算法合集之《“约制、放宽”方法在解题中的应用》
一张一弛，解题之道
——“约制、放宽”方法在解题中的应用
广东省中山纪念中学陈启峰
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一张一弛，解题之道 ............................................. 错误！未定义书签。——“约制、放宽”方法在解题中的应用 ......... 错误！未定义书签。
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【摘要】............................................................................... 错误！未定义书签。
【关键字】........................................................................... 错误！未定义书签。
“约制、放宽”方法的定义............................................... 错误！未定义书签。
引言....................................................................................... 错误！未定义书签。
例题分析............................................................................... 错误！未定义书签。
[例一]骑士..................................................................... 错误！未定义书签。
【问题描述】......................................................... 错误！未定义书签。
【问题分析】......................................................... 错误！未定义书签。
【数学模型】.................................................. 错误！未定义书签。
【算法模型分析】.......................................... 错误！未定义书签。
【确定总算法和研究对象】.......................... 错误！未定义书签。
【分析研究对象】.......................................... 错误！未定义书签。
【“约制”方法确定新任务】...................... 错误！未定义书签。
【寻找两个向量的规律】.............................. 错误！未定义书签。
【“约制”方法解决新任务】...................... 错误！未定义书签。
【回到研究对象】.......................................... 错误！未定义书签。
【回到起点】.................................................. 错误！未定义书签。
【小结】.......................................................... 错误！未定义书签。
[例二]友好的动物......................................................... 错误！未定义书签。
【问题描述】......................................................... 错误！未定义书签。
【问题分析】......................................................... 错误！未定义书签。
【数学模型】.................................................. 错误！未定义书签。
【原始算法的矛盾】...................................... 错误！未定义书签。
【数据范围分析】.......................................... 错误！未定义书签。
【数据结构优化时的矛盾】.......................... 错误！未定义书签。
【分析矛盾】.................................................. 错误！未定义书签。
【“放宽”方法化解矛盾】............................ 错误！未定义书签。
【小结】.......................................................... 错误！未定义书签。
[例三]消防站................................................................. 错误！未定义书签。
【问题描述】......................................................... 错误！未定义书签。
【问题分析】......................................................... 错误！未定义书签。
【数学模型】.................................................. 错误！未定义书签。
【算法模型分析】.......................................... 错误！未定义书签。
【预处理】...................................................... 错误！未定义书签。
【确定动态规划时的矛盾】.......................... 错误！未定义书签。
【总结分析】.................................................. 错误！未定义书签。
【“放宽”方法转化限制】.......................... 错误！未定义书签。
【进一步分析】.............................................. 错误！未定义书签。
【“约制”方法增添限制】.......................... 错误！未定义书签。
【确定动态规划转移方程】.......................... 错误！未定义书签。
【小结】.......................................................... 错误！未定义书签。
总结....................................................................................... 错误！未定义书签。
【感谢】............................................................................... 错误！未定义书签。
【摘要】
本文主要阐述了“约制、放宽”方法在解题中的应用。
第一部分解释了什么“约制、放宽”方法。第二部分论述了在解题中为什么需要“约制、放宽”方法。第三部分通过分析《骑士》、《友好的动物》和《消防站》分别介绍了“约制”方法、“放宽”方法和两者综合应用在解题中起的作用。最后作者结合自身经验谈谈在解题中如何灵活运用“约制、放宽”方法。
【关键字】
“约制”方法“放宽”方法
过于宽松过于繁杂
过于独立过于严格
约制条件、限制
放宽条件、限制
正文
“约制、放宽”方法的定义
“约制”方法——添增一些约束的条件、限制，并保证在这些条件和限制下依然能找到解。
“放宽”方法——减除、放宽一些条件、限制，并保证在这些条件和限制下依然能找到解。
引言
在分析问题、设计算法的时候，我们常常会觉得条件、限制过于繁杂、严格或者过于宽松、独立以致无法下手。这时，不妨尝试“约制、放宽”方法。“约制”方法往往在我们迷茫时指出一条光明大道，“放宽”方法则常常在关系错综复杂时破除阻扰和荆棘。巧妙地运用这两种方法能使我们在解题中排除万难，直入脏腑。
例题分析
下面，本人从“约制”方法，“放宽”方法和两者的综合应用三个方面精心挑选了三个题目并作详细分析，希望这能起到抛砖引玉的作用。
[例一]骑士1
【问题描述】
有一骑士在一个无限大的棋盘上移动。它每次的移动都用一个整数对来描述——整数对（a,b）表示骑士能从位置（x,y）跳到位置(x+a,y+b)或者(x-a,y-b)。每个骑士有一系列的已确定的整数对，描述这骑士能进行哪些移动。我们保证每个骑士能到达的位置不在同一直线上。
当两个骑士以位置（0，0）为始点能到达的所有位置完全相同时（可能做很多次移动），我们就说这两个骑士是等价的。可以证明对于每一个骑士，都存在一个只有两个整数对的等价骑士。
1选自POI2005的STAGE 1的《KNIGHTS》
任务：读入一个骑士的所有整数对，找出一个只有两个整数对的等价骑士。
【问题分析】
【数学模型】
令输入的整数对分别表示为向量),(11b a ,向量),(22b a ……向量),(n n b a ，找出两个整数对——向量),(11d c 和),(22d c 与这n 个向量等价,也就是
对于任意的整数序列n t t t t ......,,321，都存在两个整数f
e ,使得 ),(),(),(2
2
111d c f d c e b a t n i i i i ?+?=?∑= 并且对于任意两个整数f e ,，都存在一个整数序列n t t t t ......
,,321，使得 ∑=?=?+?n
i i i i b a t d c f d c e 12211),(),(),(
【算法模型分析】
看到这个题目，最容易想到的算法是枚举这两个向量和用宽度优先搜索判断是否等价。但是要寻找的这两个向量的范围是无限大的，并且棋盘也是无限大的。因此这个算法宛如大海捞针一般，极难在有限的时间内找到解。
然后尝试贪心、动态规划、图论等硬做的算法，但这些算法都在预料之中以失败告终。
最后，看来只有必经之路——数学方法才能可以解决这个问题。
【确定总算法和研究对象】
用数学方法解决等价转化等题目的方法还是不胜枚举的。例如有归纳法，有总体法，有解方程法，有数形结合。对于这个题目，我们应选取什么数学方法好呢？
注意到，如果任意的三个向量都可以与某两个向量等价，那么便可以从n(n>2)个向量中任选三个向量出来，用与它们等价的两个向量代替它们，从而变成n-1个向量。不断重复上述的过程，直到只剩下两个向量为止，这时剩下的两个向量便是一个可行解。而由问题描述可以知道：对于任意三个向量都存在两个向量与它们等价。这便意味这种方法是可行的。
于是，就可以确定下总算法——不断化三为二，同时也产生了我们的研究对
象——如何把三个向量等价替换为两个向量？
【分析研究对象】
因为满足条件的解（等价的两个向量）是无限多个的，解的范围没有多少限制，而我们仅仅需要这样一个解，所以这时确定下来的研究对象虽然看起来简洁明了，可是要解决该问题的难度依然相当大。
【“约制”方法确定新任务】
既然研究对象的条件、限制还是那么宽松，因而可先且放下研究对象，而尝试做些更“细”的工作——把两个向量等价转化为具有某些性质的两个向量——新任务。
【寻找两个向量的规律】
为了更加容易地找到两个向量的一般性质，可以先从一些小数据着手，试着找出有用的规律。比如当两个向量分别为（2,3）, （4,2）时，在直角坐标系中能被这两个向量表示的点的位置如下图：
由此我们可以观察很多重要的性质：
1、所有的点都在且只在直线
()Z k k x ∈=2和直线()Z k k y ∈=上；
2、在Y 轴上，所有的点都出现且只
出现在()Z k k ∈)4,0(上；
3、直线()Z k k x ∈=2上的点都可通
过平移Y 轴而得到。
于是我们归纳出任意两个不在Y 轴上的向量),(11b a 和),(22b a 能表示的点的一般性质：
①所有的点分布在且只在直线)()gcd(2,1Z k k a a x ∈?=和直线
)()gcd(2,1Z k k b b y ∈?=上；
②在Y 轴上，所有的点都出现且只出现在()Z k k a a b a b a ∈-))
,gcd(,0(211221上； ③直线)()gcd(2,1Z k k a a x ∈?=上的点都可通过平移Y 轴而得到。
性质②的证明：
1、充分性—— ()Z k k a a b a b a ∈-))
,gcd(,0(211221位置上都有点的证明： 对于任意的Z k ∈，令k a a a t ),gcd(2121=,k a a a t ),gcd(2112=，则 222111),(),(t b a t b a -=),0(2211t b t b -=))
,gcd(,0(211221k a a b a b a - 所以()Z k k a a b a b a ∈-)),gcd(,
0(211221位置上都有点。 证毕。
2、必要性——在Y 轴上,所有的点都只出现在()Z k k a a b a b a ∈-))
,gcd(,
0(211221上的证明：
设在Y 轴上能用这两个向量表示的任意一点为()Z y y ∈),0(，则必
存在两个整数1t 和2t ，使得
由①式得
22
112211t a a t a t a t -=?
-= 因为2t -为整数，所以 ),gcd(|),gcd(|2111212112a a a t a a a a t a ?
因为),gcd(212a a a 与)
,gcd(211a a a 互质，所以
1212|)
,gcd(t a a a 令()Z k k a a a t ∈=),gcd(2121，则可以推出k a a a t )
,gcd(2112-=,所以 k a a b a b a b t b t y ),gcd(2112212211-=
+= 所以必定存在一个整数k 使得k a a b a b a y ),gcd(211221-=
，也就是说在Y 轴上,所有的点都只出现在()Z k k a a b a b a ∈-))
,gcd(,
0(211221上。 证毕。 综上所述，可以得出性质②。
证毕。
【“约制”方法解决新任务】
有了上面富有价值的性质之后，摆在眼前的问题便是，如何利用性质恰当地约束转化后的两个向量？虽然约束的方式不可胜数，但是绝大数对解题并没有什么任何作用。此时就要取其精华了。
注意到在每一条有点的坚直直线上，一个显眼的性质是，上面的点都是相隔定长出现的。这催人直觉上觉得，转化后的一个向量可以是一个坚直向量。这种感觉正确吗？正确！更重要的是，正因为这种“约制”方法，使解题的思路开始走出模糊、步入明晰。
下面给出转化后其中一个向量是坚直向量的转化方法：
设须要等价转化的两个向量分别为),(11b a 和),(22b a 。
1、如果01=a 或者02=a ，则可令转化后的两个向量为),(11b a 和),(22b a ；
2、如果01≠a 或者02≠a ，综合性质②和性质③，可以大胆地约制其中一个向量为))
,gcd(,0(211221a a b a b a -,因为每一条直线)()gcd(2,1Z k k a a x ∈?=上的点都是相隔|),gcd(|
211221a a b a b a -个单位出现的。 此时，另一个向量应该是什么呢？由性质③可以推测，如果能找到一个
向量，只用这个向量能且只能表示每一条直线
)()gcd(2,1Z k k a a x ∈?=上一个骑士能到达的点，那么问题就解决
了。要找的这个向量的横坐标无疑可以是),gcd(21a a 。为了表示出这个
横坐标,顺理成章地想到用扩展的欧几里德算法快速地找出两个整数p
和q 使得
),gcd(2121a a q a p a =+
则向量)),,(gcd(),(),(21212211q b p b a a q b a p b a +=+就是我们要找的另
一个向量了。
下面证明)),,(gcd(2121q b p b a a +和))
,gcd(,0(211221a a b a b a -等价于),(11b a 和),(22b a 。
证明：
1、对于任意的整数1t 和2t ，总存在两个整数1T 和2T 使得
221122112121222111)),g c d (,
0()),,(gcd(),(),(T a a b a b a T q b p b a a t b a t b a -++=+ 的证明：
对于任意的整数1t 和2t ，令整数)
,gcd(2122111a a t a t a T +=。 因为骑士通过向量),(11b a 和),(22b a 能够到达位置
),(),(),(22212211222111t b t b t a t a t b a t b a ++=+和位置
),()),,(gcd(1211221112121qT b pT b t a t a T q b p b a a ++=+，所以骑士通
过向量),(11b a 和),(22b a 也能到达位置-++),(22212211t b t b t a t a ),(12112211qT b pT b t a t a ++=),0(12112221qT b pT b t b t b --+。
又由刚才已经证明过了的性质②可以得出必有一个整数2T 使得
),0(12112221qT b pT b t b t b --+=2211221))
,gcd(,0(T a a b a b a -。
所以=-++221122112121))
,gcd(,0()),,(gcd(T a a b a b a T q b p b a a =--+++),0()),,(gcd(1211222112121qT b pT b t b t b T q b p b a a
=++=+),(),),(gcd(222122112221121t b t b t a t a t b t b T a a
222111),(),(t b a t b a +=
证毕。
2、对于任意的整数1T 和2T ，总存在两个整数1t 和2t 使得
222111221122112121),(),())
,gcd(,
0()),,(gcd(t b a t b a T a a b a b a T q b p b a a +=-++ 的证明： 对于任意的整数1T 和2T ,
221122112121))
,gcd(,0()),,(gcd(T a a b a b a T q b p b a a -++= )))
,gcd(()),gcd((,),(gcd(212112212211121a a T a q T b a a T a p T b T a a ++-。 令),gcd(212211a a T a p T t -=,)
,gcd(212112a a T a q T t +=，则1t 和2t 恰好使得 )(),gcd(),gcd(211212212122121112211q a p a T a a T a a a a T a a q a T p a T t a t a +=+-
+=+ 121),g c d (T a a =。所以
222111221122112121),(),())
,gcd(,
0()),,(gcd(t b a t b a T a a b a b a T q b p b a a +=-++ 证毕。 证毕。
至此，“约制”方法已经很好地解决了新任务。下一步，就要利用新任务的结果来解决研究对象了。
【回到研究对象】
新任务被解决了，这为解决研究对象铺开了一条光明大道。相信聪明的读者已经知道下一步该怎么做了。设须要等价转化的三个向量分别为),(11b a 、),(22b a 和),(33b a ，则把三个向量等价替换为两个向量的步骤如下：
当0'2≠b 并且0'3≠b 时，向量))','gcd(,0(32b b 之所以可以代替)',0(2b 和)',0(3b 是因为向量),0(y 能表示)',0(2b 和)',0(3b 的充分必要条件是y b b |)','gcd(32。
【回到起点】
经过一番深入研究探索之后，最终详细的解题方法已是不言而喻了。只须每次从剩下的向量中任取三个向量，按照上述的步骤将它们等价替换为两个向量。不断重复该过程直至只剩下两个向量，此时剩下的两个向量即为所求。
复杂度分析：每次把三个向量等价转为两个向量的时间复杂度为O(logn)（求gcd 所用的时间），总的时间复杂度为O(nlogn)。空间复杂度为O(1)。编程复杂度很低。
【小结】
“约制”方法的本质是为了缩小研究范围，增加约束性的条件限制，而保证能在该条件下找到解。在本题中，“约制”方法可谓是表现得淋漓尽致：在确定算法时，约制必须采取化三为二的算法；在把三个向量等价转化两个向量时，约制转化的方式必须为先将其中两个向量转化成特殊的两个向量；在确定特殊的两个向量时，约制特殊的含义为其中一个为坚直向量；在把两个非坚直向量转化为特殊的两个向量时，约制它们为)),,(gcd(2121q b p b a a +和))
,gcd(,
0(211221a a b a b a -，在证明中多次约制某些变量为常量……。
步骤1：先将),(11b a 和),(22b a 按上述方法等价转化为)','(11b a 和)',0(2b ;
步骤2：再将)','(11b a 和),(33b a 按上述方法等价转化为)'',''(11b a 和)',0(3b ; 步骤3：最后，此时三个向量已等价转化为)'',''(11b a 、)',0(2b 和)',0(3b 。 如果0'2=b 或者0'3=b ，就可以把其中的向量)0,0(删去，这便剩下
两个向量；否则，可以用向量))','gcd(,0(32b b 代替)',0(2b 和)',0(3b ，
同样此时也只剩下两个向量。
[例二]友好的动物1
【问题描述】
W 星球是一个和地球一样气候适宜、物种聚集的星球。经过多年的研究，外星生物学家们已经发现了数万种生物，而且这个数字还在不断增大。
W 星球上的生物很有趣，有些生物之间很友好，朝夕相伴，形影不离；但有些却很敌对，一见面就难免发生战斗。为了能够更好地了解它们之间的友好程度，外星生物学家希望进行一些量化的计算。他们发现，两种生物之间的友好程度和它们的k )5(≤k 种属性有关，暂且将它们编号为属性1、属性2、……、属性k ，这些属性都是可以进行量化的。外星生物学家研究发现，如果前k -1种属性的差别越大，这两种生物就越友好；但是属性k 与众不同，这种属性差别越小的两种生物越友好。
因此他们猜想是不是可以用这样一个公式量化两种生物之间的友好程度：的差别属性的差别属性k C )i (k 1
1?-?=∑-=k i i C ss Friendline ，其中C i 是非负常数。如
果知道了每种生物的各种属性，利用上述公式就很容易算出它们之间的友好程度了。现在，外星生物学家们想问一问：在目前发现的这些生物当中，关系最友好的那对生物是哪一对呢？它们之间的友好程度是多少？
【问题分析】
【数学模型】
首先，把题目的任务转化为简明的数学语言：
令j i C A i j i 个动物的属性
第，?=,求出两种动物的编号： 1<=a 使得目标函数 ||)||(),(,,1 1,,k b k a k i i b i a A A A A b a ss Friendline ---=∑-= ① 最大化。 1 选自NOI 2005冬令营的《友好的动物》 【原始算法的矛盾】 显然最原始的算法是枚举所有可能的a 和b ，求出最大的ss Friendline 。但这样做程序的时间复杂度是O （n 2?k ），显然无法通过所有的数据。 【数据范围分析】 一个很显眼的条件k ≤5，便令人不禁会想到时间复杂度为Ｏ(n ?2k )、Ｏ（n ?k!），Ｏ（nlog k n ）之类的指数级算法,并促使人向该方面的算法思考。 【数据结构优化时的矛盾】 考虑从数据结构上优化原始算法。 首先，把函数①中的绝对值去掉，目标函数变成 )()(),(,,1 1,,k b k a K i i b i a A A A A b a ss Friendline ±-±=∑-= ② 其中小括号内前面是加号的数不小于前面是减号的数 这样就有2k 种情况需要考察。 然后，对于每一种动物a ,考察a 的属性在函数②中前面的符号的情况，用0到2k -1一个二进制BN 表示正负情况：如果BN 的第i 位为1，则 i a A ,前面的符号为正，令SIGN(BN,i)=1,否则为负，令SIGN(BN,i)=1-。定义 ),()),((,1 1,,k BN SIGN A i BN SIGN A F k a k i i a BN a ?-?=∑-= 表示正负情况为BN 动物a 的值总和。 则Friendliness 的最大值为 }max{12,,BN b BN a k F F --+ ③ 其中a ≠b,并且对于任意的i ∈[1,k],都有 0),12(),(,,≥--?+?i BN SIGN A i BN SIGN A k i b i a ④ 实现时，只要先枚举a 和 BN ，然后查找满足性质④并且BN b k F --12,值最大的b(a 复杂度分析：每次查找和插入的时间复杂度都为O （log k n ），总的时间复杂度为O (n ?2k ?log k n),空间复杂度为O(n log 1-k n)，编程复杂度高。 此时矛盾重重，时间复杂度依然很高，空间复杂度太大，编程复杂度令人难以忍受。 【分析矛盾】 不难发现，产生这些矛盾的根本原因是性质④的要求太苟刻了。因此，此时须要放宽限制。 【“放宽”方法化解矛盾】 正所谓退一步海阔天空，试着放宽性质④的要求。 尝试将苟刻的要求去掉，但这样编出来的程序和用原始算法编出来的程序的运行结果是不正确的。因为这样做实在太武断了。 先来对性质④做个详细分析：注意到一个特殊性：||,,k b k a A A -越大，Friendliness 的值越小，其余的||,,i b i a A A -（i 0),12(),(,,≥--?+?i BN SIGN A i BN SIGN A k k b k a ⑤ 结果，这样编出来的程序和用原始算法编出来的程序的运行结果是完全一样的。那么，这做法是否一定可以保证正确呢？下面的证明肯定了这一做法的正确性。 证明： [定理]对于任意的A,B ∈R,都有|A-B|≥A-B ，|A-B|≥B-A 。 [推论]对于任意的A,B ∈[1,n]，BN ∈[0,2k -1]都有 ≥---∑-=||)||(,,1 1,,k b k a K i i b i a A A A A 满足性质⑤的BN b BN a k F F --+12,, 也就是 满足性质④的≥+--112,1,BN b BN a k F F 满足性质⑤的212,2,BN b BN a k F F --+ 设满足性质④的(a,b,BN)所构成的集合为S1,满足性质⑤的所构成的集合为 S2，MAX1=}1),,(|max{ 12,,S BN b a F F BN b BN a k ∈+-- MAX 2=}2),,(|max{ 12,,S BN b a F F BN b BN a k ∈+-- ∵性质④包含性质⑤ ∴S1?S2 ∴MAX1≤MAX2 由推论可以得到：任意的（a,b,BN2）∈S2对应的212,2 ,BN b BN a k F F --+，都有一个(a,b,BN1) ∈S1对应的112,1,BN b BN a k F F --+大于或等于这个值。 ∴MAX1≥MAX2 ∴MAX1=MAX2 所以只要保证性质⑤，求出来的函数③的最大值就是Friendliness 的最大值。 证毕。 实现时，为了保证满足性质⑤，只要先以k A ?,为关键字将A 从小到大排 序，令BN i Best ,为}|max{,i a F BN a ≤，这只要O (n ?2k )的时间就可以把Best 计算出来。然后，枚举i 和第k 位为1的BN ，以BN i BN i F Best k ,12,1+---更 新最大值。最后输出最大值。 复杂度分析：时间复杂度为O(nlogn+n ?2k )。空间复杂度为O(n ?2k )。 到此，利用“放宽”方法已经很好地解决了此题。 【小结】 归纳上面解题的步骤：可以得出用“放宽”方法解决最大化（最小化）的一种方法： 1、把任务转化成数学模型； 2、找出原始算法； 3、用数据结构优化原始算法； 4、分析优化后的苟刻条件，将其转化为宽松的条件。 [例三]消防站1 【问题描述】 Z 国有n 个城市，从1到n 给这些城市编号。城市之间连着高速公路，并且每两个城市之间有且只有一条通路。不同的高速公路可能有不同的长度。最近Z 国经常发生火灾，所以当地政府决定在某些城市修建一些消防站。在城市k 修建一个消防站须要花费大小为)(k W 的费用。函数W 对于不同的城市可能有不同的取值。如果在城市k 没有消防站，那么它到离它最近的消防站的距离不能超过)(k D 。每个城市在不超过距离这个城市）(D 的前提下，必须选择最近的消防站作为负责站。函数D 对于不同的城市可能有不同的取值。为了节省钱，当地政府希望你用最少的总费用修建一些消防站，并且使得这些消防站满足上述的要求。 【问题分析】 【数学模型】 首先，以n 个城市为结点、高速公路为边，高速公路长为边权构造成一个图。由性质“每两个城市之间有且只有一条通路”可知这个图是一棵树。 令),(j i dis 为结点i 和结点j 之间的距离。任务是找出一个01序列n X X X X ......,,321，使得对于n i ≤≤1,都有 )(}1|),(min{i D X j i dis j ≤= 并且使得目标函数 ∑=?=n i i i W X Z 1 )( 最小化。 【算法模型分析】 由于这题涉及到距离和图论等方面，便可猜想这是一道用图论算法解决的问题。可是在尝试过许多图论算法之后却发现这种猜想是走不通的。 1 选自POJ2152的《Fire 》 Author,Lou Tiancheng 这时就要充分地利用问题的特殊性。我们知道这图是一棵树，并且这题是求目标函数最小化的问题。根据这些特性，我们基本上可以肯定这题的算法是树型动态规划。 【确定动态规划时的矛盾】 用动态规划算法解题首先要做的是确定好状态，这应该是不容置疑的，因为状态表示是动态规划中的重中之重。一般地，树型动态规划的状态中会有一个参数Root ,Root 表示此状态的研究对象是以Root 为根的子树。 但是，如果仅用Root F 表示在以Root 为根的子树中，修建符合要求(子树中的所有结点到最近消防站的距离不超过其对应的函数D 值)的消防站的最小费用——即状态只用上述的一个参数，那么状态转移方程是无法找到的。因为这种状态表示无法反映出在哪里修建了消防站、离Root 最近的消防站的详细情况。 为了解决这种情况，我们通常会增加一个参数，可称作增加一维。这时应该增加的参数既可以是Root 到最近消防站的距离，又可以是Root 的最近消防站的编号，也可以是树内的最近消防站的编号，同样可以是树外的最近消防站的编号。到底更加哪个参数是可行的呢？ 可是事与愿违！所有的这些状态表示都难以找到好的转移方程。难道状态还要增加一个参数吗？还是这题本身是NP 完全性问题、而不是用动态规划题目？别急，先来做个分析吧。 【初步分析】 分析上面难以找到转移方程的原因，便会发现产生这些矛盾主要是因为在状态转移时不能保证Root 到最近消防站的距离或编号与定义的一致——换句话说，就是状态的定义太严格了——再换句话说，题目的要求太严格了。 所以，此时当务之急是放宽题目的要求。 【“放宽”方法转化限制】 现在面对的主要障碍无疑是，“每个城市在不超过距离这个城市）(D 的前提下，必须选择最近的消防站作为负责站”这一严格限制在状态转移中起着干扰作用。其实，我们并不须要知道最近的消防站是哪个，而只要保证在距离这个城市）(D 内至少有一个消防站就足够了。于是可以尝试放宽这个限制：把这个限制转化为“每个城市在不超过距离这个城市）(D 的前提下，可以选择任意一个消防站作为负责站”。 转化后，求出的最优解与转化前的是一样的。原因在于在转化后，必定存在 一个最优解满足性质“每个城市在不超过距离这个城市）(D 的前提下，必须选择最近的消防站作为负责站”。 现在每个城市都享有一定的“自由权”了，可以在自己的活动范围内自由地选择消防站作为负责站。此时就有必要把状态表示重新定义一下——令j i F ,表示 ① 在以i 为根的子树里修建一些消防站； ② 在结点j 必须修建一个消防站； ③ 以i 为根的子树内的每个结点在不超过距离这个结点）(D 的前提下,选择 一个在子树内或结点j 上的消防站作为负责站； ④ 结点i 必须选择结点j 上的消防站作为负责站； 的最少总费用（如果j 在树外则不算在j i F ,内）。自然而然地“最近的消防站”这几个字在定义中消失了，这为以后确定动态规划转移方程提供了很大的方便。 【进一步分析】 经过“放宽”方法放宽限制后，状态表示基本上已经定下来了。进而要做的是确定动态规划转移方程。但是此时要确定下转移方程还是遇到了一点困难，总觉得欠缺一些性质、关系之类的。相信聪明的读者已经挖掘出原因了，那就是此时的限制过于宽松。 【“约制”方法增添限制】 动态规划算法讲求拓扑顺序和无后效性。然而现在每个城市对负责站的选取是任意的，于是就不妨对策略选取增添限制——假设城市1P 选取城市m P 的上消防站作为负责站，令1P 到m P 的路径为1P 2P 3P ……m P ，那么对于任意],1[m i 都有i P 的负责站为m P 。如果我们证明总是在一个最优解满足上述的性质，那么此限制就能被增添了。下面将证明必有一个最优解满足上述的性质。 证明： 令某个最优解对应的01序列为n X X X X ......,,321。 构造：在01序列n X X X X ......,,321的布局下，首先增加一个结点s ，在s 和有消防站的结点之间连一条权值为0的边。然后以s 为源点做一次Dijkstra ，并 记录下前驱结点。对于每个结点，如果结点有消防站则选择其上的消防站为负责站，否则选择前驱的负责站为其负责站。 满足上述性质和必要限制： 1、 设任意一个结点到源点的路径为1P 2P 3P ……m P s ,易知任意] ,2[m i ∈都有i P 为1-i P 的前驱，而m P 的负责站为m P ?1-m P 的负责站为 m P ……?1P 的负责站为m P ，所以任意],1[m i ∈都有i P 的负责站为 m P 。 2、 由于每个结点都选择最近的消防站，所以它与负责站的距离不超过 这个结点） (D 。 3、 而构造选取的消防站与最优解是一样的，所以总费用是最少的。 综上所述，总是在一个最优解(构造出来的方案)满足上述的性质。 证毕。 如今，上述的限制终于可以被正确地增添上了。 【确定动态规划转移方程】 经过两番转化后，动态规划转移方程已经可以被确定下来了。为了转移方便，先定义一个简单的辅助状态Best ，i Best 表示在以i 为根的子树中，修建合符要求 (子树中所有结点到其树内的负责站的距离不超过其对应的函数D 值)的消防站的最小费用。明显地 }|min{,为根的子树中在以i j F Best j i i = 下面对F 进行分析： ①当)(),(i D j i dis >时，j i F ,+=∞，这表示不存在状态j i F ,； ②当)(),(i D j i dis ≤时， ⑴当j 在以i 为根的子树外时，对于i 的每个儿子k 都有两种选择：选择以k 为根的子树内或外的消防站为负责站。当选择以k 为根的子树内的消防站为负责站时，其子树所需的最少费用为k Best ，当选择以k 为根的子树外的消防站为负责站时，根据新添的限制易知k 只可以选择j 上的消防站作为负责站，此时其子树所需的最少费用为j k F ,。综上得到 ∑= 的儿子为i k j k k j i F Best F },min{,, ⑵当j i =时，i 的每个儿子的选择情况与⑴中的一样。此时还要加上修建j 上的消防站的费用。因此 ∑+ =的儿子为i k j k k j i F Best j W F },min{)(,, ⑶当j i ≠并且j 在以i 为根的子树内时，此时j 必定在i 的某个儿子child 的子树里。对于i 的每个不是child 的儿子其选择情况与⑴中的一样，而对于child ，根据新添的限制它只能选择j 作为负责站。综上得到 ∑≠+ =child k i k j k k j child j i F Best F F 并且的儿子 为},min{,,, 复杂度分析：时间复杂度为)(2n O ,空间复杂度为)(2n O 。 【小结】 “放宽”方法和“约制”方法不总是互相排斥、矛盾的，它们往往会互相补充。它们各自可以在需要它们的方面发挥特长——应用“放宽”方法确定状态;应用“约制”方法确定状态转移方程。在保证能找到答案的前提下，对于过于严格而阻挠前进的条件、限制，我们对它进行“放宽”；对于过于宽松而茫无头绪的条件、限制，我们对它进行“约制”——这就是所谓的一张一弛了。一张一弛不仅是文武之道，更是解题之道。 总结 不管是“约制”方法还是“放宽”方法，其目的都是要简化问题。 在应用这两种方法的时候，首先要摸清这两者的适用范围、所起的作用和效果。一般而言，当条件、限制过于宽松时就用“约制”方法来约制它们，当条件、限制过于繁杂时就用“放宽”方法来放宽它们。 一张一弛作为一种解题方法，是须要在思索、做题中慢慢形成的。除了实践外，还有几点是须要注意的： 敢于创新、 敢于猜想、 敢于类比、 敢于拓展。 1 建设物流实训室的必要性 在社会需求的推动下，20xx年起，全国部分学校开始试办“物流管理”等相关专业，为企业培养和输送物流专业人才。这在一定程度上对物流知识和思想的传播起到了很好的作用，也的确培养了一些物流人才。他们在相关的物流岗位上发挥了作用，有效地促进了企业物流运作的变革和进步。 但是，其中反映出的问题也不少，主要体现在以下几个方面： 1.1 偏重理论培训，缺少实践环节 目前在各种认证体系中，基本上以知识性学习为主，只有少量的实际操作环节。 现代物流业很注重实际操作经验，仅有理论知识难以解决企业的实际业务问题，物流培训也必须以此为重要原则，加强实训功能，注重对实际业务的理解和对实际操作技能的掌握，才能培养出符合企业需求的人才。 1.2 教学手段单一，感性认识与理性认识不能有机结合 目前无论是高校的物流学历教育还是职业培训，普遍存在一个问题，就是教学主要以教师分散授课为主，辅以少量甚至没有参观。学员们无法全面系统地了解物流运作的整个过程，除少量悟性较高的学员外，大多数学员的物流知识结构比较凌乱。 1.3 传统实训方式已不能满足学生和企业的需要 学生实训要求在类似企业实际的环境下，并且实训的设备、软件必须是企业实际应用的，或在企业实际应用基础上改造过来。 随着国内教育教学改革的深入，实训方式创新层出不穷，旧有的实训方式尤其是模拟仿真远远不能满足现有教学的需要。 2 物流实训室设计理念 通过实训室对各节点模拟，从而展现货物的入库、仓储、流通加工、配送、出库等第三方物流企业的供应链流程。在此模拟的供应链上，配备一系列模块化的现代物流设施，如：全自动立体仓库、电子标签辅助拣货系统、电子看板，RF手持设备等，它们各自独立，又互为联系，充分体现了传统的物流运行过程通过信息化实现其战略决策系统化，管理现代化和作业自动化这一现代物流的时代特征，从而在学校实训室内营造了一个类似真实的集物资流和信息流于一体的实训教学环境。 3 实训室方案规划设计 物流实训室平面布局 主要组成部分： 全自动立体仓库及自动分拣：立体货架、全自动堆垛机及输送装置等； 普通仓储货架：重型及轻型货架； 电子标签拣货系统：重力式货架、电子标签分拣系统及拣货台等； 打包封装：多种款式的打包设备； 条码及射频系统：RF手持终端、条码打印机及多种条码阅读设备； 管理岗位：物流软件、PC及桌椅。 4 实训系统功能 之所以要在学校实训室条件下，构建一个类似真实的以第三方物流服务单元为核心的供应链仿真系统，其真实目的是想以此为学校进行现代供应链物流运作管理等相关课程的课堂理论教学提供一个有效的辅助教学手段，并为学生掌握各种现代化，自动化的物流设施设备的操作技能，提供一个实实在在的实训平台。 所以从这个意义上说，我们这套实训系统应具有以下教学实训功能： 4.1 了解和学习物流管理的内容和技术 1、仓储管理系统的操作训练 数据结构与算法基础知识总结 1 算法 算法：是指解题方案的准确而完整的描述。 算法不等于程序，也不等计算机方法，程序的编制不可能优于算法的设计。 算法的基本特征：是一组严谨地定义运算顺序的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。特征包括： （1）可行性； （2）确定性，算法中每一步骤都必须有明确定义，不充许有模棱两可的解释，不允许有多义性； （3）有穷性，算法必须能在有限的时间内做完，即能在执行有限个步骤后终止，包括合理的执行时间的含义； （4）拥有足够的情报。 算法的基本要素：一是对数据对象的运算和操作；二是算法的控制结构。 指令系统：一个计算机系统能执行的所有指令的集合。 基本运算和操作包括：算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输。 算法的控制结构：顺序结构、选择结构、循环结构。 算法基本设计方法：列举法、归纳法、递推、递归、减斗递推技术、回溯法。 算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。 算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。 算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。 2 数据结构的基本基本概念 数据结构研究的三个方面： （1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构； （2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构；（3）对各种数据结构进行的运算。 数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。 数据的逻辑结构包含： （1）表示数据元素的信息； （2）表示各数据元素之间的前后件关系。 数据的存储结构有顺序、链接、索引等。 线性结构条件： （1）有且只有一个根结点； （2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。 非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。 3 线性表及其顺序存储结构 线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。 在复杂线性表中，由若干项数据元素组成的数据元素称为记录，而由多个记录构成的线性表又称为文件。 非空线性表的结构特征： （1）且只有一个根结点a1，它无前件； （2）有且只有一个终端结点an，它无后件； （3）除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只有一个前件，也有且只有一个后件。结点个数n称为线性表的长度，当n=0时，称为空表。 线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点： （1）线性表中所有元素的所占的存储空间是连续的； （2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。 ai的存储地址为：adr(ai)=adr(a1)+(i-1)k,，adr(a1)为第一个元素的地址，k代表每个元素占的字节数。 顺序表的运算：插入、删除。（详见14--16页） 4 栈和队列 栈是限定在一端进行插入与删除的线性表，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。 栈按照“先进后出”（filo）或“后进先出”（lifo）组织数据，栈具有记忆作用。用top表示栈顶位置，用bottom表示栈底。 栈的基本运算：（1）插入元素称为入栈运算；（2）删除元素称为退栈运算；（3）读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量，此时指针无变化。 队列是指允许在一端（队尾）进入插入，而在另一端（队头）进行删除的线性表。rear指针指向队尾，front指针指向队头。 队列是“先进行出”（fifo）或“后进后出”（lilo）的线性表。 队列运算包括（1）入队运算：从队尾插入一个元素；（2）退队运算：从队头删除一个元素。循环队列：s=0表示队列空，s=1且front=rear表示队列满 深入探究多项式乘法的快速算法 焦作市第一中学 闵梓轩 一、 高精度、多项式与生成函数 1.1 高精度 在OI 中我们有时会碰到一些问题的必要数值超出64位整形的范围，这个时候我们就需要用到高精度方式存储。而高精度数的思想是进制思想的一个具体体现，出于正常人类的习惯，我们所使用的高精度数都采用10进制，即每一位都表示十进制上的一个数，从0~9，更进一步，为了优化高精度数运算所花费的时间与空间，我们采用了万进制，即每一位存0~9999的数，这样同时优化了程序效率，同时在输出上也没有什么太大的问题（每一位不足1000补0即可）。 当然，我们也可以用三进制、五进制、450进制，8964进制的高精度数，虽然因为在输出时会变得非常麻烦而没有人去用，但是它们的可行性正对应了进制的一种思想，比如一个十进制数12450，它的算数含义是0123410*010*510*410*210*1++++二进制数10010，它的算数含义是1 42*12*1+（把为0的位忽略），这样形如 ),0(*0N a x a x a i i n i i i ∈<≤∑=的每一位上的数字在数值表示上都乘上了某个数的一个幂的数正是进制思想的基础。在编程实现上这样的一个数我们通常用整形数组来表示，a[i]表示i 次项的系数，如果数组长度为n ，那么学过高精度的人都知道两个数相加的时间复杂度是θ(n)，两个数相乘的时间复杂度是O(n^2)，在信息学竞赛中，这样的时间复杂度足以满足大部分题目的需求，因为一般来说我们的数值都不会达到10^100000次方这么大。 1.2多项式 熟悉数学的我们能够发现上面这样的一个式子，如果忽略了括号中的内容的限制，那么 我们可以发现这样的式子其实就是我们所学的n 次多项式∑∞==0*)(i i i x a x A ， 比如十进制数12450就是05421234++++x x x x 当x=10的时候的数值嘛。所以，当一个值b 代入多项式A(x)时，这个式子也就变成了一个值A(b)。但是要注意的是多项式的系数是没有限制的，所以多项式可以用浮点数组表示，而且我们可以惊奇地发现多项式的加法和乘法在代码上除了不需要进位之外和高精度是一样的。所以说，我们所见的b 进制数值，就是一个当x=b 的多项式的取值而已。但是在多项式中，x 的意义仅仅是一个符号而已，ai*x^i 你可以理解为ai 在数组的第i 个位置。 我们需要注意的是，n 次多项式的数组表示需要用到n+1个数，为什么？因为有n 个含x 的项和一个常数项，所以我们一般把多项式A(x)的最高次项的次数+1称作为这个多项式的次数界（次数界的真正意义是系数不为零的最高次项的次数+1，下文中提到的“次数界“为 设计方案范文合集八篇 设计方案范文合集八篇 为了确保事情或工作有序有力开展，常常需要预先准备方案，方案属于计划类文书的一种。方案应该怎么制定呢？以下是收集整理的设计方案8篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。 设计方案篇1 一、活动目的 1、培养学生合作探究的精神与分析问题、解决问题的能力。 2、培养和增强学生的地理学习兴趣，关注身边的地理知识。 3、懂得多渠道收集课外资料。 二、活动时间及地点 三、活动方式 根据课室座位安排情况，以小组为单位，每两排组成一组，共分为四大组。以“野外考察员的困难”为主要内容，展开几个阶段的小组间的地理知识竞赛。 四、参与人员 全体同学 五、活动流程 活动刚开始，教师以一名“地理野外考察员”的身份登场，讲述他一天所遇到的困难。困难一：迷失了方向 1、活动准备 在活动前的地理课，向学生提出“当你迷失野外，你该如何来辨别方向”这一问题，让学生课后根据自己的生活经验或向有经验的长辈请教等各类方式收集有关方法，并以作业形式上交。 2、活动过程 学生以小组为单位，全组成员上交一份解决方法，教师当场逐一宣读，答对1个得1分，答错不得分。 3、活动小结 教师讲解野外辨别方向常用的几种方法。 附： 1）平时参考地图和指南针，同时积极观察周围的地形以及身边的植物来判断正确位置。 2）利用太阳 ①冬季日出位置是东偏南，日落位置是西偏南；夏季日出位置是东偏北，日落位置是西偏北；春分、秋分前后，日出正东，日落正西。 ②只要有太阳，就可以使用手表来辨别方向。按24小时制读出当时的时刻，将小时数除以二，将得到一个小时数。把手表水平放在手上或者地上，让手表的这个时刻对准太阳所在的方位，这时手表表面12点所指的方向是北方，6点所指的方向是南方。 设计方案篇2 1、幼儿园的功能组成 包括幼儿生活用房、服务用房、和供应用房三部分。 2、幼儿园的功能分析 计划方案合集10篇 计划方案合集10篇 为了确保我们的努力取得实效，通常会被要求事先制定方案，方案是在案前得出的方法计划。那么什么样的方案才是好的呢？下面是小编帮大家整理的计划方案10篇，仅供参考，大家一起来看看吧。计划方案篇1 各林场(所)：为进一步深入贯彻《甘肃省自然保护区条例》及《XX市人民政府关于进一步加强封山禁牧工作的通知》和《XX林业总场封山禁牧管理暂行办法》精神，巩固XX林区近年来的封山禁牧成果，加快生态环境建设步伐，现就我场XX年封山禁牧工作安排如下：一、明确指导思想我场的封山禁牧工作，坚持统筹规划，以封为主，禁牧与圈养、恢复生态和保护林农利益相结合的指导思想，按照《森林法》、《森林法实施条例》及市局、总场关于封山禁牧工作的总体部署和要求，坚持把加强封山禁牧工作作为恢复植被、改善生态、提高林木尽快成林的重要措施，作为改善人居环境，促进人与自然和谐相处，构建和谐林区的重要保障。各林场（所）要从促进林区经济社会可持续发展的大局出发，切实增强责任感和紧迫感，采取切实有效的措施，加大工作力度，真正把封山禁牧工作抓紧抓好，确保取得实效。二、细化工作任务一要提高认识，统筹安排，强化责任，分解任务。各林场（所）主要领导要切实提高认识，将封禁工作放在同林业生产同等重要的位置上，同安排同部署，并根据市局、总场封禁工作会议精神，延伸签订封禁工作目标管理责任书，确保封禁工作责任分解到站，细化到人。二要广泛宣传动员，营造良好舆论氛围。各林场（所）要采取召开干部会、群众大会、养殖户专题会、管护人员工作会、发放宣传资料、刷写宣传标语、悬挂横幅、制做固定宣传碑等多种形式，广泛宣传《森林法》、《森林法实施条例》、《XX 市人民政府关于进一步加强封山禁牧工作的通知》《XX、林业总场封山禁牧管理暂行办法》等有关政策法规文件，教育林区群众充分认识封山禁牧的重大意义，明确封山禁牧的范围、措施和责任，引导群众正确处理长远利益与当前利益、整体利益与局部利益、封山禁牧与畜牧养殖的关系，真正把封山禁牧工作变为广大群众的自觉行动，为封山禁牧创造良好的舆论氛围。三要详细调查摸底，掌握 3.3 多项式的乘法 一．选择题（共4小题） 1．已知（x﹣m）（x+n）=x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（） A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3 2．（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）展开式中不含x3和x2项，则a、b的值分别为（）A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=0，b=0 D．a=3，b=8 3．若2x3﹣ax2﹣5x+5=（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4 4．下列计算错误的是（） A．（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab B．（x+a）（x﹣b）=x2+（a+b）x+ab C．（x﹣a）（x+b）=x2+（b﹣a）x+（﹣ab） D．（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab 二．填空题（共8小题） 5．若（x+1）（x+a）展开是一个二次二项式，则a= 6．定义运算：a⊕b=（a+b）（b﹣2），下面给出这种运算的四个结论：①3⊕4=14；②a⊕b=b⊕a； ③若a⊕b=0，则a+b=0；④若a+b=0，则a⊕b=0．其中正确的结论序号为．（把 所有正确结论的序号都填在横线上） 7．已知m+n=3，mn=﹣6，则（1﹣m）（1﹣n）= ． 8．已知（3x﹣p）（5x+3）=15x2﹣6x+q，则p+q= ． 9．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的长方形，则需要C类卡片张． （第9题图） 10．一个三角形的底边长为（2a+6b），高是（3a﹣5b），则这个三角形的面积是．11．计算下列各式，然后回答问题． （a+4）（a+3）= ；（a+4）（a﹣3）= ； （a﹣4）（a+3）= ；（a﹣4）（a﹣3）= ． 第十三章社会网络分析法 近几十年来社会网络分析法有了迅速的发展，它已被“泛应用到了社会学、政治学、人类学和社会政策研究等多个领域。本章我们将侧重介绍社会网络分析法的基本概念、历史、主要分析技术及其应用。 第一节社会网络分析的概念 一、什么是社会网络分析 网络指的是各种关联，而社会网络(social network)即可简单地称为社会关系所构成的结构。故从这一方面来说，社会网络代表着一种结构关系，它可反映行动者之间的社会关系。构成社会网络的主要要素有： 行动者(actor)：这里的行动者不但指具体的个人，还可指一个群体、公司或其他集体性的社会单位。每个行动者在网络中的位置被称为“结点(node)”。 关系纽带(relational tie)：行动者之间相互的关联即称关系纽带。人们之间的关系形式是多种多样的，如亲属关系、合作关系、交换关系、对抗关系等，这些都构成了不同的关系纽带。 二人组(dyad)：由两个行动者所构成的关系。这是社会网络的最简单或最基本的形式，是我们分析各种关系纽带的基础。 二人组(triad)：由三个行动者所构成的关系。 子群(subgroup)：指行动者之间的任何形式关系的子集。 群体(group)：其关系得到测量的所有行动者的集合。 社会网络分析是对社会网络的关系结构及其属性加以分析的一套规范和方法。它又被称结构分析(structural analysis)，因为它主要分析的是不同社会单位(个体、群体或社会)所构成的社会关系的结构及其属性。 从这个意义上说，社会网络分析不仅是对关系或结构加以分析的一套技术，还是一种理论方法——结构分析思想。因为在社会网络分析学者看来，社会学所研究的对象就是社会结构，而这种结构即表现为行动者之间的关系模式。社会网络分析家B·韦尔曼(Barry Wellman)指出：“网络分析探究的是深层结构——隐藏在复杂的社会系统表面之下的一定的网络模式。”例如，网络分析者特别关注特定网络中的关联模式如何通过提供不同的机会或限制，从而影响到人们的行动。 韦尔曼指出，作为一种研究社会结构的基本方法，社会网络分析具有如下基本原理： 1．关系纽带经常是不对称地相互作用着的，在内容和强度上都有所不同。 2．关系纽带间接或直接地把网络成员连接在一起；故必须在更大的网络结构背景中对其加以分析。 3．社会纽带结构产生了非随机的网络，因而形成了网络群(network clusters)、网络界限和交叉关联。 社会网络分析方法 SNA分析软件 ●第一类为自由可视化SNA 软件，共有Agna 等9 种软件，位于图1 的右上角，这类软件可以自 由下载使用，成本低，但一般这类软件的一个共同缺点是缺乏相应的如在线帮助等技术支持； ●第二类为商业可视化SNA 软件，如InFlow 等3种，这类软件大都有良好的技术支持；（3）第 三类为可视化SNA 软件，如KliqFinder 等4 种，这类软件一般都是商业软件，但他们都有可以通过下载试用版的软件，来使用其中的绝大部分功能 ●第四类为自由非可视化SNA 软件，如FATCAT 等7 种，这类软件的特点是免费使用，但对SNA 的分析结果以数据表等形式输出，不具有可视化分析结果的功能； ●第五类为商业非可视化SNA 软件，只有GRADAP 一种，该软件以图表分析为主，不具有可 视化的功能。在23 种SNA 软件中，有16 种SNA 软件，即近70%的SNA 软件，具有可视化功能。 SNA分析方法 使用SNA 软件进行社会网络分析时，一般需要按准备数据、数据处理和数据分析三个步骤进行。尽管因不同的SNA 软件的具体操作不同，但这三个步骤基本是一致的。 1.准备数据，建立关系矩阵 准备数据是指将使用问卷或其他调查方法，或直接从网络教学支撑平台自带的后台数据库中所获得的用于研究的关系数据，经过整理后按照规定格式形成关系矩阵，以备数据处理时使用。这个步骤也是SNA 分析的重要的基础性工作。SNA 中共有三种关系矩阵：邻接矩（AdjacencyMatrix）、发生阵（Incidence Matrix）和隶属关系矩阵（Affiliation Matrix）。邻接矩阵为正方阵，其行和列都代表完全相同的行动者，如果邻接矩阵的值为二值矩阵，则其中的“0”表示两个行动者之间没有关系，而“1”则表示两个行动者之间存在关系。然而我们 精选方案策划合集5篇 方案策划篇1 一、日本寿司店的总体目标 2. 产品定价及收入目标 产品定价寿司：甜鸡蛋寿司 12元加州反卷寿司12元烤鳗鱼寿司 12元樱花反卷寿司12元香辣牛肉寿司12元鱼松蟹棒寿司12元鱼松火腿寿司12元金枪鱼寿司8元球生菜寿司8元紫薯红薯寿司8元鱼松寿司 8元红心蛋黄寿司 8元飞鱼子寿司8元什锦色拉寿司 7元水果寿司 7元果冻寿司 6元火腿寿司 6元手卷：黄瓜手卷 5元／2个鱼松手卷 7元／2个金枪鱼手卷7元／2个色拉手卷 7元／2个烤鳗鱼手卷7元／2个饭团：红心蛋黄饭团 5元／2个紫薯饭团 5元／2个鱼松饭团 7元／2个金枪鱼饭团7元／2个火腿饭团 7元／2个预计每日将会有50份订单，每份订单平均10元，平均每份订单成本3元利润7元。每日将获得利润10x50=500元每日将获纯利润7x50=350元 收入目标 月收入：20190.00元年收入：240000.00元 员工工资以及支出经费：40000.00元年净收入：201900.00元 3. 发展目标 将日本寿司店发展成特色小资情调的店子。主要顾客为情侣、中 高消费水平学生、喜爱日韩的女生等。 本店以优雅的环境，日本特色的风味为主打。在提供就餐的同时能享受到不一样的优质服务。且寿司分为中高档，既能满足高消费水平学生的消费欲望，同时满足一般学生的购买能力。 立志将日本寿司店在我校附近立足，并以优质传统的特色服务收揽各新老顾客。 二、市场状况分析 1. 市场需求 自然生长的稻米和最新鲜的鱼生，用极致简单又饶有趣味的生食方式组合在一起，寿司已经迅速发展成为全世界都无法抗拒的美味新宠。寿司风潮正全面来袭。走进店堂，就可以看到一碟碟的寿司由传送带传送着，从眼前回转而过。自己伸手从传送带上取下自己爱吃的寿司，最后根据所吃的碟数来结账，这就是寿司。因其价格低廉、轻松随意，已经越来越受到普通消费者的欢迎。 作为全世界正越来越风行的日本寿司，正被越来越多追求品位和健康的人所钟爱。纽约、巴黎、伦敦、悉尼、香港，时髦都市中的寿司店，门前永远不缺时髦男女耐心排长队。寿司经营店也在中国不断增长。什么原因呢？它的魅力在于：第一、口味鲜美, 而且丰富多样的品种满足了不同口味、不同喜好的人们。寿司的制作原料可谓包罗万象, 不拘一格，从鱼类、贝类到牛肉、禽蛋甚至蔬菜、瓜果都可以制成风味各异的寿司。 第二、寿司符合人们健康饮食的标准。日本饮食在养生方面具有 多项式的乘法 多项式的乘法的法则： 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。然后把所得的积相加。 整式的乘法运算与化简 多项式的乘法 转化为单项式 与多项式相乘 代数式的化简求值 典型例题 一．整式的计算 1.)1-n -m )(n 3m (+ 2.若c bx ax x x ++=+-2 )3)(12(，求c b a ,,的值. 二．确定多项式中字母的值 1.多项式)32)(8x mx -+（中不含有x 的一次项，求m 的值？ 2.若))(23(22q px x x x +++-展开后不含3x 和2x 项，求q p ,的值。 三．与方程相结合 解方程：8)2)(2(32-=-+x x x x 四．化简求值： 化简并求值：)3(2)42)(2(2 2--++-m m m m m ，其中2=m 五．图形应用 1．有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片，如果要拼成一个长为（2a +b ），宽为（a +2b ）的大长方形，则需要C 类卡片 张． 2.如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为（a+3b ），宽为（2a+b ）的矩形，需要这三类卡片共________ 张． 3．如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是( ) A ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ) B ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 D ．a 2－ab ＝a (a －b ) 【实用】工作计划合集六篇 工作计划篇1 为了贯彻落实“安全第一，预防为主，综合治理”的方针，强化安全生产目标管理。结合工厂实际，特制定20xx年安全生产工作计划，将安全生产工作纳入重要议事日程，警钟长鸣，常抓不懈。 一、下半年目标 实现下半年无死亡、无重伤、无重大生产设备事故，无重大事故隐患，工伤事故发生率低于厂规定指标，综合粉尘浓度合格率达80%以上（如下表）。 二、指导思想 要以公司对20xx年安全生产目标管理责任为指导，以工厂安全工作管理制度为标准，以安全工作总方针“安全第一，预防为主。”为原则，以车间、班组安全管理为基础，以预防重点单位、重点岗位重大事故为重点，以纠正岗位违章指挥，违章操作和员工劳动保护穿戴为突破口，落实各项规章制度，开创安全工作新局面，实现安全生产根本好转。 三、牢固树立“安全第一”的思想意识 各单位部门要高度重视安全生产工作，把安全生产工作作为重要的工作来抓，认真贯彻“安全第一，预防为主”的方针，进一步增强安全生产意识，出实招、使真劲，把“安全第一”的方 针真正落到实处，通过进一步完善安全生产责任制，首先解决领导意识问题，真正把安全生产工作列入重要议事日程，摆到“第一”的位置上，只有从思想上重视安全，责任意识才能到位，才能管到位、抓到位，才能深入落实安全责任，整改事故隐患，严格执行“谁主管，谁负责”和“管生产必须管安全”的原则，力保安全生产。 四、深入开展好安全生产专项整治工作 根据工厂现状，确定出20xx年安全生产工作的重点单位、重点部位，完善各事故处理应急预案，加大重大隐患的监控和整改力度，认真开展厂级月度安全检查和专项安全检查，车间每周进行一次安全检查，班组坚持班中的三次安全检查，并要求生产科、车间领导及管理人员加强日常安全检查，对查出的事故隐患，要按照“三定四不推”原则，及时组织整改，暂不能整改的，要做好安全防范措施，尤其要突出对煤气炉、锅炉、硫酸罐、液氨罐等重要部位的安全防范，做好专项整治工作，加强对易燃易爆、有毒有害等危险化学品的管理工作，要严格按照《安全生产法》、《危险化学品安全管理条例》强化专项整治，加强对岗位现场的安全管理，及时查处违章指挥，违章操作等现象，限度降低各类事故的发生，确保工厂生产工作正常运行。 五、继续加强做好员工安全教育培训和宣传工作 工厂采取办班、班前班后会、墙报、简报等形式，对员工进行安全生产教育，提高员工的安全生产知识和操作技能，定期或 数据结构与算法基础 一．判断题： 1．数据元素是数据的最小单位。 2．数据结构是带有结构的数据元素的集合。 3．数据结构、数据元素、数据项在计算机中的映像（或表示）分别称为存储结构、结点、数据域。 4．数据项是数据的基本单位。 5．数据的逻辑结构是指各数据元素之间的逻辑关系，是用户按使用需要而建立的。 6．数据的物理结构是指数据在计算机内实际的存储形式。 7．算法和程序没有区别，所以在数据结构中二者是通用的。 答案： 1．错误 2．正确 3．正确 4．错误 5．正确 6．正确 7．错误 二． 数据结构是研究数据的 A 和 B 以及它们之间的相互关系，并对这种结构定义相应的 C ，设计出相应的 D ，而确保经过这些运算后所得到的新结构是 E 结构类型。 供选择答案： A、Ｂ：ａ理想结构ｂ抽象结构ｃ物理结构ｄ逻辑结构 Ｃ、Ｄ、Ｅ：ａ运算ｂ算法ｃ结构ｄ规则ｅ现在的ｆ原来的 答案： Ａ：ｃＢ；ｄＣ：ａＤ：ｂＥ：ｆ 三．从供选择的答案中选取正确的答案填在下面叙述中的横线上： 1． A 是描述客观事物的数字、字符以及所能输入到计算机中并被计算机程序加工处理的符号的集合。 2. B 是数据的基本单位,即数据集合中的个体。有时一个 B 由若干个___C____组成，在这种情况下，称 B 为记录。 C 是数据的最小单位。而由记录所组成的线性表为 D 。 3. E 是具有相同特性的数据元素的集合，是数据的子集。 4. Ｆ是带有结构特性数据元素的集合。 5. 被计算机加工的数据元素不是孤立无关的，它们彼此之间一般存在着某种联系。通常将数据元素的这种关系称为Ｇ。 6. 算法的计算量的大小称为计算的Ｈ。 供选择的答案： Ａ－Ｆ：ａ数据元素ｂ符号ｃ记录ｄ文件ｅ数据ｆ数据项ｇ数据对象ｈ关键字ｉ数据结构 实习报告 一、实习题： 请写出计算两个以单链接表表示的多项式相乘的程序。 1．需求分析和说明 两个多项式相乘，可以利用两个多项式的加法来实现，因为乘法运算可以分 解为一系列的加法运算：C(x)=A(x)*B(x)=A(x)*(b1x+b2x2+…+b n x n)=∑ = n i i i x b x A 1 ) ( 先用其中一个多项式去乘以另一个多项式的每一项，得出的若干个多项式按照一定的顺序相加，即幂不同的按照升幂排列，幂相同的将系数相加。 例如： 对于(X->1+2X->2)*(2X->2+4X->3). X->1*(2X->2+4X->3)=2X->3+4X->4; 2X->2*(2X->2+4X->3)=4X->4+8X->5; 排列结果：2X->3+8X-4+8X->5 2．设计 用两个单链表的存储两个多项式，每个结点包含单项式的系数，幂和指向下一个元素地址的指针。用其中的一个多项式乘以另一个多项式的每一项，随后将所得结果按照升幂顺序排列，最后得到结果。 存储结构： //单项式结构 struct Term { float coef; // 系数。 int exp; // 幂指数。 Term( float c, int e) { coef = c; exp = e;} Term( ) { } friend int operator == (const Term & L, const Term & T ) { return L.exp == T.exp; } friend int operator > (const Term & L, const Term & T ) { return L.exp > T.exp; } friend int operator < (const Term & L, const Term & T ) { return L.exp < T.exp; } friend Term & operator += ( Term & L, const Term & T ) { L.coef += T.coef; return L; } //幂指数相同，则系数相加。 friend Term & operator *=(Term &L, const Term &T){ //实现单项式乘法 L.coef*=T.coef; L.exp+=T.exp; 【精选】计划方案合集9篇 计划方案合集9篇 为有力保证事情或工作开展的水平质量，时常需要预先制定一份周密的方案，方案是从目的、要求、方式、方法、进度等方面进行安排的书面计划。那么大家知道方案怎么写才规范吗？以下是小编为大家收集的计划方案9篇，仅供参考，大家一起来看看吧。计划方案篇1 一指导思想深入学习《幼儿园教育指导纲要》，深刻把握《纲要》精髓，高举素质教育的旗帜，扮演好教师的多重角色，充分认知和尊重幼儿生命特性，遵循幼儿身心发展规律和学习特点，自觉创造与生命相和谐、与个体生命相一致的教育；在“存精、吸纳、创新”的课程研究总原则下，突显语言特色，坚持课程与课题研究整合相融求效益，不断深化园本课程建设，推动教育科研向纵深发展。 二、工作目标 1、立足实际，深入课改，把《纲要》精神转化为实际的、科学的教育实践能力，促进教师专业化成长。 2、突显我园语言教育特色，向全市展示教育成果。 3、开拓教育资源，在有目的、有准备的生活实践中提高幼儿语言交往能力。三、具体内容及措施（一）立足实际，在课改中促进教师的专业化成长以本园实际为基点的课程改革和课程实施是最具说服力和生命力的，脚踏实地研究课程的过程本身就是一个促进教师专业化成长的过程。 1、咀嚼消化有关理论，厚实实践基础随着终身教育的提出和学习化社会的到来，基础教育的功能正在被重新定义。我们必须根据新的基础教育理念来调整幼儿教育的价值取向，在社会和教育的整体结构中，正确而清醒地把握幼教的实践方向。要求教师根据新的基础教育理念来审视和反思自己的工作，自觉地规范自己的教育行为，理性地构建自己的教育观念。学习重点：《从理念到行为——幼儿园教育指导纲要行动指南》、《儿童的一百种语言解读》、有关幼儿语言教育的最新理论等。学习形式：自学——小组研讨——园部主题性“头脑风暴”——教育实例 2、反思总结，创造性实施课程以主题形式组织、实施课程是课程实践的主要形式。我园一直使用南师大与信谊基金出版社共同出版的《幼儿园活动整合课程》，这一课程是帮助我们更好落实新《纲要》精神、将先进教育观念落实到教育行为中去 考点1 算法的复杂度 【考点精讲】 1．算法的基本概念 计算机算法为计算机解题的过程实际上是在实施某种算法。 算法的基本特征：可行性、确定性、有穷性、拥有足够的情报。 2．算法复杂度 算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度。 名称 描述 时间复杂度 是指执行算法所需要的计算工作量 空间复杂度 是指执行这个算法所需要的内存空间 考点2 逻辑结构和存储结构 【考点精讲】 1．逻辑结构 数据的逻辑结构是对数据元素之间的逻辑关系的描述，它可以用一个数据元素的集合和定义在此集合中的若干关系来表示。数据的逻辑结构有两个要素：一是数据元素的集合，通常记为D；二是D上的关系，它反映了数据元素之间的前后件关系，通常记为R。一个数据结构可以表示成 B=（D，R） 其中B表示数据结构。为了反映D中各数据元素之间的前后件关系，一般用二元组来表示。例如，如果把一年四季看作一个数据结构，则可表示成 B =（D,R） D ={春季，夏季，秋季，冬季} R ={（春季，夏季）,（夏季，秋季），（秋季，冬季）} 2．存储结构 数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式称为数据的存储结构（也称数据的物理结构）。 由于数据元素在计算机存储空间中的位置关系可能与逻辑关系不同，因此，为了表示存放在计算机存储空间中的各数据元素之间的逻辑关系（即前后件关系），在数据的存储结构中，不仅要存放各数据元素的信息，还需要存放各数据元素之间的前后件关系的信息。 一种数据的逻辑结构根据需要可以表示成多种存储结构，常用的存储结构有顺序、链接等存 储结构。 顺序存储方式主要用于线性的数据结构，它把逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里，结点之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。 链式存储结构就是在每个结点中至少包含一个指针域，用指针来体现数据元素之间逻辑上的联系。 考点3 线性结构和非线性结构 【考点精讲】 根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分为两大类型：线性结构与非线性结构。如果一个非空的数据结构满足下列两个条件： （1）有且只有一个根结点； （2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。 则称该数据结构为线性结构。线性结构又称线性表。在一个线性结构中插入或删除任何一个结点后还应是线性结构。栈、队列、串等都线性结构。 如果一个数据结构不是线性结构，则称之为非线性结构。数组、广义表、树和图等数据结构都是非线性结构。 考点4 栈 【考点精讲】 1．栈的基本概念 栈（stack）是一种特殊的线性表，是限定只在一端进行插入与删除的线性表。在栈中，一端是封闭的，既不允许进行插入元素，也不允许删除元素；另一端是开口的，允许插入和删除元素。通常称插入、删除的这一端为栈顶，另一端为栈底。当表中没有元素时称为空栈。栈顶元素总是后被插入的元素，从而也是最先被删除的元素；栈底元素总是最先被插入的元素，从而也是最后才能被删除的元素。 栈是按照“先进后出”或“后进先出”的原则组织数据的。例如，枪械的子弹匣就可以用来形象的表示栈结构。子弹匣的一端是完全封闭的，最后被压入弹匣的子弹总是最先被弹出，而最先被压入的子弹最后才能被弹出。 2．栈的顺序存储及其运算 栈的基本运算有三种：入栈、退栈与读栈顶元素。 （1）入栈运算：入栈运算是指在栈顶位置插入一个新元素。 （2）退栈运算：退栈是指取出栈顶元素并赋给一个指定的变量。 （3）读栈顶元素：读栈顶元素是指将栈顶元素赋给一个指定的变量。 考点5 队列 【考点精讲】 1．队列的基本概念 队列是只允许在一端进行删除，在另一端进行插入的顺序表，通常将允许删除的这一端称为队头，允许插入的这一端称为队尾。 当表中没有元素时称为空队列。 队列的修改是依照先进先出的原则进行的，因此队列也称为先进先出的线性表，或者后进后出的线性表。例如：火车进遂道，最先进遂道的是火车头，最后是火车尾，而火车出遂道的时候也是火车头先出，最后出的是火车尾。若有队列： Q =（q1，q2，…，qn） 那么，q1为队头元素（排头元素），qn为队尾元素。队列中的元素是按照q1，q2，…，qn 的顺序进入的，退出队列也只能按照这个次序依次退出，即只有在q1，q2，…，qn-1 都退队之后，qn才能退出队列。因最先进入队列的元素将最先出队，所以队列具有先进先出的 #include 办公室工作计划和思路合集7篇 办公室工作计划篇1 秋风习习，满怀美好的憧憬，我们迎来了崭新的学年。在新的学年里，在学院老师的正确指导下，我自律委员会办公室将继续发扬“脚踏实地，在平凡中追求进步”的精神，始终秉着“为同学服务”的宗旨，以高度的工作热情和认真负责的工作态度，团结合作、锐意进取，做好办公室的本职工作，同时进行工作上的创新，以迎接新一学年的工作。本学期的工作计划如下： 一、坚持不懈，继续稳步推进各项常规工作我部门的工作主要可以分为两类：对内工作和对外工作A．对外工作——做好自律委的宣传工作及纳新工作（1）制作迎接新生需要的宣传海报，摆放在各寝室楼下和文楼大厅处。更换文楼四楼的橱窗内容，将其更换为新生军训常识，为10届新生提供参考。 （2）制作红榜，公布我自律委换届改选结果，将其张贴在文楼四楼宣传栏处。 （3）在今年国庆十一放假之前，制作有关“十一假期”的安全海报，提醒大家注意各方面的问题，并张贴在文楼一楼大厅展板处。 （4）根据自律委其他四个部门本学年要举办的活动，对活动进行活动前的宣传以及活动后的总结，以及负责活动会场的布置。对于我自律委举办的每一次活动，做到活动前一张宣[本文来自]传海报，活动后一期橱窗总结。在活动举办期间，我办公室还负责会场布置，人员位置安排等，协助各部门把活动办好。 （5）根据生活部对教室的卫生检查情况，及时更替检查结果公布。 （6）根据舍务部对寝室的检查结果，每月制作两张白榜，公布本月优秀寝室和不达标寝室。 （7）对自律委办公室每部的墙面进行重新装饰。 （8）纳新前，制作海报，对我组织进行宣传，并组织有意愿加入我组织的同学进行报名以及面试。 B．对内工作——做好自律委内部事务管理工作（1）根据换届改选结果，统计每个人的联系方式，建立内部成员新档案。 （2）为我自律委全体例会找好会议地点，并进行通知。 （3）每次例会，做好会议记录，记录人员出勤情况。 （4）随时及时的传达我自律委内部的各项通知。 二、以服务同学为依托，开展特色活动（1）初定于11月份，举办一次手工艺品大赛。 （2）做自律委发展历程的总结书。搜集自律委成立以来的文字资料以及照片，形成文字版的自律委发展历程总结书。 新学期里，我部门将始终以饱满的工作热情和认真负责的态度完成各项工作，团结一致，开拓创新，力求做到更好。我们始终坚信，在大家的共同努力下，我们的学生工作一定能交上一份满意的答卷。 办公室工作计划篇2 根据学校新学期的工作思路，发扬团结协作、敬业奉献精神，以促进学生发展、教师发展、学校发展为根本，加强信息工作，加强制度建设，提高工作效率，推进学校各项工 在线代理|网页代理|代理网页|https://www.wendangku.net/doc/8817322848.html, 1 对块状链表的一点研究 山西大学附中 苏煜 【摘要】 本文主要介绍了块状链表的概念，如何扩展块状链表,讨论了块状链表的性能以及在信息学竞赛中应用块状链表的利与弊，最后简要介绍了块状链表思想在实际生活中的应用。 【关键词】 块状链表 分块大小 性能 块状链表的扩展 模拟 骗分 一、什么是块状链表 我们先从题目入手，看看什么是块状链表： NOI2003 editor 【题目大意】 一些定义： 文本：由0个或多个ASCII 码在闭区间[32, 126]内的字符（即空格和可见字符）构成的序列。 光标：在一段文本中用于指示位置的标记，可以位于文本首部，文本尾部或文本的某两个字符之间。 文本编辑器：为一个包含一段文本和该文本中的一个光标的，并可以对其进行如下六条操作的程序。如果这段文本为空，我们就说这个文本编辑器是空的。 操作名称 输入文件中的格式 功能 MOVE(k) Move k 将光标移动到第k 个字符之后，如果k =0，将光标移 到文本开头 INSERT(n, s) Insert n ? S 在光标处插入长度为n 的字符串s ，光标位置不变，n ≥ 1 DELETE(n) Delete n 删除光标后的n 个字符，光标位置不变，n ≥ 1 GET(n) Get n 输出光标后的n 个字符，光标位置不变，n ≥ 1 PREV() Prev 光标前移一个字符 NEXT() Next 光标后移一个字符 比如一个空的文本编辑器依次执行操作INSERT(13, “Balanced tree ”)，MOVE(2)，DELETE(5)，NEXT()，INSERT(7, “ editor ”)，MOVE(0)，GET(16)后，会输出“Bad editor tree ”。最新设计方案范文合集6篇
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