上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理

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第十六章 二次根式

第一节 二次根式的概念和性质

16.1 二次根式

1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。

2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==)

0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b

a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式

1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式

16.3 二次根式的运算

1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，

即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a

3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．

4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则：

≥0)

).0,0(≥≥=?b a ab b a

=a ≥0,b>0）

n =≥0)

第十七章 一元二次方程

17.1 一元二次方程的概念

1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项

17.2 一元二次方程的解法

1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法

2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法

3．求根公式x =：12x x ==； △=2

4b ac -≥0

17.3 一元二次方程的判别式

1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：

△＞0时，方程有两个不相等的实数根

△＝0时，方程有两个相等的实数根

△＜0时，方程没有实数根

2．反过来说也是成立的

17.4 一元二次方程的应用

1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根

2．把二次三项式分解因式时；

如果2

4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式

如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式

3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数

18.1．函数的概念

1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量

2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量

3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =

4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值

18.2 正比例函数

1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例

2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数

k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数

3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像

4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =

5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：

（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大

（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小

18.3 反比例函数

1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例

2．解析式形如(0)k y k k x

=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数 3．反比例函数(0)k y k k x =

≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小

（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大

18.4函数的表示法

1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法

2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法

3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法

第十九章 几何证明

19.1 命题和证明

1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明

2．能界定某个对象含义的句子叫做定义

3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题

4．数学命题通常由题设、结论两部分组成

5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后是结论

19.2 证明举例

1．平行的判定，全等三角形的判定

19.3 逆命题和逆定理

1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题

2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理

19.4线段的垂直平分线

1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、 逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 19.5 角的平分线

1、角的平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。

2、逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 19.6 轨迹

1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线

2、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆

19.7 直角三角形全等的判定

1．定理1：如果直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ）

2．其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用

19.8 直角三角形的性质

1．定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

2．推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半

3．推论2：在直角三角形中，如果一条之骄傲便等于斜边的一般，那么这条直角边所对的角等于30

19.9 勾股定理

1．定理：在直角三角形中，斜边大于直角边

2．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方

3．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形

19.10 两点间距离公式

1．如果直角坐标平面内有两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，那么A 、B 两点的距离

AB =