐标．

(3)点(0，b )是直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．

(4)截距与距离是两个不同的概念．截距可正可负可以为零，但距离不可能为负．

【例1－1】一次函数y ＝kx －k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限

解析：由题意知k ＞0，所以－k ＜0，故y ＝kx －k 的图象过第一、三、四象限． 答案：B

【例1－2】函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )

A ．

17

,22 B ．1，－7 C ．1，72 D ．17,22

-

解析：∵x －2y ＋7＝0，∴17

=22

y x +，

∴斜率1=2k ，纵截距7

=2

b ，故选A.

答案：A

【例1－3】在同一直角坐标系内画出一次函数y ＝2x ＋1和y ＝－2x ＋1的图象． 解：列表．

描点(0,1)，(－0.5,0)，y ＝－2x ＋1的图象，如图．

【例1－4】已知一次函数的图象经过A (3,5)和B (－4，－9)两点，求该一次函数的解析式． 分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，又因为其图象过A ，B 两点，所以A ，B 两点的坐标适合方程，由此解出k 和b .

解：设这个一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． ∵当x ＝3时，y ＝5；当x ＝－4时，y ＝－9，

∴3=5,4=9.k b k b +??

-+-?①

②

①－②，得7k ＝14，∴k ＝2. 把k ＝2代入①，得b ＝－1.

∴这个一次函数的解析式为y ＝2x －1. 2．二次函数的定义

函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .特别地，当b ＝c ＝0，则函数变为y ＝ax 2(a ≠0)．

点技巧 学习二次函数的定义应注意的两点

(1)对二次函数的定义，要特别注意a ≠0这个条件．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 只有在a ≠0的条件下才是二次函数，且x 的最高次数是2，b ，c 可取任意实数．

(2)任何一个二次函数的解析式都可化成y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的形式，因此把y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数的一般形式．

3．二次函数的图象变换及参数a ，b ，c ，h ，k 对其图象的影响 (1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图象之间的关系

二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越大，函数y ＝ax 2图象开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．

(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象之间的关系

函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位长度得到．h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图象的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象形状相同，只是位置不同．

(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象之间的关系

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图象如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象．在二次函数y ＝ax 2＋bx

＋c (a ≠0)，即y ＝a ????x ＋b 2a 2＋4ac －b 2

4a

(a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图象的开口方向和在

同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线

x ＝－b

2a

，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点

????－b 2a

，4ac －b 2

4a 的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛

物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．

【例3－1】(1)由y ＝－2x 2的图象，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象？

(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？

(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图象是由y ＝4x 2的图象经过怎样的变换得到的？

解：(1)把y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象．

(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y ＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图象．

(3)y ＝4x 2＋2x ＋1

＝21412x

x ??

++ ??

? ＝21

114121616x x ??++-+ ??

?

＝2

1141416x ????+-+?? ???????

＝2

13444x ?

?++ ??

?.

把y ＝4x 2的图象向左平移

14个单位长度，再向上平移3

4

个单位长度，就可得到函数y ＝4x 2＋2x ＋1的图象．

【例3－2】(1)在同一坐标系中作出下列函数的图象： ①y ＝x 2；②y ＝x 2－2；③y ＝2x 2－4x .

(2)分析如何把y ＝x 2的图象变换成y ＝2x 2－4x 的图象．

分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图象之间的关系．

(2)y ＝2x 2

－4x ＝2(x 2－2x )

＝2(x 2－2x ＋1－1) ＝2(x －1)2－2.

由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．

方法一：先把y ＝x 2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x 2的图象，然后把y ＝2x 2的图象向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图象，最后把y ＝2x 2－2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．

方法二：先把y ＝x 2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图象，然后把y ＝(x －1)2

的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图象，最后把y ＝2(x －1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．

析规律 二次函数图象的变换规律

所有二次函数的图象均可以由函数y ＝x 2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：

y ＝x 2------------------→横坐标不变

纵坐标变为原来的a 倍

y ＝ax 2----------------------→k >0，上移k 个单位长度

k <0，下移|k |个单位长度

y ＝ax 2＋k --------------------→h >0，左移h 个单位长度

h <0，右移|h |个单位长度

y ＝a (x ＋h )2

＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．

【例3－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数y ＝x 2－

1

2

x ＋1有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点． (1)求f (x )．

(2)由y ＝x 2的图象能得到f (x )的图象吗？

分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图象影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由y ＝x 2－

1

2

x ＋1确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图象得f (x )的图象要分步骤：y ＝x 2→y ＝ax 2→y ＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．

解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.

∵f (x )与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴1=4

x ， ∴1

=24

b a

. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.

∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)，

∴c ＝－1.

∴f (x )＝－2x 2＋x －1.

(2)f (x )＝2

17248x ?

?--- ??

?.

将函数y ＝x 2图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图象；将函数y ＝－2x 2的图象向右平移

14个单位长度，再向下平移7

8

个单位长度得到函数2

17=248y x ?

?--- ??

?的图象，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图象．

析规律 二次函数的图象变换应先配方

解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．

4．二次函数的性质

二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝a ????x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a

，结合图象观察得

二次函数≠0)

抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴是直线x ＝－b 2a ， 顶点坐标是????－b 2a ，4ac －b 24a

对称轴是直线x ＝－b

2a

，顶点坐标是

??－b 2

a 解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．

【例4－1】分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值：

(1)y ＝x 2－4x ＋9； (2)y ＝－2x 2＋4x －3.

分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图象研究其性质． 解：(1)y ＝x 2－4x ＋9＝(x －2)2＋5，

由于x 2的系数是正数，所以函数图象开口向上； 顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x ＝2；

函数在区间(－∞，2]上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.

(2)y ＝－2x 2＋4x －3＝－2(x －1)2－1，

由于x 2的系数是负数，所以函数图象开口向下； 顶点坐标为(1，－1)； 对称轴方程为x ＝1；

函数在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数； 函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1. 谈重点 配方法的重要作用

配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性可直观的反应在大脑中，解题中应注意多总结这些性质，以便拓展自己的思维空间．

【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.

解析：因为抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，所以其顶点的纵坐标

2

48(7)(1)

=048

m m ??--+?，即m 2－30m ＋225＝0，

所以(m －15)2＝0， 所以m ＝15. 答案：15

点技巧 牢记二次函数的性质是关键

抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为????

－b 2a

，4ac －b 2

4a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标

4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b

2a

＝0. 【例4－3】若函数y ＝x 2

＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3，＋∞) C ．(－∞，5] D ．[5，＋∞)

解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减函数，若函数在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，所以a ≤－3.

答案：A

5．二次函数解析式的求法

求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．

(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．

(2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．

(3)当已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．

【例5－1】如图，坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是( )

A ．abc ＞0

B ．b ＜a ＋c

C ．a ＋b ＋c ＜0

D ．2c ＜3b

解析：图中出现的点(1,0)和(－1,0)要注意观察． A 中，∵抛物线开口向下，∴a ＜0.

∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在x 轴上方，∴c ＞0. 又∵=1>02b

a

-

，∴b ＞0.∴abc ＜0.因此A 是错误的． B 中，∵当x ＝－1时，y ＜0(抛物线上横坐标为－1的点在x 轴下方)， ∴a －b ＋c ＜0(把x ＝－1代入函数得y ＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝a －b ＋c )， ∴b ＞a ＋c .因此B 是错误的．

C 中，∵抛物线上横坐标为1的点在x 轴上方，即y ＞0， 又∵当x ＝1时，函数y ＝a ·12＋b ·1＋c ＝a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c ＞0.因此C 是错误的．

D 中，由上得b ＞a ＋c .又∵=12b a -

，∴1=2

a b -. ∴2c ＜3b .因此D 正确．

答案：D

【例5－2】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．

分析：本题已知图象上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图象与x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．

解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

由题意，得=3,42=0,=1,2a b c a b c b a ?

?++-?

++???-?

解得=3,=6,=0.a b c ??

-???

∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .

(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)， 由图象经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3. ∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . (方法3)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－3)， ∴其对称轴为直线x ＝1.

又∵图象与x轴的一个交点坐标为P(2,0)，

∴由对称性可知，图象与x轴的另一个交点坐标为(0,0)．

∴可设所求函数的解析式为y＝a(x－0)(x－2)(a≠0)．

∵图象的顶点坐标是(1，－3)，

∴a(1－0)(1－2)＝－3，解得a＝3.

∴所求函数的解析式为y＝3x(x－2)，

即y＝3x2－6x.

析规律由二次函数的图象与x轴的交点求解析式

若二次函数y＝f(x)的图象与x轴的两个交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则其对称轴方程为x＝x1＋x2

2，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标．

6．二次函数图象的草图画法

画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确．

【例6】画出函数y＝2x2－4x－6的草图．

解：y＝2x2－4x－6

＝2(x2－2x)－6

＝2(x2－2x＋1－1)－6

＝2[(x－1)2－1]－6

＝2(x－1)2－8.

函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.

令y＝0，得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．

画法步骤：

①描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x＝1；

②连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．

7．待定系数法

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．

待定系数法求解析式的基本步骤如下：

(1)设出含有待定系数的解析式；

(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；

(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．

【例7】若f(x)为一次函数，且满足f[f(x)]＝1＋2x，则f(x)的解析式为________．

解析：已知f(x)为一次函数，可以使用待定系数法．

设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

k，则f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，利用对应系数相等即可求得=

=1b 或k ，1b .

答案：()=1f x 或(1f x

8．给定区间上二次函数的最值或值域的求法

求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．

一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况：

(1)当－b

2a

＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图象上易得f (x )在

[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．

(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q

2

，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.

从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ????－b 2a ＝4ac －b 24a

，f (x )max ＝f (q )．

(3)当p ＋q 2＜－b 2a

≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从

图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ????－b 2a ＝4ac －b 2

4a ，f (x )max ＝f (p )．

(4)当－b

2a

＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图象上易得f (x )在[p ，

q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．

【例8】已知函数f (x )＝x 2

＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；

(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数．

分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图象知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．

解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 当x ＝1时，f (x )取得最小值，

即f (x )min ＝f (1)＝1.

当x ＝－5时，f (x )取得最大值，

即f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37. 所以函数f (x )的最大值为37，最小值为1.

(2)函数y ＝f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . 当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数， 所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－5)＝27－10a ；

当－5＜－a ≤0，即0≤a ＜5时， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2；

当0＜－a ≤5，即－5≤a ＜0时， f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2；

当－a ＞5，即a ＜－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .

故当a ≥5时，f (x )max ＝27＋10a ， f (x )min ＝27－10a ；

当0≤a ＜5时，f (x )max ＝27＋10a ， f (x )min ＝2－a 2；

当－5≤a ＜0时，f (x )max ＝27－10a ，f (x )min ＝2－a 2； 当a ＜－5时，f (x )max ＝27－10a ，f (x )min ＝27＋10a .

(3)由(2)可知若函数f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，则有a ≤－5或a ≥5. 释疑点 如何在给定区间求二次函数的最值或值域

当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．

9．一元二次方程与二次函数的关系

一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．

一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时的自变量x 的值，从图象上看，就是抛物线与x 轴交点的横坐标．

当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点，其解析式又可写成两根式的形式：y ＝a (x －x 1)·(x －x 2)，抛物线与x

轴的两个交点间的距离|x 2－x 1|＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝????－b a 2－4c a ＝b 2－4ac |a |

.当Δ

＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴没有交点．当a ＞0时，它们之间的关系如下图所示：

Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方

法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，

实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?

显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图象解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图象(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图象与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1

的右侧，只需?

????

f (－1)<0，f (1)<0，由此可解得a ＜－2

3.

通过上述实例，我们可以看到，用函数的思想解决一元二次方程根的分布问题，运用了数形结合的思想，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图象处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．

【例9－1】已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )，并且m ，n 是方程f (x )＝0的两根，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是( )

A ．m ＜a ＜b ＜n

B ．a ＜m ＜n ＜b

C ．a ＜m ＜b ＜n

D ．m ＜a ＜n ＜b

解析：由f (x )＝1－(x －a )(x －b )可知，二次函数f (x )的开口向下，且f (a )＝f (b )＝1＞0.

∵m ，n 是方程f (x )＝0的两根， ∴f (m )＝f (n )＝0.

由f (x )的图象可知，实数a ，b ，m ，n 的关系可能是m ＜a ＜b ＜n (如图所示)． 答案：A

点技巧 由二次函数图象比较参数大小

比较实数a ，b ，m ，n 的大小，可转化为比较四个函数值f (a )，f (b )，f (m )，f (n )的关系．根据条件可容易画出函数的图象并得到a ，b ，m ，n 四个变量在x 轴上的位置，从而写出a ，b ，m ，n 的大小关系．

【例9－2】若方程x 2－

3

2

x ＝k 在(－1,1)上有实根，求k 的取值范围． 分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图象解决该问题，或将其转化为二次函数k ＝x 2－

3

2x 在区间(－1,1)上的值域问题． 解：(方法1)设f (x )＝x 2－32x －k ，函数f (x )的图象开口向上，对称轴为直线3

=4

x .

若方程x 2－3

2

x ＝k 在(－1,1)上有两个实根，则函数f (x )的图象如图甲所示，

故22

2

3()40,2

3(1)110,23(1)(1)(1)0,2k f k f k ?

?=-+≥??

?=-?->???-=--?-->??即9,161,25,2k k k ?≥-???<-??

?

∴91<162k -

≤-. 若方程x 2－3

2

x ＝k 在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图象如图乙、丙所示，

故(1)0,(1)0,f f ->??≤?即2

23(1)(1)0,23110,2k k ?--?-->????-?-≤??∴5,2

1,

2

k k ?

.

(方法2)方程2

3=2x x k -

可以看作是k 关于x 的二次函数23

=2

k x x -， 配方得2

39=416k x ?

?-- ??

?，其对称轴方程为3=4x ，函数在区间31,4??- ???上是减函数，在

区间3,14??

????

上是增函数(图象如图所示)．

由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f

f ??

??- ??

?????

，

∵

2

33339

==

442416 f

????

-?-

? ?

????

，

f(－1)＝(－1)2－3

2

×(－1)＝

5

2

，

∴实数k的取值范围是

95

,

162??-????.

人教版高一数学《函数》复习教案(有答案)

高一函数复习 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。 注意点：（1）对映射定义的理解； （2）判断一个对应是映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ). 【例题1】设集合A ＝｛x ｜0 ≤ x ≤ 6｝，B ＝｛y ｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 （ ）. A . f ：x →y ＝ 12x B . f ：x →y ＝1 3 x C . f ：x →y ＝14x D . f ：x →y ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域 两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.

【例题1】下列各对函数中，相同的是（ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 【变式练习】 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A . 1,x y y x == B . 211,1y x x y x =-+=- C . 33,y x y x == D . 2||,()y x y x == 2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ） 【巩固练习】 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O

高中数学函数解析式求法

函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

人教版高一数学必修1测试题(含答案)

人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( )

人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题

O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0

新人教版高中数学必修知识点总结

高中数学必修 2 知识点总结 第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE - A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD' 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥P - A'B'C'D'E' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P - A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全 等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一 点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 （1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （3）直观图：斜二测画法 （4）斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 （5）用斜二测画法画岀长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 I （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线） 3）柱体、锥体、台体的体积公式

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

新人教版高一数学函数与方程知识要点

新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

(完整版)高一数学函数试题及答案

（数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=

人教版高一数学上期末试题及答案

高一数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1.设集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=A ，}6,5,2{=B ，则)(B C A U I 等于（ ） （A ）}2{ （B ）}3,2{ （C ）}3{ （D ）}3,1{ 2．α是第四象限角，3 4tan -=α ，则αsin 等于（ ） （A ）54 （B ）54- （C ）53 （D ）53- 3.设?? ???<-=->+=)0(,1)0(,1) 0(,1)(x x x x x x f ，则=)]0([f f （ ） (A)1 (B)0 (C)2 (D)1- 4．如果31sin(=-)απ，那么=+)απ2 cos(等于（ ） （A ）31- （B ）3 1 （C ） 32 2 （D ） 322- 5.函数x x e e x f 1)(2-=的图像关于（ ） （A ）原点对称 （B ）y 轴对称 （C ）x 轴对称 （D ）关于1=x 对称 6．已知函数x y ωtan =在??? ? ?- 4,4ππ内是增函数,则( ) （A ）20≤<ω （B ）02<≤-ω （C ）2≥ω （D ）2-≤ω 7.设18log ,12log ,6log 642===c b a ，则（ ） （A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）a b c >> 8．? -?20sin 155sin 22的值为（ ） （A ）12 （B ） 12 - （C ） 1- （D ） 1 9.已知函数)cos()(?ω+=x A x f ，R x ∈（其中π?πω<<->>,0,0A ），其部分图象如图所示，则?ω,的值为 （ ） (A)43,4π?π ω== (B) 4 ,4π?πω-== (C) 4,2π ?π ω== (D) 4,2π ?π ω-== 10. 若函数)(x f 的零点与82ln )(-+=x x x g 的零点之差的绝对值不超过5.0， 则)(x f 可以是（ ） (A)63)(-=x x f (B)2)4()(-=x x f (C) 1)(2-=-x e x f (D))2 5ln()(-=x x f

人教版高一数学必修的目录完整版

人教版高一数学必修的 目录 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

人教版高一数学必修1-5的目录 必修1 第一章集合与函数概念? 1．1 集合? 1．2 函数及其表示? 1．3 函数的基本性质? 实习作业? 小结? 复习参考题 第二章基本初等函数（Ⅰ）? 2．1 指数函数? 2．2 对数函数? 2．3 幂函数? 小结? 复习参考题 第三章函数的应用? 3．1 函数与方程? 3．2 函数模型及其应用? 实习作业? 小结? 复习参考题 必修2 第一章空间几何体? 1．1 空间几何体的结构? 1．2 空间几何体的三视图和直观图? 1．3 空间几何体的表面积与体积? 实习作业?

小结? 复习参考题 第二章点、直线、平面之间的位置关系? 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系? 2．2 直线、平面平行的判定及其性质? 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质? 小结? 复习参考题 第三章直线与方程? 3．1 直线的倾斜角与斜率? 3．2 直线的方程? 3．3 直线的交点坐标与距离公式? 小结? 复习参考题 必修3 第一章算法初步? 1．1 算法与程序框图? 1．2 基本算法语句? 1．3 算法案例? 阅读与思考割圆术? 小结? 复习参考题 第二章统计? 2．1 随机抽样? 阅读与思考一个着名的案例? 阅读与思考广告中数据的可靠性? 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应? 2．2 用样本估计总体? 阅读与思考生产过程中的质量控制图?

2．3 变量间的相关关系? 阅读与思考相关关系的强与弱? 实习作业? 小结? 复习参考题 第三章概率? 3．1 随机事件的概率? 阅读与思考天气变化的认识过程? 3．2 古典概型? 3．3 几何概型? 阅读与思考概率与密码? 小结? 复习参考题 必修4 第一章三角函数? 1．1 任意角和弧度制? 1．2 任意角的三角函数? 1．3 三角函数的诱导公式? 1．4 三角函数的图象与性质? 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）? 1．6 三角函数模型的简单应用? 小结? 复习参考题 第二章平面向量? 2．1 平面向量的实际背景及基本概念? 2．2 平面向量的线性运算? 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示? 2．4 平面向量的数量积? 2．5 平面向量应用举例?

高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾

高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函

(完整版)人教版高一数学必修一基本初等函数解析

基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；

人教版数学高一知识点汇总

人教版数学高一知识点汇总 高一阶段，是打基础阶段，是将来决战高考取胜的关键阶段，尽早进入角色，安排好自己的学习和生活，会起到事半功倍的效果。下面就是我给大家带来的人教版高一数学知识点总结，希望能帮助到大家! 人教版高一数学知识点总结1 空间几何体表面积体积公式： 1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、a-边长,S=6a2,V=a3 4、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc 5、棱柱S-h-高V=Sh 6、棱锥S-h-高V=Sh/3 7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h 10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2) 11、r-底半径h-高V=πr^2h/3 12、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直

径V=4/3πr^3=πd^3/6 14、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 16、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4 17、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形) 人教版高一数学知识点总结2 空间直角坐标系定义： 过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。 1、右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指; ②已知点的坐标P(x，y，z)作点的方法与步骤(路径法)： 沿x轴正方向(x>0时)或负方向(x<0时)移动|x|个单位，再沿y轴正方向(y>0时)或负方向(y<0时)移动|y|个单位，最后沿x轴正方向(z>0时)或负方向

人教版高中数学必修 目录

修一（高一） 第一章集合与函数概念 一总体设计 二教科书分析 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 实习作业 三自我检测题 四拓展资源 第二章基本初等函数（Ⅰ） 一总体设计 二教科书分析 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 三自我检测题 四拓展资源 第三章函数的应用 一总体设计 二教科书分析 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 三自我检测题 四拓展资源 必修二（高二） 第一章空间几何体 一总体设计 二教科书分析 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 三自我检测题 四拓展资源 第二章点、直线、平面之间的位置关系 一总体设计 二教科书分析 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 三自我检测题 第三章直线与方程 一总体设计 二教科书分析 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 三自我检测题 四拓展资源 第四章圆与方程 一总体设计 二教科书分析 4．1 圆的方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系 三自我检测题 四拓展资源 必修三（高一） 第一章算法初步 一总体设计 二教科书分析 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 三自我检测题 四拓展资源 第二章统计 一总体设计 二教科书分析 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量间的相关关系 三自我检测题 四拓展资源 第三章概率 一总体设计 二教科书分析 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型 三自我检测题 四拓展资源 必修四（高一） 第一章三角函数 一总体设计 二教科书分析 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象和性质 1．5 函数的图象 1．6 三角函数模型的简单应用 三自我检测题 四拓展资源 第二章平面向量

高一数学函数经典习题及答案

函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =-

6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；

人教版高一数学必修一教案

高一数学必修一教案（北师大版） 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标： 1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质，掌握常用数集及其专用符号。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标：（投影） 二、自学指导： 师：同学们，如何完成本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。（投影） 自学指导： 请认真看课本P3-P5的内容，弄清以下几个问题： 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测，比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促，使每一位学生紧张自学，注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合？ ○3A={2，2，4}表示是否准确？ ○4做练习题P5，1、2、3 2、指名学生板演，其他学生认真做在练习本上。

五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容，能够发现问题并能更正的同学请举手。（指名更正） 2、讨论 先看第①题，举的例子正确吗？为什么？引导学生总结集合的定义 ②题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：确定性 ③题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：互异性 【集合的元素的基本性质】 （1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． (3) 无序性：集合中的元素没有顺序。 ④题第一题，这道题都是运用了课本中的哪个知识点？引导学生回答：运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题，运用的方法恰当、正确吗？为什么？并规范集合的表示。 第三题，结果正确吗？为什么？纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结，识记概念。 六、当堂训练 师：请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业：P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系，加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标：（投影）