第三章 空间力系
第三章 空间力系
一、是非题判断题
3.1.1 对一空间任意力系，若其力多边形自行封闭，则该力系的主矢为零。 （ ∨ ） 平面力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（ × ）
3.1.2只要是空间力系就可以列出6 个独立的平衡方程。 （ × ） 3.1.3若由三个力偶组成的空间力偶系平衡，则三个力偶矩矢首尾相连必构成自行封闭的三角形。 （ ∨ ） 3.1.4 空间汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力为零；空间力偶系平衡的充分和必要条件是力偶系的合力偶矩为零。 （ ∨ ）
二、填空题
3.2.1 若一空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面，则此力系有 5 个独立的平衡方程。
3.2.2 板ABCD 由六根杆支承如图所示，受任意已知力系而处于平衡，为保证所列的每个方程中只包含一个未知力，则所取力矩平衡方程和投影平衡方程分别为 ：
三、计算题
3.3.1在图示力系中，F 1=100N ，F 2=300N ，F 3=200N ，各力作用线位置如图所示，求力系向点O 简化的结果。
∑=0CD M 6F ?∑=0CG M 5
F ?∑=0AC M 4F ?∑=0
DH
M 1F ?∑=0CD
F 3
F ?∑=0
BD
M
2
F ?Rx F ' 解： 5
10013100N 3345.-=5
100200
2001310020030032??=--==∑--cos sin βαF F X Ry F 'N F Y 624913100300
3002.cos =?===∑αRz F 'N
F F Z 56105100100
20010031.cos =?-=-==∑β)(...'N k j i k Z j Y i X F R 561062493345∑∑∑++-=?+?+?=∴x M 0 Nm 7951.-=5
100100
20013100300300301032????=--==∑0.3--0.1sin .cos .βαF F M x y M 0Nm F F M y 64361310020030010020102021.0.1-.sin ..-=???-=-==∑αZ M 0Nm
59103.=200200200300303032??+??=+==∑0.30.3cos .sin .βαF F M Z
3.3.2 如图所示的空间构架由三根杆件组成，在D 端用球铰链连接，A 、B 和C 端也用球铰链固定在水平地板上。今在D 端挂一重物P =10kN ，若各杆自重不计，求各杆的内力。
3.3.3 如图所示，三圆盘A 、B 、C 的半径分别为15cm 、10cm 、5cm ，三根轴OA 、OB 、OC 在同一平面内，∠AOB 为直角，三个圆盘上分别受三个力偶作用，求使物体平衡所需的力F 和α角。
解：取销钉D 为研究对象： ∑=0
Y ∑=0X 0454500=-cos cos AD BD F F AD F BD
F CD F AD BD F F =?00000sin 45cos30sin 45cos30cos150
BD AD CD F F F --+=∑=0Z 0153045304500000=----P F F F CD AD BD sin sin sin sin sin 由（a ）式： )(cos a F F F CD AD BD 6
1520
-==?）（拉.)sin cos (kN P F CD 46331531500=-=?）
（压.kN F F AD BD 3926-==?将（a ）式代入得： 解：由空间力偶系的平衡方程（3-20）式： ∑=0x M 0
900=--A C M M )cos(α)()cos(a F 030090100=--?αC M B
M A
M x y ∑≡0Z M 自然满足 ∑=0y M 0900=--B C M M )sin(α)()sin(b F 040090100=--?α:)()(b a 4
3400300909000=
=--)sin()cos(αα43900
=-?)(αctg 00135343
90.==-?arcctg α0
13143.=?α由（a ）式： N F 506030
13
533090103000
0===-=..cos )cos(α
3.3.4某传动轴由A、B两轴承支承。圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3cm，压力角α=20o，在法兰盘上作用一力偶矩为M=1030N.m的力偶，如轮轴的自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时A、B两轴承的约束反力。（答案：F Ax=
4.2k N，F Az=1.54k N，F Bz=7.7k N，F Bz.=2.79k N）
3.3.5 在半径为R的圆面积内挖出一半径为r的圆孔，求剩余面积的重心坐标。
（答案：x C=－rR/2(R2－r2）
解：取传动轴为研究对象。
cos
2
=
-M
d
Fα
kN
d
M
F67
12
20
173
1030
2
2
.
cos
.
cos
=
?
=
=
?
α
∑=
∴0
y
M
∵传动轴绕y轴匀速转动
342
22
0=
+
B
Z
F.
sin
.α
∑=0
x
M)
(
.
.
sin
.
↓
-
=
-
=
?kN
F
Z
B
79
2
342
20
22
00
342
22
0=
-
B
X
F.
cos
.α
∑=0
z
M kN
F
X
B
66
7
342
20
22
00
.
.
cos
.
=
=
?
=
+
-
B
A
X
F
Xα
cos
∑=0
X kN
X
F
X
B
A
25
4
200.
cos=
-
=
?
=
+
+
B
A
Z
F
Zα
sin
∑=0
Z)
(
.
sin↓
-
=
-
-
=
?kN
Z
F
Z
B
A
54
1
200
由对称性得：0
=
c
y
2
1
2
2
1
1
A
A
x
A
x
A
A
x
A
x c
c
i
Ci
i
c+
+
=
=
∑
∑
解：由均质物体的形心坐标公式（3-30）式
用负面积法：
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
R
R
r
r
R
R
r
R
-
-
=
?
-
+
?
?
-
+
?
=
π
π
π
π
3.3.6求图示型材截面形心的坐标。[答案：(a) x C=0，y C=6.07㎜；(b) x C=11㎜，y C=0㎜]
3.3.7均质块尺寸如图所示，求其重心的位置。
[答案：x C=23.08mm，y C=38.46㎜, z C=-28.08㎜]
(a)(b)
由对称性得：0
=
c
x
2
1
2
2
1
1
A
A
y
A
y
A
A
y
A
y c
c
i
Ci
i
c+
+
=
=
∑
∑
(a) 解：由均质物体的形心坐标公式（3-30）式
用负面积法：
mm
08
6.
=
)
(
)
(
)
(
14
18
17
24
7
3
14
18
2
17
17
24
?
-
+
?
+
?
?
-
+
?
?
=
由对称性得：0
=
c
y
(b) 解：由均质物体的形心坐标公式（3-30）式
用分割法：
2
15
2
20
2
20
23
2
15
12
2
20
1
2
20
?
+
?
+
?
?
?
+
?
?
+
?
?
=
3
2
1
3
3
2
2
1
1
A
A
A
x
A
x
A
x
A
A
x
A
x c
c
c
i
Ci
i
c+
+
+
+
=
=
∑
∑
mm
11
=
解：由均质物体的形心坐标公式（3-30）式
用分割法：
2
1
2
2
1
1
V
V
x
V
x
V
V
x
V
x c
c
i
ci
i
c+
+
=
=
∑
∑
10
40
40
60
40
80
60
10
40
40
20
60
40
80
?
?
+
?
?
?
?
?
+
?
?
?
=
mm
08
23.
=
2
1
2
2
1
1
V
V
y
V
y
V
V
y
V
y c
c
i
ci
i
c+
+
=
=
∑
∑
10
40
40
60
40
80
20
10
40
40
40
60
40
80
?
?
+
?
?
?
?
?
+
?
?
?
=
mm
46
38.
=
2
1
2
2
1
1
V
V
z
V
z
V
V
z
V
z c
c
i
ci
i
c+
+
=
=
∑
∑
10
40
40
60
40
80
5
10
40
40
30
60
40
80
?
?
+
?
?
-
?
?
?
+
-
?
?
?
=
)
(
)
(
mm
08
28.
-
=
第四章 摩 擦
一、 是非判断题
4.1.1 只要受力物体处于平衡状态，摩擦力的大小一定是F = ?s F N 。 ( × ) 4.1.2 在考虑滑动与滚动共存的问题中，滑动摩擦力不能应用F = ?s F N 来代替。 ( ∨ ) 4.1.3 当考虑摩擦时，支承面对物体的法向反力F N 和摩擦力F s 的合力F R 与法线的夹角φ称为摩擦角。 ( × ) 4.1.4 滚动摩擦力偶矩是由于相互接触的物体表面粗糙所产生的。（物体形变） ( × )
二、 填空题
4.2.1 考虑摩擦时物体的平衡问题，其特点在于 P 116 (1)，(2)，(3) 。
4.2.2 物快重P ，放置在粗糙的水平面上，接触处的摩擦系数为f s ，要使物块沿水平面向右滑动，可沿OA 方向施加拉力F 1如图4.1所示，也可沿BO 方向施加推力F 2如图所示，两种情况比较图 （a ） 所示的情形更省力。 4.2.3材料相同、光洁度相同的平皮带和三角皮带,如图4.2所示,在相同压力F 作用下, 三角 皮带的最大摩擦力大于 平 皮带的最大摩擦力。
(a) (b)
图4.1
图4.2
三、选择题
4.3.1如图4.3所示，已知OA 杆重W ，物块M 重P 。杆与物块间有摩擦，而物体与地面间的摩擦略去不计。当水平力F 增大而物块仍保持平衡时，杆对物块M 的正压力
B 。
A 、由小变大；
B 、由大变小；
C 、不变。
4.3.2如图4.4所示，物块重5kN ，与水平面间的摩擦角为φm =35o ，今用与铅垂线成60o 角的力F=5kN 推动物块，则物块将 A 。
A 、不动；
B 、滑动；
C 、处于临界状态；
D 、滑动与否不能确定。
∵ φ = 30 0 ＜φf = 900 - φm = 550
图4.3， 图4.4 四、计算题
4.4.1 悬臂托架弹簧K 的拉力F=8N ，物块A 与BO 梁间的静摩擦系数f s =0.2，当θ=30o 时，试问物块A 是否平衡？（答案：F s =0.66N ）
4.4.2 重P =100N 的长方形均质木块放置在水平地面上，尺寸如图所示。木块与地面间的摩擦系数?s =0.4，求木块能保持平衡时的水平力F 的大小。（答案：F=31.25N ）
4.4.3 鼓轮利用双闸块制动器制动，设在杠杆的末端作用有大小为200N 的力F ，方向与杠杆垂直，如图所示。已知闸块与鼓轮的摩擦因数f s = 0.5，又 2R =O 1O 2=KD =DC =O 1A = KL = O 2L = 0.5m ，O 1B =0.75 m ，AC =O 1D =1m ，ED =0.25m ，不计自重，求作用于鼓轮上的制动力矩。
F 解：取物块A 为研究对象 ∑
=0X 0
=+-θcos -T S F F F N F F F T S 660.cos =+-=?θF N F N F T 66823108.cos =?=<=θ ∴ 物块A 有向右滑动的趋势，F S 指向左边；
∑=0
Y 0
=+-θsin -T N F F W N F W F T N 2=+-=?θsin y ∴最大摩擦力为： N F f F N s 40220..max =?==N F N F s 66040..max =<= ∴物块A 不平衡。 解：欲保持木块平衡，必须满足 1）不会向右滑动，2）不会绕D 点翻倒。
F 1) 木块不会向右滑动:
取木块为研究对象 0=-S F F ∑=0X y
S F F =?∑
=0Y 0=-P F N N P F N 100==?若木块不会向右滑动，则应有： N F f F F F N S S 4010040=?==≤=.max 2) 木块不会绕D 点翻倒: 取木块为研究对象 S F 设木块处于临界状态，受力图如图所示。 ∑=0D
M
016050=?-?F P N P F 2531165.==?N
F 2531.≤∴
（答案：M=300N.m ）
4.4.4 一半径为R 、重为P 1的轮静止在水平面上，如图所示。在轮上半径为r 的轴上缠有细绳，此细绳跨过滑轮A ，在端部系一重为P 2的物体。绳的AB 部分与铅直线成θ角。求轮与水平面接触点C 处的滚动摩阻力偶M 、滑动摩擦力Fx 和法向反作用力Fy 。
解：取BO 1杆和AC 杆为研究对象； N F A O B O F C 3002005
075
011=?==?..∑
=01O M ∑
=0D M 011=?-?F B O F A O C 取KE 杆和EDC 杆为研究对象；
m
5250.θ
=?-?C K F CD F KD 'sin θN ED KE F F C K 5300300=?==?θsin '取O 2K 杆和闸块为研究对象并设初始鼓轮顺时针转动
∑
=02O M 022=?-?N K F LO F KO θcos K EK KD LO F KO F K N 505300122.cos ?==?θN 12005250505053001=?=...∑
=0O M 取鼓轮研究对象； 0
=+S S RF RF "'S
S F F "'-=?形成制动力偶 ∴制动力矩为： Nm F f R RF M N S S f 30022=?=='解：取轮为研究对象；
θsin 2P F S =?∑=0X 0sin 2=-S F P θy N
f
S
F ∑
=0O M 02=+--rP RF M S f o ∑=0Y 0cos 12=+-N F P P θθcos 21P P F N -=?)
sin (22θR r P rP RF M S f -=+-=?
4.4.4 重P 的物块放在倾角θ大于摩擦角φN 的斜面上，在物块上另加一水平力F ，已知：P=500N ，F=300N ，f =0.4，θ=300。试求摩擦力的大小。（答案： F s =9.8N ）
解：取物块为研究对象； N
F F t 81.25930cos 300cos 0===θ N
P F F S 81.9sin cos =-=?θθ∑=0
T 0sin cos =--S F P F θθ∑=0
N 0cos sin =+--N F P F θθN P P t 25030sin 500sin 0==-=θt
t P F >:可见∴物块有沿斜面向上滑动的趋势，则设F S 的方向如图： N
P F F N 01.583cos sin =+=?θθN
F N fF F S N 81.921.23301.5834.0max =>=?== 又∴上面所求摩擦力正确，即： N
F S 81.9=方向如图。
第五章 点的运动学
一、是非判断题
5.1.1动点速度的方向总是与其运动的方向一致。 ( ∨ ) 5.1.2只要动点作匀速运动，其加速度就为零。（匀速圆周）
( × )
5.1.3若切向加速度为正，则点作加速运动。 ( × ) 5.1.4若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动。 ( ∨ ) 5.1.5若切向加速度为零，则速度为常矢量。（常量）
( × )
5.1.6若0=v ，则a 必等于零。 ( × ) 5.1.7若0=a ，则v 必等于零。 ( × ) 5.1.8若v 与a 始终垂直，则v 不变。 ( × ) 5.1.9若v 与a 始终平行，则点的轨迹必为直线。 ( ∨ ) 5.1.10切向加速度表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。 ( × ) 5.1.11运动学只研究物体运动的几何性质，而不涉及引起运动的物理原因。 ( ∨ )
二、填空题
5.2.1已知某点沿其轨迹的运动方程为s=b+ct ，式中的b 、c 均为常量，则该点的运动必 是 匀速 运动。
5.2.2点作直线运动，其运动方程为x =27t －t 3，式中x 以m 计，t 以s 计。则点在t=0到t=7s 时间间隔内走过的路程为 262 m 。 5.2.3已知点的运动方程为①22
t 5sin 5,
t 5cos 5==y x ②t 2,
t 2==y x
由此可得其轨迹方程为① x 2+y 2=25 ，② y 2=4x 。
5.2.4点的弧坐标对时间的导数是 速度的代数值 ，点走过的路程对时间的导数是 速度的大小 ，点的位移对时间的导数是 速度矢 。
三、选择题：
5.3.1点的切向加速度与其速度（ B ）的变化率无关，而点的法向加速度与其速度（ A ）的变化率无关。
A 、大小；
B 、方向。
5.3.2一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量 B 。 A 、平行； B 、垂直； C 、夹角随时间变化。
方向会变 注意：t=3时折返
四、计算题
5.4.1 图示曲线规尺各杆长分别为OA =AB =20cm ，CD =DE =AC =AE =5cm 。如杆OA 以等角速度ωπ
=
5
rad/s 绕O 轴转动，并且当运动开始时，杆OA 水平向右，求尺上D 点的运动方程
和轨迹。
5.4.2如图所示，偏心凸轮半径为R ，绕O 轴转动，转角φ=ωt （ω为常数），偏心距OC=e ，凸轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。求顶杆的运动方程和速度。
5.4.3图示摇杆滑道机构，销子M 同时在固定的圆弧BC 和摇杆OA 的滑槽中运动。BC 弧的半径为R ，摇杆绕O 轴以匀角速度ω转动，O 轴在BC 弧所在的圆周上，开始时摇杆处于水平位置；试分别用直角坐标法和自然法求销子M 的运动方程，速度及加速度。
1)直角坐标法： t oA 5cos 20cos πθ==消去t 得： D 点的运动方程 ???1100
40022=+y x D 点的轨迹方程 解：建立参考系如图，由于顶杆作平动，所以由顶杆上的A 点的运动方程： ?
??2222cos sin sin 2
e R e CD AC e AD OD oA y -+=-+=+==x t e R t e y ωω222cos sin ++=?为顶杆的运动方程。 顶杆的速度为： t e R t t e t e y v ωωωωωω2222cos 2)
sin (cos 2cos --?-+== t
e R t e t e ωωωωω2222cos 2)2sin cos -+=方向沿y 轴方向。 ),2cos 1(t R x ω+=t R y ω2sin =t R x
v x ωω2sin 2-== t R y v y ωω2cos 2== ωR v v v y x 222=+=∴t v v i v x ω2sin cos(-==t v v j v y ω2cos ),cos(==t R v a x x ωω2cos 42-== t R v
a y y ωω2sin 42-== 2
224ωR a a a y x =+=∴t a i a x ω2cos cos(-==t
a a j a y ω2sin ),cos(-==t AC oA 5sin 10sin 2sin πθθ=-=t
t 5
π
ω=?=
第六章 刚体的简单运动
一、 是非题
6.1.1刚体平动时，若已知刚体内任一点的运动，则可由此确定刚体内其它各点的运动。(∨ ) 6.1.2平动刚体上各点的轨迹可以是直线，可以是平面曲线，也可以是空间任意曲线。 (∨ ) 6.1.3刚体作定轴转动时角加速度为正，表示加速转动，为负表示减速转动。 （×）
6.1.4定轴转动刚体的同一转动半径线上各点的速度矢量相互平行，加速度矢量也相互平行。 （×）
6.1.5两个半径不同的摩擦轮外接触传动，如果不出现打滑现象，则任意瞬时两轮接触点的速度相等，切向加速度也相等。 （∨） 6.1.6刚体绕定轴转动时判断下述说法是否正确：
（1）当转角0>?时，角速度ω为正。 （×） （2）当角速度0>ω时，角加速度为正。 （×） （3）当0>?、0>ω时，必有0>α。 （×） （4）当0>α时为加速转动，0<α时为减速转动。 （×） （5）当α与ω同号时为加速转动，当α与ω异号时为减速转动。 （∨） 6.1.7刚体平动（平行移动）时，其上各点和轨迹一定是相互平行的直线。 （×）
二、 填空题
6.2.1无论刚体作直线平动还是曲线平动，其上各点都具有相同的 轨迹 ，在同一瞬时都有相同的 速度 和相同的 加速度 。
6.2.2刚体作定轴转动时，各点加速度与半径间的夹角只与该瞬时刚体的 α 和 w 有关，而与 各点的位置 无关。
6.2.3试分别写出图示各平面机构中A 点与B 点的速度和加速度的大小，并在图上画出其方向。
2自然法： t
R t R S ωω22=?=ωR S
v 2==? 方向如图。
0==v
a t 2
24ωR R v a n ==方向如图。
();__________,___________
,___________;__________,___________
,___________======n
B
B B n
A A A a a v a a v a τ
τ
();__________
,___________
,___________;__________,___________
,___________===
===n
B
B B n A A A a a v a a v b τ
τ
()
;__________,
___________,___________;__________,___________
,___________======n B
B B n A A A a a v a a v c τ
τ
6.2.4 图示齿轮传动系中，若轮Ⅰ的角速度已知，则轮Ⅲ的角速度大小与轮Ⅱ的齿数 无 关，与Ⅰ、Ⅲ轮的齿数___有_____关。
6.2.5圆盘作定轴转动，轮缘上一点M 的加速度a 分别有图示三种情况，试判断在这三种情况下，圆盘的角速度和角加速度哪个为零，哪个不为零。图(a )的 ω = 0 ，α = a / R ； 图(b ) 的ω≠ 0 ，α ≠ 0 ； 图(c ) 的ω α = 0 。
三、 选择题
6.3.1 时钟上秒针转动的角速度是（ B ）。
（A ）1/60 rad/s （B ）π/30 rad/s （C ）2πrad/s 6.3.2 满足下述哪个条件的刚体运动一定是定轴转动（ C ）
（A ）刚体上所有点都在垂直于某定轴的平面上运动，而且所有点的轨迹都是圆。 （B ）刚体运动时，其上所有点到某定轴的距离保持不变。
A
v ωR 2αR 222ωR ωR 2αR 22
2ωR ωL αL 2
ωL ωR αR 2ωR ω224b L +α224b L +2224ωb L +ωR αR 2
ω
R 1
2
2112z z i ==
ωω2
3
3223z z i ==
ωω1
331z z =
ωω：两式相乘得
（C ）刚体运动时，其上两点固定不动。 四、计算题
6.4.1 搅拌机的构造如图所示。已知R B O A O ==21，AB O O =21，杆A O 1以不变的转速n 转动。试求构件BAM 上的M 点的运动轨迹及其速度和加速度。
6.4.2 在图示机构中，已知m r AM B O A O 2.021====，AB O O =21。若轮O 1按? =15πt 的规律转动。求当t=0.5 s 时，AB 杆上M 点的速度和加速度。（答案：v M =0.3π m/s ）
AB 作平动
如圆周平动
BAM 作平动； t R x ωcos = t
y ∴M 点的运动轨迹及其速度和加速度都与A 点相同。 而A 点绕点作定轴转动，其角速度为：
30
602n
n ?==
ππω消去t 得M 点的运动轨迹： 2
22R y x =+30
n
R R v v A M ?=
==πω方向如图
R n
R a a nA nM 2230
(
?===πω方向如图
0===A tA tM v
a a v v 解：∵AB 杆作平动； 方向如图
A
M
v v =∴A
M a a =π?
ω15== s
m r v v A M 425.93152.0==?===∴ππω方向如图
2
222213.44445152.0s m r a a nA nM ==?===ππω0
===αr a a tA tM
6.4.3如图所示，曲柄O 2B 以等角速度ω绕O 2轴转动，其转动方程为t ω?=，套筒B 带动摇杆O 1A 绕轴O 1轴转动。设r B O h O O ==221,，求摇杆的转动方程和角速度方程。
6.4.4如图所示，一飞轮绕固定轴O 转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的交角恒为600。当运动开始时，其转角φ0等于零，角速度为ω0。求飞轮的转动方程及角速度与转角的关系。
解：摇杆O 1A 绕O 1作定轴转动，由图可得： t
r h t r r h r C
O BC tg ωω?
?θcos sin cos sin 1-=
-=
=
为摇杆的转动方程
)
cos sin (
t
r h t
r arctg ωωθ-=?为摇杆的角速度方程
2
222)cos (sin sin cos )cos ()cos (sin 11t r h t
r t r t r t r h t r h t r ωωωωωωωωωθ
-?--?
-+
= 2
2222222222cos 2)cos (sin cos cos 2sin cos cos r t hr h r t h r t r t r t hr h t r t r t hr +--=
++---=ωωωωωωωωωωωω2
ωαθ=
tg 为摇杆的转动方程
解：由（6-12）式得： 2
0360ωα==?tg 23ωω
α==?dt
d dt d 32=?
ω
ω
?
?
=?t
dt
d 0
2
30
ω
ωωω
t 3110=+?ωω-
003131
1ωωωωt t --==?
(a)
-t
00
31ωωω=
?t
dt
d 0031ωω?-=
????--==?t t t t d t dt d 0000000
31)31(3131ωωωω??--)31ln(31
0t ω?--=?ω?0031ln(3=?--ω?
03=?-e ?ωω30-e =?
为角速度与转角的关系解：摇杆O1A绕O1作定轴转动，由图可得：
工程力学习题答案5廖明成教材
第五章 空间任意力系 习 题 5.1 托架A 套在转轴z 上，在点C 作用一力F = 2000 N 。图中点C 在Oxy 平面内，尺寸如图所示，试求力F 对x ，y ，z 轴之矩。 题5.1图 解：cos 45sin 60 1.22x F F KN == cos45cos600.7y F F KN == sin 45 1.4z F F KN == 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 5.2 正方体的边长为a ，在其顶角A 和B 处分别作用着力F 1和F 2，如图所示。求此两力在轴x ，y ，z 上的投影和对轴x ，y ，z 的矩。 x y z O a a a A B F 1 F 2 α βα题5.2图 F F z F xy F y F x
解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+ 12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3 如图所示正方体的表面ABFE 内作用一力偶，其矩M = 50 kN·m ，转向如图。又沿GA 、BH 作用两力F 、F ′，F = F ′，a = 1 m 。试求该力系向C 点的简化结果。 解：两力F 、F ′能形成力矩 1M 1M Fa m ==? 11cos 45x M M = 10y M = 11sin 45z M M = 1cos 4550x M M KN m ==? 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=? C M m ==?
第五章 空间力系
第五章 空间力系 一、内容提要 本章研究了空间力系的平衡问题和物体重心的计算方法。 1、空间力系的平衡问题 （1）力在空间坐标轴上的投影，可采用下列两种方法： 一次投影法 αcos X F F = βc o s Y F F = γc o s Z F F = 二次投影法 ?γcos sin X F F = ?γs i n s i n Y F F = γcos F F Z = （2）力对轴的矩 力对轴的矩，是力使物体绕某固定轴的转动效应的度量，是一个代数量，它的大小可按下列两种方法求解。 将力投影到垂直于轴的平面上，按平面上力对点的矩计算 ()d F F M xy z ±= 将力沿x 、y 、z 轴分解，根据合力矩定理计算。 力与该轴平行或相交时，力对轴的矩为零。 （3）空间力系的平衡方程 空间汇交力系的平衡方程 0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F 空间平行力系的平衡方程 0Z =∑F ()0=∑F M y ()0=∑F M x 空间一般力系的平衡方程 0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F ()0=∑F M z ()0=∑F M y ()0=∑F M x 2、重 心 （1）重心与形心的概念 物体的重心是物体各微小部分的重力所组成的空间平行力系的合力的作用点。形心是物体几何形状的中心。匀质物体的重心与形心重合。 （2）重心和形心坐标公式 一般物体重心的坐标公式 W W F x F x c ∑?= W W F y F y c ∑?= W W F z F z c ∑?= 匀质物体重心的坐标公式
V Vx x c ∑?= V Vy y c ∑?= V Vz z c ∑?= 匀质薄板重心的坐标公式 A Ax x c ∑?= A Ay y c ∑?= （3）组合法求匀质物体的重心（形心） 分割法 负面积法（负体积法） 二、典型例题解析 工程中许多空间受力问题都可以转化成平面问题。因此，空间力系并非本章的重点内容。本章的重点在于计算物体的重心或平面图形的形心。下面这个类型的例题在教材中没有出现，但在工程实际中常会遇到。 知识点：计算物体的重心或平面图形的形心 例 平面桁架由七根等截面的匀质杆构成，尺寸如图所示。求桁架的重心位置。 解 由于这七根杆都是等截面的匀质杆。因此其重量与杆长成正比，并且每根杆的重心都在其中点。 设每米长杆重为1，则根据式（5-10）即可计算出x C 、y C 之值。根据几何关系 l 1 =3m ， l 2 = l 3 = l 6 =2.5m ， l 4 = l 7 =2m ， l 5 =1.5m 。 l lx W Wx x c ∑∑=∑?= = m m 16 5.235.12235.23325.225.1125.25.2(=+?+?+?++?+?++）（） = 1.469 m l ly W Wy y c ∑∑=∑?= = m m 16 155.12235.2375.05.15.25.225.25.25.13=+?+?+?+++?+?）（ = 0.938m 三、思考题提示或解答 5-1 力在空间直角坐标轴上的投影和此力沿该坐标轴的分力，它们之间有什么联系与区别？ 答：力在空间直角坐标轴上的投影只有大小和正负，它是标量；而力沿坐标轴的分力是矢量，有大小，有方向，其作用效果与作用点或作用线有关。在坐标轴确定的前提下，二者的大小相等。 5-2 已知下列几种情况，试说明力F 的作用线与x 轴的关系： （1）ΣF X =0 M z （F ）=0； （2）ΣF X =0 M z （F ）≠0； （3）ΣF X ≠0 M z （F ）=0。 答：（1）ΣF X =0 M z （F ）=0：该力与z 轴平行或位于Oyz 平面内； （2）ΣF X =0 M z （F ）≠0：该力与x 轴垂直且不与z 轴相交或平行； （3）ΣF X ≠0 M z （F ）=0：该力与z 轴相交且不与x 轴垂直。 5-3 试从空间一般力系的平衡方程，推导出空间汇交力系、空间平行力系、平面一般
工程力学课后习题答案第五章 空间任意力系
第五章 空间任意力系 5.1解：cos 45sin 60 1.22x F F K N == c o s 45c o s 60 0.7 y F F K N == sin 45 1.4z F F K N == 6084.85x z M F m m K N m m ==? 5070.71y z M F m m K N m m ==? 6050108.84z x y M F m m F m m K N m m =+=? 5.2 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1c o s c o s y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1M Fa m ==? 11cos 45x M M = 10y M = 11sin 45z M M = 1c o s 4550x M M K N m == ? 11sin 4550100z z M M M M K N m =+=+=? C M m ==?63.4α= 90β= 26.56γ= 5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m ，M 2 = 2 N·m ，求力系向O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题5.4图 解：' 1236R F F F F N =+-=
理论力学(机械工业出版社)第三章空间力系习题解答
理论力学（机械工业出版社）第三章 空间力系习题解答 习题3-1 在边长为a的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F1=6kN，F2=2kN，F3=4kN。试求各力在三个坐标轴上的投影。图3-26 F1x?0F1y?0F1z?F1?6kN F2y?Fcos45??2kNF2z?0 F2x??F2cos45???2kNF3x?F3343?kN33F3 y??F3343??kN33F3z?F3343?kN 33 3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm×300 mm×300mm，正面有力F1=100N，中间有力F2=200N，顶面有力偶M=20N·m作用。试求各力及力偶对z轴之矩的和。图3-27 ?Mz??F1cos45???F2434?? 20 ??202?24034?20???m 3-3如图3-28所示，水平轮上A点作用一力F=1kN，方向与轮面成a=60°的角，
且在过A点与轮缘相切的铅垂面内，而点A与轮心O?的连线与通过O?点平行于y轴的直线成b=45°角，h=r=1m。试求力F在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。图3-28 Fx?Fcos?sin??1000?cos60??sin45??2502 N?354N Fy??Fcos?cos???1000?cos60??sin45???25 02N??354N 1 Mx(F)?|Fy|?h?|Fz|?rcos??354?1?866?1?co s45???258N?m My(F)?|Fx|?h?|Fz|?rsin??354?1?866?1?sin 45??966N?m Mz(F)??Fcos??r??1000?cos60??1??500N? m Fz??Fsin???1000?sin60???5003??866N 3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，a=30°。试求力F对x、y、z轴之矩。图 3-29 ?Fsin?sin??100?sin230??25N
第三章 空间力系
第三章 空间力系 一、是非题判断题 3.1.1 对一空间任意力系，若其力多边形自行封闭，则该力系的主矢为零。 （ ∨ ） 平面力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（ × ） 3.1.2只要是空间力系就可以列出6 个独立的平衡方程。 （ × ） 3.1.3若由三个力偶组成的空间力偶系平衡，则三个力偶矩矢首尾相连必构成自行封闭的三角形。 （ ∨ ） 3.1.4 空间汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力为零；空间力偶系平衡的充分和必要条件是力偶系的合力偶矩为零。 （ ∨ ） 二、填空题 3.2.1 若一空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面，则此力系有 5 个独立的平衡方程。 3.2.2 板ABCD 由六根杆支承如图所示，受任意已知力系而处于平衡，为保证所列的每个方程中只包含一个未知力，则所取力矩平衡方程和投影平衡方程分别为 ： 三、计算题 3.3.1在图示力系中，F 1=100N ，F 2=300N ，F 3=200N ，各力作用线位置如图所示，求力系向点O 简化的结果。 ∑=0CD M 6F ?∑=0CG M 5 F ?∑=0AC M 4F ?∑=0 DH M 1F ?∑=0CD F 3 F ?∑=0 BD M 2 F ?Rx F ' 解： 5 10013100N 3345.-=5 100200 2001310020030032??=--==∑--cos sin βαF F X Ry F 'N F Y 624913100300 3002.cos =?===∑αRz F 'N F F Z 56105100100 20010031.cos =?-=-==∑β)(...'N k j i k Z j Y i X F R 561062493345∑∑∑++-=?+?+?=∴x M 0 Nm 7951.-=5 100100 20013100300300301032????=--==∑0.3--0.1sin .cos .βαF F M x y M 0Nm F F M y 64361310020030010020102021.0.1-.sin ..-=???-=-==∑αZ M 0Nm 59103.=200200200300303032??+??=+==∑0.30.3cos .sin .βαF F M Z
理论力学第三章空间力系习题解答
习 题 3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F 1=6kN ，F 2=2kN ，F 3=4kN 。试求各力在三个坐标轴上的投影。 图3-26 kN 60 1111====F F F F z y x 0kN 245cos kN 245cos 2222== ?=-=?-=z y x F F F F F kN 3 3 433kN 3 3 433kN 3 34333 33 33 3==-=-===F F F F F F z y x 3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm ×300 mm ×300mm ，正面有力F 1=100N ，中间有力F 2=200N ，顶面有力偶M =20N ·m 作用。试求各力及力偶对z 轴之矩的和。 图3-27 203.034 44.045cos 2 1-?+??-=∑F F M z m N 125.72034 240220?-=-+ -= 3-3如图3-28所示，水平轮上A 点作用一力F =1kN ，方向与轮面成a=60°的角，且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内，而点A 与轮心O '的连线与通过O '点平行于y 轴的直线成b=45°角， h =r=1m 。试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。 图3-28 N 354N 225045sin 60cos 1000sin cos ==????==βαF F x N 354N 225045sin 60cos 1000cos cos -=-=????-=-=βαF F y
N 866350060sin 1000sin -=-=??-=-=αF F z m N 25845cos 18661354cos ||||)(?-=???-?=?-?=βr F h F M z y x F m N 96645sin 18661354sin ||||)(?=???+?=?+?=βr F h F M z x y F m N 500160cos 1000cos )(?-=???-=?-=r F M z αF 3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力 F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，a=30°。试求力F 对 x 、y 、z 轴之矩。 图3-29 N 2530sin 100sin sin 2=??==ααF F x N 3.43N 32530cos 30sin 100cos sin -=-=????-=-=ααF F y N 6.8635030cos 10030cos -=-=??-=?-=F F z 3 .03504.0325)(||||)(?-?-=+?-?-=CD AB F BC F M z y x F m N 3.43325?-=-= m N 104.025||)(?-=?-=?-=BC F M x y F m N 5.73.025)(||)(?-=?-=+?-=CD AB F M x z F 3-5 长方体的顶角A 和B 分别作用力F 1和F 2，如图3-30所示，已知：F 1=500N ，F 2=700N 。试求该力系向O 点简化的主矢和主矩。 图3-30 N 4.82114100520014 25 221R -=--=? -?-='F F F x N 2.561141501432R -=-=?-='F F y N 7.4101450510014 15 1 21R =+=? +?='F F F z N 3.10767.410)2.561()4.821(222R =+-+-='F
工程力学课后习题答案第五章空间任意力系
第五章 空间任意力系 解：cos 45sin 60 1.22x F F KN ==o o cos45cos600.7y F F KN ==o o sin 45 1.4z F F KN ==o 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =o 10y M = 11sin 45z M M =o 1cos 4550x M M KN m ==?o 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=?o 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α=o 90β=o 26.56γ=o 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m，M 2 = 2 N·m，求力系向 O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题图
第三章 空间力系
第三章 空间力系 一、 判别题（正确和是用√，错误和否用×，填入括号内。） 4-1 力对点之矩是定位矢量，力对轴之矩是代数量。（ √ ） 4-2 当力与轴共面时，力对该轴之矩等于零。（ √ ） 4-3 在空间问题中，力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢决定。（ √ ） 4-4 将一空间力系向某点简化，若所得的主矢和主矩正交，则此力系简化的最后结果为 一合力。（ √ ） 4-5 某空间力系满足条件：ΣΣΣΣy x y F 0,Z 0,M (F )0,M (F )0====，该力系简化的最后结果可能是力、力偶或平衡。（ √ ） 4-6 空间力对点之矩矢量在任意轴上的投影，等于该力对该轴之矩。（ × ） 4-7 空间力对点之矩矢量在过该点的任意轴上的投影等于该力对该轴之矩。（ √ ） 4-8 如果选取两个不同的坐标系来计算同一物体的重心位置，所得重心坐标相同。（ × ） 4-9 重心在物体内的位置与坐标系的选取无关。 （ √ ） 4-10 如题图4-10所示，若力F 沿x 、y 、z 轴的分力为 F x 、F y 和F z ，则力F 在x 1轴上的投影等于F x 和F z 在x 1 轴上的投影的代数和。 （ √ ） 4-11 在题图4-10中，当x 1轴与z 轴间的夹角 ??? ??=c b arctg ?时，力F 才能沿x 1轴和y 轴分解成两个分 量。（ √ ） 4-12 由n 个力系组成的空间平衡力系，若其中（n -1）个力相交于A 点，则另一个力也一定通过A 点。（ √ ） 4-13 空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别为零，则汇交力系一定平衡。（ × ） 4-14 某空间力系由两个力组成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最终结果为力螺旋。（ √ ） 4-15 空间任意力系的合力（如果存在合力）的大小一定等于该力系向任一点简化的主矢大小。（ √ ） 题4-10图
工程力学课后习题答案第五章空间任意力系
第五章空间任意力系 5.1解：cos45sin 60 1.22x F F KN c o s 45c o s 60 0.7 y F F K N sin 45 1.4z F F KN 6084.85x z M F mm KN mm 5070.71y z M F mm KN mm 6050108.84 z x y M F m m F m m K N m m 5.2 解：21sin cos sin x F F F 1c o s c o s y F F 12sin cos z F F F 12sin cos x z M F a aF aF 1sin y M aF 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF 5.3解：两力F 、F ′能形成力矩1 M 1 502M Fa KN m 11cos45x M M 10y M 11sin 45 z M M 1c o s 45 50x M M K N m 11sin 45 50 100z z M M M M KN m 2 2 505C z x M M M KN m 63.4 90 26.56 5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中 心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N ·m ，M 2 = 2 N ·m ，求力系 向O 点简化所得的主矢 ' R F 和主矩M O 。 题5.4图 解：' 1236R F F F F N
方向为Z 轴正方向 21232248x M M F F F N m 11 2 3 312y M M F F F N m 2 2 14.42O y x M M M N m 56.6333.990 5.5 解： 120,cos30cos300Ax Bx X F F T T 210,sin30 sin30 0Az Bz Z F F T T W 120,60cos3060cos301000 z Bx M T T F 120,3060sin30 60sin301000 x Bz M W T T F 2111 0,0 y M Wr T r Tr 20.78,13Ax Az F KN F KN 7.79, 4.5Bx Bz F KN F KN 1 2 10,5T KN T KN 5.6 题5.6图 2a ，AB 长为2b ，列出平衡方程并求解