3.2二维连续型随机变量及其概率分布

【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y |1/2|Y>0}(2) f Y|X (y|x ), f X|Y (x|y )10. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求 {12x 2y 0 1x ≤y ≤x,x ≥1 其它 f X|Y (x|y )11. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求的联合分布 {4xy 0 0≤x ≤1,0≤y ≤1 其它 （X,Y ）

2.1随机变量及其概率分布(1)

随机变量及其概率分布(1) 【教学目标】 1、在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散性随机变量及其概率分布的概念。 2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 3、提高学生的抽象概括能力，提高数学建模的能力，提高学生应用数学的意识。 4、随机变量是客观世界中极为普遍的，通过对各种现象及事件a 的分析，培养严谨的逻辑思维能力，激发学生学习兴趣，初步认识数学的应用价值、科学价值，并深刻体会数学是服务于实践的一门学科。 【教学过程】 1、相关知识回顾： （1）随机现象： 在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先也不能断定出现哪种结果的现象 （2）基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果 （3）古典概型： 我们将具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件发生的概率相等. 满足这两个特点的概率模型称为古典概率模型 2、新课引入： （1）在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是0，1，…，10中的某个数； （2）抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数； （3）新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女。如果将男婴用0表示， 女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数； 上述问题有哪些共同特点？ 上述问题中的X ，Y ，Z ，ε实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射。 例如：上面的植树问题中成活的树苗棵数X ： X=0，表示成活0棵； X=1，表示成活1棵；…… 思考：“X>7”表示什么意思？ 3、新授： 知识点1：随机变量： 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量。 通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ζηε,,）等表示，而用小写拉丁字母z y x ,,（加上适当下标）等表示随机变量取得可能值。 引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来。 注：（1）随机试验中，可能出现的恶结果都可以用一个数来表示。如掷一枚硬币，“正

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0

二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7

=? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下：

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文

第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2

A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第三章

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案

第二章随机变量及其概率分布考试模拟题 (共90 分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X) 是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是( B ) A.0 F( x) 1 B.F( x)=P{X=x} C.F( x)=P{X x} D.F( )=1, F( )=0 解析：A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！ B 是错误的。2．设随机变量X的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X 5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是 4x 0 x1 2x A.F(x)= B.F(x)= 其它其它 x<0 x<0 C.F(x)= 2x D.F(x)= 2x 0 x 0.5 其它≥0.5 解析：由分布函数F(x) 性质：0 F(x) 1，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4．设X 的密度函数为f(x)=则P{-2

1 解析：根据密 度函数性质： A.有f(x) 0的情况，错； B.D. 不符合 f(x)dx 1错； 1 C. 1 12dx 21x|11 12 21 1 选 C 6.设随机变量 X~N(1 ，4)， (1) 0.8413, (0) 0.5 ，则事件 {1 X 3 } 的概率为(D ) 解：P{1 X 3 }=F(3)-F(1)= (3 1) (1 1) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413 22 7．已知随机变量 X 的分布函数为( A ) 0 x 0 1 0 x 1 F(x)= 2 ，则 P X 1 = 2 1x3 3 1 x 3 112 A ． 1 B ． 1 C ． 2 D ． 1 623 A. 0 B. C. D. 848 解析： P {-2

联合概率分布：离散与连续随机变量

Joint Distributions,Discrete Case In the following,X and Y are discrete random variables. 1.Joint distribution(joint p.m.f.): ?De?nition:f(x,y)=P(X=x,Y=y) ?Properties:(1)f(x,y)≥0,(2) x,y f(x,y)=1 ?Representation:The most natural representation of a joint discrete distribution is as a distribution matrix,with rows and columns indexed by x and y,and the xy-entry being f(x,y).This is analogous to the representation of ordinary discrete distributions as a single-row table.As in the one-dimensional case,the entries in a distribution matrix must be nonnegative and add up to1. 2.Marginal distributions:The distributions of X and Y,when considered separately. ?De?nition: ?f X(x)=P(X=x)= y f(x,y) ?f Y(y)=P(Y=y)= x f(x,y) ?Connection with distribution matrix:The marginal distributions f X(x)and f Y(y) can be obtained from the distribution matrix as the row sums and column sums of the entries.These sums can be entered in the“margins”of the matrix as an additional column and row. ?Expectation and variance:μX,μY,σ2 X ,σ2 Y denote the(ordinary)expectations and variances of X and Y,computed as usual:μX= x xf X(x),etc. https://www.wendangku.net/doc/8016715974.html,putations with joint distributions: ?Probabilities:Probabilities involving X and Y(e.g.,P(X+Y=3)or P(X≥Y)can be computed by adding up the corresponding entries in the distribution matrix:More formally,for any set R of points in the xy-plane,P((X,Y)∈R))= (x,y)∈R f(x,y). ?Expectation of a function of X and Y(e.g.,u(x,y)=xy):E(u(X,Y))= x,y u(x,y)f(x,y).This formula can also be used to compute expectation and variance of the marginal distributions directly from the joint distribution,without?rst computing the marginal distribution.For example,E(X)= x,y xf(x,y). 4.Covariance and correlation: ?De?nitions:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=E((X?μX)(Y?μY))(Covariance of X and Y),ρ=ρ(X,Y)=Cov(X,Y) σXσY (Correlation of X and Y) ?Properties:|Cov(X,Y)|≤σXσY,?1≤ρ(X,Y)≤1 ?Relation to variance:Var(X)=Cov(X,X) ?Variance of a sum:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)(Note the analogy of the latter formula to the identity(a+b)2=a2+b2+2ab;the covariance acts like a “mixed term”in the expansion of Var(X+Y).) 1

第二章 随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布 教学目的与要求 1. 熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维离散型随机变量的分布列； 2. 熟练掌握一维随机变量分布函数的概念与性质； 3. 熟悉一维离散型随机变量的分布函数与分布列的关系； 3. 理解一维连续型随机变量分布函数与分布密度的概念及其关系； 4. 熟记常见的几种分布的表达形式. 6. 熟悉随机变量函数的分布函数与分布密度的计算公式. 教学重点 一维离散型、连续型随机变量及其分布 教学难点 随机变量函数的分布 教学方法 讲解法 教学时间安排 第11-12学时 第一节 随机变量 第四节 随机变量的分布函数 第13-16学时 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第17-18学时 第五节 随机变量函数的分布 习题辅导 教学内容 第一节 随机变量 一、随机变量 在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念. 定义2.1 设E 维随机试验，()ωΩ=为其样本空间，若对任意的ω∈Ω，有唯一的实数与之对应，且对{},x R x ξ?∈≤为事件，则称()ξω为随机变量. 这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表

示为事件，其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件. 二、分布函数的定义与性质 定义2.2 定义在样本空间Ω上，取值于实数域的函数()ξω，称为是样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称 ()(()), (,)F x P x x ξω=≤∈-∞∞ 是随机变量()ξω的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质： （1）单调性 若12,x x <则12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0x F F x →-∞ -∞== ()lim ()1x F F x →+∞ +∞== （3）右连续性 (0)()F x F x += 反过来，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 由分布函数还可以下列事件的概率： {()}1(){()}(0) {()}1(0){()}()(0) P x F x P x F x p x F x P x F x F x ξωξωξωξω>=-<=-≥=--==-- 由此可见，形如12121212{()},{()},{()},{()}x x x x x x x x ξωξωξωξω≤≤<<<≤≤<这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率，都可以由()F x 算出来，所以()F x 全面地描述了随机变量()ξω的统计规律. 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量的概念及其分布 定义 2.2 定义在样本空间Ω上，取之于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量 ()ξξω=，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称

讲连续型随机变量分布与随机变量的函数的分布

第七讲 连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X 具有概率密度 )5.4(,, 0,,1 )(??? ??<<-=其它b x a a b x f 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). X 的分布函数为 )6.4(. , 1,, ,,0)(???? ???≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F （2）指数分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 )7.4(, , 0,0,e 1)(/?????>=-其它x x f x θ θ 其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布. 容易得到X 的分布函数为 )8.4(. , 0,0,1)(/?? ?>-=-其它x e x F x θ 如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度 1 =2

P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 }. {e e e )(1)(1}{}{} {)} (){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>= >>?+>=>+>--+-θ θθ 性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 ) 10.4(,,e 21)(2 22)(∞<<-∞= -- x x f x σμσ π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为 μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为 X~N(μ,2σ). 显然f(x)≥0, 下面来证明 1d )(=? +∞ ∞ -x x f 令t x =-σμ/)(, 得到 dx e dx e t x 2 2)(22 22121- ∞ +∞ --- ∞ +∞ -? ? = π σ πσμ . 1d 21d 21 ) 11.4(π 2d d e ,, d d ,d e 2 2)(20 2 22 /)(2 2 /2 2 22 222== ====? ??? ? ? ?∞ ∞ -- ∞ ∞ ---∞ - +∞∞-+∞ ∞ -+-∞∞ --x e x e r r I u t e I t I t x r u t t π σ πθσ μπ 于是 得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质: f (x )的图形: 1.5 0.5

人教版高数选修2-3第二章2.1随机变量及其分布(教师版)

随机变量及其分布 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解随机变量的概念. 2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质. 3.能熟练应用两点分布. 4.能熟练运用超几何分布. 1.随机变量: 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母,,ξηζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值. 注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验. (2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f (x )的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果. (3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种： 如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. (4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别： 离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举. 2.随机变量的概率分布 一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是12,, ,,n x x x 且()i P X x == ,1,2,3, ,i p i n =①，则称①为随机变量X 的概率分布列. 3.随机变量概率分布的性质 (1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率. (2)随机事件A 的概率满足0≤P (A )≤1，必然事件U 的概率P (U )=1.若离散型随机变量X 所有可能取的值为12,, ,.n x x x X 取每一个值i x (i =1，2，…，n )的概率为(),i i P X x p ==○ 10,1,2,3,,;i p i n ≥=○2123 1.n p p p p ++++=不满足上述两条性质的分布列一定是错误的， 即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件. (3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.

随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、随机变量及其分布函数 设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数，且x R ?∈， {}()X x ωω≤是随 机事件，则称()X X ω=为随机变量，而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。 随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴．非负性: x R ?∈，有0()1F x ≤≤； ⑵．规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=； ⑶．单调性: 若12x x ≤，则12()()F x F x ≤； ⑷．右连续性: x R ?∈，有(0)()F x F x +=。 二、离散型随机变量 1．离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<=其中而。 三、连续型随机变量

连续型随机变量及其分布(精)

连续型随机变量及其分布 知识要点 1．分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X 取值不大于实数x 的概率 ()P X x ≤称为随机变量X 的分布函数，记作()F x , 即 ()(),F x P X x x =≤-∞<<∞． 2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤ (２) ()F x 是非减函数，即当12x x <时，有12()()F x F x ≤； (3) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞ →+∞ ==; (4) ()F x 是右连续函数，即0()()lim x a F x F a →+=． 由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ()()();P a X b F b F a <≤=- 也可以求得 ()()(0)P X a F a F a ==--． 3．联合分布函数 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即 (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤； (2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3) (,)0,(,)0 lim lim x y F x y F x y →-∞ →-∞ ==， (,)0,(,)1 lim lim x x y y F x y F x y →-∞ →+∞→-∞ →+∞ ==； (4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数； (5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有 ()()x F x f x dx -∞ =? 成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２） ()1 f x dx +∞ -∞ =? ；

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布 (一)连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使 对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度。 注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为 lo 2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。 1)??f(x)M0?? 2)? j f(x)dx = \ 3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件) 因此PQWXWb)二P(a

注：iv)与离散型随机变量不同,

易知 ； (3) P(|X|<. 解⑴ P(XW 二①二 (2) P(X> =1- P(XW =1-①= (3) P(|X|< =P0有 P///-h/2/r s

《概率论与数理统计》习题三问题详解-设二维随机变量(x,y)

《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ?? 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

第二章随机变量及其函数的概率分布

第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 一、 填空题 1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,) 2.0()8.0(33=-k C k k k ； 2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ； 3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F ； 4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布 函数)(x F = 0 10.2 120.5 231 3x x x x =λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 1 1 -=b λ. 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5 10 41 ===-k C C k X P k 所以X 的分布列为

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x ，有()()x F x f t dt -∞ = ? ，则称X 为连续性随机变量，f(x)称 为X 的概率密度函数，简称概率密度。 注：F (x )表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x)的性质：注：f (x )不是概率。 1) f(x )≥0 2) ()1f x dx 3) 21 x 1 221x {x x } f (x)x (x )(x )P X d F F 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即{} 0. P X x （但{X =x }并不一定是不可能事件） 因此 P(a ≤X ≤b)= P(a

故得P （-1}. 解：由 f (x)x 1d 得 0f (x)x ()()d f x dx f x dx 3x k x k /31,e d 3.k 3x 3, x 0, f (x) 0, x 0. e 当0x 时，()00x F x dt -∞ ==? 当0x 时，0 330 () 031x t x F x dt e dt e 于是， 3x 1, x 0, F(x) 0, x 0.e 0.3 {0.1}1{1}1(1)1(1)P X P X F e 0.3 0.7408.e （二）正态分布 （1）设随机变量X 的概率密度函数为 22 (x )21 f(x),x ,2e μσπσ -- = -∞<<+∞ ,(0)μσσ>其中为常数，则称X 为服从参数为,μσ的正态分布，记作2~(,).X N μσ其图象为（右图）。其中：μ称为位置参数，(x)f 的图形 关于x μ=对称，σ影响(x)f 的最大值及曲线的形状。分布函数为