文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 等比数列的定义与通项公式正式版

等比数列的定义与通项公式正式版

等比数列的定义与通项公式教学设计

一、教材依据

中等职业教育课程改革国家规划新教材数学基础模块下册第六章《数列》第三节。本节课要求能正确理解等比数列的定义,能根据定义判断一个数列是等比数列,能运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项,能运用公式解决一些简单的实际问题。

这节课是在等差数列的基础上,运用同样的研究方法和研究步骤,研究另一种特殊数列——等比数列。教材将等比数列安排在等差数列之后,有承前启后的作用,一方面与等差数列有着密切联系,另一方面为进一步学习等比数列求和有关内容做好准备。二、学生情况分析

现在的中职学生由于入学成绩低,基础普遍较差,且没有学习的信心和主动性,也不善于归纳总结。在本节课学习时,我考虑学生可能会把等比数列和等差数列混淆,对通项公式的推导和公式的运用可能比较难理解。针对这些,我用幻灯片提前准课好堂提问和课堂练习,尽量多一些学生思考的时间,并积极鼓励学生和启发学生通过类比、猜测和归纳,根据等差数列的定义与通项公式得出等比数列的定义与通项公式;我还把基础知识、基本技能、方法和思路溶于课堂练习中,使学生在不知不觉中接受、掌握和巩固等比数列的概念、公式,并发现解题的规律。总之在课堂上我采用启发式的、感观性的、让学生参与的直观教学,我用三多,即多练,多问,多鼓励来打消学生的畏难情绪,充分尊重学生的主体性和创造性,通过师生互动,为学生学好数学搭建平台。三、设计思想

这节内容由于是在等差数列的基础上,运用同样的方法和步骤研究类似的问题,学生接受起来较为容易,所以应多放手让学生思考,并注意运用类比思想,这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别,而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力。另外,与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多,如没有零项、q≠0等,在教学中应注意加以比较。

在设计本节课时,我将内容按照“问题情景——学生活动——教学构建——教学运用——教学反思”的顺序展开,通过列举生活中的大量背景,让学生自己去发现,去探索其公式意义。

四、教学目标

(一)知识目标:

1、类比等差数列的概念,理解等比数列的概念;

2、类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式;

3、掌握等比数列的通项公式,并能用公式解决一些简单的实际问题。

(二)能力目标:

给出问题情境,引导学生经过类比、观察、猜测、归纳、概括等过程,培养学生的类比创新能力,严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度。

(三)情感目标:

通过感受问题情境,激发学生学习数学的热情,培养学生应用数学的意识。

五、教学重点:等比数列的定义和对通项公式的认识与应用。

六、教学难点:等比数列通项公式的推导和运用。

七、教学设备:多媒体辅助教学。

八、教学过程:

(一)创设情境(幻灯片)(2分钟)

情境1:某人于元月经引诱参与传销活动,二月发展2人作为其下线。一个月后,每个下线各发展2人作其下线,依此继续。问:每个月新增多少人受骗?

情境2:银行贷款一般都是采用“复式计息法”计算利息,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利”.按照复利计算本利和的公式是

本利和=本金×(1+利息)贷款期

例如,现在从银行贷款10000元钱,年利息是1.98%,那么按照复利,5年内各年末的本利和分别是(计算时精确到小数点后2位):

各年末的本利和(单位:元)组成了下面的数列:

10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983,10000×1.01984,10000×1.01985。

(二)学生活动(3分钟)

问题:1、上面这些问题涉及的数列是等差数列吗?

2、与等差数列相比,上面这些数列有什么共同特点?

3、你能再举出几个具有这样特点的数列吗?(要求与众不同)

(评析:①从实际问题引入,体现直观具体,激发学生的求知欲;②与旧知发生联系,获得类比情境;学生举例,问题具有开放性,意在积累感性认识;要求“与众不同”恰是通过交流为不同学生构筑相接近的认知平台。)

(三)建构教学(15分钟)

1、等比数列的概念(引导学生通过类比等差数列得出)

(1)定义:一般地,一个数列从第二起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比。

练习:(幻灯片)

①以下几组数列,说出哪些是等比数列,如果是等比数列,它的公比是多少?

A、-2,1,4,7,10,13,16,19,…

B、8,16,32,64,128,256,…

C、31,29,27,25,23,21,19,…

D、1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…

②等比数列和等差数列有着密切的联系,那么有没有这样的数列,它既是等差数列又是等比数列呢?请举例。

③对于等比数列{ a

n }, a

n

能不能是0?公比q能不能是0?

得到对定义的认识:①等比数列的每一项都不为0;②公比不为0。提问:对于等比数列,你想对它做些什么研究?问题是怎样产生的?(2)概念数字化(类比等差数列,在教师的启发下由学生讨论得出)

对于数列{a

n },若q

a

a

n

n=

+1(*

N

n∈,q为常数),则称这个数列为等比数列,常数

q称为等比数列的公比。

提问:通过类比可以发现,等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”,我们已经知道等差数列可以用公差d ,项数n 及首项a 1表示等差数列的任一项,

也就是可以表示它的通项公式a n 。同样,你能类比得出等比数列的通项公式吗?如果能

得出,试用以上例子加以检验。

2、等比数列的通项公式(由学生类比等差数列讨论得到等比数列的通项公式)

(1)通项公式:*11,N n q a a n n ∈=-

(2)知道等比数列的首项和公比就可求出这个数列的任何项

练习:(幻灯片)

①一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1 天,它飞出去找回了1 个伙伴;第2 天,2 只蜜蜂飞出去,各自找回了1 个伙伴……如果这个找伙伴过程继续下去,第10 天所有蜜蜂都归巢后,算一算蜂巢中共有多少只蜜蜂?

②写出等比数列3,9,27,81,…,3n,… 的通项公式

③用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是哪些?

A 、已知a 1=2,a n =3a n +1;

B 、 1,2,4,……;

C 、 a ,a ,a ,……,a ;

D 、1,-1,1,……,(-1)n+1。 师点评:寻找通项即寻找项的一般规律,常可先看特殊项,写出几项,再归纳出一般结论,这是探索数列常用的一种方法,叫不完全归纳法。

④提问:对于等比数列的通项公式,我们可以从哪几个方面去认识它?

(在讲等差数列时已讨论过这类公式,学生知道从什么角度去认识公式)

A 、可以从函数的角度去认识,通项公式可以看作是“项”与“项所在的项数”之间的函数关系。

当q =1时,1a a n =,点(n ,n a )在直线y =a 1上;当q ≠1时,函数图像类似于

指数函数图像,但是它的图像是由一些孤立的点组成。

B 、从方程的角度去考虑,方程中有四个量,在a 1,a n ,q 和n 中只要知道其中三个

量,便可求第四个,请学生自己举例编这样类型的题。

(评析:通过学生自己亲自尝试、体验,才能深该理解等数列的定义和通项公式。对学生来讲,这样才能学好数学)

(四)知识应用(10分钟)

例1 在等比数列{a n }中,,8

1,185-=-=a a 求a 13 (引导学生自己分析,要求等比数列的某一项,根据通项公式,必须先求首项a 1和公比q )

解:设等比数列的公比为q ,则

1

814171{-=?-=?q a q a 解得

41221{-=-=a q

故 14)2

1(2-?-=n n a 所以 256

1)21(212413-=?-=a 反思:这种类型的题目主要是方程思想的应用,应用的过程主要是三个步骤:设、列、求。

师析:这类题既从定义、结构,又从通项入手,多角度体会等比数列的特点,逐步达到概念和公式的深层内化。

例2 银行贷款一般都是采用“复式计息法”计算利息,小王从银行贷款20万元,贷款期限为5年,年利率为5.76%,如果5年后一次性还款,那么小王应偿还银行多少钱?

(引导学生分析,每年末的本利和为:本利和=本金×(1+利息)贷款期,每年末的本利和组成的数列,是一个等比数列,公差q=1.0576,现在要求的是这个数列的第5项,需要什么条件呢?)

解:公差q=1+0.0576=1.0576

第1年末的本利和为:a 1=0576.120%76.52020?=?+

第5年末的本利和为:a 5=462886.260576.1205151=?=?-q a

反思:这是等比数列在生活中的实际应用,要先求出首项和公比。

师析:数学是我们工作和生活的工具,学习数学目的就是为了应用。

(五)学生巩固练习(8分钟)

1、求等比数列5,-15,45,…的第4项与第5项?

2、一个等比数列的第2项是10,第3项是70 ,求它的第1项与第4项?

(六)拓展延伸(3分钟)

引导学生分析思考如下问题:如果三个数a,G,b成等比数列,则G叫作a,b的等比中项,那么如何用a,b表示G呢?这个式子是三个数a,G,b成等比数列的什么条件?

(七)回顾反思与布置作业(4分钟)

1、回顾反思(在这节课上,你有哪些收获?)(启发学生类比等差数列得出。)

(1)等比数列的定义;

(2)等比数列的通项公式及推导;

(3)等比数列首项与公比不能为0。

2、布置作业

(1)课后思考:对照等差数列,试猜想等比数列的一些相应的性质。

(2)必做题:教材P19习题A组:1,2,3

选做题:教材P19习题B组:1,2

(3)预习作业:P15~18等比数列的前n项和公式

九、教学反思

在本节课教学设计中,处处创设数学情境,激发了学生的学习兴趣的探究热情,

体现了数学的应用价值。

在教学中,在教师的的鼓励与启发下,让学生自己思考,去类比、去联想、去

探究、去归纳、去总结;在从方程的观点去认识通项公式时,让学生自己编题,这

样即达到了考查的目的,又发挥了其主观能动性,让学生自主构建,在动态中生成,

从而达到培养学生自主学习的能力。

十、板书设计

相关文档
相关文档 最新文档